高等数学函数基本公式--

１. 基本初等函数求导公式

(1) 0)(='C (2) 1

)(-='μμμx x

(3) x x cos )(sin ='

(4) x x sin )(cos -='

(5)

x x 2

sec )(tan =' (6)

x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='

(8) x x x cot csc )(csc -='

(9)

a a a x

x ln )(=' (10) (e )e x

x '=

(11)

a x x a ln 1

)(log =

'

(12)

x x 1)(ln =

'，

(13)

211)(arcsin x x -=

' (14)

211)(arccos x x --

=' (15)

21(arctan )1x x '=

+

(16)

21(arccot )1x x '=-

+

函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则

（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）

（3） v u v u uv '+'=')(

（4） 2v v u v u v u '-'='

??? ??

反函数求导法则

若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应

区间

x

I 内也可导，且

)(1)(y x f ?'=

' 或 dy dx dx dy 1=

复合函数求导法则

设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为

dy dy du dx du dx =

或()()y f u x ?'''=

２. 双曲函数与反双曲函数的导数.

双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式：

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

从函数的微分表达式:

d ()d y f x x '=

可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分．因此，可得如下的微分公式和微分运算法则． 1． 基本初等函数的微分公式

由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式．为了便于对照，列表于下：

2．函数和、差、积、商的微分法则

由于函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则．为了便于对照，列成下表（表

中

)

(

),

(x

v

v

x

u

u=

=

都可导）．

v

u v u '±'='±)( u C Cu '=')( v u v u uv '+'=')(

2)(v v u v u v u '-'='

d()d d u v u v ±=±

d()d Cu C u = d()d d uv v u u v =+

2d d d()u v u u v

v v -=

现在我们仅证明乘积的微分法则.

3. 复合函数的微分法则（一阶微分形式的不变性）

一阶微分形式不变性：设f 是可微函数，)(u f y =，则无论u 是自变量，或是另一个变量

x 的可微函数，都同样有d ()d y f u u '=．

4． 例题

例3 )12sin(+=x y ，求 d y ．

例4

2

ln(1e )x

y =+，求d y ． 例5

13e cos x y x -=，求d y ．

例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立．

(1)

()d d x x =; (2) (

)d cos d t t ω=.