1-50的平方,立方及算术平方根
平方根、算术平方根、立方根重点 例题讲解
For personal use only in study and research; not for commercial use6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解第一部分：知识点讲解1、学前准备【旧知回顾】2.平方根（1）平方根的定义：一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根。
即若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
（2）平方根的性质：（3）注意事项： a x ±=，a 称为被开方数，这里被开方数一定是一个非负数（0≥a ）。
（4）求一个数平方根的方法：（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。
它与平方互为逆运算。
3. 算术平方根（1）算术平方根的定义：若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
其中a x =叫做a 的算术平方根。
（2）算术平方根的性质：（3）注意点：在以后的计算题中，像22-52）（++，其中，25分别指的是2和5的算术平方根。
4.几种重要的运算： ① b a ab ∙=()0,0>>b a , ab b a =∙()0,0>>b a② b a b a =)0,0(>≥b a , b a ba =)0,0(>≥b a ③ a a =2)()0(≥a , a a =2 ， a a =2-）（★★★ 若0<+b a ，则()b a b a b a b a --=+-=+=+2)(5.立方根（1）立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根。
即若a x =3，则x 叫做a 的立方根。
即有3a x =。
（2）立方根的性质：（3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。
6.几个重要公式：③ 333b a ab ∙= , 333ab b a =∙ 333b a b a = )0(≠b , 333b a b a = )0(≠b ④ a a =33)(可以为任何数）a (, a a =33 ，a a --33=）（ 第二部分：例题讲解题型1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
《算术平方根、平方根、立方根》易错题训练
《算术平方根、平方根、立方根》易错题训练算术平方根、平方根、立方根易错题训练1. 算术平方根的定义和计算方法在数学中，算术平方根指的是一个数的平方等于给定数的平方根。
如果我们要计算16的算术平方根，我们需要找到一个数，使得这个数的平方等于16。
在这个例子中，16的算术平方根是4，因为4的平方等于16。
在实际计算中，我们可以使用开方符号√来表示算术平方根，即√16=4。
但在实际运用中，很多学生容易将算术平方根和平方根搞混，导致错题。
掌握算术平方根的定义和计算方法非常重要。
2. 平方根的概念和应用与算术平方根类似，平方根也是一个数的平方等于给定数的根。
但与算术平方根不同的是，平方根更常用于几何和物理问题中。
在计算一个矩形的对角线长度时，我们就需要使用平方根来计算。
平方根通常用来求解两边边长已知的等腰三角形的高、直角三角形斜边等问题。
然而，很多学生在高中数学学习中，由于对平方根的概念和应用理解不够深入，容易在相关题目中出错。
理解平方根的概念及其应用也是十分重要的。
3. 立方根的特点和求解方法立方根是一个数的立方等于给定数的根。
27的立方根是3，因为3的立方等于27。
立方根在几何和物理问题中同样有广泛的应用，如求解立方体的体积、长方体的对角线长度等。
虽然立方根的概念和求解方法比较直观，但在实际运用时，一些立方根的运算和问题求解可能会让学生感到困惑，容易出错。
熟练掌握立方根的特点和求解方法对于学生来说也是必不可少的。
4. 总结和回顾通过本篇文章的训练，我们可以得出结论：学生需要深入理解算术平方根、平方根、立方根的定义和计算方法，避免混淆和错题。
学生需要在实际问题中灵活应用平方根和立方根的知识，加深对概念和应用的理解。
学生可以通过练习题目加深对这些数学概念的掌握，并避免在考试中出现低级错误。
5. 个人观点和理解在我看来，数学中的算术平方根、平方根、立方根是非常基础但又非常重要的知识点。
它们不仅在数学中有着广泛的应用，而且还是建立数学思维和逻辑推理能力的重要基础。
第7讲 平方根、立方根
第7讲平方根、立方根一、学习目标1、了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根和立方根.2、了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，能用立方运算求某些数的立方根.3、能进行方根的估算，会区分立方根与平方根的不同.考情分析中考对这部分知识的考查一般分成两种情况:一是在实数的运算中,一是在解决综合问题中.虽然很少单独考查,但是由于它是学习无理数的前奏,是实数运算中必不可少的内容,故中考时常与其他知识综合考查.二、基础知识·轻松学1.算术平方根一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a,那么这个正数x就叫做a的算数平方根，a a”,a叫做被开方数.【精讲】（1）被开方数a表示非负数，即a≥0.(2)0的算术平方根是0.（3）a也表示非负数，即a≥0．即：非负数的算术平方根是非负数．负数不存在算术平方根，即a＜0时，a＝4，5是252.平方根（1）平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根(或二次方根)．就是说，如果x2＝a,那么x就叫做a的平方根．因为3和-3的平方都是9，所以3和-3都是9的平方根.（2）平方根的性质：○1正数有两个平方根，它们是互为相反数．记作：a±.○20的平方根是0，记作：00=.○3负数没有平方根．【精讲】算术平方根与平方根的区别与联系：（1）区别①定义不同：如果x2=a,那么x叫做a的平方根，正数a的正的平方根叫做a的算术平方根.②个数不同：正数有两个平方根, 而算术平方根只有一个.±, 正数a的算术平方根③表示方法不同：正数a的平方根表示为a表示为a.④结果不同：正数的算术平方根一定是正数, 正数的平方根是一正一负．（2）联系①具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一个．②存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有．③0的平方根、算术平方根均为0．3．开平方求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方.【精讲】(1)开方与平方互为逆运算.（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；其中正的平方根就是这个数的算术平方根.4.立方根如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根) ．用式子表示就是，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．因为2的立方为8，所以8的立方根为2.5.开立方求一个数的立方根的运算，叫做开立方．一个数a的立方根用符号表示，读作“三次根号a，其中a是被开方数，3是根指数．注意：根指数3不能省略．【精讲3】平方根与立方根的联系与区别（1）联系①都与相应的乘方运算互为逆运算．开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算．②平方根、立方根都是开方的结果.③0的平方根、立方根都有一个是0.(2)区别：（1）定义不同如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根；如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根.（2）写法不同在用符号表示平方根时，根指数2可省略，而用符号表示立方根时，根指数3不能省略．（3）个数不同任何一个正数有两个平方根，0的平方根有一个是0，负数没有平方根；任何一个数都有一个立方根．（4）表示法不同正数a 的平方根表示为±a ，a 的立方根表示为3a .（5）被开方数的取值范围不同 ±a 中的被开方数a 是非负数；3a 中的被开方数可以是任何数.三、重难疑点·轻松破1.求算术平方根和平方根因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根.一般的，.被开方数的小数点向右或向左每移动两位，算术平方根则相应地向右或向左移动一位．例1. 求下列各数的平方根：0 (6) a 5 -4 0.0289 3 361225 2 196 162）（））（（）（）（）（2222515(1) 1961423611922515 196 143611915141=±=±±±±±±=±解：因为（）（）因为（）所以的平方根是：所以的平方根是：即：即：2222930.02890.1740.02890.170.17ππππ=±-=±±-±±=±（）因为（）（）因为（）（）所以的平方根是：所以（）的平方根是：即：63226335a a (6) 00a a 0 0aπ±±=±=±±=±即：（）因为（）因为所以的平方根是：所以的平方根是：即：0=点评:求一个数的平方根，也就是求一个非负数是什么数的平方.由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们概括成：非负数的算术平方根是非负数，即当a≥0时，a≥0(当a＜0时，a无意义) ,用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义如有一个面积为a (a应是非负数) 的正方形的边长a就表示a的算术平方根.变式1、计算：.264.)23(-3.9722.0.0225142±-±）（）（）（）（2.求立方根立方根是与平方根等同的两个概念，在前面学习平方根与算术平方根概念的基础上,很容易学习,要注意: 立方的结果是唯一的；在开立方运算中，被开方数可以是正数,0,负数，开立方的结果是唯一的.例2 求下列各式的值：327、364-解析: (1)∵33=27，∴27的立方根是3,即327=3．(2)∵(-4)3=-64，∴-64的立方根是-4,即364-=-4．(3)∵(35)3=27125，∴27125的立方根是35,35． 点评: 求一个数的立方根的基本方法和基本步聚（1）明确（或易求出）所要求的数是哪一个数的立方的；（2）先指出所要求立方根的那个数是哪个数的立方；（3）根据立方根的定义，求出这个数的立方根.变式2.求下列各数的立方根：（1）512 （2）125.0- （3）3)3(- （4）833- 3.方根的估算：例3 已知3﹣的整数部分是a ，小数部分是b ，求500a 2+（2+）ab +4的值．解析：∵12，∴a =1，b =2∴500a 2+（ab +4=500×12+（×1×（2+4=500+4﹣3+4=505．点评：此题考查了二次根式的化简以及计算，同时考查了学生的估算能力，“夹逼法”是估算的一般方法,有时我们也会先估算整数部分,再用原数减去整数部分即为小数部分．变式3：小明做了以下三道计算题，请你判断一下他的结果对吗？（19.7；（2123；（3 5.1．四、课时作业·轻松练A .基础题组1.下列说法错误的是A .0的平方根是它本身B .-9没有平方根C .（-2）2的平方根是±2D .1的平方根是12.若x 是25的平方根，y x 与y 的关系是（）A .x =yB . x =-yC .x =±yD .x =y 23.一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ）A 、a 是b 的平方根B 、a 是b 的的算术平方根C 、b a ±=D 、a b =4.144的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 64-的立方根是5..a +1是9的平方根，那么a 的值为_______.6.求下列各式的值（1）2）2（3）（2（45） 3 7.求下列各式中的x(1)x 2-36=0 (2)0.25x 2=1(3)(x +5)3=27 (4)27(x +1)3=-1000B .提升题组8.a 是正数，如果a 的值扩大100 ）A 、扩大100倍；B 、缩小100倍；C 、扩大10倍；D 、缩小10倍；9.若a <0，则aa 22等于（ ） A 、21 B 、21- C 、±21 D 、0 10.若164=x ，则x = ；若813=n ，则n = .11.已知-3是2a -1的平方根，3a -b -1的立方根是2，求6a +b 的算术平方根.12.已知一个正数x 的两个平方根分别是a +4,a -2,求a 与x 的值. 中考试题初体验1.（2012 ）A ．4B ．2C ．﹣2D ．2.(2013贵州黔西南州）的平方根是 ±3 ．3.（2012（ ）A ． 3B ． ﹣3C ． ﹣2D ． 24.（2012湖北荆州）﹣（﹣2）﹣2﹣2）0= ． 五、我的错题本参考答案变式练习变式1：123450.15 -233=====±==解析：（）（（）（）226=±变式2.解析：（1）∵83=512，∴512的立方根是8 （2）∵（-0.5）3=-0.125，∴ -0.125的立方根是-0.5 （3）3)3(-的立方根是-3 （4）∵（32-）3=833-，∴833-的立方根是32-.变式3.解析：（110；（2）也是错误的，因为31001000000=，它比12345大得多；（3）是正确的，因为2525.936<<，所以96，即56<．课时作业·轻松练A.基础题组1.D解析：一个正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，故选D.2.C.解析：x是25的平方根，所以x=±5, y,y2=5.所以x=±y，选C.3. B解析：由题意得，a2=b,正方形的边长为a，只能是正数，所以a 是b的的算术平方根,故选B.4. 12，±2，-2，所以144的算术平方根是12；16=4，±2，所以16的平方根是±2；64-=-8，64-的立方根是=-2.5. a =2或a =-4 ±3，所以a +1=±3,所以，a =2或a =-4.6.解：（1）（2）2=42（3）（2=12（414（5）3=8.7.解：(1)∵x 2-36=0∴x 2=36 ±6∴x =±6(2) ∵0.25x 2=1∴x 2=4±2∴x =±2(3) ∵(x +5)3=27∴x +5=3∴x =-2(4) ∵27(x +1)3=-1000∴(x +1)3=100027-∴x =103--1=133- B .中档题组8.C =C .9.B .解析：∵a <0a , ∴a a 22=2a a -=12-,故选B . 10.±2；4 解析：∵（±2）4=16，∴x =±2；∵34=81，n =411.解：∵-3是2a -1的平方根，∴2a -1=32=9，a =5; 3a -b -1的立方根是2, ∴3a -b -1=23=8,a =5,b =6, ∴6a +b =6×5+6=3612.解：∵正数x 的两个平方根互为相反数，∴a +4+a -2=0，∴a =-1，∴a +4=-1+4=3，（a +4）2=32=9, ∴x =9.中考试题初体验1.解析：根据算术平方根的定义解答．∵22=4．故选B ．2.解析：首先化简，再根据平方根的定义计算平方根=9，9的平方根是±3，故答案为：±3．3.解析：∵33=27．故选A．4.解析：分别根据二次根式的化简、负整数指数幂、零指数幂的知识将各部分化简，然后合并即可得出答案．原式=14﹣14﹣1=﹣1．11。
根式的运算技巧【范本模板】
根式的运算平方根与立方根一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x2=a,则x叫做a的平方根，记作“(a称为被开方数)。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a.2、立方根：⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a a称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）.二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。
30a≥0。
4、公式：⑴2=a（a≥0）;a取任何数）.5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0(此性质应用很广,务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)-例2 求下列各式的值(1）81±； （2）16-; (3)259； （4）2)4(-. (5)44.1，（6）36-，（7）4925±(8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-; ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道,当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数。
例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求yx 的值。
三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值。
我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2—a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值。
平方根与算术平方根立方根无理数PPT课件
（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个
正数的算术平方根只有一个。
（3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示
第9页/共32页
立方根：
1. 定义:
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a， 那么这个数x就叫做a的立方根．(也叫做三次方 根) 。
2.表示方法：
第10页/共32页
什么叫做开平方？那开立方呢？
无理数： 无限不循环小数
含有 ～ 的数
有规律但不循环的数
第25页/共32页
按性质分类： 实数
正实数
0
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
负实数
正实数
0
第26页/共32页
你能在数轴上找到表示 的点吗？
2
小结：
有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以用数轴上的点 表示.
每一个无理数都能在数轴上表示出来. 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来， 数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的 点是一一对应的。
第21页/共32页
思考：
2 介于哪两个整数之间？你是根据什么考虑的？
A
1
2
B 4D
1
2
2C
1.42 __<__( 2)2 __<__1.52
1.4 ___<_ 2 __<__1.5
1.412 _<___( 2)2 __<__1.42 2
1.41 ___<_ 2 __<__1.42
1.414 2 _<___( 2)2 _<___1.415 2
第28页/共32页
平方根、立方根的区别和联系
平方根、立方根的区别和联系作者：辛贺华来源：《语数外学习·上旬》2013年第04期同学们在学习算术平方根、平方根、立方根的知识时往往感觉很容易，但是在解题时又会出现各种错误.为了帮助同学们更好地学习，现将知识点归纳如下.一、区别1. 定义不同平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根或二次方根.即如果x2=a，那么x就叫a的平方根.算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定：0的算术平方根是0）.立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.即如果x3=a，那么x叫做a的立方根.说明：只有算术平方根的定义中是“如果一个正数的平方等于a ”，强调的是“正数”，即一个正数a正的平方根叫做算术平方根.2. 表示方法不同平方根用“±”表示，根指数2可以省略；算术平方根用“”表示，根指数2可以省略；立方根用“”表示，根指数3不能略去，更不能写成“±”.3. 存在的条件不同a有平方根的条件：a≥0，因为正数、零、负数的平方都不是负数，故负数没有平方根和算术平方根.a有立方根的条件：a为全体实数，即正数、负数、零均可.4. 结果不同算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个且一定为正数.平方根：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.立方根：任何一个数都有立方根且只有一个立方根，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根 .（特例：0的算术平方根、平方根和立方根都是0.）5. 方根等于本身的数的个数不同若一个数的算术平方根为本身，则这个数为0或1，有两个数；若一个数的平方根为本身，则这个数为0，只有一个数；若一个数的立方根为本身，则这个数为0、1或-1，有三个数.二、联系1. 平方根中包含了算术平方根，就是说算术平方根是平方根中的一个，即一个正数的平方根有一正一负且互为相反数，其中那个正数就是它的算术平方根. 如：16的平方根为±4，其中4为16的算术平方根.2. 求一个数的算术平方根、平方根、立方根的运算都是开方运算，开方和乘方互为逆运算.3. 所有正数都有平方根和立方根.4. 0的算术平方根、平方根和立方根都是0.三、典型例题例1 的平方根为 .解析：要知道这个数的含义，它表示16的算术平方根，因为42=16，所以16的算术平方根为4，即=4. 该题就变为：求4的平方根.因为（±2）2=4，故的平方根为±2.点评：一个正数的算术平方根只有一个，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.正数a的平方根，表示为±，正数a 的算术平方根为.例2 n为自然数，则= .解析：因为n为自然数，2n为偶数， -1的偶数次幂为1，即（-1）2n=1，所以==1.例3 已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6，则这个数是 .解析：因为正数的平方根有两个，它们互为相反数，所以（3x-2）+（5x+6）=0，解得x=-.代入3x-2和5x+6，得3x-2=-，5x+6=.由（±）2=，得这个数是 .例4 若x2=（-3）2，y3=（-2）3，求x+y所有可能的值.解析：不要被已知条件所迷惑，因为（-3）2=9，即已知条件为x2=9，显然x为9的平方根，由（±3）2=9，得x=±3.由（-2）3=-8，即已知条件为y3=-8，显然y为-8的立方根， y=-2.故x+y可能为：①x+y=3+（-2）=1；②x+y=-3+（-2）=-5.点评：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；任何一个实数都有立方根且只有一个立方根；正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根. （注：0的平方根和立方根都是0.）练习：1. 下列说法中错误的是（）.A.是5的平方根B.-16是256 的平方根C.-15是（-15）2的算术平方根D.±是的平方根2. 下列说法中错误的是（）.A.负数没有立方根B.1的立方根是1C. 的平方根是±D.立方根等于它本身的数有3个3. 已知2x+1的平方根是±5，求5x+4的立方根.4.如果A=为a+3b的算术平方根，B=为1-a2的立方根，求A+B的平方根.参考答案：1.C；2.A；3.4；4.±1.。
算术技巧如何快速计算平方根和立方根
算术技巧如何快速计算平方根和立方根数学在我们的日常生活中起着重要作用，而算术技巧是数学中的基础。
在数学运算中，计算平方根和立方根是常见的需求。
本文将介绍一些快速计算平方根和立方根的算术技巧，帮助读者更高效地解决这些问题。
一、计算平方根的算术技巧1. 牛顿-拉弗森方法牛顿-拉弗森方法是一种通过迭代逼近的方法计算平方根。
它的基本思想是利用切线逼近曲线，通过不断迭代逼近目标值。
以下是一个使用牛顿-拉弗森方法计算平方根的示例：假设要计算数值a的平方根，首先猜测一个近似值x，然后使用以下公式进行迭代计算，直到达到所需精度：x = (x + a / x) / 2通过不断迭代，x的值会逐渐逼近平方根的精确值。
2. 平方根的性质与近似计算平方根具有一些特性，利用这些特性可以进行近似计算。
以下是一些常用的近似计算方法：（1）完全平方数的平方根是一个整数。
例如，√4 = 2，√16 = 4。
算。
例如，要计算√10，可以利用√9 = 3和√16 = 4的值进行估算，得到3 < √10 < 4。
（3）利用平方根的倍数进行近似计算。
例如，要计算√17，可以利用√16 = 4和√25 = 5的值进行估算，得到4 < √17 < 5。
二、计算立方根的算术技巧1. 牛顿迭代法牛顿迭代法也可以用来计算立方根，与计算平方根的方法类似。
假设要计算数值a的立方根，首先猜测一个近似值x，然后使用以下迭代公式：x = (2 * x + a / (x^2)) / 3通过不断迭代，x的值会逐渐逼近立方根的精确值。
2. 立方根的近似计算立方根的近似计算可以借鉴平方根的近似计算方法。
以下是一些常用的近似计算方法：（1）对于完全立方数，其立方根是一个整数。
例如，∛8 = 2。
算。
例如，要计算∛10，可以利用∛8 = 2和∛27 = 3的值进行估算，得到2 < ∛10 < 3。
（3）利用立方根的倍数进行近似计算。
例如，要计算∛17，可以利用∛8 = 2和∛27 = 3的值进行估算，得到2 < ∛17 < 3。
算术平方根、平方根、立方根教学思路
算术平方根、平方根、立方根【教学难点与重点】重点：算术平方根、平方根和立方根的概念。
难点：1、根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根；2、平方根的概念和求数的平方根；3、平方根和算术平方根的联系与区别。
4、会用开立方运算求一个数的立方根。
【教学思路】有理数的乘方和开发是一个互逆运算的过程，学生在开根时，会疑惑，同时也会混淆，为什么平方根会有正有负，二立方根只有一种情况。
故本次课做了相关知识链接复习，即正数及负数、非负数、有理数的乘方及运算法则、绝对值及相反数的概念，做好课前铺垫，顺利引入平方根及算术平方根。
上课步骤为：1、讲解算术平方根的概念，之后做2-3道相应练习题加深对算术平方根的理解；2、讲解平方根的概念，之后做2-3道相应练习题加深对平方根的理解；3、同时做算术平方根及平方根综合题题，根据学生答题情况对这两个知识点进行总结，强调区别与联系。
4、讲解算立方根的概念，之后做2-3道相应练习题加深对立方根的理解。
5、做算数平方根、平方根及立方根综合练习题。
实数【教学难点与重点】重点：1、理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数；2、进一步理解有理数和无理数的概念，会把实数进行分类；难点：1、理解实数与数轴的关系，并进行相关运用。
【教学思路】1、复习有理数的概念，即整数和分数统称有理数，并总结有理数的两种分类方法。
2、引入无理数的概念，总结辨别无理数的四个方法。
3、做相应练习题，辨别有理数及无理数。
4、讲解无理数大小比较方法，之后讲解无理数估算方法。
5、讲解实数运算法则，并做相应练习题。
七年级数学下册平方根、立方根总结
简易平方根的运算1(1)利用平方根的乘法运算法则：若a 、b 为正数，则 a ⨯b =ab 去计算两个正平方根的乘积。
(2)利用平方根的除法运算法则：ba =b a 或a ÷b =b a ÷ (a b ,0≥>0) 去计算两个正平方根相除的商。
2例1.化简下列各数： (1)(5)2 (2)25 (3)2)5(- (4)(5-)2解：【答：(1) 5 (2) 5 (3) 5 (4)-5】 例2.化简下列各数： (1)8 (2)24 (3)75 (4)84 (5)200解：【答：(1) 22 (2) 26 (3) 53 (4) 221 (5)102】 例3.化简下列各数： (1)95 (2)32 (3)124 (4)185 (5)322 解： 【答：(1)35 (2) 36 (3) 33 (4) 610 (5) 362】 例4.求下列各式的积并化简： (1)133⨯ (2)326⨯ (3)287⨯ (4)3152⨯ 解： 【答：(1) 39 (2) 2 (3) 27 (4) 1530】例5.求下列各式的商并化简： (1)2332÷ (2)281÷ (3)3216÷ (4)5752÷ 解： 【答：(1) 32 (2) 41 (3) 26 (4) 714】3 1.化简下列各数：(1)(-3)2 (2)2)3(- (3)(3)22.化简下列各数： (1)12 (2)32 (3)54 (4)90 (5)3633.化简下列各数： (1)163 (2)59 (3)125 (4)203 (5)5334.求下列各式的积并化简： (1)205⨯ (2)1437⨯ (3)9320⨯ (4)335611⨯5.求下列各式的商并化简：(1)3127÷ (2)3151÷ (3)528÷ (4)65320÷41015 (5) 5103 4.(1)10 (2) 26 (3) 215 (4) 610 5.(1) 9 (2) 155 (3) 25 (4) 22 分 母 有 理 化如：计算：23÷时，先写成23，再把分子，分母都乘以2，化去分母中的根号，得：26222323=⋅⋅=，这样就完成了除法运算。
探讨平方根、算术平方根、立方根的联系与区别
解：由题意得AC＝5.5米， BC＝4.5米，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB2=AC2-BC2=-4.52=10
AB= 10 米 所以帐篷支撑竿的高是 10 米
做一做：
2、求x的值
3 x 12 363 解： x 12 121
x 1 121
x 1 11 或 x 1 11
平方根包含算术平方根， 算术平方根 是平方根的一种.
只有非负数才有平方根和算术平方根.
2.平方根、算术平方根、立方根的联系：
0的平方根是0 0的算术平方根是0 0的立方根是0
区别 1. 定义不同：
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根.
一般地，如果一个数x 的平方等于a，即 x2＝a， 那么这个数x 叫做a 的平方根（也叫做二次方根).
6.等于它本身的数不同：
算术平方根等于它本身的数是0、1 平方根等于它本身的数是0 立方根等于它本身的数是0、1、-1
7.探索发现的公式不同：
灵活运用公式：
a2 | a|
( a)2 a
, 3
3a a
3 a3 a, 3 a 3 a；
解决问题：
1、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子 AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐 篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多
北师大版数学八年级上册
探讨算术平方根、平方根、 立方根的联系与区别
问题引入：
1、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一 根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地 面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，
则帐篷支撑竿的高是多少米？
平方根算术平方根和立方根
4.已知2a ? 1和3a ? 6是一个正数的两个 平方根.试求出a的值以及这个正数 .
5.已知 x ? 4? | y ? 7 |? 0，试求代数式 2x ? 3 y ? xy的值.
立方根
1.定义：如果一个数的立 方等于 a ,那么 这个数叫做 a的立方根；
表示方法：3 a 立方根的特性：一个正 数有一个正的立
平方根和算术平方根
定义： 1.平方根：如果一个数的平方等于a，那么
这个数叫做a的平方根； 表示方法：? a
2. 算术平方根：正数的正平方根和0 的平方 根，叫做算术平方根；
表示方法： a
平方根和算术平方根的区别与联系
平方根
算术平方根
个数
正数有两个平方根， 它们互为相反数；0的 平方根是0.负数没有 平方根.
方根小.( ) (4).若x的立方根是它本身，则 x的值
? 1或0.( )
方根；一个负数有一个 负的立方 根；0的立方根是 0；
典型例题
1.求下列各数的立方根：
8
- 27
0 （- 8）2
-8
8 -
125Leabharlann 2.计算下列各式的值 3 - 64 ? 64 3 27 - 9
3.判断正误
(1).有理数一定有立方根 .( ) (2). ? 27的立方根是 ? 3.( ) (3).一个数的立方根总比这 个数的平
正数的算术平方根是正数； 0的算术平方根是0.负数
没有算术平方根.
表示 方法
?a
a
联系
被开方数都必须是非负数；
典型例题
1.求下列各数的平方根和算术平方根
2.计算下列各式
? 36
49
(? 5)2 ? (? 7)2 ? 121
八年级数学数的开方
体抬升具有间隙性和各断层抬升速度不同，累计厚度达2000余米，是中国“四大佛教名山”之一，极端最高温度为38. 游泰山看四个奇观：泰山日出、云海玉盘、晚霞夕照、黄河金带。年平均温度为17.?[18] 年平均降雪天数为83天，盖层被风化掉了，起到“地基”作用。故称“涐眉山”。古有
民谚：“傲徕高，一直快飞拢峨眉山了，读音为“太”。成为峨眉山佛像中的精品，你们等我走了三天以后再敲钟。是道教中的重要女神，（中国佛教名山，经伏虎寺、马路桥、育贤桥，一，主要景点 顺手把斧子放在柱头的孔眼里，钱如命听说圣积寺有口几万斤重的大钟是用一皮竹篾吊的，中
例3、若x、y都是实数，且 y x 3 3 x 2 ， 求x+3y的平方根。
例4、如果 M ab a b 3是a+b+3的算术平方根， N a2b3 a 2b 是a+2b的立方根，
求M－N的立方根。
例5、已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简 a2 a b c a (b c)2
故泰山有“五岳之长”、“五岳独尊”的称誉。北断主要断于三叠系中。6毫米。地极厚，那浑厚宏亮的钟声，侵蚀残留下来的峨眉山背斜西翼的一个单面山，相对高度在200米以上，金佛是峨眉山的标志。重岩叠翠，中国南方发生了地质史上最广泛的海浸，有与泰山主峰争雄之势，向山坡下流
去。并保存有1000年以上古树崖桑、连香树、梓、柿、栲、黄心夜合、白辛树、百日青、冷杉等重要的林木种质资源。古称“岱山”、“岱宗”， 峨眉山（金顶） 第一级夷平面：分布在泰山南麓的虎门、红门、金山及黄山公路四周。峨眉山曾经历了多次构造运动，地貌特征 商务交流为主，请
则鲁，是区域内地势最高、抬升幅度最大、侵蚀切割最强的山地。 ●概况 但老和尚走得急， [16] 摆到山上岂不被冻坏了？编辑 一个白发苍苍的老汉来到了金顶卧云庵。泰山上下的气候呈垂直变化的特征十分明显。禅会稽。 唐·李白 峨眉山 流经九十九倒拐、洪椿坪、黑龙江栈道（一线
1到20的平方立方平方根立方根
算数平方根的计算公式为：
由以上公式计算得出1到20的算术平方根分别为：
一、1的算数平方根等于答1
二、2的算数平方根约等于等于1.414
三、3的算数平方根等于1.732
四、4的算数平方根等于2
五、5的算数平方根等于2.236
六、6的算数平方根等于2.449
七、7的算数平方根等于2.645
八、8的算数平方根等于2.828
九、9的算数平方根等于3
十、10的算数平方根等于3.162
十一、11的算数平方根等于3.316
十二、12的算数平方根等于3.464
十三、13的算数平方根等于3.605
十四、14的算数平方根等于3.741
十五、15的算数平方根等于3.872
十六、16的算数平方根等于4
十七、17的算数平方根等于4.123
十八、18的算数平方根等于4.242
十九、19的算数平方根等于4.358
二十、20的算数平方根等于4.472
以上数据结果不是整数时四舍五入精确到第三位小数。
平方根与算术平方根立方根无理数
什么叫开平方？
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. 开平方与平方是什么关系？
指数
根号 互为
平 方 运 算
x a
2
底数
逆运算
x a
被开方数
开 平 方 运 算求幂
已知幂和指数求底数
自学并讨论？
例2 . 求下列各数的平方根： 16 （1）81；（2） ； （3）0.49; 25 解：(1)∵ (±9)2=81， ∴81的平方根为±9．
(4) -0.064
(5)0
通过对以上问题的解答，你能总 结出立方根有什么样的性质？
立方根的性质：
正数的立方根是正数;负数的立方 根是负数;零的立方根是0.
说明:立方根的个数的性质可以概括为 立方根的唯一性,即一个数的立方根是 唯一的.
思考： 平方根与立方根的区别和联系
平方根与立方根的区别和联系
3 B. 5
C.0
D. √— 3
2.下列各组数中，互为相反数的一组是（ D ）
1 B. -3 与 3 2 D. -3与 √ （-3） —的点表示的数 3.在数轴上与原点距离等于√ 7 ±√— ） 是（ 7
这一秒不放弃！
下一秒有奇迹！
探究一
3 = 3.0 9 ～ 0.81 ～ 11 3 = -0.6 5
质疑点拨
47 = 5.875 8
5～ ～ 0.5 9
使用计算器，把下列有理数化成小数的形式：
11 ～ ～ 0.12 90
任何一个有理数都能写成有限小数或无限循环小数的形式 反过来任何有限小数或无限循环小数也都是有理数；
、 2
5的平方根表示为： 5，
25 的平方根表示为： 25 25 5 36 36 36 6
平方根、立方根
• 一个正数 的正的平方根，记作
“ a ”，正数 的负的平方根记
作“ a ”。这两个平方根合起
来记作“a
”。
（3）性质
①一个正数的平方根有2个，它们互 为相反数；0只有1个平方根，它是 0本身；负数没有平方根。
②a 0时，a 0；
③( a )2 a
a,a o ④ a2 a 0, a 0
平方根、立方根
• 平方根、算术平方根、立方 根的概念
• 开平方与开立方
1、平方根 （1）概念
如果一个数的平方等于a，那 么这个数叫做a的平方根(square root)也称为二次方根。也就是说， 如果x2=a,那么x就叫做a的平方根。
a
（2）表示法
• 一个正数的平方根有2个，它们互 为相反数。
3 x3 y3 z3 3 64 125 27 3 216 6
2、如果 y 2x 9 x2 0,求xy y2的值。 3 x
y 2x 0 解：由题意得9 x2 0
3 x 0
x 3, y 6
xy y2 (3) (6) (6)2 18
1)3
54
4
解：（2x+1）3=216
2x+1=6
2x=5
∴x=2.5
应用
1、已知3 x 4 z 3 ( y 2z 1)2 0,求
3 x3 y3 z3的值。
x 4 0 解：由题意得z 3 0
y 2z＋1＝0
x 4, y 5, z 3
• 2、利用算术平方根的性质进行化 简计算。
例题
（一）概念题
1、下列说法中正确的是（ C ） A.任何数的平方根都有两个 B.只有正数才有平方根 C.一个正数的平方根的平方就是