数学实验课程设计

课程设计——数学实验与数学软件

2012年6月11号

重述题目：

由汽缸控制关闭的门，关闭状态的示意图如图1.门宽a ，门扣在H 处，与H 处相距为b 处有一门销，通过活塞与圆柱形的汽缸相连，活塞半径为r ，汽缸长为0l ,汽缸内气体的压强为0p 。当用力F 推门，使门打开一个角度ɑ时（示意图2），活塞下降的距离为c ，门销与H 处的水平距离b 保持不变，于是汽缸内的气体被压缩，对活塞的压强增大。已知在绝热条件下，气体的压强p 与体积

V 满足pV =c

γ

，

其中γ是绝热系数，c 是常数，试利用开门力矩和作用在活塞上的力矩相平衡的关系（对门扣而言），求在一定的压力F 作用下，门打开的角度ɑ。设a=0.8m ，b=0.25m ，r=0.04m ，0l =0.5m ，0p =10000N/m*m ，γ=1.4，F=25。

问题分析：

由题设给出知：本题是一道有关牛顿力学知识的题目，需要作出受力分析，求解

力矩，在此之前应该弄明白什么是力矩，力矩的表达式：=M r F →

→

→

⨯；本题有多少个与问题求解有关的力矩：两个，分别是开门力矩和作用在活塞上的力矩；这些力矩之间有什么关系：这两个力矩具有平衡相等的关系。

两者平衡相等的条件是气缸内绝热，根据绝热条件下压强与体积之间的关系写出压强的表达式。而压强p 乘以受力面积就是F ’，根据两者平衡，即两个力矩相等，可写出门打开的角度的表达式。最后，建立模型，用matlab 编写模型的程序，运行，得出结果。

模型建立与求解：

令力F 为恒力（若是变力，则本题没法求）；

将气缸视为质点，即F 正好作用在系统的中心。 所有向量方向默认为给定方向，以标量形式表示。

力矩：=M r F →

→

→

⨯

绝热状态下的压强与体积的关系：pV =c

γ

，其中γ是绝热系数，c 是常数

开门力矩(力矩一)：M1=F1*R1*sin=F*a*cos(ɑ)

作用在活塞上的力矩(力矩二)：M2=F2*R2*sin=F ’*b*cos(ɑ),F ’=

P*π*r*r

由

pV =c

γ

，知p=c/

1

V γ

令V0=

l *S ，则V1=（0l —b*tan ɑ）*S ，得：p=0p *（0l /（0l —b*tan ɑ））

^γ

注：以下是题目中的一些量的解释说明 F ：开门的力 a ：门宽

ɑ：门打开的角度 F ’：作用在活塞上的力 P ：气缸内的压强（0

p 为初始压强）

r ：气缸横截半径 c ：活塞下降的高度

γ：常数，约等于1.4

V ：活塞的体积（注意是可变的）

由题设知：两力矩相等M1=M2，即F*a*cos(ɑ)= p*π*r*r*b*cos(ɑ)，其中

p=0p *（0l /（0l —b*tan ɑ））^γ

将a=0.8m ，b=0.25m ，r=0.04m ，0l

=0.5m ，0

p =10000N/m*m ，γ=1.4，F=25。

代入上式得：

π*（1/(1-0.5*tan ɑ)^1.4）-5=0

所以问题就转化为了：f（x）= *（1/(1-0.5*tanx)^1.4）-5的零点了

编写程序：

方法一

function [k,r]=gex(f,x0,x1)

k=1;

x0=0;

x1=1;

tol=1e-5;

while abs(x1-x0)> tol=1e-5

x2=x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0));

r(k)=x2;

x0=x1;

x1=x2;

k=k+1;

end

r=x

方法二

fzero(inline('pi*(1/((1-0.5*tan(x))^1.4))-5'),[0,1])

计算结果与分析

结果为x=0.5142。

牛顿割线法收敛较快，但过了零点之后函数值开始逐渐大幅度上升，说明在达到平衡之后除门张开的角基本不变，就在0.5142弧度附近。