电容器与静电能
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三、电介质中静电场的基本规律 1. 有介质存在时的高斯定理：
电介质存在空间的电场由
以两个平行导体平板为例：
自由电荷 共同产生
束缚电荷
S r
取高斯面S， 按高斯定理：
E0
dS
1
0
qi
实验结论：
E
1
r
E0
或
E0
r E
则有：
r
E
dS
1
0
q自
即：
r
0
E
dS
4 0 r R1 4 0 r R2
q0
4 0 rr 2
q0
C
q0 V12
4 0 r R1R2
R2 R1
R2 q0 R1
当 R2
C 40rR1
11
3) 圆柱形电容器
两同轴金属圆柱面，其间充有介电常数为 的介质。
设两圆柱面单位长度上分别带电
DdS
D
2rl
l
D 2r
E
20
rr
R2 r R1
' Pn
Pn rR1
P r R1
(r 1) 2π r R1
外表面： (r R2 )
P
r R2
(r 1) 2πrR2
r
R2 R1
6
四、电容和电容器
V 1. 孤立导体的电容
若一孤立导体带电q，
q
则该导体具有一定的电势V， 且V ∝q
定义：q C C：称为孤立导体的电容。
V 与q、V无关
C
q
V
rd
r 0 S
r 1
t
d
0S r 1t
r
0S
d
t 、C t=d C r 0S
14d
例2. 两半径为R的平行长直导线，中心 间距为d，且dR, 求单位长度的电容。
E
2
0r
解：设两金属线的电荷线密度为 2R
E
E E
λ
2π0x
λ
2π0(d
V
13
例1.一平行板电容器，两极板间距为d、面积为S，其 中放置一厚度为t 的平板均匀电介质，其相对介电常
数为r ，求该电容器的电容C。
解：设极板面密度为、–
t
r
d 由高斯定理可得：
空气隙中 D
E1
0
介质中 D
E2
r0
V E1(d t) E2t
r 0
rd
r
1
t
与t的位置无关
r
DdS DdS D S 右
qi自 S
D
E
D
S
两极间的电势差：V
E dl E d
d
d
C q S 0 r S
V d d
C 、S、d1
若要增大C： 增大S、 减小d、 或选用r大的电介质
结论：
C0
0S
d
C rC0
①电容C只与电容器的结构及板间电介质有关；
则： q C VA
E、F上的感应电荷影响VA
如何消除其它导体的影响？ 静电屏蔽
F
VA–VB q
不受E、F的影响
这种由A、B组成的导体系统 电容器 8
电容器 的电容：
CAB
VA
q VB
或C
q
V
q U
A、B为电容器的两极板，U为电容器的电压。
注：组成电容器的两极导体，并不要求严格的屏蔽， 只要两极导体的电势差，不受或可忽略外界的影响即可。
大油箱q中，油的相分对析介：电电荷常q数及为电介r。质求呈E球、对V(称r)、分σ布。
R
则有：E
D
V P E dl
则E、D也为球对称分布
解：取半径为r的高斯同心球面
r<R
rR
D dS
qi
0
D dS D 4r 2
qi q
D 0
D
q
4r 2
er
r<R E
rR E r<R V rR
q自
引入：
r0
D E
介质介电常数
电位移矢量
D dS q自
1
D dS q自
有介质空间的高斯定理
说((32明))以：上D(讨1)d论SD对任q何E自形D与D状的与的单EE电处位d介处：S质对 C/都应 1m0 (成，2立且q自。方向一q束致) 等价
2. 环路定理
E dl 0
束缚电荷q束产生的电场与
保守力场
自由电荷q自产生的电场性质相同
3. 归纳
(1) 有PD介质r存e00在EE时D，出现0E三 个P物理量 E、P、D
(2) 解题一般步骤
由q自
D dS q自
D
E
D
P 2e 0 E
由q自
D dS q自
D
E
D
P e0E
例1.一个带正电的金属球，半径为R电量为q，浸在一个
电容C是表征电容器容纳电荷的能力的物理量。
电容器的形状、大小、结构多种多样，下面计算几种 常用电容器的电容。
1) 平行板电容器： S d 2
E
电容器内无电介质时：
E
0
1
0
q S
q S
VAB
Ed
qd
0S
C0
0S
d
9
电容器内充满电介质时：
q q 取底面积为S的高斯柱面，由高斯定理：
单位：F（法拉）
电容C
与导体的尺寸形状有关
1 F106 μF 1012 pF
如同容器装水： 电容C反映了孤立导体容纳电荷
的能力。
7
例：一个带电导体球的电容
设球带电q
q V
4 0 R
C
q V
4 0R
地球半径 R=6.4106m C 700106F 700 F
2. 电容器的电容
B
q A
q
E
带电q的A导体旁若有其它导体E、F
r
4
例2. 求(1)电介质中的电场强度、
电位移和极化强度； (2)电介质内
外表面的极化电荷面密度。
解 (1) D dS l S
D2πrl l
D
2πr
E
D ε0εr
2πε0εrr
(R1 r R2 )
方向沿径向向外
P
(
r
1)0E
r 1 2πrr
r
r
ห้องสมุดไป่ตู้R2 R1
5
(2)
P
r 1 2πrr
内表面： (r R1 )
V R2 dr ln R2
R1 2 0 r r
2 0 r R1
C L 2 0 r L
V ln R2 R1
2
C L1 ln R2 R1
R1
-
l-
+r
+ +
-+
R2
++ -L ++-
R2R1<<L
12
3. 电容器电容的计算 求解电容器电容的一般步骤： ①设两极板带等量异号电荷±q； ②计算板间场强（用高斯定理先求D，再求E） ，求极板间的电势差； ③由电容器电容的定义 C q 求电容。
②板间充满电介质时，电容将增大到真空时的 r倍。10
2) 球形电容器：
两个同心的金属球壳带有等量异号电荷
q0 E 0 r R1
E 0 r R2
V12
R2 R1
q0
R2 R1
E
q0
4 0r 2
er
R1 r R2
若两球壳间有电介质则， E
q0 dr q0 q0
4 0 r r 2
0
4 0(
q
r0r
R
2 er
)E
E dr
r Rq
V
4 r 0r
q
4q0r 4 r
2 0
R
3
r R:
P
e0E
r
1
0E
1
1
r
q
4r 2
er
q- -
-
-
-
q
-
-
R
-
--
DR
ER
VR
束缚电荷面密度:
' Pn P rR
'
q
4R2
r
r
1
束缚电荷电量：
Q
4R2
'
r 1 r
q
oR
电介质存在空间的电场由
以两个平行导体平板为例：
自由电荷 共同产生
束缚电荷
S r
取高斯面S， 按高斯定理：
E0
dS
1
0
qi
实验结论：
E
1
r
E0
或
E0
r E
则有：
r
E
dS
1
0
q自
即：
r
0
E
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4 0 r R1 4 0 r R2
q0
4 0 rr 2
q0
C
q0 V12
4 0 r R1R2
R2 R1
R2 q0 R1
当 R2
C 40rR1
11
3) 圆柱形电容器
两同轴金属圆柱面，其间充有介电常数为 的介质。
设两圆柱面单位长度上分别带电
DdS
D
2rl
l
D 2r
E
20
rr
R2 r R1
' Pn
Pn rR1
P r R1
(r 1) 2π r R1
外表面： (r R2 )
P
r R2
(r 1) 2πrR2
r
R2 R1
6
四、电容和电容器
V 1. 孤立导体的电容
若一孤立导体带电q，
q
则该导体具有一定的电势V， 且V ∝q
定义：q C C：称为孤立导体的电容。
V 与q、V无关
C
q
V
rd
r 0 S
r 1
t
d
0S r 1t
r
0S
d
t 、C t=d C r 0S
14d
例2. 两半径为R的平行长直导线，中心 间距为d，且dR, 求单位长度的电容。
E
2
0r
解：设两金属线的电荷线密度为 2R
E
E E
λ
2π0x
λ
2π0(d
V
13
例1.一平行板电容器，两极板间距为d、面积为S，其 中放置一厚度为t 的平板均匀电介质，其相对介电常
数为r ，求该电容器的电容C。
解：设极板面密度为、–
t
r
d 由高斯定理可得：
空气隙中 D
E1
0
介质中 D
E2
r0
V E1(d t) E2t
r 0
rd
r
1
t
与t的位置无关
r
DdS DdS D S 右
qi自 S
D
E
D
S
两极间的电势差：V
E dl E d
d
d
C q S 0 r S
V d d
C 、S、d1
若要增大C： 增大S、 减小d、 或选用r大的电介质
结论：
C0
0S
d
C rC0
①电容C只与电容器的结构及板间电介质有关；
则： q C VA
E、F上的感应电荷影响VA
如何消除其它导体的影响？ 静电屏蔽
F
VA–VB q
不受E、F的影响
这种由A、B组成的导体系统 电容器 8
电容器 的电容：
CAB
VA
q VB
或C
q
V
q U
A、B为电容器的两极板，U为电容器的电压。
注：组成电容器的两极导体，并不要求严格的屏蔽， 只要两极导体的电势差，不受或可忽略外界的影响即可。
大油箱q中，油的相分对析介：电电荷常q数及为电介r。质求呈E球、对V(称r)、分σ布。
R
则有：E
D
V P E dl
则E、D也为球对称分布
解：取半径为r的高斯同心球面
r<R
rR
D dS
qi
0
D dS D 4r 2
qi q
D 0
D
q
4r 2
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r<R E
rR E r<R V rR
q自
引入：
r0
D E
介质介电常数
电位移矢量
D dS q自
1
D dS q自
有介质空间的高斯定理
说((32明))以：上D(讨1)d论SD对任q何E自形D与D状的与的单EE电处位d介处：S质对 C/都应 1m0 (成，2立且q自。方向一q束致) 等价
2. 环路定理
E dl 0
束缚电荷q束产生的电场与
保守力场
自由电荷q自产生的电场性质相同
3. 归纳
(1) 有PD介质r存e00在EE时D，出现0E三 个P物理量 E、P、D
(2) 解题一般步骤
由q自
D dS q自
D
E
D
P 2e 0 E
由q自
D dS q自
D
E
D
P e0E
例1.一个带正电的金属球，半径为R电量为q，浸在一个
电容C是表征电容器容纳电荷的能力的物理量。
电容器的形状、大小、结构多种多样，下面计算几种 常用电容器的电容。
1) 平行板电容器： S d 2
E
电容器内无电介质时：
E
0
1
0
q S
q S
VAB
Ed
qd
0S
C0
0S
d
9
电容器内充满电介质时：
q q 取底面积为S的高斯柱面，由高斯定理：
单位：F（法拉）
电容C
与导体的尺寸形状有关
1 F106 μF 1012 pF
如同容器装水： 电容C反映了孤立导体容纳电荷
的能力。
7
例：一个带电导体球的电容
设球带电q
q V
4 0 R
C
q V
4 0R
地球半径 R=6.4106m C 700106F 700 F
2. 电容器的电容
B
q A
q
E
带电q的A导体旁若有其它导体E、F
r
4
例2. 求(1)电介质中的电场强度、
电位移和极化强度； (2)电介质内
外表面的极化电荷面密度。
解 (1) D dS l S
D2πrl l
D
2πr
E
D ε0εr
2πε0εrr
(R1 r R2 )
方向沿径向向外
P
(
r
1)0E
r 1 2πrr
r
r
ห้องสมุดไป่ตู้R2 R1
5
(2)
P
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内表面： (r R1 )
V R2 dr ln R2
R1 2 0 r r
2 0 r R1
C L 2 0 r L
V ln R2 R1
2
C L1 ln R2 R1
R1
-
l-
+r
+ +
-+
R2
++ -L ++-
R2R1<<L
12
3. 电容器电容的计算 求解电容器电容的一般步骤： ①设两极板带等量异号电荷±q； ②计算板间场强（用高斯定理先求D，再求E） ，求极板间的电势差； ③由电容器电容的定义 C q 求电容。
②板间充满电介质时，电容将增大到真空时的 r倍。10
2) 球形电容器：
两个同心的金属球壳带有等量异号电荷
q0 E 0 r R1
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若两球壳间有电介质则， E
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束缚电荷面密度:
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1
束缚电荷电量：
Q
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