初中数学建模常见类型及举例

初中数学建模初探

随着经济的飞速发展和计算机的广泛应用,数学日益成为一种技术,其手段就是计算和数学建模.数学建模是解决实际问题的过程，在这一个过程中，建立数学模型是最关键、最重要的环节，也是学生的困难所在。它需要运用数学的语言和工具，对部分现实世界的信息（现象、数据等）加以简化、抽象、翻译、归纳，然后利用合适的数学工具描述事物特征的一种数学方法。

一、在初中数学教学中，要使学生初步学会建立数学模型的方法，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，应着重注意以下几点：

1、审题

建立数学模型，首先要认真审题。苏联著名数学家斯托利亚尔说过，数学教学也就是数学语言的教学。实际问题的题目一般都比较长，涉及的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题，深刻分解实际问题的背景，明确建模的目的；弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种信息；挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件。

2、简化

根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要简化。抓住主要因素，抛弃次要因素，根据数量关系，联系数学知识和方法，用精确的语言作出假设。

3、抽象

将已知条件与所求问题联系起来，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来，从而建立数学模型。

按上述方法建立起来的数学模型，是不是符合实际，理论上、方法上是否达到了优化，在对模型求解、分析以后通常还要用实际现象、数据等检验模型的合理性。

二、初中数学建模的主要类型

一切数学概念、公式、方程式和算法系统等都是数学模型，可以说，数学建模的思想渗透在中小学数学教材中。因此，只要我们深入钻研教材，挖掘教材所蕴涵的应用数学的材料，并从中总结提炼，就能找到数学建模教学的素材。例如：最大最小问题，包括面（体）积最大（小）、用料最省、费用最低、效益最好等，可以建立函数或不等式模型。行程、工程、浓度问题，可以建立方程（组）、不等式（组）模型。

1、函数模型

当涉及到总运费最少或利润最大等决策性问题时，可通过建立函数模型，将实际问题转化为数学问题，运用函数的相关知识来解决.

2、直角三角形模型

当涉及测量高度、测量距离、航海、拦水坝等应用型问题时，可考虑建立直角三角形的模型，利用直角三角形的知识使问题获得解决.

3、方程（组）模型

现实生活中广泛地存在等量关系，如利息和税率、百分比、工程施工、行程问题等，通常都需要建立方程（组）的模型来解决问题.

4、不等式（组）模型

生活中的不等关系主要体现在市场营销、生产决策、统筹安排等方面，对于此类实际问题可以考虑通过建立不等式（组）的模型来解决.

5、几何模型

生活中诸如边角余料加工、拱桥计算、修复残破轮片等问题，涉及应用一定几何图形的性质需建立几何模型，用几何知识加以解决.

三、强调数学应用现已成为当今各国课程内容改革的共同特点。

在美国，人们提出了“用数学服务于现实世界”的口号。近年来，我国对数学应用给予了高度重视，中学数学教学中也开始进行建模教学的探索，但所作的努力还不够。

一般说来，运用较少的数学知识、与教材内容密切相关的、相对简单的建模活动可以在课堂教学中进行，而需要综合运用多种知识、与教材内容联系不紧密的、相对复杂的建模活动应在课外活动中进行。有些建模问题比较复杂，可以将其分解、分步解决；或在教师带领下解决某些环节，其具体求解过程可留给学生课后解决，最后再组织学生宣讲、交流或写成小论文，这样既发挥了教师的主导作用，又体现了以学生为主体的原则，也培养了学生的探索精神和数学能力。

数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中,是培养和提高同学们应用所学知识分析问题,解决问题的能力的必备手段之一.数学建模教学应结合正常的教学内容进行切入,把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中,以教材为载体,以改革教学方法为突破口,通过对教学内容的处理和再创造达到在学中用,在用中学。

数学建模题型举例

1、建立二元一次方程组的模型解决实际问题。

例1、利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①的方式放置。再交换木块的位置，按图②的方式放置。测量数据。如图。求桌子的高度。

解析：利用二元一次方程组模型，找到两个未知量和两个相等关系，特别是图形中隐含的等量关系。

设：木块长为a 、宽为b 、桌子的高为x ，依题意有：

a x

b 80b x a 70+-=⎧⎫⎨⎬+-=⎩⎭

解得：X=75

例2、玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元。玲玲的爸爸妈妈商量后决定，只选一个公司单独完成。

（1）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？

（2）如果从节约开支的角度考虑呢？说明理由。

解析：利用二元一次方程组数学模型，节约时间久应考虑效率、节约开支就得计算总费用，通过这两方面的计算得到决策。

2、建立分式方程模型解决实际问题。

例3、小明去离家2.4千米的体育馆看球赛，进场时，发现门票放在家中，此时离比赛开始还有45分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票时用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆。已知小时骑自行车从价赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍。

（1）小明步行的速度（单位：米/分）是多少？

（2）小明能否在球赛开始前赶到体育馆？

解析：（1）利用数学模型“路程=时间 速度”列方程

（2）由上面的模型计算来去，共用的时间，再与45分钟尽心比较，如果小于45分钟就可以提前赶到。

3、建立一元二次方程模型解决实际问题。

例4、某市某楼盘准备以5000元/㎡的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平米4050元的均价开盘销售。

（1）求平均每次下调的百分率。

（2）某人准备以开盘均价购买一套100平米的房子，开发商还