两辆铁路平板车的装货问题

两辆铁路平板车的装货问题

摘要

本题针对铁路平板车装货的问题，有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。在厚度、载重、件数等条件的限制下，要求我们把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。

针对本问题，初步分析可得：题中所有包装箱共重89t，而两辆平板车只能载重共80t，因此，不可能全安装下。根据题意可得，浪费的空间最小就是要求尽可能使两辆车上的装箱总厚度尽可能大。根据题目中关于厚度、载重、件数等限制条件，建立相应的线性规划数学模型，写出相应的目标函数和约束条件。使用数学软件matlab和lingo得出相应的最优解。若有数组最优解，最后用Excel 对得到的最优解进行分析，得出最符合题意的答案。

关键词：线性规划最优解lingo matlab

一、问题重述

有7种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以公斤计）是不同的。下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7

t(cm) 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0

w(kg) 2000 3000 1000 500 4000 2000 1000

件数8 7 9 6 6 4 8

问：应该如何把这些包装箱装到平板车上，才能使得浪费的空间最小（尽量使这些包装箱所占的空间最大）？试建立此问题的数学模型。

二、问题分析

2.1对题目的分析

题目中的所有包装箱的总重量W=2*8+3*7+9*1+0.5*6+4*6+2*4+1*8=89t但是两辆平板车的总载重量只有80t，所以不可能全部装下所有货物。题目要求试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。所以不以尽可能装满80t货物为目标函数，而是以使两辆车上的装箱总厚度尽可能大为目标函数建立数学模型。由于当地对于货运的限制C5,C6,C7所占的厚度不超过302.7cm。这句话可以理解为１:每辆车的长度限制不超过302.7cm。２：两辆车的总长度限制不超过302.7cm。我们算得需要装载的C5，C6，C7总长度为：Ｔ＝４８.７＊６＋５２.０＊４＋６４.０＊８＝１０１２.２ｃｍ远大于３０２.７ｃｍ。所以本文中我们根据经验和数据的判断，只考虑第一种情况。

2.2对模型的简单分析

根据题目我们要建立相关的数学模型。分析发现：1.有一个目标，即题目的最终要使两辆车的总厚度实现最大化；2.存在一定的约束条件，并且这些约束条件可以由决策变量的线性不等式表示，即每辆车的厚度以及载重限制是完全由决策变量（每辆车所装种类包装箱的个数）决定的。故本题属于线性问题，可以采用线性规划数学模型解决。

三、模型假设

1、包装箱的底面积恰好与平面车的平面积恰好相等；

2、包装箱之间不存在间隙，即包装箱所铺成的总高度没有影响；

3、将每个包装箱装入平板车都具有可行性；

4、各个货物装在车上的概率相同，相互之间的排放不存在关联性；

5、在该平板车装载的过程中不考虑各个货物的厚度及重量的误差性，均为题中所给的准确数值；

6、装载的过程中不考虑货物在车上的排列次序及各个货物的重量密度，排除因局部过重而造成的平板车不能行驶的情况；

７、不考虑方案不同仅仅是AB 车车次相互交换的情况； ８、不考虑一辆车上同一种包装箱组合方案的不同排列；

９、在重量符合要求的情况下，不考虑两车重量差别大小对最优解的影响。

四、符号说明

为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明：

五、模型的建立与求解

经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建立过程。

5.1线性规划模型的建立与求解

根据题目中的意思，要在符合厚度、质量等的条件下建立相关的数学模型。我们可以根据题意写出初步的目标函数和约束条件：

假设两辆车分别为A 车和B 车，设A 车上的C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7种类的箱子分别装x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7件，B 车上的C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7种类的箱子分别装y1、y2、y3、y4、y5、y6、y7件。 1.目标函数为使两辆平板车的装箱总厚度之和尽可能地大，即：

0.640y7

+0.520y6+0.487y5+0.720y4+0.613y3+0.520y2+0.487y1+ 0.640x 7+0.520x 6+0.487x 5+0.720x 4+0.613x 3+2x 520.01x 487.0max +=

2.约束条件

装箱过程中必须遵循的各约束如下： 厚度约束：

每辆平板车有10.2m 长的地方来装包装箱可以得

10.20

0.640y7+0.520y6+0.487y5+0.720y4+0.613y3+0.520y2+0.487y110.20

0.640x 7+0.520x 6+0.487x 5+0.720x 4+0.613x 3+0.520x 2+0.487x 1≤≤

重量约束：

每辆平板车的载重为40t 可以得：

40

y7+2y6+4y5+0.5y4+y3+3y2+2y140

x 7+2x 6+4x 5+0.5x 4+x 3+3x 2+2x 1≤≤

特殊约束：

C5、C6、C7所占空间厚度不能超过302.7cm 可以得：

3.027

0.640y7+0.520y6+0.487y5 3.027

0.640x 7+0.520x 6+0.487x 5≤≤

箱数约束：

8

y7+x74y6+x66y5+x56y4+x49y3+x37y2+x28y1+x1≤≤≤≤≤≤≤

另外，x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7均为>=0的整数。 5.2运用数学软件对模型求解 1.线性模型总的表示：