数学五年级第10讲：等差数列(最新数学课件)
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《等差数列的概念》课件
。
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析
等差数列ppt课件
的首项为a1,公差为d,则Sn=na1+
d,
2
(−1)
则 =a1+
d= n+a1- ,
2
2
2
因此
反之,乙:
为等差数列,即甲是乙的充分条件;
为等差数列,
+1
即
- =D, =S1+(n-1)D,
+1
即Sn=nS1+n(n-1)D,
Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D,
基础诊断·自测
类型
辨析
易错
高考
题号
1
3
2,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差
数列.( × )
提示:(1)第2项起每一项与它的前一项的差应是同一个常数;
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( √ )
2
a1=2,所以d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,a4=11,且S3,S5,a22成等差数列,则S10=(
A.145
B.150
C.155
)
D.160
3(1 +3 )
【解析】选C.设等差数列{an}的公差为d,因为a4=11,所以S3=
当n≥2时,两式相减得:Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D,
当n=1时,上式成立,于是an=a1+2(n-1)D,又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数,
d,
2
(−1)
则 =a1+
d= n+a1- ,
2
2
2
因此
反之,乙:
为等差数列,即甲是乙的充分条件;
为等差数列,
+1
即
- =D, =S1+(n-1)D,
+1
即Sn=nS1+n(n-1)D,
Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D,
基础诊断·自测
类型
辨析
易错
高考
题号
1
3
2,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差
数列.( × )
提示:(1)第2项起每一项与它的前一项的差应是同一个常数;
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( √ )
2
a1=2,所以d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,a4=11,且S3,S5,a22成等差数列,则S10=(
A.145
B.150
C.155
)
D.160
3(1 +3 )
【解析】选C.设等差数列{an}的公差为d,因为a4=11,所以S3=
当n≥2时,两式相减得:Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D,
当n=1时,上式成立,于是an=a1+2(n-1)D,又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数,
等差数列课件ppt课件
等差数列课件 ppt
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
等差数列的概念PPT优秀课件
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
等差数列ppt课件
等差数列的表示方法
通项公式
an = a1 + (n-1)d，其中an是第n项 ，a1是首项，d是公差。
前n项和公式
Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中Sn 是前n项和，a1是首项，d是公差。
等差数列的性质
01
02
03
公差性质
公差d是任意两个相邻项 的差，即an - a(n-1) = d 。
04
等差数列的应用
在数学中的应用
基础概念理解
等差数列是数学中的基础 概念，对于理解数列、函 数等其他数学概念有着重 要作用。
数学运算
等差数列的特性使其在数 学运算中有着广泛的应用 ，例如求和、求差等。
解决数学问题
等差数列可以用来解决一 些复杂的数学问题，例如 求解方程、不等式等。
在物理中的应用
综合练习题
题目：已知一个等差数列的前4项 和为40，前8项和为64，求这个 等差数列的前12项和。
答案：88
解析：根据等差数列的求和公式 ，得到前4项和$S_4 = frac{4}{2} times (2a_1 + (4-1)d) = 40$， 前8项和$S_8 = frac{8}{2} times (2a_1 + (8-1)d) = 64$。解这个 方程组得到首项$a_1=13$，公差 $d=-2$。然后根据等差数列的求 和公式，得到前12项和$S_{12} = frac{12}{2} times (2 times 13 + (12-1) times (-2)) = 88$。
等差数列在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如计算 存款利息、解决几何问题等。
公式中的参数意义
01
02
等差数列公式ppt课件
下节课预告
• 下节课我们将学习等差数列在实际生活中的应用，以及如何利 用等差数列解决实际问题。同时，我们还将学习等差数列的性 质，进一步加深对等差数列的理解。
感谢观看
THANKS
一般形式
等差数列的通项公式可以 表示为an=kn+b，其中k 和b是常数，n是项数。
特殊形式
当k=0时，等差数列变为 常数列；当b=0时，等差 数列变为等差序列。
扩展形式
通过变换通项公式，我们 可以得到其他形式的等差 数列。
等差数列通项公式的应用
数学问题求解
数学建模
利用通项公式可以求解等差数列中的 未知数。
日常计数
在日常生活中，我们经常使用等差 数列来计数物品，例如按顺序排列 的电话号码、门牌号等。
等差数列在数学领域中的应用
数学分析
在数学分析中，等差数列是研究 函数和级数的重要工具，可以用
于证明一些数学定理和性质。
几何学
在几何学中，等差数列可以用于 计算一些几何形状的周长、面积
和体积等。
组合数学
在组合数学中，等差数列可以用 于计算组合数的公式和性质。
通过建立数学模型，我们可以利用通 项公式解决实际问题。
实际应用
等差数列在日常生活和科学研究中有 着广泛的应用，例如在统计学、物理 学等领域。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
01
通过对等差数列的性质进行归纳 和演绎，利用倒序相加法推导出 等差数列的求和公式。
02
倒序相加法的原理是将等差数列 的前n项和与后n项和相加，再除 以2得到n项和的公式。
等差数列求和公式还可以用于解决一 些实际问题，例如计算存款的本金和 利息、计算工资等。
等差数列的概念PPT课件
( m, n, p, q N * )
19
等差数列的性质
性质 1．an＝am＋ (n－m)d (m，n∈N*)． 性质 2．若 m＋n＝p＋q(m，n，q，p∈N*)，则 am＋an
＝ap＋aq. 特别地：若 m＋n＝2p (m，n，q∈N*)，则则am＋an ＝2ap.
性质3.在等差数列{a
n
}中，a m m
即a, b, c成等差 2b a c b是a与c的等差中项
数列an中，若对任意n N *, 都有
an
,
an1
,
an
成
2
等
差
，
则
该
数
列
是
等差
数
列.
探究二 等差中项的应用
【例 1】（1） 与 的等差中项是
（4）三个数成等差数列，和为 12，积为 48 ，则这三个数为
.
.
变式：在等差数列an 中，若 m n p q ，求证：am an a p aq
(2)若a1 a2 a3 7, a4 a5 a6 3， 则a10 a11 a12
(3)方程 x2 52 x m x252 x n 0的四个根
组成一个首项为 23的等差数列，则 m n ；
【思维拓展】: 数列{an}, a1 5, an 3an1 3n 1
例3 （1）求等差数列8,5,2，…的第20项；
（2）等差数列-5，-9，-13，…的第 几项是-401？ （3）等差数列-5，-9，-13，…，321的项数？
变式二：首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数， 则公差的取值范围是？
例4 等差数列 an 中，已知 a5 10, a12 31 （1）求 an; （2）判断数列的单调性； （3）若an 100 ，求 n的最小值；
19
等差数列的性质
性质 1．an＝am＋ (n－m)d (m，n∈N*)． 性质 2．若 m＋n＝p＋q(m，n，q，p∈N*)，则 am＋an
＝ap＋aq. 特别地：若 m＋n＝2p (m，n，q∈N*)，则则am＋an ＝2ap.
性质3.在等差数列{a
n
}中，a m m
即a, b, c成等差 2b a c b是a与c的等差中项
数列an中，若对任意n N *, 都有
an
,
an1
,
an
成
2
等
差
，
则
该
数
列
是
等差
数
列.
探究二 等差中项的应用
【例 1】（1） 与 的等差中项是
（4）三个数成等差数列，和为 12，积为 48 ，则这三个数为
.
.
变式：在等差数列an 中，若 m n p q ，求证：am an a p aq
(2)若a1 a2 a3 7, a4 a5 a6 3， 则a10 a11 a12
(3)方程 x2 52 x m x252 x n 0的四个根
组成一个首项为 23的等差数列，则 m n ；
【思维拓展】: 数列{an}, a1 5, an 3an1 3n 1
例3 （1）求等差数列8,5,2，…的第20项；
（2）等差数列-5，-9，-13，…的第 几项是-401？ （3）等差数列-5，-9，-13，…，321的项数？
变式二：首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数， 则公差的取值范围是？
例4 等差数列 an 中，已知 a5 10, a12 31 （1）求 an; （2）判断数列的单调性； （3）若an 100 ，求 n的最小值；
《等差数列课》课件
等差为负数的等差数列
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
等差数列ppt
等差数列
如果您需要制作一个等差数列的，可以按照以下步骤进行：
第1步：选择一个适合的模板。
可以在PowerPoint或其
他在线制作平台上找到合适的模板，或者自己设计一个简
单的模板。
第2步：确定您想要在中展示的内容。
对于等差数列，您
可以包括以下内容：
- 等差数列的定义和概念
- 等差数列的通项公式
- 等差数列的性质和特点
- 等差数列的例题和解法
- 等差数列的应用实例
第3步：编写幻灯片内容。
在每个幻灯片上，您可以包括一个主题或概念，并使用文字、图表、图片或其他视觉元素来说明和解释。
第4步：选择合适的字体、颜色和布局。
确保您的易于阅读和理解，避免使用过多的文字和复杂的排版。
第5步：添加幻灯片动画和过渡效果。
您可以使用动画和过渡效果来增加的视觉吸引力，但请确保不要过度使用，以免分散观众的注意力。
第6步：预览和编辑幻灯片。
在最后一步进行最后的编辑和修饰，并确保所有幻灯片顺序正确，并且没有拼写错误或其他错误。
最后，保存您的，并准备用于演示或共享。
希望这些步骤可以帮助您制作一个出色的等差数列！。
等差数列及其通项公式ppt课件
新课探索
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的 前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列， 这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．
数列①、②、③均为等差数列， 它们的公差分别为－0.5，2%，4．
显然，若数列{an}为等差数列，那么它的递推关系为： an－an-1=d，n≥2 ； an+1－an = an－an-1，n≥2．
1.2.1 等差数列及其通项公式
温故知新
数列的通项公式： 如果数列{an}的第n项an，可以用关于n的一个公式表示，
那么这个公式就称为数列{an}的通项公式．
数列的递推公式： 如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可
用一个公式来表示，即an+1 =f (an)，n≥1，那么这个公式就叫作 数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件．
归纳小结
性质2 如果an，am，ap，aq为等差数列{an}的项，且n＋m=p＋q， （n，m，p，q∈N+）那么
an＋ am = ap＋ aq． 特别地，若n＋m=2p，那么 an＋ am = 2ap． 证明：记等差数列{an}的公差为d，则
an=a1＋(n－1)d， am=a1＋(m－1)d， ap=a1＋(p－1)d，aq=a1＋(q－1)d， 所以 an＋am =2a1＋(n＋m－2)d， ap＋aq=2a1＋(p＋q－2)d， 又 n＋m=p＋q，所以 an＋am = ap＋aq ．
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当n=1时，等式两边均为a1，这表明该等式对任意n∈N+都成立， 因此等差数列{an}通项公式为：
an=a1＋(n－1)d（n∈N+）
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答：擦掉的数是16。
总结பைடு நூலகம்
等差数列：
通项公式：
an a1 (n 1)d
求和公式：
Sn
(a1
an ) n 2
答：381是第64项。
小结
等差数列：
首项 项数
通项公式：
an a1 (n 1)d
第n项
公差
例题三
一批货箱，上面的标号是按等差数列排列的， 第一项是3.6，第五项是12，求它的第2项。
a5 a4d a1 4d
a1 3.6，a5 12代入上式，
12 3.6 4d， d 2.1 a2 a1 d 3.6 2.1 5.7
答：第二项是5.7。
练习三
有一个等差数列的第1项是2.4，第7项是26.4， 求它的第5项。
a7 a6d a1 6d
a1 2.4，a7 26.4代入上式，
26.4 2.4 6d，d 4， a5 a1 4d 2.4 4 4 18.4
答：第5项是18.4。
例题四
游乐园的智慧梯最高一级宽60厘米，最低一级宽 150厘米，中间还有9级，各级的宽度成等差数列，求 正中间一级的宽。
有一列数，0、2、4、6、8、……，擦掉其中的 一个数后，剩下的数的和为224。你能找出擦掉的这 个数是多少吗？
a1 0 d 2
假设这列数原来一个有n项，第n项为2（n-1）。 和：[0+2（n-1）]×n÷2=n（n-1） >224 当n=16时，16×（16-1）-224=16
当n=15时，15×（15-1）<224 当n=17时，17×（17-1）-224=48
知识导航
1，2，3，4，5，… 10，20，30，40，50，…
a1, a2 , a3 ,, an
公差
a2 a1 d
a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d
an a1 (n 1)d
通项公式
练习一
等差数列1，4，7，10，13，…的第20项和第89项。
a1 1, d 4 1 3, an a1 (n 1)d
580 8 n 4, n=（580+4）÷8=73
答：580是第73项。
练习二
等差数列3，9，15，21，…中，381是第几项？
a1 3, d 9 3 6, an a1 (n 1)d
3 (n 1) 6 6n 3
我们把381代入 an，
381 6 n 3, n=（381+3）÷6=64
把最高一级作为第1项，a1 30，
最低一级作为第15项，a15 100，
正中间一级是第8项， a8 (a1 a15 ) 2 (100 30) 2 65
答：正中间一级的宽是65厘米。
例题五（选讲）
有一列数，0、1、2、3、4、……，粗心的阿派 在计算这列数的和时漏算了一个数，得出剩下的数 的和为199。你知道漏算的是哪个数吗？
a1 0 d 1
假设这列数原来一个有n项，第n项为n-1。 和：（0+n-1）×n÷2=n（n-1）÷2 >199 当n=21时，21×（21-1）÷2-199=11
当n=20时，20×（20-1）÷2<199 当n=22时，22×（22-1）÷2-199=32
答：漏算的数是11。
练习五（选讲）
把最高一级作为第1项，a1 60，
最低一级作为第11项，a11 150，
正中间一级是第6项，a6 (a1 a11) 2
(150 60) 2
105 答：正中间一级的宽是105厘米。
练习四
梯子的最高一级宽30厘米，最低一级宽100厘米， 中间还有13级，各级的宽度成等差数列，求正中间 一级宽是多少？
1 (n 1) 3 3n 2
a20 3 20 2 58 a89 389 2 265
答：第20项是58，第89项是265。
例题二
等差数列4，12，20，…中，580是第几项？
a1 4, d 12 4 8 an a1 (n 1)d
4 (n 1) 8 8n 4
我们把580代入 an
总结பைடு நூலகம்
等差数列：
通项公式：
an a1 (n 1)d
求和公式：
Sn
(a1
an ) n 2
答：381是第64项。
小结
等差数列：
首项 项数
通项公式：
an a1 (n 1)d
第n项
公差
例题三
一批货箱，上面的标号是按等差数列排列的， 第一项是3.6，第五项是12，求它的第2项。
a5 a4d a1 4d
a1 3.6，a5 12代入上式，
12 3.6 4d， d 2.1 a2 a1 d 3.6 2.1 5.7
答：第二项是5.7。
练习三
有一个等差数列的第1项是2.4，第7项是26.4， 求它的第5项。
a7 a6d a1 6d
a1 2.4，a7 26.4代入上式，
26.4 2.4 6d，d 4， a5 a1 4d 2.4 4 4 18.4
答：第5项是18.4。
例题四
游乐园的智慧梯最高一级宽60厘米，最低一级宽 150厘米，中间还有9级，各级的宽度成等差数列，求 正中间一级的宽。
有一列数，0、2、4、6、8、……，擦掉其中的 一个数后，剩下的数的和为224。你能找出擦掉的这 个数是多少吗？
a1 0 d 2
假设这列数原来一个有n项，第n项为2（n-1）。 和：[0+2（n-1）]×n÷2=n（n-1） >224 当n=16时，16×（16-1）-224=16
当n=15时，15×（15-1）<224 当n=17时，17×（17-1）-224=48
知识导航
1，2，3，4，5，… 10，20，30，40，50，…
a1, a2 , a3 ,, an
公差
a2 a1 d
a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d
an a1 (n 1)d
通项公式
练习一
等差数列1，4，7，10，13，…的第20项和第89项。
a1 1, d 4 1 3, an a1 (n 1)d
580 8 n 4, n=（580+4）÷8=73
答：580是第73项。
练习二
等差数列3，9，15，21，…中，381是第几项？
a1 3, d 9 3 6, an a1 (n 1)d
3 (n 1) 6 6n 3
我们把381代入 an，
381 6 n 3, n=（381+3）÷6=64
把最高一级作为第1项，a1 30，
最低一级作为第15项，a15 100，
正中间一级是第8项， a8 (a1 a15 ) 2 (100 30) 2 65
答：正中间一级的宽是65厘米。
例题五（选讲）
有一列数，0、1、2、3、4、……，粗心的阿派 在计算这列数的和时漏算了一个数，得出剩下的数 的和为199。你知道漏算的是哪个数吗？
a1 0 d 1
假设这列数原来一个有n项，第n项为n-1。 和：（0+n-1）×n÷2=n（n-1）÷2 >199 当n=21时，21×（21-1）÷2-199=11
当n=20时，20×（20-1）÷2<199 当n=22时，22×（22-1）÷2-199=32
答：漏算的数是11。
练习五（选讲）
把最高一级作为第1项，a1 60，
最低一级作为第11项，a11 150，
正中间一级是第6项，a6 (a1 a11) 2
(150 60) 2
105 答：正中间一级的宽是105厘米。
练习四
梯子的最高一级宽30厘米，最低一级宽100厘米， 中间还有13级，各级的宽度成等差数列，求正中间 一级宽是多少？
1 (n 1) 3 3n 2
a20 3 20 2 58 a89 389 2 265
答：第20项是58，第89项是265。
例题二
等差数列4，12，20，…中，580是第几项？
a1 4, d 12 4 8 an a1 (n 1)d
4 (n 1) 8 8n 4
我们把580代入 an