山东省鱼台一中2013届高三上学期期末模拟数学文试题

鱼台一中2012—2013学年高三1月模拟考试
数学（文）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则A B = （ ） A ．}{3,5 B ．}{3,6 C ．}{3,7 D ．}{3,9 2．若条件p ：
，条件q ：652-<x x ，则p 是q 的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．已知向量),1(n a =
，)2,1(--=n b ，若a 与b 共线.则n 等于（ ）
A ．1
B ．
C ．2
D ．4
4．已知1sin()43
π
α-=
，则cos(
)4
π
α+的值等于（ ）
A ．
3
B ．—
3
C ．
13
D ．—
13
5．已知1,,,a a a a 234都是非零实数，则“1a a a a 423=”是“1,,,a a a a 2
34
”成等比数列的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C. 充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知三个平面,,αβγ，若βγ⊥，且αγ与相交但不垂直，,a b 分别为,αβ内的直线，则（ ）
A ．,//a a αγ∃⊂
B ．,a a αγ∃⊂⊥ C. ,//b b βγ∀⊂ D ．,b b βγ∀⊂⊥ 7.在
ABC
∆中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边，且
2
2
sin sin (sin sin )sin A C A B B -=-，则角C 等于( )-
A B C D 8.已知命题x x x p 32),0,(:<-∞∈∃；命题6)(,2
3+-=∈∀x x x f R x q ：的极大值为6.则
下面选项中真命题是（ ）
A.)()q p ⌝∧⌝（
B.)()q p ⌝∨⌝（
C.)(q p ⌝∨
D.p q ∧ 9．已知向量(2,1),(1,)a b k ==
且a 与b 的夹角为锐角，则k 的取值范围是（ ）
Ａ．∞（-2,+）
B ．(,2)-∞- D ．(2,2)- 10．已知21F F 、分别是双曲线
C ：
（a ＞0，0b >）的左、右焦点，B 是虚
轴的端点，直线1F B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，若则C 的离心率是（ ）
11．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2
=2-，则()f 1=（ ） A ．-3 B. -1 Ｃ.１ Ｄ.３ 12．已知函数2
()c o s ()
f n n n π=，且
()(1)
n a f n f n =++，则
123100a a a a ++++=
（ ）
A ． 0
B ．100-
C ．100
D ．10200 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知角α的终边上一点的坐标为)6
5cos ,6
5(sin
π
π，则角α
的最小正值为 .
14.已知)1('2)(2xf x x f +=，则=)0('f . 15.已知函数)(x g y =的图象由x x f 2sin )(=的图象向右 平移)0(πϕϕ<<个单位得到，这两个函数的部分图象如图 所示，则ϕ= .
16.已知定义在R 的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且]2,0[∈x 时，)1(l o g )(2+=x x f ，下面四种说法①1)3(=f ；②函数)(x f 在［-6，-2］上是增函数；③
函数)(x f 关于直线4=x 对称；④若)1,0(∈m ，则关于x 的方程0)(=-m x f 在［-8，8］上所有根之和为-8，其中正确的序号 .
三、解答题：本大题共6个小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分） 已知p ：1123
x --
≤，q ：(1)(1)0(0)x m x m m -+--≤>， 且q 是p 的必要不充分
条件，求实数m 的取值范围。

18．（本小题满分12分）
已知函数2
1()cos
cos
444
2
x x x f x =
++。

（1）求)(x f 的周期和及其图象的对称中心；
（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，满足,cos cos )2(C b B c a =- 求函数)(A f 的取值范围。

19．（本小题满分12分） 已知椭圆:
C 222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>
2
，一条准线:2l x =．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于,P Q 两点．
①若PQ =D 的方程；
②若M 是l 上的动点，求证：点P 在定圆上，并求该定圆的方程．
20．（本小题满分12分）
已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(2
3
=++-=，
（1）若)(x f 在⎪⎭
⎫
⎢
⎣
⎡-
∈1,21
x 上的最大值为83，求实数b 的值；
（2）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设()()⎩
⎨⎧≥<=1,1
,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y = 上
是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由。

21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P A B C D -中，P A ⊥平面A B C D ，四边形A B C D 是矩形，E ，F 分别是A B ，
P D 的中点．若3P A A D ==，C D =
（1）求证： //A F 平面PC E ；
（2）求直线F C 平面PC E 所成角的正弦值。

22．（本小题满分12分）
已知函数()ln()x f x e a =+(a 为常数)是实数集R 上的奇函数,函数()()sin g x f x x λ=+是区
间[1,1]-上的减函数。

（1）求()g x 在[1,1]x ∈-上的最大值；
（2）若2()1g x t t λ≤++对[1,1]x ∀∈-及(],1λ∈-∞-恒成立,求t 的取值范围； （3）讨论关于x 的方程2
ln ()
2x f x x ex m =-+的根的个数。

参考答案:
1-5 DBADB 6-10 ABBBB 11-12 AB 13.
3
2π； 14.-4； 15.
3
π
16.①④
17．由
112
3
x --
≤ ⇒
1212
3
x --≤
-≤
⇒ 210x -≤≤
即p 为：[2,10]-
而q 为：[1,1]m m -+， 又q 是p 的必要不充分条件， 即p q ⇒
所以 12
110m m -≤-⎧⎨+≥⎩
⇒ 9m ≥
即实数m 的取值范围为[9,)+∞。

18．（1）由1()cos 1sin()12
2
2
2
2
6
x x x f x π
=++=+
+,
)(x f ∴的周期为4π.
由sin(
)0,22
6
3
x x k π
π
π+
==-
得, 故()f x 图象的对称中心为(2,1),3
k k Z π
π-
∈. 7分
（2）由,cos cos )2(C b B c a =-得C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-，
,cos sin sin cos cos sin 2C B C B B A =-∴ )sin(cos sin 2C B B A +=∴ ，π=++C B A ，
,0sin ,sin )sin(≠=+∴A A C B 且.3
20,3
,2
1cos ππ
<
<=
=
∴A B B
1
,
sin(
)1,6
2
6
222
6
A A π
π
ππ
∴
<
+
<
<+
<故函数)(A f 的取值范围是3(,2)2。

19．（1
）由题设：2
2
2c a a
c
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，1a c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，2221b a c ∴=-=，
∴椭圆C
的方程为：
2
2
12
x
y +=
（2）①由（1）知：(1,0)F ，设(2,)M t ，
则圆D 的方程：2
2
2
(1)()124
t t
x y -+-=+
，
直线PQ 的方程：220x ty +-=，
PQ ∴=
∴=
，
2
4t ∴=，2t ∴=±
∴圆D
的方程：22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y -++=
②解法（一）：设00(,)P x y ，
由①知：2
2
2000
0(1)()124220
t t x y x ty ⎧-+-=+
⎪⎨⎪+-=⎩，
即：2200000020220x y x ty x ty ⎧+--=⎪
⎨+-=⎪⎩
，
消去t 得：2200x y +=2
∴点P 在定圆22x y +=2上．
20．（1）由()32f x x x b =-++，得()()23232f x x x x x '=-+=--，
令()0f x '=，得0x =或23
．
由1
3
()2
8f b -=
+，24()327f b =+，12
()()23
f f ∴->，
即最大值为133()2
8
8
f b -=
+=
，0b ∴=．
（2）由()()22g x x a x ≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-．
[]1,,ln 1x e x x ∈∴≤≤ ，且等号不能同时取，ln ,ln 0x x x x ∴<->即， 2
2ln x x a x x
-∴≤
-恒成立，即2
m in 2(
)ln x x a x x
-≤-．
令()[]()2
2,1,ln x x t x x e x x
-=
-，求导得，()()()
()
2
12ln ln x x x t x x x -+-'=
-，
当[]1,x e ∈时，10,ln 1,2ln 0x x x x -≥≤+->，从而()0t x '≥，
()t x ∴在[]1,e 上为增函数，()()min 11t x t ∴==-，1a ∴≤-． （3）由条件，()32,1
ln ,
1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩，
假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧， 不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠．
POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形， 0
O P O Q ∴⋅=
，()()2320t f t t t ∴-++= ()* ，
是否存在,P Q 等价于方程()*在0t >且1t ≠时是否有解．
①若01t <<时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=， 此方程无解；
②若1t >时，()*方程为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t t
a
=+，
设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1
ln 1h t t t '=++，
显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数，
()h t ∴的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞， ∴当0
a >时，方程()*总有解．
∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x = 上总存在两点,P Q
，使得POQ ∆是以O （O 为
坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上． 21．（1）取PC 的中点G ，连结EG ，FG ，又由F 为PD 中点，
14
21则 F G //
CD 2
1.
又由已知有.//,2
1
//AE FG CD AE ∴ ∴四边形AEGF 是平行四边形.
.//EG AF ∴
又 AF 平面PEC , EG .PCE 平面⊆PCE AF 平面//∴ （2）,ABCD PA 平面⊥
.
,,,
EG PC D PC D F FH PC H PC D PC E PC ∴⊥∴⊥= 平面平面内过作于由于平面平面 故.所成的角与平面为直线PCE FC FCH ∠
1,30.2P D P F P C C D P A D C P D F H P F ==
=⊥∴∠=∴=
=
由已知可得由于平面
2
sin 14
FC FH FC H FC
∴==∴=
=
∴直线FC 与平面PCE 所成角的正弦值为.
22．（1）)ln()(a e x f x
+=是奇函数， 则)ln()ln(a e a e
x
x
+-=+-恒成立.
.1))((=++∴-a e a e
x x
.0,0)(,112
=∴=++∴=+++--a a e
e a a
ae
ae
x
x
x
x
又)(x g 在[－1，1]上单调递减，,1sin )1()(max --=-=∴λg x g （2）2
sin 11t t λλ--≤++只需在(],1λ∈-∞-上恒成立, (]2
(1)sin 1101.t t λλ∴++++≥∈∞在－，－恒成立
令),1(11sin )1()(2
-≤++++=λλλt t h 则⎩⎨⎧≥+++--≤+,
011sin 10
12
t t t
221sin 10,sin 10
t t t t t ≤-⎧∴-+≥⎨-+≥⎩而恒成立1-≤∴t . （3）由（1）知,2ln ,)(2
m ex x x
x x x f +-=∴=方程为 = =
令m ex x x f x
x
x f +-==
2)(,ln )(2
21，
2
1ln 1)(x
x x f -=
' ，
当],0()(,0)(,),0(11e x f x f e x 在时∴≥'∈上为增函数； ),0[)(,0)(,),[11e x f x f e x 在时∴≤'+∞∈上为减函数，
当e x =时，.1)()(1max 1e
e f x f ==
而222)()(e m e x x f -+-=，
)(1x f 函数∴、)(2x f 在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当e e m e e m 1,12
2+>>
-即时，方程无解. ②当e e m e e m 1,12
2
+==-即时，方程有一个根. ③当e
e m e
e m 1,122
+
<<
-即时，方程有两个根.。