高中数学常见题型解法归纳-函数的定义域常见求法

高中数学常见题型解法归纳-函数的定义域常见求法

【知识要点】

一、函数的定义域的定义

函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.

二、求函数的定义域的主要依据

1、分式的分母不能为零.

2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中奇次方根的被开方数取全体实数，即中，.

3、指数函数的底数必须满足.

4、对数函数的真数必须大于零，底数必须满足.

5、零次幂的底数不能为零，即中.

6、正切函数的定义域是.

7、复合函数的定义域的求法

（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域.

（2）已知复合函数的定义域为，求原函数的定义域：只需根据求出函数的值域，即得原函数的定义域.

8、求函数的定义域

一般先分别求函数和函数的定义域和，再求，则就是所求函数的定义域.

9、求实际问题中函数的定义域

不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义.

三、函数的定义域的表示

函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上是集合的一种特殊表示形式.

四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法.

五、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则.

研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域.之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便. 【方法讲评】

【例1】求函数的定义域.

【点评】对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即得到函数的定义域.

【反馈检测1】求函数的定义域.

函数是由一些函数四则运算得到的，即函数的形式为型.

一般先分别求函数和的定义域和,再求,就是函数的定义

域.

【例2】求函数+的定义域.

【解析】由题得

所以函数的定义域为

【点评】（1）求函数的定义域，一般先求和函数的定义域和，再求，则就是所求函数的定义域.（2）该题中要考虑偶次方根的被开方数是非负数，对数函数的真数大于零，列不等式求函数的定义域时，必须考虑全面，不能漏掉限制条件.（3）解不等式

时，主要是利用余弦函数的图像解答.（4）求的解集时，只需给参数赋几个整数值，再通过数轴求交集.（5）注意等号的问题，其中只要有一个错误，整个解集就是错误的，所以要仔细认真.

【例3】求函数的定义域.

【点评】（1）该题中要考虑真数大于零，分式的分母不能为零，零次幂的底数不能为零，考虑要全面，不要遗漏.（2）求不等式的交集一般通过数轴完成.

【例4】求函数的定义域.

【解析】由题得

【点评】（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论.（2）对于指数函数和对数函数，如果已知条件中，没有给定底数的取值范围，一般要分类讨论.

【反馈检测2】求函数的定义域.

利用抽象复合函数的性质解答：（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域.（2）

已知复合函数的定义域为，求原函数的定义域：

只需根据求

出函数的值域，即得原函数的定义域.

【例5】求下列函数的定义域：

（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；

（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域；

（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域.

【点评】（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域.第1小题就是典型的例子.（2）已知复合函数

的定义域为，求原函数的定义域：只需根据求出函数的值域，即得原函数

的定义域.第2小题就是典型的例子.（3）求函数的定义域，一般先分别求函数

和函数的定义域和，再求，则就是所求函数的定义域.

【反馈检测3】已知函数的定义域为，求函数的定义域.

【反馈检测4】若函数的定义域为，求函数的定义域.

【例6】用长为的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）.若矩形底边长为，求此框架围成的面积与关于的函数解析式，并求出它的定义域.

【解析】如图，

【点评】（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义，还要保证满足实际意义.（2）

该题中在考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都有意义，即，不能遗漏.

【反馈检测5】一个圆柱形容器的底部直径是,高是.现在以的速度向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度关于注入溶液的时间的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.

函数定义域的常见求法参考答案

【反馈检测1答案】

【反馈检测1详细解析】由题得

所以.

【反馈检测2答案】当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为.

【反馈检测3答案】

【反馈检测3详细解析】由题得，所以函数的定义域为. 【反馈检测4答案】

【反馈检测4详细解析】依题意知：解之得∴的定义域为

【反馈检测5答案】函数解析式为,函数的定义域为{|0≤≤}，值域为{|0≤≤}. 【反馈检测5详细解析】向容器内注入溶液经历时间为秒后,容器中溶液的高度为.故秒后溶液的体

积为＝底面积×高＝π2＝解之得：＝又因为0≤x≤h 即0≤≤h 0≤t≤

，故函数的定义域为{|0≤≤}，值域为{|0≤≤}.