高中数学专题：抽象函数常见题型解法

抽象函数常见题型解法综述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

一、定义域问题
例1. 已知函数
)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21
[，-，求函数)]
3([log 2
1x f -的定义域。

二、求值问题
例 3. 已知定义域为+
R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①
51
)6(1)2(=
=f f ，；②
)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

三、值域问题
例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

解：令0==y x ，得2
)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。

若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。

由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有
)]2([)2()2()22()(2≥==+=x
f x f x f x x f x f
下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ，
设存在
R
x ∈0，使得
)(0=x f ，则
)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f
这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ， 所以0)(>x f
评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。

四、解析式问题
例5. 设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1
(
)(，求f （x ）的
解析式。

解：在
)
1(1)1
(
)(x x
x f x f +=-+中以x x 1
-代换其中x ，得：
)
2(1
2)11()1(
x
x x f x x f -=--+-
再在（1）中以
11
--
x 代换x ，得
)
3(1
2)()11(--=+--
x x x f x f
)3()2()1(+-化简得：
)1(21
)(23---=
x x x x x f 评析：如果把x 和x x 1
-分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。

通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

五、单调性问题
例 6. 设f （x ）定义于实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，且对于任意实数x 、y ，有
)()()(y f x f y x f ⋅=+，求证：)(x f 在R 上为增函数。

证明：在)()()(y f x f y x f =+中取0==y x ，得2
)]0([)0(f f =
若0)0(=f ，令00=>y x ，，则0)(=x f ，与1)(>x f 矛盾 所以0)0(≠f ，即有1)0(=f
当0>x 时，01)(>>x f ；当0<x 时，01)(0>>->-x f x ， 而1)0()()(==-⋅f x f x f
所以
0)(1
)(>-=
x f x f
又当0=x 时，01)0(>=f
所以对任意R x ∈，恒有0)(>x f
设+∞<<<∞-21x x ，则1)(01212>->-x x f x x ， 所以)()()()]([)(11211212x f x x f x f x x x f x f >-=-+= 所以)(x f y =在R 上为增函数。

评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

六、奇偶性问题 例
7. 已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有
)()()(2121x f x f x x f +=⋅，试判断函数f （x ）的奇偶性。

解：取11
21=-=x x ，得：)1()1()1(f f f +-=-，所以0)1(=f 又取121-==x x 得：)1()1()1(-+-=f f f ，所以0)1(=-f 再取121-==x x x ，则)()1()(x f f x f +-=-，即)()(x f x f =- 因为)(x f 为非零函数，所以)(x f 为偶函数。

七、对称性问题
例8. 已知函数)(x f y =满足2002)()(=-+x f x f ，求)2002()(1
1
x f
x f
-+--的值。

解：已知式即在对称关系式b x a f x a f 2)()(=-++中取20020==b a ，，所以函数)(x f y =的图象关于点（0，2002）对称。

根据原函数与其反函数的关系，知函数)(1
x f y -=的图象关于
点（2002，0）对称。

所以0)1001()1001(1
1
=-++--x f
x f
将上式中的x 用1001-x 代换，得0)2002()(1
1
=-+--x f
x f
评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a 、b 均为常数，函数)(x f y =对一切实数x 都满足b x a f x a f 2)()(=-++，则函数)(x f y =的图象关于点（a ，b ）成中心对称图形。

八、网络综合问题
例9. 定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意实数m ，n ，总有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当x>0
时，0<f （x ）<1。

（1）判断f （x ）的单调性；
（2）设
)}1()()(|){(2
2f y f x f y x A >⋅=，， }1)2(|){(R a y ax f y x B ∈=+-=，，，若∅=B A ，试确定a 的取值范围。

解：（1）在)()()(n f m f n m f ⋅=+中，令01==n m ，，得)0()1()1(f f f ⋅=，因为0)1(≠f ，
所以1)0(=f 。

在)()()(n f m f n m f ⋅=+中，令x n x m -==， 因为当0>x 时，1)(0<<x f 所以当0<x 时1)(00<-<>-x f x ， 而1)0()()(==-⋅f x f x f
所以
01)(1
)(>>-=
x f x f
又当x=0时，01)0(>=f ，所以，综上可知，对于任意R x ∈，均有0)(>x f 。

设+∞<<<∞-21x x ，则1)(001212<-<>-x x f x x ， 所以)()()()]([)(11211212x f x x f x f x x x f x f <-⋅=-+= 所以)(x f y =在R 上为减函数。

（2）由于函数y=f （x ）在R 上为减函数，所以
)1()()()(2
222f y x f y f x f >+=⋅ 即有
12
2<+y x 又
)0(1)2(f y ax f ==+-，根据函数的单调性，有02=+-y ax
由∅=B A ，所以直线02=+-y ax 与圆面12
2<+y x 无公共点。

因此有1
1
2
2
≥+a ，
解得11≤≤-a 。

评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f （0）的取值问题，二是f （x ）>0
的结论。

这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。

由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。