抽象函数常见题型解法

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抽象函数常见题型解法

抽象函数常见题型解法一、定义域问题例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。

解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。

例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。

解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

这类问题实质上相当于已知的值域B，且，据此求x的取值范围。

例2和例1形式上正相反。

二、求值问题例3. 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f(3)，f(9)的值。

解：取，得因为，所以又取得评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的f(3)沟通了起来。

赋值法是解此类问题的常用技巧。

三、值域问题例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。

解：令，得，即有或。

若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。

由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。

四、解析式问题例5. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。

解：在中以代换其中x，得：再在(1)中以代换x，得化简得：评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。

通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

五、单调性问题例6. 设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。

高一数学抽象函数常见题型解法综述

抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x从而函数f （x ）的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。

解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得4111)21(3)21(2)3(log 11221≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 21x f -的定义域是]4111[，评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。

例2和例1形式上正相反。

二、求值问题例3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=因为51)6(1)2(==f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x ，得58)3()3()9(-=+=f f f 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32==y x ，，这样便把已知条件51)6(1)2(==f f ，与欲求的f （3）沟通了起来。

抽象函数_题型大全(例题_含答案)

高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象.学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难.学好这部分知识.能加深学生对函数概念的理解.更好地掌握函数的性质.培养灵活性；提高解题能力.优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式.从而求出()f x .这也是证某些公式或等式常用的方法.此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法：在已知(())()fg xh x =的条件下.把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式.再利用代换即可求()f x .此解法简洁.还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x xx+=+.求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-.(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型.设定函数关系式.再由已知条件.定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数.且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++.则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数.∴()f x 的定义域关于原点对称.故先求x <0时的表达式。

抽象函数常见解法及意义总结

含有函数记号“()f x ”有关问题解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u uf u u u-=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

归纳抽象函数常见题型及解法

5归纳抽象函数常见题型及解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数•由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，对函数性质通过代数表述给出•抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交汇处设计，高考对抽象函数的要求是考查函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能•为了扩大读者的视野，特就抽象函数常见题型及解法评析如下.一、函数的基本概念问题 1 •抽象函数的定义域问题2 例1 已知函数f(x )的定义域是［1 , 2］,求f (X)的定义域.2 2解：由f(x )的定义域是［1 , 2］,是指1 ≤ X ≤ 2 ,所以1 ≤x ≤ 4, 即函数f(x)的定义域是［1 , 4］ • 评析：一般地，已知函数 f ［ (X)］的定义域是A,求f (X)的定义域问题，相当于已知 f ［ (X)］中X 的取值范围为A 据此求 (X)的值域问题.例2已知函数f (X)的定义域是［—1, 2］,求函数f ［log 1(3 X)］的定义域.2解：由f (X)的定义域是［—1, 2］,意思是凡被f 作用的对象都在［—1 , 2］中，由此易得 f(x)的定义域是A,求函数f ( (X))的定义域.正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键•一般地，若函数f (X)的定义域是A,则X 必须是A 中的元素，而不能是 A以外的元素，否则，f (X)无意义.因此，如果f(χo )有意义，则必有x o A 所以，这类问题实质上相当于已知 (X)的值域是A,据此求X 的取值范围，即由(X) A 建立不等式，解出 X 的范围•例2和例1形式上正相反.2 •抽象函数的求值问题1例3已知定义域为R 的函数f(x),同时满足下列条件：①f(2) = 1, f (6)=1:②f(x y)=f(x) + f(y),求 f(3)、f(9)的值.—1≤ log 1 (3 — X )≤ 2 (1) 2 ≤ 3 — X ≤( 1) 12 2111 ≤ X ≤4•••函数f[∣og 1(3X )］的定义域是［1 , 7]评析：这类问题的一般形式是：已知函数解：取 X = 2 , y = 3 ,得 f(6)= f(2) + f (3),1 4•• f(2) = 1 , f(6)= ,∙∙∙ f(3)=-5 5又取 X = y = 3 ,得 f (9) = f (3) + f (3) =- 8.51评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地取X = 2 , y = 3 ,这样便把已知条件f (2) = 1 , f (6)= 与欲求的5f(3)沟通了起来.这是解此类问题的常用技巧.3.抽象函数的值域问题例4设函数f (x)定义于实数集上，对于任意实数 X 、y, f (x + y) = f (x) f (y)总成立，且存在 X I ≠χ设存在 X 0 ∈ R 使得 f ( X 0) = 0 ,则 f (0) = f ( X 0 — x 0) = f ( X 0) f ( — x 0) = 0 这与f (0) ≠0矛盾，因此，对任意 X∈ R f (x) ≠0. 所以 f (x) > 0.4 .抽象函数的解析式问题1 2x 一 1f (———)=,⑵使得f (X 1 ) ≠ f ( X 2 ),求函数f (X)的值域.解：令 X = y = 0 ,得 f (0) = f 2(0),即有 f (0) = 0若 f (0) = 0 ,贝U f (X) = f (X + 0) = f (X) f (0) 由于 f (X + y)==f (X)f (y) 对任意X 、 y ∈R 均成立, XZX X 上，x 、 r X2f (X) = f (- + —) =(―) f (―)=[f (―)] 2 ≥2 22 22下面只需证明，对任意x ∈ R f (0) ≠0 即可.或 f (0) = 1 .,对任意X ∈R 均成立，这与存在实数 X I ≠χ 2 ,使得因此，对任意 x∈ R 有评析：在处理抽象函数的问题时, 往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是般向特殊转化的必要手段.式.解：在设对满足 X≠0, X≠1的所有实数X,函数f (X)满足f (X) + f (X 1)=1 + X ,求f (X)的解析Xf (X) + f (+ X , (1)X 1中以代换其中X ,得:Xf (x 1 ) ≠ f ( X 2 )成立矛盾•故 f (0) ≠0,即 f (0) =1X 1 X1 1 X 2再在(1)中以一——代换X,得:f(———)+ f (X)= ------------------- , ⑶X 1 X 1 X 13 2 1(1) — (2) + ⑶ 化简得：f(x) = -__X——.2X(X— 1)X 1评析：如果把X和-一1分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键•通常情况下，X给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略.二、寻觅特殊函数模型问题1 •指数函数模型例6 设f (X)定义于实数集 R上，当x>0时，f (X) > 1 ，且对于任意实数 X、y ,有f (x + y) = f (X)∙ f (y)，同时f (1) = 2 ,解不等式f (3x — X2 ) >4•联想：因为a x y= a X∙a y(a > 0，a≠ 1),因而猜测它的模型函数为f(x) = a x (a > 0，a≠ 1)(由f(1) = 2 ，还可以猜想f (X) = 2 x) •思路分析：由f(2)= f (1 1)=f(1)∙ f (1)= 4 ,需解不等式化为f(3x — X2 ) > f (2) •这样，证明函数f(x) 的(由f (X) = 2 X ,只证明单调递增)成了解题的突破口.解：由f (x + y) = f (x) ∙ f (y)中取 X =y = 0 2得f (0) = f (0),若f (O) = 0 ,令 x> 0 , y = 0 ,则f(X)=0 ,与f (X) > 1 矛盾.∙∙∙ f (0) ≠ 0 ,即有f (0)= 1当X > 0时,f (X) > 1 > 0 ,当XV 0 时，—X > 0 , f ( — X) > 1> 0 ,而f(X) •f ( — x) = f (0) = 1∙∙∙ f(X)=1 > 0 •f( X)又当X = 0 时，f (0) = 1 > 0 ,∙ X∈R , f (X) > 0 •设一∞V X I V X 2 V +∞ ,贝y X 2 —X 1 > 0 ,f ( X 2 —X I) > 1•∙ f ( X 2) =f [ X I + ( X 2 - X1 )]= :f (X1) f ( X 2 — X1 ) > f ( X I ) •∙∙∙ y = f在R上为增函数(X)又∙∙∙ f! ,∙ f (3x — X2) > f (1) • f (1) = f (1 + 1) = f (2),由f (X)的单调递增性质可得: (1) = 23x — x 2> 2,解得 K XV 2. 2. 对数函数模型1例7已知函数f (X)满足：⑴f (1) = 1;⑵函数的值域是［—1, 1］;⑶在其定义域上单调递减；⑷ f (X) +2I I1 1f(y)= f (X ∙ y)对于任意正实数x 、y 都成立•解不等式 f (x) ∙ f () ≤ 1 X 2以猜测它的模型函数为 f (X) =log I X 且f 1 (x)的模型函数为f 1(x) = (1)x .22思路分析：由条件⑵、⑶知,f(x)的反函数存在且在定义域［—1, 1］上递减，由⑴知f 1(1) =- •剩下的只需2由f 1(x)的模型函数性质和运算法则去证明 f 1(X 1) ∙ f 1(X 2) = f 1(X 1 X 2),问题就能解决了.解：由已知条件⑵、⑶知，f (x)的反函数存在，且 f 1(1)=—,又在定义域［—1 , 1］上单调递减.2设 y 1= f 1 (X 1), y 2 = f 1(X 2),则有 χ1=f (yj , χ2=f ( y 2)，1∙∙∙χ 1 + X 2 =f (y 1) + f ( y 2) = f (y 1y 2),即有 yd 2=f (X 1 + X 2).∙∙∙ f 1(x 1) ∙ f 1(x 2) = f 1(X 1 X 2),于是，原不等式等价于：11 11f (X )f (1),X11 X1 X1 ,11 X 1 ,1 X1,1 X1 XX = 0 .1 X 1,1 X 1,111 - 1 .1 1 . 1 X1 X故原不等式的解集为{0}.解这类冋题可以通过化抽象为具体的方法，即通过联想、分析，然后进行类比猜测，经过带有非逻辑思维成份的推理，即可寻觅出它的函数模型，由这些函数模型的性质、法则来探索此类问题的解题思路.3 •幕函数模型例8 已知函数f (x)对任意实数x 、y 都有f (Xy) = f (x) ∙ f (y),且f( 1) =1, f (27) =9,当0≤XV 1时, 0≤f (x) V 1 时.⑴判断f(x)的奇偶性；联想：因为 Iog a (X ∙ y) = Iog X + log a y,而 Iog1 丄=1 , y = Iog2 21 X 在其定义域［—1, 1］内为减函数，所 2⑵判断f (X)在[0,+∞ )上的单调性，并给出证明；⑶若a≥0且f (a 1) ≤ 39 ,求a的取值范围.2 联想：因为X n∙y n = (X ∙ y)n，因而猜测它的模型函数为 f (x) = X n (由f(27)=9,还可以猜想f (x) = X ).2思路分析：由题设可知 f (X)是幕函数y = X1的抽象函数，从而可猜想 f (X)是偶函数，且在[O,+∞ )上是增函数.解：⑴令 y = -1 ,则f( X) = f(X) ∙f( 1),∙∙∙ f( 1)=1,∙∙∙ f ( X)= f(X),即f (X)为偶函数.⑵若X≥0,贝y f(X)= f (、. X X) = f X) ∙ f (、. x) =[ f ( '一X)] 2≥0.设 0≤χ I VX2 ,则 0≤ 0 V 1,X2X1X1∙ f (X I)= f (一X2)=f( I)∙ f (X2 ),X2X2∙.∙当 x≥0 时f (x) ≥0,且当0≤X V 1 时，0≤ f (x) V 1.∙0≤ f (XI) V 1, ∙ f (x1) V f (X2),故函数f (x)在[0 ,+∞ )上是增函数.X2⑶∙∙∙ f (27)=9 ,又f(3 9)= f (3) ∙f(9)=f(3) ∙f(3) ∙f(3) = [ f (3) ] 3,∙ 9 = [ f(3)] 3 ,∙∙∙ f(3) =39 ,∙∙∙ f (a 1) ≤ 39 ,∙ f (a 1) ≤ f(3),τa≥0 , (a + 1), 3 [0 , +∞ ),函数在[0 , +∞ )上是增函数.∙a+ 1 ≤ 3,即a≤ 2 ,又a≥0,故0≤a≤2.三、研究函数的性质问题1•抽象函数的单调性问题例9 设f (x)定义于实数集上，当x>0时，f(X)> 1 ,且对于任意实数 X、y ,有f (x + y) = f (x) ∙ f (y), 求证：f （X）在R上为增函数.证明：由f (x + y) = f (x) f (y)中取 X = y = 0 ,得f (O) = f 2(0),若f (O) = O ，令 x> O, y = O，贝U f (x) = O ，与f(X)> 1 矛盾..∙. f (O) ≠0,即有f (O) = 1 .当 X>O 时，f (X) > 1 > O,当 X V O 时，一X>O, f ( — x) > 1> O,1而f (X) ∙ f ( — X) = f (O) = 1 ------------------ ,∙∙∙ f (X) = > O .f( X)又当 X = O 时，f (O) = 1 > O ,∙ X ∈ R f (x) > O.设一∞V X I Vx2 V +∞,贝U x2— X I >O, f ( X 2— X I ) > 1.∙ f ( X 2) = f [ X I + ( X 2 — x1 )] = f (X 1 ) f ( X 2 — x1 ) > f ( X I ).∙ y = f (X)在R上为增函数.评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，而变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联.2.抽象函数的奇偶性问题例1O已知函数f (x) (X ∈ R, x≠O)对任意不等于零实数x1' X2都有f (x 1∙χ 2 ) = f (x 1) + f (x 2 ), 试判断函数f (X)的奇偶性.解：取 X I =— 1, X2 = 1 得：f( — 1) = f ( — 1) + f (1) , ∙ f (1) = O .又取 x1 = X 2 =— 1 得：f (1) = f ( — 1) + f ( — 1) , ∙ f ( — 1) = O .再取 x1 = X , X 2 = — 1 则有f( — x) = f ( — 1) + f (x),即f( — x) = f (x),∙∙∙ f (X)为非零函数，∙ f (X)为偶函数.3.抽象函数的周期性问题例11函数f(X)定义域为全体实数，对任意实数a、b,有f (a + b) + f (a — b) =2 f (a) ∙ f (b),且存在C C> O，使得f( ) = O ,求证f (x)是周期函数.2联想：因为 cos(a + b) + cos(a — b) = 2cosacosb ,且cos — = 0,因而得出它的模型函数为y = CoSX ,由y = CoSX2的周期为2 ,可猜想2C为f(x)的一个周期.思路分析：要在证明2C为f (X)的一个周期，则只需证 f (X 2C) = f (X),而由已知条件f (C) = 0和f (a +Cb) + f (a — b) =2 f (a) ∙ f (b)知，必须选择好a、b的值，是得条件等式出现f()和f (χ).2C C证明：令 a = X + , b = ,代入f (a + b) + f (a — b) = 2 f (a) ∙ f (b)可得2 2f (X + C ) = —f (x).∙∙∙ f (X + 2C ) = f [(x + C) + C ] = —f (X + C ) = f (X),即f (X)是以 2C 为周期的函数.评析：如果没有余弦函数作为模型，就很难想到2C就是所求函数的周期，解题思路是难找的•由此可见，寻求或构造恰当的模型函数，可以为思考与解题定向，是处理开放型问题的一种重要策略.4•抽象函数的对称性问题例 12 已知函数 y = f (X)满足f (X) + f ( X) = 2002 ,求f 1(χ)+f 1(2002 χ)的值.解：由已知，在等式f (a X) + f (a X) = 2b中a = 0 , b = 2002 ,所以，函数y = f (X)关于点(0 , 2002)对称，根据原函数与其反函数的关系，知函数y = f 1(X)关于点(2002 , 0)对称.∙ f 1(X 1001)+ f 1(1001 X) = 0 ,将上式中的 X用 x— 1001 换，得f 1(x)+ f 1(2002 X)= 0 .评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：即：设a、b均为常数，函数y=f (X)对一切实数X都满足f(a X)+ f (a X) = 2b ,则函数y = f (x)的图象关于点(a , b)成中心对称图形.四、抽象函数中的网络综合问题例13定义在R上的函数f (x)满足：对任意实数 m n,总有f (m n)=f(m)∙f(n),且当x>0时，0v f (x) V 1.⑴判断f (X)的单调性；⑵设 A = {(x , y)| f(x2) ∙ f (y2) > f(1)}, B = {(x , y)| f (ax y ,2) = 1 , a R},若 A B =,试确定 a的取值范围.解：⑴在f (m n)=f(m) ∙f(n)中，令 m= 1, n = 0 ,得f(1)=f(1) ∙ f (0),因为f(1) ≠ 0,所以f (0) = 1.在f(m n)=f(m) ∙f(n)中，令 m = X , n = — X,■/当 x> 0 时，0V f (x) V 1,∙当 XV 0 时，一X > 0, 0V f ( x) V 1,又当X = 0 时，f (0) = 1 > 0,所以，综上可知，对于任意X ∈ R 均有f (X)> 0.设一∞v X I V X 2 V +∞ ,贝y X 2 — X I > 0, 0v f ( X 2 — X I ) V1.∙∙∙ f ( X 2) = f [ X 1 + ( X 2 — X 1 )] = f (X 1 ) ∙ f ( X 2 — X 1 ) V f ( X 1 ).∙∙∙ y = f (X)在R 上为减函数.2 2 2 2 2 2⑵由于函数y = f (X)在R 上为减函数，所以 f (X ) ∙ f(y)=f(χ + y ) > f (1),即有X + y V 1. 又f (ax y ',2) = 1 = f (0),根据函数的单调性，有ax — y + -, 2 = 0 ._/2由A I B =,所以，直线ax — y+ 2 = 0与圆面X 2+ y 2V 1无公共点，因此有：_ ------------ ≥ 1,解得一1≤a≤ 1.评析：⑴要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题，一是f (0)的取值问题，二是 f (X) > 0的结论都成为解题的关键性步骤，完成这些又在抽象函数式中进行，由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决.而 f (X)f ( - x) = f (0) = 1 , f (χ)=> 1> 0f( X)。

抽象函数常见题型和解法

抽象函数的常见题型及解法一、抽象函数的定义域1. 已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]的定义域，其方法是：由a<g(x)<b,求得x 的范围，即为f[g(x)]的定义域。

即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。

例1.已知f(x)的定义域为[1，4]，求f()的定义域. 解: 由1≤≤4，得 -1≤≤2 即 -1≤<0 或 0<≤2 解得 X ≤-1 或x ≥∴函数的定义域为:2. 已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域若已知f[g(x)]的定义域x (a,b)，求f(x)的定义域，其方法是：由a<x<b,求得g(x)的范围，即为f(x)的定义域。

即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。

例2. 若已知f(x+2)的定义域为[-2，2]，求函数f(x)的定义域. 解：∵f(x+2)的定义域为[-2，2]， ∴-2≤x ≤2， ∴ 0≤x+2≤4 故f(x)的定义域为[0，4]3. 已知f[ (x)]的定义域，求f[g(x)]的定义域先由f[ (x)]的定义域，求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。

即由第一个函数中内层函数的定义域，求得第一个函数内层函数的值域，第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第∈21+x21+x x1x 1x121()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,211,∈ϕϕ二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域。

例3.若已知f(x+1)的定义域为，求函数f ()的定义域. 解：∵f(x+1)的定义域为， ∴-2≤x 3， ∴ -1≤x+1 4 即f(x)的定义域为.∴ -1≤<4，∴ -3≤<2 即 -3≤<0 或 0<<2 解得 X ≤-或 x> ∴函数的定义域为:3. 已知f(x)的定义域，求f[ (x)] + f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]+f[g(x)]的定义域，其方法是：由,求得x 的范围，即为f[ (x)] + f[g(x)]的定义域。

高中常见抽象函数题型归纳

抽象函数常见题型及解法没有明确给出解析式的函数统称为抽象函数。

常见题型及其解法如下：一、函数性质法1.利用奇偶性整体思考；2.利用单调性等价转化；3.利用周期性回归已知；4.利用对称性数形结合；5.借助特殊点.三、常用变换技巧()()()()[()]()()()()()f y f x y f x y f x f x y y f x y f x f y f x f y +-=⇒=+-=⇒+=四、经典例题及易混易错题型(一)定义域问题这类问题只要紧紧抓住：将函数f g x [()]中的g x ()看作一个整体，相当于f x ()中的x 这一特性，问题就会迎刃而解.例1. 函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是___. 分析：因为log ()22x 2-相当于f x ()中的x ，所以log ()2221x -≤，解得22<≤x 或-≤<-22x . 例2. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域.分析：已知函数的定义域是A ，求函数f(x)的定义域,相当于求内函数的值域.)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x ,从而函数f （x ）的定义域是［1，4］ )()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-⇔=+()()()()()[()]()()()()f x f x y f x f y f x f x y y f x y f y f x y f y +=⇒=-+=-⇒-=)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f +=⋅⇔-=()()()()()()()()()()x x x f x y f x f y f x f y f f y f f x f y y y y ⋅=+⇒=⋅=+⇒=-()()x f ϕ()x ϕ例3.若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=x f y 的定义域.解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=x f y 而言，有1124x -≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x . 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞例4.已知f x ()的定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12的定义域是______. 分析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以 010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x a a x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1 (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1f x ()的定义域为(0)，1，意思是凡被f 作用的对象都在(0)，1中.评析：已知f(x)的定义域是A ，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问题.例5.定义在上的函数f(x)的值域为，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为______，值域为______. 答案:(二)函数值问题1. 赋特殊值法求值例1.已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______.分析：在条件f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得f f f f ()()()()844244=+==，∴=f ()42又令x y ==2，得f f f (4)(2)(2)=+=2，∴=f (2)1例2.设函数)(x f 的定义域为()+∞,0，且对于任意正实数y x ,都有)(xy f =)(x f )(y f +恒成立。

抽象函数常见题型解法

抽象函数常见题型解法总结抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。

常见的特殊模型:目录：一.定义域问题二、求值问题三、值域问题四、解析式问题五、单调性问题六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题八、综合问题一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。

例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为。

例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域。

练习：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1(x)，则y=f -1(2-3x)的定义域为，值域为。

二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。

怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;例3.①对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.②R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f -1(x),由y=f(x+1)与y=f -1(x+2)互为反函数，则f(2009)=.例4.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________练习： 1.f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2，则f =（2.的值是则且如果)2001(f )2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+ 。

高一数学必修1抽象函数常见题型解法归纳

高一数学必修1抽象函数常见题型解法归纳一、直接法从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。

二、特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。

三、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

四、等价转化法将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。

解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。

问题1：我的基础还可以，上课老师讲的也都能听懂，但是一到自己做就做不出来了，帮忙分析一下原因。

答：数学这个东西是靠着逻辑吃饭的，是靠着逻辑演绎向前推进和发展的。

当一个老师把你抱到了逻辑的起点上，告诉你这个逻辑关系是怎样的，比如说饿了就应该找饭吃，下雨了就应该找伞来打，告诉你了这个逻辑规则，你自己肯定会按照逻辑的顺序往前跑，这就叫为什么上课听得懂。

为什么课下自己不会做了呢?是因为课下你找不到逻辑的起点，就像一个运动员空有一身本领，跑得飞快，没有找到起点，没有到起点做好认真的准备，结果人家一发令，你没反应。

有两种学习的模式，一种是靠效仿，老师给我变一个数，出两道类似的练习题，照老师的模子描下来，结果做对了，好象我学会了，这就是效仿的方式来学数学，这种方式在小学是主要手段，在初中，这种手段还占着百分之六七十的分量，但是到了高中就不行了，靠模仿能得到的分数也就是五六十分，其他的分数都要靠你的理解。

问题2：我有时候看基础知识的时候定义都没有问题，但是一做题的时候，就转不过来了，耗的时间比较多，怎么办?答：那你就看看定理、定义、公式都是怎么使用，除了背下它们之外，关键是要把握住这些数学的定义、定理、公式、法则，在解题中是如何运用的，建议你好好从课本出发，如何利用刚才讲的这个定理或者定义去解题的，把它先搞清楚，适当的时候自己做做笔记，问问自己，这个定义是怎么使用的，在这个定理里怎么用的，你自己在旁边注上一两句话。

抽象函数的常见解法

抽象函数的常见解法兴义八中李明生抽象函数是指函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法均未给出，只给出函数记号f(x)的一类函数.这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。

因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。

下面谈谈这类问题常见的几种解法：一、赋值法先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。

这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。

例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数x,y恒成立，且f(1) = 1，求f(x)的解析式。

分析:当令y=1时,可得f(x＋1)=f(x)＋x＋1,这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。

解：令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1，∴ f(1) = 1f(2)= f(1) +2f(3) = f(2) +3…f(n) = f(n－1) +n各式相加得：f(n) = 1+2+3+…+n = n(n+1)2∴ f(x) = x(x+1)2例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x－y) = 2 f(x) · f(y)，x∈R, y∈R,且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。

分析: 当令 x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。

证明：令x = y = 0∴ f(0) +f(0) = 2f 2 (0)∵ f(0) ≠ 0, ∴ f(0) = 1令 x = 0 , 则 f(y) + f(－y) = 2f(0) · f(y)∴ f(－y) = f(y), ∵ y∈R,∴ f(x)是偶函数例3 已知函数f(x)的定义域为(0 , + ∞ )，对任意x > 0, y> 0恒有f(xy) = f(x) + f(y)求证：当x > 0时, f( 1x) = －f(x)分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x·1x)可求得。

抽象函数常见题型解法

教学实践2014-05不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即为抽象函数。

一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如，y=f（x），（x>0，y>0）。

由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所以在各地高考试题中不断出现；学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就这类问题的解法归类如下：题型一：求抽象函数的定义域例1.已知函数f（x-1）的定义域为［0，3］，求f［log12（3-x）的定义域。

解析：自变量x的取值范围即为函数的定义域，因此函数f（x-1）中x-1∈［-1，2］，所以log12（3-x）∈［-1，2］，所求定义域为［1，114］一般情况下，函数y=f（x）定义域为［a，b］，则函数y=f（g（x））的定义域为不等式a≤g（x）≤b的解集；函数y=f（g（x））的定义域［a，b］，则函数y=f（x）定义域为g（x）（x∈［a，b］）的值域。

题型二：求抽象函数值例2.已知函数f（x）满足：当x>4时，f（x）=（12）x，当x<4时，f（x）=f（x+1），求f（2+log23）的值。

解析：首先判断2+log23∈［3，4］，再根据当x<4时，f（x）=f（x+ 1）得f（2+log23）=f（3+log23），所以f（2+log23）=（12）3+log23=124。

题型三：求抽象函数的解析式例3.已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=1x-1，求f（x）和g（x）。

解析：用-x代换x得：f（-x）+g（-x）=1-x-1，由于已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以-f（x）+g（x）=1-x-1，与已知条件解方程组即可得f（x）和g（x）解析式.题型四：判断或证明抽象函数的奇偶性例4.已知函数f（x）（x∈R，x≠0）对任意不等于0的实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），试判断函数f（x）的奇偶性。

抽象函数问题有关解法

抽象函数问题有关解法一、解析式问题：1.换元法：例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x .2.凑配法：例2：已知3311()f x x xx +=+，求()f x3.待定系数法：例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .4.利用函数性质法:例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x .例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-，求()f x ,()g x .5、方程组法：例 6.已知1()+2()1f x f x x=+，求()f x 的表达式二、求值问题例7. 已知定义域为R +的函数()f x ，同时满足下列条件：①1(2)1,(6)5f f ==；②(.)().()f x y f x f y =，求(3),(9)f f 的值。

三、定义域问题例8. 已知函数2()f 的定义域是［1，2］，求()f x 的定义域。

例9. 已知函数()f x 的定义域是[1,2]-，求函数(3)12[]log x f -的定义域。

四、值域问题例10. 设函数()f x 定义于实数集上，对于任意实数,x y ，()()()f x y f x f y +=总成立，且存在12x x ≠，使得12()()f x f x ≠，求函数()f x 的值域。

五、判断函数的奇偶性：例11已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。

六、单调性问题例12. 设()f x 定义于实数集上，当0x >时，()1f x >，且对于任意实数,x y 有()()()f x y f x f y +=，七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）例13：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。

高一数学抽象函数常见题型解法综述

高一数学抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1.已知函数f(某2)的定义域是［1，2］，求f（某）的定义域。

22解：f(某2)的定义域是［1，2］，是指1某2，所以f(某2)中的某满足1某4从而函数f（某）的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数f((某))的定义域是A，求f（某）的定义域问题，相当于已知f((某))中某的取值范围为A，据此求(某)的值域问题。

，2]，求函数f[log1(3某)]的定义域。

例2.已知函数f(某)的定义域是[12，2]，意思是凡被f作用的对象都在[1，2]中，解：f(某)的定义域是[1由此可得1log1(3某)2()3某()21221211某114所以函数f[log1(3某)]的定义域是[1，211]4评析：这类问题的一般形式是：已知函数f（某）的定义域是A，求函数f((某))的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

这类问题实质上相当于已知(某)的值域B，且BA，据此求某的取值范围。

例2和例1形式上正相反。

二、求值问题例3.已知定义域为R的函数f（某），同时满足下列条件：①f(2)1，f(6)1；②f(某y)f(某)f(y)，5求f（3），f（9）的值。

解：取某2，y3，得f(6)f(2)f(3)欲求的f（3）沟通了起来。

赋值法是解此类问题的常用技巧。

三、值域问题例4.设函数f（某）定义于实数集上，对于任意实数某、y，f(某y)f(某)f(y)总成立，且存在某1某2，使得f(某1)f(某2)，求函数f(某)的值域。

解：令某y0，得f(0)[f(0)]2，即有f(0)0或f(0)1。

若f(0)0，则f(某)f(某0)f(某)f(0)0，对任意某R均成立，这与存在实数某1某2，使得f(某1)f(某2)成立矛盾，故f(0)0，必有f(0)1。

抽象函数问题求解的几种常用求法

抽象函数问题求解的几种常用求法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数。

如函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等。

它是高中数学函数部分的难点，由于抽象函数没有具体的解析式作为载体，因此理解起来比较困难，那么怎样求解抽象函数问题呢？以下介绍几种解抽象函数问题的方法。

一．特殊化方法1. 在求函数解析式或研究函数性质时，一般用“代换”的方法，如将x 换成x -或将x 换成1x 等。

2. 在求函数值时，可用特殊值（如0或1或-1）“代入” 例1.已知()f x 满足()123363f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()f x 的解析式。

解：先令3u x =，解出3u x =，于是有：()1232f u f u u ⎛⎫+= ⎪⎝⎭-----------①再以1u代替u 得：()1223f f u u u ⎛⎫+=⎪⎝⎭------------②联立①、②式解方程组，并消去1f u ⎛⎫⎪⎝⎭，解得()6455u f u u=-即所求解析式为：()6455x f x x=-例2. 若对一切自然数a 、b 都有()()()f a b f a f b ab +=++且()11f =，求()f x 的解析式。

解：利用特殊值法令1a =，等式变为：()()()()111f b f f b b f b b+=++=++，即：()()11f b f b b +-=+，注意到上式是一个关于自然数b 的递推关系式，令1b =，有()()2111f f -=+2b =，有()()3221f f -=+1b n =-，有()()()111f n f n n --=-+将以上1n -条等式左右两边分别相加，得：()()()()1123111f n f n n -=++++-+⨯-即：()()()1123111f n n n =+++++-+⨯-()11232n n n -=++++=即所求解析式为：()()12x x f x -=二．函数性质法函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性、特殊点等）反应出来的，抽象函数也是如此。

抽象函数常见题型和解法

即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。

即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。

求抽象函数表达式常见五种方法

求抽象函数表达式常见五种方法1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知()211x f x x =++,求()f x .2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-，求()f x ,()g x .5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x参考答案：例1：解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1x f x x -=- 例2：解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)例3．解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 例4.解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数常见题型解法综述一、定义域问题例已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x从而函数f （x ）的定义域是［1，4］例若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域。

解：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=xf y 而言，有1124x-≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x 。

所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞二、求值问题例. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=因为51)6(1)2(==f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x得58)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题例设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

解：令0==y x ，得2)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。

若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。

由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有0)]2([)2()2()22()(2≥==+=xf x f x f x x f x f下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ，设存在R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ，所以0)(>x f 四、解析式问题例：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u uf u u u-=+=--∴2()1xf x x-=- 例：设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1()(，求f （x ）的解析式。

抽象函数常见题型解法综述.doc

二、求值问丿抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式了的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽彖性，使得这类问题成为函数内容的难点z—。

木文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1・已知函数/(X2)的定义域是［1, 2］,求f(X)的定义域。

解：/(x2)的定义域是［1, 2］,是指15x52,所以/(x2)中的/满足15^54从而函数f (x)的定义域是［1,4］评析：一般地，已知函数.f(0(劝的定义域是A,求f(x)的定义域问题，相当于已知/(^(x))中x的取值范I韦I为A,据此求0(兀)的值域问题。

例2・己知函数/(兀)的定义域是［-1, 2］,求函数/［log 1 (3 -%)］的定义域。

解：才(朗的定义域是［-1, 2］,意思是凡被f作用的对象都在［-1, 2|屮，由此可得一1 Slog】(3—兀)W 2 => (-)2 <3-x< (-)■' =>l<x< —3 2 2 4所以函数/［log. (3-X)］的定义域是［1,-］T 4评析：这类问题的一般形式是：己知函数f (x)的定义域是A,求函数的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

这类问题实质上相当于已知0(兀)的值域B,且Be A,据此求x的取值范围。

例2和例1形式上正相反。

例3・已知定义域为/?+的函数f (x),同时满足下列条件：①/(2) = 1, /(6)=-；②f(x-y) = / W + /(y),求f (3) , f(9)的值。

解：取% = 2, y = 3,得/(6) = /(2) + /(3)1 4因为/(2) = 1, /(6)=-,所以/(3)=--又取x = y = 3Q得/(9) = /(3) + /(3)=--评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取兀=2, y = 3,这样便把己知条件/(2) = 1, /(6)=-与欲求的f (3)沟通了起來。