抽象函数-题型大全(例题-含答案)
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高考抽象函数技巧总结
由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难,学好这部分知识,能加深学生对函数概念的理解,更好地掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力,优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下: 一、求表达式: 1.换元法:即用中间变量
表示原自变量x 的代数式,从而求出()f x ,这也是证某些公式或等式常用的
方法,此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1:已知 (
)211x
f x x =++,求()f x . 解:设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u
-=+=
--∴2()1x
f x x -=- 2.凑合法:在已知(())()f
g x
h x =的条件下,把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式,再利用代换即可求
()f x .此解法简洁,还能进一步复习代换法。
例2:已知3
31
1
()f x x x
x
+=+
,求()f x 解:∵2
2
2
11111()()(1)()(()3)f x x x x x x
x x x x
+=+-+
=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴2
3
()(3)3f x x x x x =-=-,(|x |≥1)
3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。
例3. 已知()f x 二次实函数,且2
(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .
解:设()f x =2
ax bx c ++,则2
2
(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+
=22
222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4
1321
,1,2222
a c a a
b
c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩
∴213()22
f x x x =
++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.
例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x
解:∵()f x 为奇函数,∴()f x 的定义域关于原点对称,故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴
()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,
∵()f x 为奇函数,∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴
lg(1),0
()lg(1),0
x x f x x x +≥⎧=⎨
--<⎩ 例5.一已知()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,且有()f x +1
()1
g x x =
-, 求()f x ,()g x . 解:∵()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,
不妨用-x 代换()f x +()g x =
1
1x -………①中的x , ∴1()()1
f x
g x x -+-=--即()f x -1
()1g x x =-+……②
显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1
x
g x x =-
5.赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出()f x 的表达式
例6:设()f x 的定义域为自然数集,且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x 解:∵()f x 的定义域为N ,取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加,有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1
()(1),2
f x x x x N =+∈ 二、利用函数性质,解()f x 的有关问题 1.判断函数的奇偶性:
例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立,且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明:令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①
在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵(0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴
()f x 为偶函数。
2.确定参数的取值范围
例8:奇函数()f x 在定义域(-1,1)内递减,求满足2
(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。 解:由2
(1)(1)0f m f m -+-<得2
(1)(1)f m f m -<--,∵()f x 为函数,∴2
(1)(1)f m f m -<-
又∵()f x 在(-1,1)内递减,∴22111
1110111m m m m m -<-<⎧⎪
-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩
3.解不定式的有关题目