第七章二重积分课件

y x 4
x
例1.计算I ydxdy,其中D由x 2, y 0
D
y 2, x 2y y2围成
2
D
分析：注意到被积函数只与y有关 -2
0
解1：在直角坐标系下，先x对后对y积分
I
2
2 y y2
ydy
dx
2
y(2
2 y y2 )dy
0
2
0
2
2 ydy
2
y
2 y y2 dy 4
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
a、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不
多于两个。b、1( y) 2( y).
(3)积分限的确定
1 若先对y后对x积分，则y的积分限可这样
确定：用平行于y轴的直线沿y轴方向穿过
区域，穿进的边界曲线 y f1( x) 为
下限，穿出的边界曲线 y f2 (x) 为
2 若D对称于y 轴，关于变量x被积函数 是奇函数， 其积分值为0；若是偶函数，其积分值两倍于x>0 的区域上的积分；
3 若x 交换 y, D不变，则 f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy
D
D
(1) x2 ydxdy 0 D:0 x1,1 y1
(2) ( x x3 y2 )dxdy 0 D:x2 y2 4, y0
（2）根据被积函数及积分区域D的形状选择积 分次序:
* 如果D由上下曲线围成，一般先对y后对x积分, 此时各交点向x轴引垂线并确定垂足坐标；
* 如果D由左、右曲线围成，一般先对x后对y 积分，此时各交点向轴引垂线并确定垂足 坐标；
* 若D不是简单区域，用平行于坐标轴的直线穿 过区域时交点多于两个，或D内不同的两条平 行于坐标轴的直线穿过区域时会交于不同的两 条曲线，则要分块积分，此时各交点向坐标轴 引垂线（若要对y积分，交点向x轴引垂线, 若要对x积分，交点向y轴引垂线）. * 如果被积函数是x的不可积函数，则先对y后 x积分；是y的不可积函数时，则先对x后对y 积分； * 如果二重积分是以二次积分的形式给出的， 一般要更换积分次序。
2
y
1 ( y 1)2 dy
0
0
0
2
y 1 sint 4 (1 sint) cos t cos tdt 4 2
D
D
D
(3) d (为积分区域D的面积);
D
(4)如果将积分区域D分成两部分D1, D2
(D1 D2 且D1 D2 D)则
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d
D
D1
D2
(5)比较定理：
f ( x, y)d g( x, y)d ,( f ( x, y) g( x, y))
第七章：二重积分
一、基本概念及结论
1.定义:
n
D
f ( x, y)d
lim d 0 i1
f (i ,i ) i
2.性质（与定积分对照）
(1) kf ( x, y)d k f ( x, y)d ;
D
D
(2)[ f ( x, y) g( x, y)]d f ( x, y)d g( x, y)d ;
如果积分区域为： a x b, 1( x) y 2( x).
y )
D
y 1( x)
a
b
a、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多
于两个； b、 1( x) 2 ( x).
c y d , 1( y) x 2( y).
d
x 1( y) D x 2( y)
y
1
0 1x
-1
y
-2
22 x
(3) (x2 y2 )3 dxdy
-2
1 2
2 x2 1 y1
2 (x2 y2 )3 dxdy 4
-1
(x2 y2 )3 dxdy
0 x2 1 y1
0 x2,0 y1
二、二重积分的计算
1. 直角坐标系下： d dxdy
步骤： (1)画积分区域的草图，求交点坐标；
线的极坐标方程 r r1( ) 是下限，穿出的 r r2( )
是上限；后对 积分其积分限是常量,由过极点的射
线自极轴开始反时针旋转到区域的边界或顶点（扫过 整个区域）。
注1：在极坐标系下计算二重积分主要适用于积分区 域为园域、园环域、扇形域或边界曲线用极坐标表 示又比较简单，被积函数常为
f ( x2 y2 ), f ( x ) y
上限，后对x积分其积分限是常量（由交点 向x轴作垂线的垂足耒确定）
2 若先对x后对y积分，则x的积分限可这样 确定：用平行于x轴的直线沿x轴方向穿过
区域，穿进的边界曲线 x 1( y) 为
下限，穿出的边界曲线 x 2 ( y) 为
上限，后对y积分其积分限是常量（由交点 向y轴作垂线的垂足耒确定）
等形式时，通常将二重积分化为极坐标系下的二重积 分耒计算。
注2：几种常见曲线的极坐标方程
2a
r
-1 0 1
r
0
.a
2a
.a
r
0
x2 y2 1 r 1
: 0 2
y
(x a)2 y2 a2
r 2a cos :
22
x2 ( y a)2 a2
r 2a sin :0
4
0
D
D
(6)估值定理： m f (x, y)d M D
★ (7)积分中值定理： f ( x, y)d f ( ,) ,( SD )
D
(8) f ( x, y)d f (u,v)d
D
D
(9)被积函数的奇偶性与积分区域的对称性
1 若D对称于x 轴，关于变量y被积函数 是奇函数， 其积分值为0；若是偶函数，其积分值两倍于y>0 的区域上的积分；
D
D
步骤：（1）画出积分区域D的草图，将D的边界曲线
的直角坐标方程化极坐标方程; （2）将二重积分化为极坐标系下的二重积分
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd
D
D
(3)将极坐标系下的二重积分一般化为先对 r 后
对 的二次积分；
（4）积分限的确定： 先对r积分，则从极点作射线穿过区域，穿进的边界曲
(4)更换积分次序的方法：
1 由所给的累次积分上下限列出关于x,y的联立不
等式;
2 根据联立不等式画出D的草图（先将不等号换成
等号画出边界曲线，再用“以点示面”的方法确定
积分区域）；
3 根据积分区域D写出新的积分限。
2. 极坐标系下：
令
x r cos
y
r
sin
dxdy rdrd
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd