四种自动机与对应文法 有限自动机 下推自动机 图灵机 线性有界自动机

G
这步推导是根据产生式 ，在句型 中，用产生式 的右端（ ）替换产生式的左端（ ）而实现的。
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语言及其表示
4） 不含变量的句型称为句子。 5） 若对文法 G 存在下面的多步推导 1 2 , 2 3, , n1 n
G G G
则可简记为 1 n 。
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语言及其表示
语言识别器
语言识别器同文法一样，都是对（可能为无限集的）语言 提供有限表示的一种方式。语言识别器也称为自动机。 如果说文法是从产生语言的角度来表示语言，那么自动机 是从识别语言的角度来表示语言。 自动机的结构可以大致表示成下图的形式。 a1 a2
…
an
有限状态 控制器
辅助存 储器
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语言及其表示
举例
G1 (V1 , T1; P , S ) 1
P: 1 S 0S S 0A A 1A A
简记为
V1 {S , A},

T1 {0,1}
S 0S | 0 A A 1A |
上面给出了一个文法 G，它的变量集、终极符集、产生式和初始符 都已经明确给出。下面求解它产生的语言 L(G1 ) 。 第 1 步：通过推导来得到 L(G)中的一些句子。 S 0 S 00 S 000 A 0001A 0001
语言（Language）
字母表∑上满足一定条件的串的集合称为∑上的一个语言。
语言举例：
例 1. L1 {x {0,1}* | x | 3}是字母表{0,1}上的一个语言。 L1 的元素都
是由 0 和 1 组成的串，这些串要满足的条件是：长度不超过 3。易知， 这样的串有： ,0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,110,111 共 15 个。
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语言理论
自然语言 语言 人工语言 自然语言：人与人之间交流的基本手段。 如：汉语、英语、俄语、法语、…等 人工语言：主要用于人与计算机之间的交流。 如：程序设计语言
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语言理论
形式语言：研究自然语言和人工语言都必须遵循的一般规律
研究字符串集合及其性质的学科
Chomsky文法体系：4种类型的文法及其产生的语言
线性界限自动机LBA——CSL—— CSG
图灵机TM——r.e.——URG
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形式语言（Formal Language）
“为广大人群所理解的字和组合这些字的方法”——语言学家 字符 语法（文法） 形式语言————语言的数学模型（形式语言） 抽象：以便于对语言的结构、性质、生成、识别进行研究。 形式语言与自动机理论的产生与作用： 1956，Chomsky 从产生语言的角度抽象地将语言形式地定义为由 一个字母表中地字母组成的一些串的集合，组成句子的规则为文法； 1951－1956，Kleene 从语言识别角度，给出语言的另一种描述—— 自动机，其所识别的句子组成语言；1959，Chomsky 证明文法与自 动机的等价性，此时形式语言诞生。 用于描述程序设计语言文法；模型化处理；计算思维培养等。
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语言及其表示
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语言及其表示
文法
文法是一个四元组 G (V ,T ; P, S ) V: 变量集（或称非终极符集） T：终极符集（或称字母表） V 和 T 都是有限集，且 V T S V ，S 称为初始符 P：产生式集，每个产生式是一个二元组 ( , ) ，常常表示 为 , (V T )* ，即都是由变量和终极符组 成的串，其中 中至少要含有一个变量。
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语言及其表示
前缀、后缀、子串
设 z 为一个串，若 z=xy，则 称 x 为 z 的前缀，当 y 时，称 x 为 z 的真前缀 称 y 为 z 的后缀，当 x 时，称 y 为 z 的真后缀 例如：设 z=abacb 则 z 的前缀有： , a, ab, aba, abac, abacb 其中前 5 个为 z 的真前缀。 z 的后缀有： , b, cb, acb, bacb, abacb 其中前 5 个为 z 的真后缀 一个串 z 的全部前缀的集合记为 Pref（z） z 的全部后缀的集合记为 Suff（z）
G
*
注：① 上述“多步推导”是一个泛称，它也可以表示 0 步推导 （当 n=1 时） ②在不会产生混淆的情况下， 中的 G 可以省略。
G
文法所产生的语言
设 G=(V, T; P, S)为一个文法，那么 G 所产生的语言为
*
L(G ) {w T | S w}
* G
也就是说，G 所产生的语言 L(G)就是从 G 的初始符 S 开始，应用 G 的产生式能 推导出来的所有句子的集合。
图 自动机的大致结构
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语言及其表示
即自动机由３部分组成：有限状态器、输入带和辅助存储 器。有的自动机可以没有辅助存储器。 输入带可以有限长或无限长，有限状态控制器对输入带可 以只允许读，不允许写，也可以读和写。 根据不同的规定，自动机可以分为几种类型。
形式语言与自动机
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参考文献
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参考文献
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参考文献
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背景
图灵机
1936年首先由图灵（A. M. Turing）提出，他设计的自动机称 为图灵机。
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背景
有限状态机
又被称为有穷状态自动机、有限自 动机 1951年到1956年，克林(Kleene) 在研究神经细胞中，建立了识别语 言的系统——有限状态机。
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背景
20世纪50年代，巴科斯范式(Backus Nour Form 或 Backus Normal Form, BNF)实现了对高级语言ALGOL-60的成功描述。这一成功，使得形 式语言在20世纪60年代得到了大力的发展，并使形式语言与编译原理紧密联 系在一起。 上述理论在编译原理、人工智能、可计算性和时序逻辑电路设计等领域有着 广泛的应用。
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语言及其表示
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语言及其表示
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语言及其表示
串（String）：由某字符表上的字符组成的有限序列。 例如：0100101 是字母表∑={0,1}上的一个串。 串的长度：一个串中字符的个数。 设x为字母表∑上的一个串，x的长度记为|x|。
例如
|0100101|=7
空串：不含任何字符的串，即长度为零的串，记为 。
x y xy
例 设 x aba
y cb
则 x y aba cb abacb 易知：1）对任意一个串 x ,都有 x x x 2）若 z x y ，则
| z || x | | y |
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语言及其表示
串的幂运算 串的连接运算又称为串的乘法运算。类似于从数的乘法运 算推广到数的幂运算那样，也可以从串的乘法推广到串的幂运 算。 设x为一个串，则定义
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语言及其表示
语言—某个字母表上满足某些特定条件的字符串的集合 自然语言 — 人工语言
1.1
字母表、串和语言
字母表（Alphabet）：由字符组成的非空有限集，通常字母表
无限集 也不能作为字母表
例如：
• {a,b,c,d} {0,1}
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语言及其表示
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语言及其表示

句型、推导与句子
设 G (V ,T ; P, S ) 为一个文法，则 1） S 是 G 的一个句型； 2） 若 是 G 的一个句型， 是 G 的一个产生式， 那么 也是 G 的一个句型； 3） 从句型 得到 的过程称为 G 的一步推导，记为
正规文法RG——正规语言RL；
上下文无关文法CFG——上下文无关语言CFL； 上下文有关文法CSG——上下文有关语言CSL；
无限制文法URG——递归可枚举语言r.e.。
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自动机理论
语言（形式语言）识别器
4种类型自动机与4类文法相对应
有限自动机FA —— RL —— RG 下推自动机PDA—— CFL—— CFG
语言及其表示

串的逆：把一个串中的字符逆向顺序重新排列得到的另
一个串
设x为一个串，x的逆记为xR 例： 若x=0100101 则xR=1010010 易知 1）|xR|=|x| 2）穸串的逆仍是穸串：ε R=ε
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语言及其表示

串的连接（concatenation）运算
设 x 和 y 是两个串，xy 称为串 x 和串 y 的连接，用 x y 表示
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语言及其表示
例：设 x=a，则
a0 a1 a a 2 aa a 3 aaa 定理：设 x 为一个串，n,m 为两个非负整数，则
x n x m x m x n x nm ( x n ) m x nm
（用数学归纳法易证）
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语言及其表示
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语言及其表示
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语言及其表示
对于语言，有 3 种特例要特别注意： 设∑为一个字母表，则 , { } 和 *都是∑上的语言。 是指空集，不含任何元素。 注意两者的区别 { }是指由空串 一个元素组成的集合。 * 是指 上的全体串（包括空串）的集合。
语言几种基本运算
语言的乘积(product)
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语言及其表示
设 w 为一个串，若 w xyz ，则称 y 为 w 的一个子串 显然，一个串的任意前缀和后缀都是它的子串， 但一个串可能含有既非前缀，又非后缀的子串。 例如：设 z=abacb，则前面所列的 z 的前缀和后缀都是它的 子串，除此之外，z 的子串还有 ba, ac, bac
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S 0 A 01A 01 S 0A 0 S 0 S 00 A 001A 0011A 00111 A 00111
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