运筹学最短路问题作业
运筹学最短路邮递员问题
算法是1959年首次被提出来的。该算法适用于每条弧的权数ωij ≥0 情形。算法的基本思路：从发点vs 出发，有一个假想的流沿网络一 切可能的方向等速前进，遇到新节点后，再继续沿一切可能的方向 继续前进，则最先到达终点vt 的流所走过的路径一定是最短的。为 了实现这一想法，对假想流依次到达的点，依次给予p标号，表示vs 到这些点的最短距离。对于假想流尚未到达的点给予T标号，表示vs 到这些点的最短距离的估计值。具体作法如下：
或v1 →v4。
v1 →vv31→5v36 或
v1 →v4→v6
22
30
41
59
23
16
v2v24→1 v61262
v3v33→1 v6 17 30
v4v42→3 v167 23
v5v51→8 v618 v6
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2
6
5
08
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1
17
2
1
9
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5
9 3
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11 2 13
431 4
9
1
10
21
p（v2）=3 3
v2
p（v1）=0 v1
p（v3）=4
6
51 1
v4
7 4
v5
v3 2 3
5
v7
26 v6 9
15
v8
T（v4）=min{6,4+1}=5, k（v4 ）=v3
T（v6）=min{7,4+2}=6, k（v6 ）=v3
目前，点v4 具有最小T标号，将其标号改为p标号： p（v4）=5；
最短路问题案例(short-path problem)
三、Dijkstra算法演示：
5.选取顶点
U=V\S={A(22), B (13)}
l(B)=13, l(B)=l(C)+W(C,B)
6.选取顶点
U=V\S={A(22)}
l(A)=22, l(A)=l(F)+W(F,A)
三、Dijkstra算法演示：
1. 初始时， S只包含起点s ； U包含除s外的其他顶 点，且U中顶点的距离为“起点s到该顶点的距离”[例. U中顶点v的距离为d(s,v)，然而s与v不相邻，故为inf]。
2. 从U中选出“距离最短的顶点w”，并将顶点w 加入到S 中；同时，从U中移除顶点w 。
3. 更新U中各个顶点到起点s的距离。 由于上一步中 确定了w是求出最短路径的顶点，从而可以利用w来更新 其他顶点的距离。[例. (s,v)的距离大于(s,w) + (w,v)]。
l(E)=4, l(E)<l(C)+W(C,E); l(F)=9, l(F)=l(C)+W(C,F)
三、Dijkstra算法演示：
3.选取顶点 U=V\S={A(inf), B (13), F(6), G (12)}
l( )=6, l(F)=l(E)+W(E,F)
4.选取顶点 U=V\S={A(22), B (13), G(12)}
4. 重复步骤2和3，直到遍历完所有顶点。
三、Dijkstra算法演示：
1.选取顶点 U=V\S={A(inf), B (inf), C (3), E (4), F (inf), G (inf)}
2.选取顶点 U=V\S={A(inf), B (13), E (4), F (9), G (inf)}
最短路问题例题
问题：求出A-F之间最短路线；（1）写出思路于算法；（2）Matlab 编程找出最短路径。
答案：A-F之间的最短路线有A-B3-D3-E1-F，A-B3-D3-E1-E2-F；A-B2-C1-D1-D2-E2-F 这三条路线的最短距离均为8。
方案一：思路：对于是否返回的分析：如图可以看出只有B端才能跨越C端的点直接到达D端的，其余的各端点都是必须按照字母顺序一路下来。
若如D端返回到C端或B端这是不可能的，因为这样无疑增加了路程，如图可以看出C端的点能到达D端的各个点，所以要求的直接命中想到达的该点；而D端出发去到E端后有图可以看出不可能再返回D端了，因为这只会增加路线的长度，而且E 端的各点是相通的，也没必要再返回D端；同样B端到达C端或D端的，因为B2,B2到能直接到达C端的各点，只有B1只能到达C1，但B1它到D1的距离和B1点到C1的距离同样为4但也不可能经过C1后返回B端的，因为C1也是联系D端的各点，而且你要返回B 段端，还不如在A端的时候就选择好一个理想的B点，这样距离会更加短。
所以不能进行返回。
如图将我们本来所需要的的路线分成两半，以D字母的为中间端。
后半部分：后半部分主要由D端连接到E端最后才连接到F端的,同时D端无法越过E端直接连接到F端。
更为重要的是前半部分，也必须要经过D端才能与F端相接，所以构成他们之间的枢纽定在D端是最好不过的。
首先的是先分析D端的三个点D1，D2，D3分别到点F的最短距离。
一、已经从D端出发去到E端后有图可以看出不可能再返回D端了，因为这只会增加路线的长度，而且E端的各点是相通的，也没必要再返回D端；二、由图可以看出E端到点F最好的路线是E2-F距离为1，除E2外的E1，E3他们到F点的方式（E1-F, E1-E2-F ,E3-F ,E3-E2-F）的距离均为2；所以如果能先到达E2则可以只考虑E2到F这条路线。
若先到达了E1，或E3、则这路线的最短路径必定变化为两条。
运筹学最短路问题实际应用--上课路线选择
距离矩阵摹乘法
修正之后的路线
路线
1.新区出发-西山大铁门-图书馆后面的公路 -网球场的坡地-沿着公路-励志楼（772M) 2.图书馆-学汇楼-横穿学汇楼-沿着公路-励 志楼（290.5M） 3.知行楼-路口七-德济楼-四海楼-沿着公路励志楼（332.5） 4.E1、十一舍-三食堂-电航楼-百川楼-德济 楼-四海楼-沿着公路-励志楼（482.1/422.1） 5.成教二-路口3-电航楼-百川楼-德济楼-四 海楼-沿着公路-励志楼（412.7M）
大连海事大学
新区——西山教学楼的最短路
成员：杨俊成 王红建 唐琴 李敏垚
主要内容
背景介绍 问题描述 模型建立 解决的问题
背景介绍
一、宿舍楼与教学楼的分布情况
新区的分1、B2、B3、研二宿舍楼等）
西山的分布：学汇楼，百川、德济、四海、励志、知 行、图书馆、三食堂、十一舍、计算机学院宿舍楼， （当然还有一些研究生宿舍楼这里我们忽略不计）
问题描述
宿舍楼与教学楼间的距离太远了，大量的 同学们每天要都花十多分钟在去教学楼的 路上，而不能在这段时间内做跟有意义的 事情 由于上课地点的不同，大量的同学要不停 的转换上课地点。 无论是冬天还是夏天同学们都不想自己在 寒冷的室外停留太长的时间
要达到目标
学校里的路很多，我们的目的是如何帮助 同学们选择一条或几条最短的路帮助同学 们解决耽误在路上的时间，减少在大连寒 冷的阴风中逗留的时间，增加同学们的幸 福感
不同区域同学住所的分布情况
新区宿舍楼：大二、大三、大四的学生，还 有部分的研二学生，大量的同学住在新区 宿舍楼
西山宿舍楼分布：大一的学生，E1一般都是 信息学院的学生，还有一些不被我们计算 在内的研究生宿舍，
最短路练习共30页文档
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v6
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4 34Βιβλιοθήκη v7 2v4v9
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对有向图同样可以用标号算法!
例 如下图，有一批货物要从v1运 到v9，弧旁数字表示该段路长， 求最短运输路线。
3 0 v1
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管理运筹学 第7章 最短路实例
8
§4 最大流问题
• 最大流问题：给一个带收发点的网络，其每条弧的赋权称之为容量， 在不超过每条弧的容量的前提下，求出从发点到收点的最大流量。 一、最大流的数学模型 例6 某石油公司拥有一个管道网络，使用这个网络可以把石油从采地 运送到一些销售点，这个网络的一部分如下图所示。由于管道的直径 的变化，它的各段管道（vi,vj）的流量cij（容量）也是不一样的。cij的 单位为万加仑/小时。如果使用这个网络系统从采地 v1向销地 v7运送石 油，问每小时能运送多少加仑石油？
2 0 0
2 0 2 1
3 v6 4
3 01
2
v7
3 5
3 1 v4
第五次迭代：选择路为v1 v2 v3 v5 v7 。弧（ v2 , v3 ）的顺流容 量为2，决定了pf=2，改进的网络流量图如下图：
1 v2 0 5 2 3 0 0 2 3 v5 2 0 0 0
管 理 运 筹 学
15
20
v1 1
3
(a)
图11-12
管 理 运
(b)
筹 学
(c)
5
§3 最小生成树问题
一、求解最小生成树的破圈算法 算法的步骤：
1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。
2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两条 以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。
3、如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的图即 为最小生成树，否则返回第1步。
§2 最短路问题
例 设备更新问题。某公司使用一台设备，在每年年初，公司就要 决定是购买新的设备还是继续使用旧设备。如果购置新设备，就要支 付一定的购置费，当然新设备的维修费用就低。如果继续使用旧设备， 可以省去购置费，但维修费用就高了。请设计一个五年之内的更新设 备的计划，使得五年内购置费用和维修费用总的支付费用最小。 已知：设备每年年初的价格表
运筹学论文最短路问题
运筹学论文——旅游路线最短问题摘要：随着社会的发展，人民的生活水平的提高，旅游逐渐成为一种时尚，越来越多的人喜欢旅游。
而如何才能最经济的旅游也成为人民考虑的一项重要环节，是选择旅游时间最短，旅游花费最少还是旅游路线最短等问题随之出现，如何决策成为一道难题。
然而，如果运用运筹学方法来解决这一系列的问题，那么这些问题就能迎刃而解。
本文以旅游路线最短问题为列，给出问题的解法，确定最短路线，实现优化问题。
关键词：最短路 0-1规划约束条件提出问题:从重庆乘飞机到北京、杭州、桂林、哈尔滨、昆明五个城市做旅游，每个城市去且仅去一次，再回到重庆，问如何安排旅游线路，使总旅程最短。
各城市之间的航线距离如下表：问题分析：1．这是一个求路线最短的问题，题目给出了两两城市之间的距离，而在最短路线中,这些城市有的两个城市是直接相连接的（即紧接着先后到达的关系），有些城市之间就可能没有这种关系，所以给出的两两城市距离中有些在最后的最短路线距离计算中使用到了，有些则没有用。
这是一个0-1规划的问题，也是一个线性规划的问题。
2．由于每个城市去且仅去一次，最终肯定是形成一个圈的结构，这就导致了这六个城市其中有的两个城市是直接相连的，另外也有两个城市是不连接的。
这就可以考虑设0-1变量，如果两个城市紧接着去旅游的则为1，否则为0。
就如同下图3．因为每个城市只去一次，所以其中任何一个城市的必有且仅有一条进入路线和一条出去的路线。
LINGO解法：为了方便解题，给上面六个城市进行编号，如下表（因为重庆是起点，将其标为1）重庆北京杭州桂林哈尔滨昆明1 2 3 4 5 6假设：设变量x11。
如果x11=1,则表示城市i与城市j直接相连（即先后紧接到达关系），否则若x11=0，则表示城市i与城市j不相连。
特别说明：xij和xji是同一变量，都表示表示城市i与城市j是否有相连的关系。
这里取其中xij (i<j)的变量。
模型建立：由于这是一个最短路线的问题，且变量已经设好。
运筹学上机试题5-图论
四、图论1、求下图中从v1到v3最短路。
v 1v 3v 546从节点 1到节点3的最短路 *************************起点 终点 距离 ---- ---- ---- 1 2 1 2 3 6此问题的解为:7 2、最小生成树电信公司要在15个城市之间铺设光缆，这些城市的位置及相互之间的铺设光缆的费用如下图所示。
试求出一个连接在15个城市的铺设方案，使得总费用最小。
v 1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 9v 10v 11v 12v 13v 14v 152241131456422323135134此问题的最小生成树如下：*************************起点终点距离---- ---- ----1 4 11 2 22 5 25 8 15 6 26 3 18 7 28 9 39 12 212 11 411 10 110 13 313 14 114 15 3此问题的解为:283、最短路问题例. 求下图中从v1到各点的最短路，并指出有哪些点是不可达到的。
vv7v8v4从节点 1到节点2的最短路*************************起点终点距离---- ---- ---- 1 2 4此问题的解为:41到3没有路1到4没有路从节点 1到节点5的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1此问题的解为:1从节点 1到节点6的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1 5 6 6此问题的解为:7从节点 1到节点7的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 7 3此问题的解为:3从节点 1到节点8的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1 5 6 66 8 3此问题的解为:104、最短路问题有6个村庄，各村庄的距离如下图所示。
运筹学-14最短路
9
[1,v1]
[9,v5] [12,v5] [10,v5]
v1 v3 v2 v5 v8 12
v1 v9Leabharlann • 有向图的最短路问 题我会了，可是无
向图的最短路问题 怎样求？
最短路问题
• 一个旅行者从城市V1出发到V10，各城市之间的 距离如图所示，问如何确定旅行路线，才能使
总旅程最短？
2. X,X ’= 3. v9标号[]
求从v 1到各点的最短路(3)
v1 v3 v2
5
v1 v3
3
[5,v3]
[6,v2]
[]
v1 v4
1
v1 v3 v2 v5
6
v1 v3 v2 v5 v6
v1 v3 v2 v5 v7
[0,0]
[3,v1]
10
一旦找到v的最短路就把顶点v割是一个弧集每一条弧计算kijij最小到不了该点标号法dijkstrs算法到各点的最短路11v标号00002minxxminvmin06321105到各点的最短路200min6463661101091211min6466110941012111310vmin66941213到各点的最短路300有向图的最短路问题我会了可是无向图的最短路问题怎样求
(1, V1)
标号法
(10, V4)
[0，0]
(9,V7) (5, V8)
(8, V6)
(3,V1)
(11, V8)
V3：(10,V4) X=V1,V2,V8,V6,V7,V4,V3, X’=V5,V9,V10
(X,X’)={(V8,V9)(V7,V9)(V7,V10)(V3,V10)(V4,V5)(V7,V5)(V3,V5)}
中南大学现代远程教育平台—运筹学课程作业答案
《运筹学》作业答案作业一一、是非题：1.图解法与单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。
（√）2.线性规划问题的每一个基解对应可行解域的一个顶点。
（╳）3.如果线性规划问题存在最优解，则最优解一定可以在可行解域的顶点上获得。
（√）4.用单纯形法求解Max型的线性规划问题时，检验数Rj＞0对应的变量都可以被选作入基变量。
（√）5.单纯形法计算中，如果不按最小比值规划选出基变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负。
（√）6.线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解。
（╳）7.若线性规划问题具有可行解，且可行解域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解。
（╳）8.对一个有n个变量，m个约束的标准型线性规划问题，其可行域的顶点数恰好为mnC个。
（╳）9.一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
（√）10.求Max型的单纯形法的迭代过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解。
（√）二、线性规划建模题：1.某公司一营业部每天需从A、B两仓库提货用于销售，需提取的商品有：甲商品不少于240件，乙商品不少于80台，丙商品不少于120吨。
已知：从A仓库每部汽车每天能运回营业部甲商品4件，乙商品2台，丙商品6吨，运费200元/每部；从B仓库每部汽车每天能运回营业部甲商品7件，乙商品2台，丙商品2吨，运费160元/每部。
问：为满足销售量需要，营业部每天应发往A、B两仓库各多少部汽车，并使总运费最少解：设营业部每天应发往A、B两仓库各x1，x2部汽车,则有：12 121212min200160 47240 2280 621200(1,2)jW x xx xx xx xx j=++≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥=⎩2.现有一家公司准备制定一个广告宣传计划来宣传开发的新产品，以使尽可能多的未来顾客特别是该企业计划用于此项广告宣传的经费预算是80万元，此外要求：①至少有200万人次妇女接触广告宣传；②电视广告费用不得超过50万元, ③电视广告至少占用三个单元一般时间和两个单元黄金时间, ④广播和报纸广告单元均不少于5个单元而不超过10个单元。
运筹学最短路
附件2《运筹学》最短路、最小费用最大流经典作品关于钢管订购和运输的优化模型队员：陈显健陈瑜斌陈振松2007年6月5日摘 要： 本文首先运用图论知识中的最短路算法求出i S 到j A 的最优路径。
然后将模型转化为最小费用最大流的网络优化问题，从而求出近似最优解。
在分析出求解该网络优化模型的解法后，运用Lingo 软件包求出了该问题的近似最优解。
对问题一而言，求出了较优的订购和运输计划（见表三），其最小费用为1291630万元。
对于第二个问题而言，可得出钢厂6S 的钢管销价的变化对购运计划和总费用的影响最大；钢管厂1S 的钢管产量的上限的变化对总费用的影响最大，钢管厂3S 的产量上限的变化对购运计划的影响最大。
对问题三，给出了一般解，求出了较优的订购和运输计划（见表四），其最小费用为1396099万元，最后对模型进行了综合评价并提出了改进方向。
关键词：网络流 最小费用最大流一、 问题重述要铺设一条1521A A A →→→ 的输送天然气的主管道，如图一所示,经筛选后可以生产这种主管道的钢厂有721,,,S S S 。
图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道（假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路），圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程（单位km ）。
为了方便，1km 主管道称为1单位钢管。
一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。
钢厂i S 在指定期限内能生产该钢管的最大生产数量为i s 个单位，钢厂出厂销价为i p 万元，如下表：表一1单位钢管的铁路运价如下表：（表二）1000km 以上每增加1至100km 运价增加5万元。
公路运输费用为1单位管道每公里0.1万元（不足整公里的按整公里计算）。
管道可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点1521A A A →→→ ，而是管道全线）。
要求：（1） 请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小，并给出总费用。
运筹学及其应用10.2 最短路问题
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 6,2 2
∞,1
v9
6
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v6 2 v7 ∞,1
11,4
∞,1
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v2 5,3 1
6 2
v1
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3,1
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1
2
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1,1
v5 6,2 2
∞,1
v9
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3
3 4
10 4
v6 2 v7 9,5
10,5
12,5
v8
19
v2 5,3 1
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v2 6,1 1
6 2
v1
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6
1
2
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v5 ∞,1 2
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4 10
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2
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∞,1
∞,1
∞,1
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1
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《运筹学》 第五章习题及 答案
《运筹学》第五章习题1．思考题（1）试述动态规划的“最优化原理”及它同动态规划基本方程之间的关系。
（2）动态规划的阶段如何划分？（3）试述用动态规划求解最短路问题的方法和步骤。
（4）试解释状态、决策、策略、最优策略、状态转移方程、指标函数、最优值函数、边界函数等概念。
（5）试述建立动态规划模型的基本方法。
（6）试述动态规划方法的基本思想、动态规划的基本方程的结构及正确写出动态规划基本方程的关键步骤。
2．判断下列说法是否正确（1）动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。
（2）动态规划只是用来解决和时间有关的问题。
（3）对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。
（4）在用动态规划的解题时，定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相互独立性。
（5）在动态规划模型中，问题的阶段等于问题的子问题的数目。
（6）动态规划计算中的“维数障碍”，主要是由于问题中阶段数的急剧增加而引起的。
3．计算下图所示的从A 到E 的最短路问题4．计算下图所示的从A 到E 的最短路问题5．计算从A 到B、C、D 的最短路线。
已知各线段的长度如下图所示。
6．设某油田要向一炼油厂用管道供应油料，管道铺设途中要经过八个城镇，各城镇间的路程如下图所示，选择怎样的路线铺设，才使总路程最短？7．用动态规划求解下列各题（1）．222211295max x x x x z -+-=；⎩⎨⎧≥≤+0,52121x x x x ；（2）．33221max x x x z =⎩⎨⎧≥≤++0,,6321321x x x x x x ；8．某人外出旅游，需将3种物品装入背包，但背包重量有限制，总重量不超过10千克。
物品重量及其价值等数据见下表。
试问每种物品装多少件，使整个 背包的价值最大？913 千克。
物品重量及其价值的关系如表所示。
试问如何装这些物品，使整个背包 价值最大？10 量和相应单位价值如下表所示，应如何装载可使总价值最大？303011 底交货量，该厂的生产能力为每月600件，该厂仓库的存货能力为300件，又 每生产100件产品的费用为1000元。
运筹学_08图与网络优化_83最短路问题_
v1标（0，0），给其余的点表（1，+∞）.这时v1为获得P标号的
点，其余均为T标号点.
v2
考察与v1相邻的点v2,v3,v4
因
故把v2的临时标号修改为
6
2
v1
3 v3
1
2
这时λ(v2) =1 同理，得
v4
1Leabharlann v52 v96 4
6 10 3
3
v8
2 v7 4 10 v6
在所有的T标号中，T(v4)最小, 于是令P(v4)=1
5.i=4 v5为刚获得P标号的点，考察与v5相邻的点v6,v7,v8 在所有的T标号中，T(v7)=9最小, 于是令P(v7)=9
6.i=5 v7为刚获得P标号的点，考察与v7相邻的点v8
在所有的T标号中，T(v6)=10最小, 于是令P(v6)=10
7.i=6
v6为刚获得P标号的点，从v6出发没有弧指向不属于v6的点 在所有的T标号中，T(v8)=12最小, 于是令P(v8)=12
2.i=1 v4为刚获得P标号的点，考察与v4相邻的点v6
在所有的T标号中，T(v3)=3最小, 于是令P(v3)=3 3.i=2 v3为刚获得P标号的点，考察与v3相邻的点v2
，
在所有的T标号中，T(v2)=5最小, 于是令P(v2)=5
4.i=3 v2为刚获得P标号的点，考察与v2相邻的点v5 在所有的T标号中，T(v5)=6最小, 于是令P(v5)=6
• 这样，对于有p个顶点的图，至多经过p-1步，就可求出从始点vs 到各点vj 及终点的
最短路。
适用于wij≥0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。
具体算法步骤：
0.开始时，令：S0=｛vs｝，P(vs)=0，λ(vs)=0，
运筹学最短路问题及程序
运筹学最短路问题----------关于旅游路线最短及程序摘要：随着社会的发展，人民的生活水平的提高，旅游逐渐成为一种时尚，越来越多的人喜欢旅游。
而如何才能最经济的旅游也成为人民考虑的一项重要环节，是选择旅游时间最短，旅游花费最少还是旅游路线最短等问题随之出现，如何决策成为一道难题。
然而，如果运用运筹学方法来解决这一系列的问题，那么这些问题就能迎刃而解。
本文以旅游路线最短问题为列，给出问题的解法，确定最短路线，实现优化问题。
关键词：最短路 0-1规划约束条件提出问题:从重庆乘飞机到北京、杭州、桂林、哈尔滨、昆明五个城市做旅游，每个城市去且仅去一次，再回到重庆，问如何安排旅游线路，使总旅程最短。
各城市之间的航线距离如下表：重庆北京杭州桂林哈尔滨昆明重庆0 1640 1500 662 2650 649北京1640 0 1200 1887 1010 2266杭州1500 1200 0 1230 2091 2089桂林662 1887 1230 0 2822 859哈尔滨2650 1010 2091 2822 0 3494昆明649 2266 2089 859 3494 0问题分析：1．这是一个求路线最短的问题，题目给出了两两城市之间的距离，而在最短路线中,这些城市有的两个城市是直接相连接的（即紧接着先后到达的关系），有些城市之间就可能没有这种关系，所以给出的两两城市距离中有些在最后的最短路线距离计算中使用到了，有些则没有用。
这是一个0-1规划的问题，也是一个线性规划的问题。
2．由于每个城市去且仅去一次，最终肯定是形成一个圈的结构，这就导致了这六个城市其中有的两个城市是直接相连的，另外也有两个城市是不连接的。
这就可以考虑设0-1变量，如果两个城市紧接着去旅游的则为1，否则为0。
就如同下图3. 因为每个城市只去一次，所以其中任何一个城市的必有且仅有一条进入路线和一条出去的路线。
解法：为了方便解题，给上面六个城市进行编号，如下表（因为重庆是起点，将其标为1）重庆北京杭州桂林哈尔滨昆明123456假设：设变量x11。
运筹学习题及答案1
一、用动态规划方法求解下列问题某公司有资金400万元，向A，B，C三个项目追加投资，三个项目可以有不同的投资额度，相应的效益值如下表所示，问如何分配资金，才使总效益值最大？二、推导确定型存贮问题中“不允许缺货，补充需要一定时间”的数学模型。
其中包括：假设条件、库存状态变化分析图、存贮费用分析、最佳经济批量、最小存贮费用三、作图题，请写明步骤1、用避圈法找出下图的最小支撑树，并绘出最小支撑数图2、求出图中从V1~V6的最短路线；四、绘制网络图，计算时间参数，找出关键线路，若资源限量为10人/天，试用资源安排方法求出“资源有限，工期最短”的网络计划。
答案一、用动态规划方法求解下列问题1、解：1、阶段划分：按项目划分为三个阶段；2、状态变量k y ；3、决策变量k x ；4、状态转移方程：k k k x y y -=+15、阶段收益k v —查表6、指标函数：)](m ax [)(11+++=k k k k k y f v y f7、边界条件：04=fK=3时K=2时K=1时回溯过程：41=y 31=x 12=y 02=x 13=y 13=x万190)(11=y f二、推导确定型存贮问题中“不允许缺货，补充需要一定时间”的数学模型。
其中包括：假设条件、库存状态变化分析图、存贮费用分析、最佳经济批量、最小存贮费用(一)、假设条件：1、补充需要一定的时间；生产（供货）时间T ；速度为P ；2、生产（订购）产量：Q=P ·T3、C 1、C 3为常数，C 2=0，若缺货C 2 ∞4、需求速度：R 是一连续而均衡的常数，R ＜P ；5、补充周期t ：P tR T T P t R Q ⋅=⇒⋅=⋅= PRt T tR T P T R t R T R T P T t R T R P T t R S T R P S =⋅=⋅⋅-⋅=⋅-⋅-⋅=⋅-∴-=⋅-=)()()(;)( (二)、存贮状态变化图（边生产边向外输出）[0，T] P －R ＞0[T ，t] S —最大库存量，S ＜Q （以一个周期内单位库存费用最小为目标）在T 区间内，库存量以P －R 的速率在增加，在t －T 区间内，库存量以R 的速率在减少，因而在T 时间内以(P －R)的速度供应产品应等于在t －T 时间内以R 的速度的需求消耗。
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作业：
课堂作业：书本P182第5题第(1)题
最短路径为7521v v v v ---
课后作业：
1、 求下列赋权无向网络图s 到t 的最短路径
P:∑∈=
A v v ij ij j i f w z ),(min
最短路径为S-3-5-T
2、某公司正在研制一种有极好销售潜力的新产品。
当研究工作接近完成时，公司获悉一家竞争者正计划生产这种产品。
要突击赶制出这种产品以参与竞争，还有四个互不重叠的阶段。
为了加快进度，每个阶段都可采取“优先”或“应急”的措施。
不同的措施下每段工作所需要的时间（月）和费用（百万元）如小下表示。
现有一千万元资金供这四个阶段使用，则每
解得在一千万元资金供应的条件下最短时间为10个月。
要求：在本文档中写出问题的数学模型，在Excel 中计算，并将求解结果写入该文档。