运筹学论文最短路问题

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运筹学——.图与网络分析-最短路

到）。这样设备更新问题就变为：求从 v1 到v6 题.
的最短路问
项目购买费机器役龄维修费残值
第1年 11 0-1 5 4
表2 第2年 12 1-2 6 3
第3年 13 2-3 8 2
第4年 14 3-4 11 1
第5年 14 4-5 18 0
59
40
28
30
19
21
v1
12 v2 13 20 v3 14
有权
(
vi v j

表示 vs ，
vt
为图中任意两点，求一条道路，使它
是从到
L() lij
的所有路中总权最小(v的i ,vj路)。即：
最小。
最短路算法中1959年由 Dijkstra
（狄克斯特洛）
提出的
Dijkstra
算法被公认为是目前最好的方法，我们称之为
算
法条。件下：面所通有过的例权子数来lij说明0此法的基本思想。
v2 (4)
5
v4
9
v6
4
1
v1 (0)
4
75
5
v8
①
64
1
②
v3(6)
7 v5 6
v7
③
3）接着往下考察，有三条路可走：(v1, v3 ), (v2, v4 ), (v2 , v5 ).

最短路问题数学模型

最短路问题是指在带权有向图中，求两个顶点之间的最短路径。这个问题在现实生活中有很多应用，如在交通规划、电信网络设计、人工智能等领域。为了解决这个问题，需要建立一个数学模型。

数学模型是指用数学方法对实际问题进行抽象和描述，从而进行定量分析和求解的方法。对于最短路问题，可以使用图论和运筹学的方法建立数学模型。

在图论中，最短路问题可以使用迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法求解。这些算法基于图的边权和，采用动态规划的思想，逐步计算每个节点到源节点的最短距离，最终得到整个图中每对节点之间的最短路径。

在运筹学中，最短路问题可以被看作是一种线性规划问题。可以将每个节点看作是一个决策变量，节点之间的边权看作是线性约束条件，目标函数则是从源节点到目标节点的路径长度。通过对目标函数进行最小化，可以得到最短路径的解。

总之，最短路问题数学模型可以通过图论和运筹学的方法进行建立和求解。建立好的数学模型可以为实际问题提供科学解决方案，优化效率和效果。

- 1 -

运筹学：第2章图与网络分析第3节最短路

第三节最短路问题
例：求网络图中，起点v1到终点v8之间的一条最短
路线。
v2
1
v5
6
2
3
6
v1
v3
2
v9
6 3
10 3
1
2
v8
4
2 v7
v4
10
v6
(一)、狄克斯拉(Dijkstra)标号算法
基本思想：从起点vs 开始，逐步给每个结点vj标号[dj ，vi]，其
中dj为起点vs到vj的最短距离， vi为该最短路线上的前一结点。
年份购置费使用年数维修费
1
2
3
4
5
18 20 21 23 24
0~1 1~2 2~3 3~4 4~5
5
7 12 18 25
v1 23
v2
25
v3 26
v4 28
v5 29
wenku.baidu.com
v6
年份购置费使用年数维修费
1
2
3
4
5
18 20 21 23 24
0~1 1~2 2~3 3~4 4~5
5
7 12 18 25
算法步骤：
1.给始点v1标号[0，v1] 。
2. ：把顶点集V分成VA ：已标号点集 VB ：未标号点集
3.考虑所有这样的边[vi ，vj] ：其中vi VA ，v j VB ，挑选

运筹学最短路问题实验报告

姓名：雷超敏

学号：10069107

班级：安全101

指导教师：冯树虎

一、实验目的：

1、学会独立建模能力，并用模型解决相关现实问题。

2、通过实验，把所学的运筹学理论知识与实践相结合，从而强化相关理论知识。

3、进一步加强对现实问题的认识，提高独立运用理论知识解决现实问题。

4、通过上机实验检验运筹学理论，发现相关理论知识的适用范围及不足。

二、实验任务：

1、提出一个有关运筹学的实际问题；

2、建立模型；

3、运用软件进行求解；

4、撰写分析报告。

三、实验软件

Excel2003

运筹学第六章6.2最短路问题

第一步：第一步：始点标上固定标号 p(v1) = 0 ,其余各其余各点标临时性标号 T(vj)=∞, j≠1; ∞ ≠ 第二步：第二步：考虑满足条件 ① (v1 , v j ) ∈ A 的所有点 v j ；具有T 标号， ② v j 具有标号，即 v j ∈ s ， s 为T 标号点集。标号点集。修改 v j 的T标号为 min{T (v j ), p(v1 ) + l1 j } ，并标号为将结果仍记为T(vj) 将结果仍记为
（4）计算步骤及例：
第三步：若网络图中已无T标号点标号点，第三步：若网络图中已无标号点，停止计算。否则令计算。否则,令
T ( v j0 ) =
min {T ( v )}
v j ∈s j
,
标号改成P 然后将 v j0 的T 标号改成标号，转入第二步。二步。此时，要注意将第二步中的 v1 改为 v j0 。此时，
2 ,3, L , N ）
使用条件— 使用条件—没有负回路
3. 海斯算法
算法思想：算法思想：利用v 利用 vi 到 vj 的一步距离求出 vi 到 vj 的一步距离求出v 的两步距离, 的两步距离 , 再由两步距离求出四步距离,经有限步迭代即可求得v 距离,经有限步迭代即可求得vi到vj的最短路线和最短距离。最短路线和最短距离。
6-2. 最短路问题

管理运筹学第7章最短路实例

s.t. f12 f14 F 10, f12 f 23 f 25 , f14 f 43 f 46 f 47 , f 23 f 43 f 35 f 36 , f 25 f 35 f 57 , f 36 f 46 f 67 , f 57 f 67 f 47 f12 f14 , f ij cij , (i 1, 2, , 6; j 2,3, 7), f ij 0, (i 1, 2, , 6; j 2,3, 7),
16 v3 17 22 30
18
v6
v1
最终得到下图，可知，v1到v6的距离是53，最短路径有两条： v3 v6和 v1 v 4 v6
59 22 V1 （0,s） 16 30 41 (30,1) v4 23 41 17 31 18 (41,1) v5 v6 (53,3) (53,4) 23
16 v3 17 V2 （16,1） (22,1) 30
管理运筹学
8
§4 最大流问题
• 最大流问题：给一个带收发点的网络，其每条弧的赋权称之为容量，在不超过每条弧的容量的前提下，求出从发点到收点的最大流量。一、最大流的数学模型例6 某石油公司拥有一个管道网络，使用这个网络可以把石油从采地运送到一些销售点，这个网络的一部分如下图所示。由于管道的直径的变化，它的各段管道（vi,vj）的流量cij（容量）也是不一样的。cij的单位为万加仑/小时。如果使用这个网络系统从采地 v1向销地 v7运送石油，问每小时能运送多少加仑石油？

运筹学-14最短路

v5,v6,v7
,
v8,v[19,}v1]
2. min{X, X’}= min{v1v2,v1v3, v4v6}=min{0+6,0+3,1+10}={3}
3. v3标号[3,v1] 1.X={v1, v3, v4}; X’={v2, v5,v6,v7 , v8,v9 }
2. min{X, X’}= min{v1v2, v3v2, v4v6}=min{0+6, 3+2,1+10}={5}
[0，0]
标号法
(1, V1)
(3,V1)
V2：[1,V1 ] X=V1,V2,X’=V3,V4,V5,V6,V7,V8,V9,V10
(X,X’)={(V1,V4),(V1,V6),(V1,V8),(V2,V3), (V2,V4)}
Min{,(V1,V4),(V1,V6),(V1,V8), (V2,V3), (V2,V4)} ={0+10,0+6,0+3,1+10,1+10}={3} V8标号:(3, V1)
(3,V1)
(11, V8)
V9：(11,V8) X=V1,V2,V8,V6,V7,V4,V3,V9, X’=V5,V10
(X,X’)={(V7,V10)(V3,V10)(V4,V5)(V7,V5)(V3,V5)(V9,V10)}

运筹学课件(第十讲)—最短路问题

为P标号点，其他各点为T标号点，修正S集合（3）从新得到的P标号点出发，计算vs点到P标号点相邻的可达点
的权值，修正T标号点，并从所有的T标号点选出权值最小点改为P 标号点，修正S集合（4）重复步骤（3），直到S集合中包含图中所有点。通过“反向追踪”寻找最短路
Operation Research
Operation Research
Hale Waihona Puke Baidu例1
第八讲
Operation Research
实例2 求从1出发到5的最大流
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
实例
第八讲
Operation Research
第八讲
运筹学课程
Operation Research
最短路问题
定义
第八讲
求最短路有两种算法，一是求从某一点至其他各点之间最短距离的Dijkstra(狄克斯屈拉)算法；另一种是求网络图上任意两点之间最短距离的矩阵算法.
Operation Research
第八讲
求解方法——Dijkstra法（1）
基本思想
第八讲
Operation Research
求解方法——矩阵算法（2）
求解步骤
（1）构造初始权距离矩阵D(0)

运筹学论文最短路问题

运筹学论文

——旅游路线最短问题

摘要：

随着社会的发展，人民的生活水平的提高，旅游逐渐成为一种时尚，越来越多的人喜欢旅游。而如何才能最经济的旅游也成为人民考虑的一项重要环节，是选择旅游时间最短，旅游花费最少还是旅游路线最短等问题随之出现，如何决策成为一道难题。然而，如果运用运筹学方法来解决这一系列的问题，那么这些问题就能迎刃而解。本文以旅游路线最短问题为列，给出问题的解法，确定最短路线，实现优化问题。

关键词：最短路 0-1规划约束条件

提出问题:

从重庆乘飞机到北京、杭州、桂林、哈尔滨、昆明五个城市做旅游，每个城市去且仅去一次，再回到重庆，问如何安排旅游线路，使总旅程最短。

各城市之间的航线距离如下表：

问题分析：

1．这是一个求路线最短的问题，题目给出了两两城市之间的距离，而在最短路线中,这些城市有的两个城市是直接相连接的（即紧接着先后到达的关系），有些城市之间就可能没有这种关系，所以给出的两两城市距离中有些在最后的最短路线距离计算中使用到了，有些则没有用。这是一个0-1规划的问题，也是一个线性规划的问题。

2．由于每个城市去且仅去一次，最终肯定是形成一个圈的结构，这就导致了这六个城市其中有的两个城市是直接相连的，另外也有两个城市是不连接的。这就可以考虑设0-1变量，如果两个城市紧接着去旅游的则为1，否则为0。就如同下图

3．因为每个城市只去一次，所以其中任何一个城市的必有且仅有一条进入路线和一条出去的路线。

LINGO解法：

为了方便解题，给上面六个城市进行编号，如下表（因为重庆是起点，

将其标为1）

运筹学-最短路问题[课件参考]

1
2
v4
1
v5
2 v9
6 4
6 10 3
3
v8
10
v6
2 v7 4
P(v1 ) 0,T (vi ) (i 2, 3, , 9), (v1 ) 0,
(2) T (v2 ) min{T (v2 ), P(v1) w12} min{ , 0 6} 6
2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 (vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
T (v j ) min[T (v j ) , P(vi ) wi j ]
3.比较与vi相邻的所有具有T标号的节点，把最小者改为P 标号，即： P(vk ) min[T (vi )]
运筹学
( Operations Research )
精选课件
Chapter8 图与网络优化
本章主要内容：
§8.1 图的基本概念 §8.2 树 §8.3 最短路问题 §8.4 网络最大流问题 §8.5 最小费用最大流问题 §8.6 中国邮递员问题
精选课件
Page 3
§8.3 最短路问题
The Shortest-Path Problem
min｛d(v1,,v1)+ω12,d(v1,v1)+w13，d(v1,v1)+w14=d(v1,v1)+w14=1

最短路问题

第三章
运输合理化
Transportation
第二节运输优化的基本问题
（一）动态规划的基本概念 1．阶段．描述阶段的变量称为阶段变量，常用k表示表示。描述阶段的变量称为阶段变量，常用表示。如阶段变量个阶段来求解，＝，，，，，例中可分为 6 个阶段来求解，k＝1，2，3，4，5，6 2．状态．在例中，状态就是某阶段的出发位置出发位置。在例中，状态就是某阶段的出发位置。它既是该阶段某支路的起点又是前一阶段某支路的终点起点，终点。阶段某支路的起点，又是前一阶段某支路的终点。描述过程状态的变量称为状态变量状态变量。述过程状态的变量称为状态变量。阶段的状态变量。常用S 表示：常用 k表示：第 k阶段的状态变量。如在例中，第三阶段的状态变量如在例中，阶段有四个状态，阶段有四个状态，则记为 S3＝{ C1，C2，C3，C4 }。，，，。
1
2
n
多阶段决策问题举例如下：多阶段决策问题举例如下：举例如下
第三章运输合理化
Transportation
第二节运输优化的基本问题
如果给定一个线路网络，例：最短路线问题如果给定一个线路网络，两点之间连线上的数字表示两点间的距离（或费用）试求一条由A到连线上的数字表示两点间的距离（或费用），试求一条由到 G的线路，使总距离为最短（或总费用最小）。的线路，的线路使总距离为最短（或总费用最小）

运筹学最短路径问题

在运筹学中，最短路径问题是指寻找图中两个节点之间的最短路径。最短路径可以通过一系列边连接起来，使得路径上的累计权值总和最小。

最短路径问题是运筹学中的经典问题，有广泛的应用领域，如交通网络规划、物流路径优化等。常见的最短路径算法包括迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。

迪杰斯特拉算法是用于解决单源最短路径问题的一种算法。它从起点开始，通过不断更新节点的最短路径估计值和前驱节点，逐步扩展到其他节点，直到找到目标节点或所有节点都被处理。

弗洛伊德算法是用于解决全源最短路径问题的一种算法。它通过动态规划的方式，对所有节点之间的最短路径进行逐步计算和更新，最终得到所有节点之间的最短路径。

除了迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法，还有其他一些算法可以用于解决最短路径问题，如贝尔曼-福特算法和A*算法等。

总之，最短路径问题在运筹学中具有重要的实际应用价值，可以通过不同的算法来求解。这些算法在实践中可以根据具体的问题特点和需求选择合适的算法进行求解。

运筹学及其应用10.2 最短路问题

从v1 到 v8 的最短路线为：
v1
v3 v2 v5 v8
23
步骤：
1、给起点一个永久标号（0，0）。标号中的第一个数表示从起点到该点的距离；第二个数表示该点的前面没有点了。
2、修改非永久标号点 vi 的临时标号为 (a,b), 其中 a 为以 vi 为终点的弧长，如果其起点为永久标号，则求其永久标号的第一个数与弧长的和，如果这样的和有多个，则取最小值。b为前一个点的下标。
3、在临时标号中取第一个标号的最小值，将该标号改为永久标号，再返回到 2步
24
作业： P254 6.1
25
无向图上的Dijkstra算法
方法： 1. 无向变有向 2. 寻找邻点时注意区别结果：
所有顶点都有标号；最优结果不会劣于相应有向图的最优结果。
26
注：含有负权的最短路
v1 2
1 v2
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 ∞,1 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
∞,1
∞,1
∞,1
v9
3
∞,1
v8
12
v2 6,1 1
6 2
v1
3
3,1

第3节最短路问题运筹学胡运权__清华大学出版社

5
[6, v2]
v6
2.5
1
v4
[4, v1]
3
v7
2
v9 [8.5, v6]
[7, v4/ v6] 2
4
v8
[9, v7]
[课堂练习] 无向图情形
求网络中v1至v7的最短路。
v2
2
2
7
v1
5
v3
5
v6 5
v7
3
13
1
7
v4
5
v5
[课堂练习] 无向图情形
答案（1）：
v2 [2,v1]
v1
2
2
5
7
1
-2
8 -5
3
2
-7
v4
-1
v5 -3
1
-3
v6 7
v8
-1
6
1
-5
v7 -5
第1年 11
最短路问题—应用举例
第2 年第3 年第4 年
11
12
12
第5年 13
使用年数 0-1 1-2
2-3
3-4
4-5
维修费用 5
6
8
11
18
59
v1
16 22 16
v2
30 41
v3 17 v4
22

最短路问题的实际应用论文

金华双龙洞旅游路线中最短路问题

摘要：

金华双龙洞景点分布较多，通过对其旅游路线的设置，转化为图论内容中的最短路情景进行讨论，建立模型，并通过搜索资料，利用几种方法解决路线最小的问题。

关键字：

数学建模最短路问题 lingo Dijkstra法 flod算法

一、研究背景：

在旅游过程中，我们常常感觉到自己一天下来走了很多路，回到宾

馆脚痛的不行。但其实我们可以利用运筹学的知识，通过建立数学

模型，转化为图论的内容。从而较为合理的制定出选择的路线（即

最短路问题）。

因而这次的小论文，我主要探究一下几个问题：

1.从景点进口到出口的最短路程。（最短路问题）

2.从景点到出口的最长路线。

3.建立的模型是否满足能回到起点（古典图论问题）

二、研究内容：

根据从互联网中搜索的资料，金华双龙洞的主要景点：景区进口双

龙洞，冰壶洞，朝真洞，桃源洞，黄大仙祖宫五个，其余为小景点

（若要加入，同样可以按照以下问题的研究方法进行讨论）现在忽

略。

问题总假设：分别设置双龙洞，冰壶洞，朝真洞，桃源洞，黄大仙

祖宫五个景点为A,B,C,D,E五点，根据现实及假设，可以得到如图

所示的路线图：

再利用用Dijkstra算法求解无负权网络的最短路。同时也可以利用此法算出最长路程。

问题一的解决：以A为景点出口，E为出口。

故A点标号为P（a）=0 给其余所有的T标号T（i）=+∞

考虑与A相邻的两个顶点BC，两个顶点为T标号，故修改这两个点的标号为：T(b)=min[T(b),P(a)+l12]=min[+∞,0+3]=3

T(c)=min[T(c),P(a)+l13]=min[+∞,0+2]=2

运筹学最短路问题及程序

运筹学最短路问题

----------关于旅游路线最短及程序

摘要：随着社会的发展，人民的生活水平的提高，旅游逐渐成为一种时尚，

越来越多的人喜欢旅游。而如何才能最经济的旅游也成为人民考虑的一项

重要环节，是选择旅游时间最短，旅游花费最少还是旅游路线最短等问题

随之出现，如何决策成为一道难题。然而，如果运用运筹学方法来解决这

一系列的问题，那么这些问题就能迎刃而解。本文以旅游路线最短问题为

列，给出问题的解法，确定最短路线，实现优化问题。

关键词：最短路 0-1规划约束条件

提出问题:

从重庆乘飞机到北京、杭州、桂林、哈尔滨、昆明五个城市做旅游，每个城市去且仅去一次，再回到重庆，问如何安排旅游线路，使总旅程最短。

各城市之间的航线距离如下表：

重庆北京杭州桂林哈尔滨昆明

重庆0 1640 1500 662 2650 649

北京1640 0 1200 1887 1010 2266

杭州1500 1200 0 1230 2091 2089

桂林662 1887 1230 0 2822 859

哈尔滨2650 1010 2091 2822 0 3494

昆明649 2266 2089 859 3494 0

问题分析：

1．这是一个求路线最短的问题，题目给出了两两城市之间的距离，而在最短路线中,这些城市有的两个城市是直接相连接的（即紧接着先后到

达的关系），有些城市之间就可能没有这种关系，所以给出的两两

城市距离中有些在最后的最短路线距离计算中使用到了，有些则没

有用。这是一个0-1规划的问题，也是一个线性规划的问题。

2．由于每个城市去且仅去一次，最终肯定是形成一个圈的结构，这就导致了这六个城市其中有的两个城市是直接相连的，另外也有两个

运筹学论文最短路问题

运筹学——.图与网络分析-最短路

最短路问题数学模型

运筹学：第2章 图与网络分析 第3节 最短路

运筹学最短路问题实验报告

运筹学第六章6.2最短路问题

管理运筹学 第7章 最短路实例

运筹学-14最短路

运筹学课件(第十讲)—最短路问题

运筹学论文最短路问题

运筹学-最短路问题[课件参考]

最短路问题

运筹学最短路径问题

运筹学及其应用10.2 最短路问题

第3节 最短路问题__运筹学__胡运权__清华大学出版社

最短路问题的实际应用论文

运筹学最短路问题及程序

运筹学：第2章图与网络分析第3节最短路

管理运筹学第7章最短路实例

第3节最短路问题运筹学胡运权__清华大学出版社