机器人学-第2章 机器人运动学(4)

表示法线(normal)，指向(oritentation)，和接近(approach)。这样， 坐标系就可以由三个向量以矩阵的形式表示为
F nnxy
ox oy

x y

nz oz z
1. 位置描述
II. 坐标系不在固定参考坐标系的原点:可以在该坐标系
的原点与参考坐标系原点之间做一个向量，而这个向量 由上节中提到的参考坐标系的三个坐标向量表示。这样， 这个坐标系就可以由三个表示方向的单位向量以及第四 个位置向量来表示。
Pz
图 1.1笛卡尔坐标系
1. 位置描述
1.2 三维空间点P的齐次坐标：
加入一个比例因子w, 位置向量可以写
为：
Px
P


Py


Pz 1

wPx a
Байду номын сангаас

wPy



b


wPz w

c w
X/u p
OG r
q Y/v
Z/w
图2-1 固定坐标系下六个自由度上的运动分量
2.1 姿态描述
A xB ,A yB ,A ZB 表示与{B}的坐标轴
平行的三个单位矢量在坐标系 {A}中的描述。 A R表B示刚体B 相对于坐标系{A}的姿态。
r11 r12 r13
A RB A xB ,A yB ,A ZB r21

T
B B B 1
px py pz



px py pz
B B B
px

py


A
pz
p B
p A
pB
其中px , py和pz是纯平移向量APB相对 于参考坐标系x , y和z轴的三个分量。 矩阵的前三列表示没有旋转运动 （等同于单位阵），而最后一列表示 平移运动。
运动学逆问题：机器人运
动学逆问题，是已知满足
某工作要求时末端执行器
的位置和姿态，以及各连
杆的结构参数，求关节变
量。
How to
move my
hand?
机器人运动学－前言
机器人的微分运动：机器人关 节坐标的微小运动与机器人末 端的位置和姿态的变化之间的 变换关系。
基于速度的运动控制：通常采 用微分运动原理对机器人的各 个关节的运动进行控制。
假 设 i\j\k 是 直 角 坐 标 系 中 X\Y\Z 坐 标 轴的单位向量，则X\Y\Z轴可表示 为
X [1 0 0 0]T Y [0 1 0 0]T Z [0 0 1 0]T
1. 位置描述
1.3 坐标系的表示： I. 在固定参考坐标系原点的表示：用三个相互垂直的单位向量来
表示一个中心位于参考坐标系原点的坐标系，分别为n,o,a，依次
机器人运动学
机器人运动学的主要内容
1. 位置与姿态描述 2. 坐标变换 3. 连杆变换矩阵 4. 机器人正向运动学 5. 机器人逆向运动学
机器人运动学－前言
机器人操作涉及到各物体之间的关系和各物体与机械臂之间的关 系。这一章将给出描述这些关系必须的表达方法。类似这种表示 方法在计算机图形学中已经解决。在计算机图形学和计算机视觉 中，物体之间的关系是用齐次坐标变换来描述的。
nx
F

ny nz
ox oy oz
x y
px py

z
pz

0 0 0 1
1. 位置描述
示例：坐标系位于参考坐标系的3，5，7的位置。n轴与x轴平行， o轴相对于y轴角度45°，a轴相对于z轴角度45 °）
F= 1 0
03
0 0.707 -0.707 5
0 0.707 0.707 7
00 0 1
2. 姿态描述
姿态描述：刚体的空间表示。
一个刚体在空间有几个自由度？
通常的做法是：定义两个坐标系空 间固定坐标系和刚体固定坐标系。
常用的姿态描述：
旋转矩阵的姿态描述（笛卡尔坐标系 下），
欧拉（Euler）角的姿态描述， 利用横滚（R：Roll）、俯仰（P：
pitch）、偏转（Y：yaw）角 （RPY角）的姿态描述等。
本课程将采用齐次坐标变换来描述机械手各关节坐标之间、各物 体之间以及各物体与机器人(机械臂)之间的关系。
机器人运动学－前言
运动学研究的问题：
运动学正问题：机器人运
动学正问题是已知机器人
各关节、各连杆参数及各
关节变量，求机器人手端
坐标在基础坐标中的位置
和姿态。
Where is
my hand?
r22
r23

r31 r32 r33
A RB n
o
nnxy
ox oy

x y

nz oz z
刚体B相对于坐标系｛A｝的
姿态的旋转矩阵。
A xB r11i r21 j r31k A yB r12i r22 j r32k A zB r13i r23 j r33k
2.1 姿态描述
旋转矩阵的性质：
A RB n
o



nx ny
ox oy

x y

nz
oz

z

单位向量，相互垂直， 正交。
A xB A xB A yB A yB A zB A zB 1 A xB A yB A yB A zB A zB A xB 0
正交矩阵：A RB1 A RBT , A RBT 1
2. 2位姿描述
位置与姿态简称位姿。刚体B在参考坐标系｛A｝中的位 姿利用坐标系｛B｝描述。
齐次变换矩阵形式
nx ox x px
{B} {A RB , A pB}
A TB

ny nz
oy y oz z
p
y

pz

0 0 0 1
3.坐标变换
3.1平移变换（Translation transformation）： 坐标系{B}与｛A｝的方向向量平行，原点不同。
1 0 0 px
T

0 0

1 0
0 1
py pz
,
0 0 0 1
A p T B
p
How to
solve the magic cube ？
1. 位置描述
Z
1.1笛卡尔坐标系：
P(Px , Py , Pz )
在选定的直角坐标系{A}中，
空间任一点P的位置可用
位置矢量
AP表示：
O
Y
A p pxi py j pzk
利用3×1矩阵表示：
Px X
AP


Py