拉格朗日龙格现象
拉格朗日插值龙格现象的matlab实现
拉格朗日插值法在实践中的应 用
在数值分析中的应用
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插值法：拉格朗日插值法是数值分析中常用的插值方法之一，具有简单易 行、计算量小等优点。
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数据拟合：拉格朗日插值法可以用于数据拟合，通过对已知数据进行插值， 得到未知数据的近似值。
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数值微积分：拉格朗日插值法在数值微积分中也有广泛应用，例如在求解 函数的导数、积分等运算时，可以利用拉格朗日插值法进行近似计算。
龙格现象
龙格现象的定义
定义：当插值多项式的阶数过高时， 插值结果可能变得不可预测或出现 剧烈振荡
解决方法：在实际应用中，应避免 使用过高的插值多项式阶数，而应 选择合适的阶数以保证插值结果的 稳定性和准确性
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原因：由于高阶插值多项式对数据 点的敏感性增强，导致插值结果不 稳定
拉格朗日插值龙格现象的 Matlab实现
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拉格朗日插值法
插值法的定义
插值法是一种数学方法，通过已知的离散数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在 数据点处的取值等于已知的数据点值。
算法收敛性：在某些情况下，龙格现象可能导致算法收敛速度减慢，增加计算时间和计算成本。
实际应用限制：由于龙格现象的存在，某些数值方法在实际应用中可能受到限制，无法处理某些 复杂问题。
算法改进需求：为了克服龙格现象的影响，需要研究和发展新的数值方法和算法，提高数值计算 的稳定性和精度。
拉格朗日插值法在Matlab中的 实现
插值法实验报告
实验二插值法1、实验目的：1、掌握直接利用拉格郎日插值多项式计算函数在已知点的函数值；观察拉格郎日插值的龙格现象。
2、了解Hermite插值法、三次样条插值法原理，结合计算公式，确定函数值。
2、实验要求:1)认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法；2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作；3)上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）；4)分析和解释计算结果；5)按照要求书写实验报告；3、实验内容：1) 用拉格郎日插值公式确定函数值；对函数f(x)进行拉格郎日插值，并对f(x)与插值多项式的曲线作比较。
已知函数表：（0.56160,0.82741）、（0.56280,0.82659）、（0.56401,0.82577）、（0.56521,0.82495）用三次拉格朗日插值多项式求x=0.5635时函数近似值。
2) 求满足插值条件的插值多项式及余项1)4、题目：插值法5、原理：拉格郎日插值原理：n次拉格朗日插值多项式为：Ln (x)=yl(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x)n=1时，称为线性插值，L 1(x)=y(x-x1)/(x-x1)+y1(x-x)/(x1-x)=y+(y1-x)(x-x)/(x1-x)n=2时，称为二次插值或抛物线插值，L 2(x)=y(x-x1)(x-x2)/(x-x1)/(x-x2)+y1(x-x)(x-x2)/(x1-x)/(x1-x2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x)/(x2-x1)n=i时，Li= （X-X0）……(X-X i-1)(x-x i+1) ……(x-x n)（X-X0）……(X-X i-1)(x-x i+1) ……(x-x n)6、设计思想：拉格朗日插值法是根据n + 1个点x0, x1, ... x n(x0 < x1 < ... x n)的函数值f (x0), f (x1) , ... , f (x n)推出n次多項式p(x)，然后n次多項式p (x)求出任意的点x对应的函数值f (x)的算法。
龙格现象实验
关于龙格现象的实验报告1．实验目的：观察拉格朗日插值的龙格(Runge)现象.。
2． 实验内容： 对于函数211)(xx f +=进行拉格朗日插值，取不同的节点数n ，在区间[-5,5]上取等距间隔的节点为插值点，把f (x )和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。
具体步骤如下：1）、编写拉格朗日插值函数（并将其存到当前路径的M 文件中）function y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);L=0.0;for j=1:nT=1.0;for k=1:nif k~=jT=T*(z-x0(k))/(x0(j)-x0(k));endendL=T*y0(j)+L;endy(i)=L;end2）、取不同的n 值（注：当n 值不同时，间距间隔10/n 也在发生改变，程序中只需改变x0=-5:10/n:5中的n 值）。
现取n 分别等于4,6,8,10时，程序分别如下（1）取n =4，>> x0=-5:10/4:5;>> y0=1./(1+x0.^2);>> x=-5:0.1:5;>> y=lagrange(x0,y0,x);>> y1=1./(1+x.^2);>> plot(x,y1,'-k') 绘制原函数图象>> hold on>> plot(x,y,'-.r')>>（2）取n=6，>> x0=-5:10/6:5;>> y0=1./(1+x0.^2);>> x=-5:0.1:5;>> y=lagrange(x0,y0,x);>> y1=1./(1+x.^2);>> plot(x,y1,'-k')>> hold on>> plot(x,y,'--h')>>（3）取n=8，>> x0=-5:10/8:5;>> y0=1./(1+x0.^2);>> x=-5:0.1:5;>> y=lagrange(x0,y0,x);>> y1=1./(1+x.^2);>> plot(x,y1,'-k')>> hold on>> plot(x,y,'--g')>>（4）取n=10，>> x0=-5:1:5;>> y0=1./(1+x0.^2);>> x=-5:0.1:5;>> y=lagrange(x0,y0,x);>> y1=1./(1+x.^2);>> plot(x,y1,'-k')>> hold on>> plot(x,y,'--m')>>（5）依次输入上述程序，将f(x)和取不同节点数的插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。
数学建模---插值法
数学建模---插值法插值法
插值法定义
构造⼀个函数，需要这个函数完全过给定点
对于构造函数：
插值⽅法
拉格朗⽇插值法（插值多项式）
1.
三个点时
2.
n个点时
拉格朗⽇插值不⾜ — 龙格现象
当插值函数的阶数越⼤时，在两端的波动极⼤，会产⽣明显的震荡分段插值
n
1. 分段线性插值
每两个点之间分别构成⼀个线段，只⽤到了最近的两个点
2. 分段⼆次插值
选最近的n个已知点，构造n-1次函数
例如：选最近的3个点，构造⼀个⼆次函数
3.
⽜顿插值法例如：
有
点
有
点上两个⽜顿插值只有⼀项不想同，所以⽜顿插值法具有继承性
以上三种⽅法都没有反应被插值函数的导数
4. 埃尔⽶特(Hermite)插值法不但要求在节点的函数值相等，也要求对应的导数值也相等，甚⾄更⾼阶导数也相等分段三次埃尔⽶特插值运⽤了⼀阶导数相等
内置函数：
x ...x 0n −1x ...x 0n
5. 三次样条插值
运⽤了⼆阶连续可微 且 每个区间
是三次多项式
内置函数：
n
维数据插值[x ,x ]i i +1。
高等数值分析拉格朗日插值多项式切比雪夫高斯龙格现象复合梯形辛普森求积公式
高等数值分析拉格朗日插值多项式切比雪夫高斯龙格现象复合梯形辛普森求积公式解答：1.拉格朗日插值函数：function y=lagrange (a,b,x)y=0;if length(a)==length(b)n=length(a);else disp('ERROR!length(a)!=length(b)')return;endfor i=1:nk=1;for j=1:nif j~=ik=k.*(x-a(j))/(a(i)-a(j));endendy=y+k*b(i);end2.问题（a）：function Q_am=100;n=10;x=-1:2/n:1;y=1./(1+9*x.^2);x0=-1:2/m:1;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+9*x0.^2);plot(x0,y0,'--r');hold on;plot(x0,y1,'-b');end3.问题（b）：function Q_bm=100;n=10;x=zeros(1,n+1);for i=1:n+1x(i)=cos((2*i-1)*pi/(2*n+2)); endy=1./(1+9*x.^2);x0=-1:2/m:1;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+9*x0.^2);plot(x0,y0,'--r');hold on;plot(x0,y1,'-b');end4.问题（c）：main.m（m文件）figure(1)Q_a()figure(2)Q_b()syms xy=1/(1+9*x^2);I0=int(y,-1,1);%准确值n=10;x=-1:2/n:1;y=1./(1+9*x.^2);I1=trapz(x,y);%复合梯形x0=zeros(1,n);for i=1:nx0(i)=(x(i)+x(i+1))/2;endy0=2/n*1./(1+9*x0.^2);I2=I1/3+2*sum(y0)/3;%复合辛普森x1=[-0.5384693101 0.5384693101 -0.9061798459 0.9061798459 0];y1=1./(1+9*x1.^2);A=[0.4786286705 0.4786286705 0.2369268851 0.2369268851 0.5688888889]; I3=y1*A'; %高斯5总结：(1).使用等距节点构造的高次拉格朗日插值多项式在正负1附件，插值值与真实值偏差非常大，存在较大的震荡。
拉格朗日插值与多阶多项式
拉格朗日插值与多阶多项式在数学领域中，拉格朗日插值是一种常用的插值方法，用于通过已知的数据点构造一个多项式函数，以逼近未知函数。
这种方法以法国数学家约瑟夫·拉格朗日的名字命名，他在18世纪提出了这一概念。
拉格朗日插值的基本思想是通过构造一个多项式函数，使其在已知数据点处与未知函数相等。
这个多项式函数被称为拉格朗日插值多项式。
它的形式为：P(x) = Σ yi * Li(x)其中，P(x)是拉格朗日插值多项式，yi是已知数据点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。
拉格朗日基函数Li(x)的定义如下：Li(x) = Π (x - xj) / (xi - xj)其中，i ≠ j，xi和xj是已知数据点的横坐标。
通过拉格朗日插值，我们可以在已知数据点处构造一个多项式函数，从而近似地描述未知函数的行为。
这个多项式函数的阶数取决于已知数据点的个数。
如果已知数据点的个数为n+1，那么拉格朗日插值多项式的最高阶数为n。
多阶多项式是指多项式函数的阶数大于1的情况。
在拉格朗日插值中，我们可以通过增加已知数据点的个数来构造更高阶的多项式函数，从而提高近似的精度。
然而，需要注意的是，随着阶数的增加，多项式函数的复杂性也会增加。
高阶多项式函数可能会在数据点之间产生震荡现象，这被称为龙格现象。
为了避免这种情况，我们需要谨慎选择数据点，以及适当控制多项式函数的阶数。
除了拉格朗日插值，还有其他插值方法，例如牛顿插值和埃尔米特插值。
这些方法都有各自的特点和适用范围。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的需求来选择合适的插值方法。
总结起来，拉格朗日插值是一种常用的插值方法，通过构造多项式函数来近似描述未知函数的行为。
多阶多项式可以提高近似的精度，但需要注意控制阶数，以避免龙格现象的出现。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的需求来选择合适的插值方法。
通过插值方法，我们可以更好地理解和分析数据，从而为问题的解决提供有力的支持。
拉格朗日插值法的应用
拉格朗日插值法的应用概述拉格朗日插值法是一种常用的数值分析方法，广泛应用于数据拟合、泛函逼近、差值计算等领域。
本文将从数学原理、计算方法、应用案例等角度全面探讨拉格朗日插值法的应用。
数学原理拉格朗日插值法的基本思想是构造一个多项式，使得该多项式在给定插值节点上的函数值与已知函数值完全一致。
假设给定 n+1 个节点(x0, y0), (x1, y1),…,(xn, yn)，要求通过这些节点构造一个多项式 P(x)，使得对于任意 x，都有 P(xi) = yi。
计算方法利用拉格朗日插值法，可以得到如下的插值多项式：P(x) = Σ( yi * L(x) / L(xi) )，其中L(x) = Π( x - xj ) / Π( xi -xj ) ，j!=i。
在计算插值多项式时，首先需要计算 Lagrange 插值基函数 L(x)。
然后，依次计算每个节点对应的函数值乘以相应的基函数L(x)的比值，最后将所有结果相加，即可得到插值多项式 P(x)。
应用案例1. 数据拟合拉格朗日插值法可以用于数据拟合，通过已知数据点，构造插值多项式，从而估计数据在其他位置的值。
例如，给定一组实验数据点(x0, y0), (x1, y1),…,(xn, yn)，假设我们想要估计在 x=3 的位置的函数值。
我们可以通过拉格朗日插值法构造插值多项式 P(x)，然后计算 P(3)，得到估计值。
2. 泛函逼近拉格朗日插值法可以用于对函数的逼近。
假设给定一个函数 f(x)，我们想要找到一个函数 g(x) 来逼近 f(x)。
可以将 f(x) 的若干个节点上的函数值作为已知数据点，通过拉格朗日插值法构造插值多项式 P(x)，从而得到逼近函数 g(x)。
在实际应用中，通常会选择合适的插值节点，以确保逼近结果的准确性。
3. 差值计算差值是拉格朗日插值法的一种重要应用。
给定一个连续函数 f(x) 和一个节点序列(x0, x1, …, xn)，我们可以通过拉格朗日插值法构造插值多项式 P(x)，从而通过插值多项式来逼近函数 f(x)。
拉格朗日插值法 (2)
在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。
许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解。
如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。
这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。
数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。
拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现[1]，不久后（1783年）由莱昂哈德·欧拉再次发现。
1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起[2]。
对于给定的若n+1个点，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式只有一个。
如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与相差的多项式都满足条件。
定义对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：其中对应着自变量的位置，而对应着函数在这个位置的取值。
假设任意两个不同的x j都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：[3]拉格朗日基本多项式的特点是在上取值为1，在其它的点上取值为0。
存在性对于给定的k+1个点：，拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点取值为1，而在其他点取值都是0的多项式。
这样，多项式在点取值为，而在其他点取值都是0。
而多项式就可以满足在其它点取值为0的多项式容易找到，例如：它在点取值为：。
由于已经假定两两互不相同，因此上面的取值不等于0。
于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足“在取值为1，而在其他点取值都是0的多项式”：这就是拉格朗日基本多项式。
唯一性次数不超过k的拉格朗日多项式至多只有一个，因为对任意两个次数不超过k的拉格朗日多项式：和，它们的差在所有k+1个点上取值都是0，因此必然是多项式的倍数。
实验二_拉格朗日插值龙格现象
汕 头 大 学 实 验 报 告学院: 工学院 系: 计算机系 专业: 计算机科学与技术 年级: 2010 姓名: 林金正 学号: 2010101032 完成实验时间: 5月24日一．实验名称：拉格朗日插值的龙格现象二．实验目的：通过matlab 处理,观察拉格朗日插值的龙格现象.三．实验内容：（1）学习matlab 的使用（2）以实验的方式，理解高阶插值的病态性，观察拉格朗日插值的龙格现象。
四．实验时间、地点，设备：实验时间：5月24日实验地点： 宿舍 实验设备：笔记本电脑五,实验任务在区间[－5，5]上取节点数n=11，等距离h=1的节点为插值点，对于函数25()1f x x =+进行拉格朗日插值，把f(x)与插值多项式的曲线花在同一张图上。
六.实验过程拉格朗日插值函数定义:对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：其中对应著自变数的位置，而对应著函数在这个位置的取值。
假设任意两个不同的xj 都互不相同，那麼应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：[3] 拉格朗日基本多项式的特点是在 上取值为1，在其它的点 上取值为0。
1.使用matlab,新建function.m 文件,使用老师所给代码,构建拉格朗日函数.%lagrange.mfunction y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0;for k=1:nL=1;for j=1:nif j~=kL=L*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=s+L*y0(k);endy(i)=s;endy;程序解释:(x0,y0):已知点坐标x:所求点的横坐标,y:由(x0,y0)所产生的插值函数,以x 为参数,所的到的值2.再一次新建function.m 文件.构建自定义函数: 25()1f x x=+ %f.mfunction y = f(x)y = 5/(1+x*x);end3.在脚本窗口中输入:>>a = [-10:0.2:10]>>for I = 1:length(a)b(i) = f(a(i))end ;%画出原函数(a,b)>>>>for i = 1:length( c)d(i) = f(c(i))end ;%获取插值坐标(c,d)>>e = [-5:0.2:5]>>z = largange(c,d,e);%获取插值坐标函数(e,z) >>plot(a,b,’r-‘,e,z);%画图过程及插图七:实验所得:这次实验是我初步学会Matlab的使用，学会新建function函数，在matlab命令窗口敲入一些基础的命令，同时更深刻地了解了拉格朗日插值的龙格现象。
41欧拉方法和拉格朗日方法
41欧拉方法和拉格朗日方法欧拉方法和拉格朗日方法是微积分中常用的数值计算方法。
它们都是用于近似计算函数在一定范围内的积分值的方法。
下面分别介绍这两种方法的原理和应用。
1.欧拉方法：欧拉方法是由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）提出的一种数值解微分方程的方法。
它基于泰勒级数展开，通过对函数在特定点的近似计算来逼近函数的积分值。
欧拉方法的基本思想是将一个区间等分成若干小区间，然后在每个小区间上用线性函数来逼近原函数。
这样，在每个小区间上，我们可以根据欧拉公式得到该区间上的积分值。
最后将所有小区间上的积分值相加，即可得到整个区间上的积分值。
欧拉方法的步骤如下：1）将积分区间[a,b]等分成n个小区间，其中每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
2）设定一个起始点x0=a，并计算对应的函数值y0=f(x0)。
3）对于每个小区间，根据欧拉公式，通过线性逼近来计算该区间上的积分值，即y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i))。
4）重复第3步，直到x(n)=b，即计算完成。
欧拉方法的优点是简单易于实现，但由于其是线性逼近，所以逼近精度较低，当小区间数过多时，容易产生误差累积。
2.拉格朗日方法：拉格朗日方法是以法国数学家拉格朗日命名的一种数值积分方法。
它基于基本积分公式来进行近似计算，通过构建拉格朗日多项式来逼近原函数。
拉格朗日方法的基本思想是在每个小区间上构建一个拉格朗日多项式，然后通过对多项式进行积分来逼近原函数的积分值。
因为拉格朗日多项式是对原函数的拟合函数，所以它的积分值可以作为原函数积分值的近似。
拉格朗日方法的步骤如下：1）将积分区间[a,b]等分成n个小区间，其中每个小区间的长度为h=(b-a)/n。
2）对于每个小区间，构建一个插值多项式，即通过给定的n+1个点的函数值来确定一个n次多项式。
3）对每个小区间的插值多项式进行积分，即可得到该小区间上的积分值。
4）将所有小区间的积分值相加，即可得到整个区间上的积分值。
数值分析中常用的插值方法
数值分析中常用的插值方法在数值计算中，许多问题都可以用插值方法来近似求解，比如曲线拟合、函数逼近和图像重建等。
插值方法是指在已知数据点的情况下，通过一些数值计算技巧，在每个数据点处构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。
在数据点之间计算函数值时，就可以使用这个多项式函数进行估算。
接下来，我们就来详细介绍一些常见的插值方法。
一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一个经典的插值方法，它的思想是通过给定的数据点，构造一个经过这些点的多项式函数进行逼近。
具体来讲，拉格朗日插值法会首先构造一个基函数，该函数满足只在其对应的数据点处等于1，其余的数据点处等于0。
然后，根据基函数和数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。
最终得到的多项式函数就是插值函数。
优点：简单易懂，使用较为广泛。
缺点：多项式次数较高时造成的误差会较大，且在数据点密集的区域可以出现龙格现象，使得插值函数在某些区间内呈现大幅度振荡。
二、牛顿插值法牛顿插值法是一种递推式的插值方法，它通过利用已知的数据点和前面已经计算出来的差商，得到一个逐步逼近的插值函数。
具体来讲，牛顿插值法会先将已知的数据点连成一条曲线，然后逐个向这条曲线添加新的数据点，每次添加一个新的数据点后，将差商计算出来并加入到之前的差商序列中，最终得到一个多项式函数，它在每个数据点处都能通过数据点。
牛顿插值法的优缺点与拉格朗日插值法相似，但是由于牛顿插值法是递推式的，可以方便的添加新的数据点，因此在数据点多变的情况下，牛顿插值法具有很大的优势。
三、分段插值法分段插值法是一种将插值区间划分为多个子区间的插值方法，在每个子区间内使用插值方法进行插值，然后将所有子区间内的插值函数拼接起来，得到最终的插值函数。
分段插值法主要分为两种：线性分段插值和三次样条插值。
1.线性分段插值线性分段插值的思路很简单，即在每个数据点处构造两条直线，在数据点之间的区间内使用一条直线作为插值函数。
龙格现象
3． 多项式插值的龙格现象考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然，拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高，自然关心插值多项式的次数增加时，()n L x 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格给出的一个例子是极著名并富有启发性的。
设在区间[]1,1-上的函数为：()21125f x x =+，考虑区间[]1,1-的一个等距划分，分点为：21,0,1,2,,iix i nn=-+=则拉格朗日插值多项式为： ()()201125nn i i iL x l x x ==+∑ 其中(),0,1,2,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
要求：（1）选择不断增大的分点数目2,3,n =画出原函数()f x 及插值多项式函数()n L x 在区间[]1,1-的图像，比较并分析实验结果。
解：算法为function lagrangeinterp% graphs of different 'n' clear all;clc x=-1:.01:1;y=1./(1+25.*x.^2); plot(x,y,'-') hold onn=input('n='); x=-1:2/n:1;y=1./(1+25.*x.^2); u=-1:.01:1;v=lagrange(x,y,u);function v = lagrange(x,y,u) % algorithm of lagrange n = length(x); v = zeros(size(u)); for k = 1:nw = ones(size(u)); for j = [1:k-1 k+1:n]w = (u-x(j))./(x(k)-x(j)).*w; endv = v + w*y(k); endplot(x,y,'o',u,v,'--') hold off当选定为2等分时：当选定为3等分时：当选定为5等分时：当选定为10等分时：当选定为15等分时：由上述五个图形可得：在一定范围内，拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的L x也更加靠近被逼近的函数，插值节点但并不是越多越好，当超过某一次数就越高，()n值后，就会在端点处出现龙格现象，而且节点越多，龙格现象越严重。
拉格朗日插值公式和牛顿插值公式
拉格朗日插值公式和牛顿插值公式拉格朗日插值公式和牛顿插值公式是数值分析中常用的插值方法，用于根据给定的一些数据点，推断出未知点的近似值。
本文将分别介绍这两个插值方法的原理和应用。
一、拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的一种插值方法。
它的基本思想是通过一个多项式函数来拟合已知的数据点，从而推断出未知点的值。
具体来说，假设有n+1个数据点(x0, y0),(x1, y1),...,(xn, yn)，其中x0,x1,...,xn是互不相同的实数，y0,y1,...,yn是对应的函数值。
拉格朗日插值公式的表达式如下：P(x) = ∑[i=0 to n] yi * Li(x)其中，P(x)表示通过插值得到的多项式函数，Li(x)是拉格朗日基函数，定义为：Li(x) = ∏[j=0 to n, j≠i] (x-xj) / (xi-xj)拉格朗日插值公式的优点是简单易懂，计算方便。
但是随着数据点的增多，计算量也会增大，且插值函数的阶数较高时容易产生龙格现象，导致插值结果不稳定。
二、牛顿插值公式牛顿插值公式是由英国数学家牛顿在17世纪提出的一种插值方法。
它的基本思想是通过差商的形式来表示插值多项式，从而推断出未知点的值。
具体来说，假设有n+1个数据点(x0, y0),(x1, y1),...,(xn, yn)，其中x0,x1,...,xn是互不相同的实数，y0,y1,...,yn是对应的函数值。
牛顿插值公式的表达式如下：P(x) = ∑[i=0 to n] fi(x) * wi(x)其中，P(x)表示通过插值得到的多项式函数，fi(x)是牛顿插值基函数，定义为：fi(x) = ∏[j=0 to i-1] (x-xj)wi(x)是差商，定义为：wi(x) = ∏[j=0 to i-1] (x-xj) / (xi-xj)牛顿插值公式的优点是计算效率高，且插值函数的阶数较高时也能保持较好的精度。
计算方法 实验报告 拉格朗日 龙贝格 龙格库塔
主界面：
/*lagrange.c*/
float real_value(float x) /*由被插值函数计算真实值*/
c=getchar();
if(c=='N'||c=='n') break;
}
}
/*romberg.c*/
double function(double x) /*被积函数*/
{
return 4.0/(1+(x)*(x));
}
double t(double a,double b,int m) /*计算T1*/
实验二（龙贝格公式）
§公式
§算法描述
§流程图
§运行结果
§结果分析：Romberg积分法是在积分步长逐步折半的过程中，用低精度求积公式的组合得到更高精度求积公式的一种方法，它算法简单，且收敛加速效果极其显著。
实验三（四阶龙格库塔）
§公式
k1=h*f(xn,yn);
k2=h*f(xn+h/2,yn+k1/2);
T1=t(a,b,0);
T2=T1/2.0+t(a,b,1);
S1=(4*T2-T1)/3.0;
T1=T2;
T2=T1/2.0+t(a,b,2);
S2=(4*T2-T1)/3.0;
C1=(16*S2-S1)/15.0;
T1=T2;
T2=T1/2.0+t(a,b,3);
S1=S2;
S2=(4*T2-T1)/3.0;
龙格库塔法的基本思想
龙格库塔法的基本思想
龙格库塔法，又称拉格朗日-龙格-库塔(Rallgendre-Kutta)法，是由德国数学家拉格朗日于1867年和德国数学家库塔于1901年分别提出的数值解法，是一种用于解决初值问题的数值分析方法，是飞行器运动动力学中用于近似解微分方程的方法之一。
龙格库塔法的基本思想是：将积分分成多个小步，将每一步步长求解结果串联起来，从而求出整个时间轴上每一个点的解。
为了满足既定的精度要求，需要不断减小步长，从而增加划分的步数。
如果步长继续减小，微分方程求解速度会变慢很多，故使用龙格库塔方法可较快求解方程。
龙格库塔法的实际应用中，通常是把初值问题用一系列积分步骤替代，每个积分步骤用四阶龙格库塔公式来模拟，每一步的计算结果都有效，最后得到的结果都是基于此，因此更加稳定。
此外，每个积分步骤可以由四步单步计算得出，因此实现和追踪也很容易。
总而言之，龙格库塔法比其他方法计算更快、更准确，可以用于解决复杂的初值问题，近年来大受工业界的欢迎，形成了一种重要的数值解法。
多项式的拉格朗日定理
多项式的拉格朗日定理多项式的拉格朗日定理，也称为拉格朗日插值定理，是多项式插值的一个重要定理。
它提供了一种在给定一组点上构造插值多项式的方法。
拉格朗日定理的核心思想是通过一组已知的点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$，可以找到一个唯一的多项式$P(x)$，使得$P(x_i)=y_i$对于$i=1,2,\ldots,n$成立。
具体来说，拉格朗日定理指出，插值多项式$P(x)$可以通过以下形式构建：$$P(x)=\sum_{i=1}^n y_i \prod_{j\neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$其中，$\prod_{j\neq i}$表示对所有$j\neq i$的项进行乘积运算。
这个定理的意义在于，它提供了一种简单而有效的方法来构建插值多项式。
通过给定一组点的坐标，我们可以使用拉格朗日定理计算出插值多项式的系数，从而得到一个通过这些点的多项式。
拉格朗日插值在许多领域都有广泛的应用，例如数值分析、数学建模和计算机图形学等。
它可以用于逼近函数、计算函数值、进行数值积分等。
然而，需要注意的是，拉格朗日插值也存在一些局限性。
例如，在高次插值时可能会出现龙格现象，即插值多项式在某些点上可能出现不稳定或不准确的情况。
因此，在实际应用中，需要根据具体问题的需求和特点选择合适的插值方法。
此外，还有其他插值方法，如牛顿插值、样条插值等，它们在某些情况下可能比拉格朗日插值更适合。
因此，在选择插值方法时，需要综合考虑准确性、稳定性和计算效率等因素。
总的来说，多项式的拉格朗日定理是插值理论中的重要概念，它为在给定数据点上构建插值多项式提供了一种基本方法。
但在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法，并谨慎处理可能出现的问题。
计算方法拉格朗日插值
第二章 插值法知识点：拉格朗日插值法，牛顿插值法，误差，龙格现象，分段插值。
1.背景实践活动中，表现事务变化的信息往往只是一些离散点值，例如 每个6小时记录一次温度，以此反映一天的气温变化状况，如下表图能从已知这些离散点值信息知道10时的气温是多少吗？如果能通过这些离散点值找到气温变化的规律，也就是说能找到一个反映气温变化规律的“原”函数，就可以知道10时的气温是多少。
但我们能采集到的信息只有这些离散点值，时常给不出反映气温变化规律“原”函数的解析表达式，怎么办？通常可以用近似的办法解决这个问题，办法是构造一个通过所有离散点值的“近似”函数，用这个“近似”函数逼近“原”函数。
如图构造这个“近似”函数的方法称为插值方法。
34 32 30 28 26 24 22 20时间（时）温度（。
C ）34 32 30 28 26 24 22 20温度（。
C ）2.概念实际问题中，能采集到的信息只是一些离散点值{x i,f(x i)}(i=0,1,2,…n)，时常给不出一个函数f（x）的解析表达式，因之，转而考虑选择一个简单的函数ϕ（x）近似替代（原来）f（x）。
定义：设f（x）为定义在区间[a，b]上的函数，x0,x1,…,x n为[a，b]上的互异点，y i=f（x i）。
若存在一个简单函数ϕ（x），满足（插值条件）ϕ（x i）=f（x i），i=0，1，…，n。
则称 ϕ（x）为f（x）插值函数，f（x）为被插函数,点x0,x1,…,x n为插值节点,点{x i,f(x i)},i=0,1,2,…n为插值点。
若用ϕ（x）≈f（x），则计算f（x）就转换为计算 ϕ（x）。
插值需要解决：插值函数是否存在唯一；插值函数如何构造；插值函数与被插函数的误差估计和收敛性。
对插值函数的类型有多种不同的选择，代数多项式p n(x)常被选作插值函数 ϕ（x）。
P23(2.18)和(2.19)指出，存在唯一的满足插值条件的n次插值多项式p n(x)。
多项式插值与拉格朗日插值
多项式插值与拉格朗日插值多项式插值是数值分析领域中常用的一种插值方法，它可以通过已知的数据点，构造出一个多项式函数来逼近未知的函数曲线。
而拉格朗日插值则是多项式插值的一种特殊形式，它通过构造拉格朗日基函数来进行插值计算。
本文将对多项式插值与拉格朗日插值进行详细介绍与比较。
一、多项式插值多项式插值的基本思想是通过已知的数据点来构造一个经过这些点的多项式函数，然后使用该多项式函数来近似未知的函数曲线。
多项式插值可以通过以下的步骤来实现：1. 收集数据：根据需要，收集一组已知数据点，记为{(x0, y0), (x1,y1), ... , (xn, yn)}，其中xi为已知数据点的横坐标，yi为对应的纵坐标。
2. 构造多项式：根据已知数据点，构造一个多项式函数P(x)，使得P(xi) = yi。
构造多项式的常用方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
3. 进行插值计算：使用构造的多项式函数P(x)来进行未知数据点的估算。
可以通过代入未知横坐标得到对应的纵坐标值。
多项式插值的优点是简单易懂，计算效率较高。
但当插值点较多时，多项式插值可能会出现龙格现象，导致插值曲线的振荡现象。
二、拉格朗日插值拉格朗日插值是多项式插值的一种特殊形式，它通过构造拉格朗日基函数来进行插值计算。
拉格朗日插值的具体步骤如下：1. 收集数据：同多项式插值一样，根据需要，收集一组已知数据点。
2. 构造拉格朗日基函数：对于已知数据点{(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)}，构造n次的拉格朗日基函数Li(x)，公式如下：Li(x) = Π[j=0, j≠i, n]((x - xj) / (xi - xj))其中n为已知数据点的个数，i为当前基函数的索引。
3. 构造插值函数：将拉格朗日基函数与对应的纵坐标相乘，并求和，即可得到插值函数，公式如下：P(x) = Σ[i=0, n](Li(x) * yi)拉格朗日插值的优点是插值计算简单明了，不需要再进行额外的计算步骤。
高等工程数学Ⅳ智慧树知到期末考试章节课后题库2024年南京理工大学
高等工程数学Ⅳ智慧树知到期末考试答案章节题库2024年南京理工大学1.傅里叶变换只反应了信号的频率信息。
（）答案:对2.最小二乘法中正规方程组的系数矩阵是对称阵。
（）答案:对3.对于观测数据量比较多的情况，可以采用最小二乘法进行拟合。
（）答案:对4.傅里叶变换的时间域卷积定理可表述为：时间域上两个函数的卷积等于频率域的他们傅里叶变换的乘积。
（）答案:对5.答案:错6.答案:对7.答案:对8.拉格朗日插值的次数越高，对原函数的逼近程度越好。
（）答案:错9.答案:错10.答案:对11.高次（大于8）拉格朗日插值存在龙格现象。
（）答案:对12.满足相同插值条件的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式是不同的。
（）答案:错13.贝叶斯统计指出统计推断中有三种重要信息，它们分别是总体信息、样本信息和先验信息。
（）答案:对14.同次的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式的余项是不相同的。
（）答案:错15.差商具有对称性。
（）答案:对16.在多元正态线性回归的样本模型中，下列说法中正确的是（）。
答案:17.答案:18.答案:19.连续小波变换具有的性质包括（）答案:平移性###线性性###尺度性###其余都对20.关于差商，下面说法不正确的是（）答案:21.小波函数的主要性质包括（）答案:光滑性###衰减性###紧支性###对称性22.关于连续小波变换，下面正确的是（）答案:23.答案:24.答案:25.答案:26.答案:27.在多元正态线性回归的样本模型中，下列说法中不正确的是（）。
答案:28.答案:1/229.关于多分辨率分析，下列说法正确的是（）答案:30.答案:131.在单因素方差分析中，下列说法中不正确的是（）。
答案:32.答案:33.答案:错34.答案:35.答案:对36.Hermite插值只能用插值基函数的方法求解（）答案:错37.如果不限定插值多项式的次数，满足插值条件的插值多项式也是唯一的（）。
答案:错38.傅里叶变换频域的点和时间域上的点是一一对应的（）答案:错39.在最小二乘问题中，权系数越大表明相应的数据越重要（）答案:对40.改变节点的排列顺序，差商的值不变（）答案:对41.答案:。
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实 验 报 告
一．实验名称：拉格朗日插值的龙格现象
二．实验目的：
理解高阶插值的病态性，观察拉格朗日插值的龙格现象。
三．实验内容：
在区间[－5，5]上取节点数n=11，等距离h=1的节点为插值点，对于函数25()1f x x =+ 进行拉格朗日插值，把f(x)与插值多项式的曲线花在同一张图上。
四． 实验基础知识及原理：
1）拉格朗日插值函数定义:
对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：
其中对应著自变数的位置，而对应著函数在这个位置的取值。
假设任意两个不同的x j 都互不相同，那麼应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：
其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：
[3] 拉格朗日基本多项式的特点是在 上取值为1，在其它的点 上取值
为0。
2）龙格现象：
在计算方法中，有利用多项式对某一函数的近似逼近，这样，利用多项式就可以计算相应的函数值。
一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越准确。
但是在有的情况下，并非取节点（日期数）越多多项式就越精确。
3）matlab:
MATLAB 是矩阵实验室（Matrix Laboratory ）的简称，是美国MathWorks 公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB 和Simulink 两大部分。
该实验中可利用matlab 的绘图功能将拉格朗日函数跟原函数显示出来，通过对比得出实验结论。
五. 具体实验过程
1. 用matlab的editor将老师提供的拉格朗日插值的调用函数编辑为一个m文件
lagrange.m
2.在脚本窗口中输入以下命令:
执行上面的命令可以得到输出的曲线如下：
在以下图中可以看到相应变量的数据值：
通过龙格现象可知，并不是插值多项式的次数越高（即插值节点越多）精度就越高，在这个实验中插值函数在两个端点处发生剧烈的波动，造成较大的误差，从数值计算上可解释为高次插值多项式的计算会带来舍入误差的增大，从而引起计算失真，因此，实际应用时，我们一般只用一次、二次最多是三次插值多项式，若想提高插值精度，我们可以采用分段插值。
七. 实验心得:。