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九年级数学证明练习题及答案

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北师大版九级数学上正方形的性质与判定正方形的判定专题练习题及答案

北师大版九级数学上正方形的性质与判定正方形的判定专题练习题及答案

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形3.正方形的性质与判定正方形的判定专题练习题1．下列说法不正确的是()A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是() A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC3. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC ⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是()A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④4．如图，只要把一张矩形纸片的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个正方形，判断的依据是____________________________．5．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是__________________．6．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四位同学的答案都正确，则黑板上画的图形是__________．7．对角线________的菱形是正方形，对角线________的矩形是正方形，对角线________________的平行四边形是正方形，对角线的四边形是正方形．8．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF ⊥BC于点F.求证：四边形DEBF是正方形．9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE.(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．10．四边形ABCD的对角线AC＝BD，AC⊥BD，分别过点A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是()A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是()A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF12．如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成________度角.13．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形的四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________；所作的第n 个四边形的周长为________．14．如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD 的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．15．如图，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．答案：1---3 DCB4. 有一组邻边相等的矩形是正方形5. AC＝BD6. 正方形7. 相等互相垂直互相垂直且相等互相垂直平分且相等8.证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠DFB＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴四边形BEDF为矩形．∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴矩形BEDF为正方形．9. (1)证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到的，∴A，E，C三点共线，D，E，F三点共线，且AE＝CE，DE＝FE，故四边形ADCF是平行四边形；(2)解：当∠ACB＝90°，AC＝BC时，四边形ADCF是正方形．理由如下：在△ABC中，∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°.由(1)知，四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形．又∵∠ACB＝90°，∴CD＝12AB＝AD，故四边形ADCF是正方形10. A11. D12. 4513. 2 4(2 2)n14．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴HG ＝HE.∵DG＝AH＝2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG＝∠AEH.又∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形．15.证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠DCB＝∠B＝∠ADC＝90°，∠GCE＝∠E＝∠GFE＝∠CGF＝90°，∴∠ADH＝∠HGF＝∠E＝∠B＝90°.又∵DH＝CE，BK＝CE，∴BK＝GF＝DH＝EF，KE＝GH＝AB＝AD，∴△ABK ≌△KEF≌△HGF≌△ADH，∴AK＝KF＝HF＝AH，∠BAK＝∠DAH.∵∠BAD＝90°，∴∠HAK＝∠HAD＋∠DAK＝∠BAK＋∠DAK＝∠BAD＝90°，∴四边形AKFH为正方形．。

人教版九年级数学上册课后习题参考答案

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第21章第4页练习第1题答案解：（1）5x2-4x-1=0，二次相系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1 （2）4x2-81=0，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81（3）4x2+8x-25=0，二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25 （4）3x2-7x+1=0，二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1【规律方法：化为一般形式即把所有的项都移到方程的左边，右边化为0的行驶，在确定二次项系数，一次项系数和常数项时，要特别注意各项系数及常数项均包含前面的符号。

】第4页练习第2题答案解：（1）4x2=25， 4x2-25=0（2）x（x-2）=100，x2-2x-100=0（3）x∙1=（1-x）2-3x+1=0习题21.1第1题答案（1）3x2-6x+1=0，二次项系数为3，一次项系数-6，常数项为1（2）4x2+5x-81=0，二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为-81（3）x2+5x=0，二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为0（4）x2-2x+1=0，二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为1（5）x2+10=0，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为10（6）x2+2x-2=0，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-2习题21.1第2题答案（1）设这个圆的半径为Rm，由圆的面积公式得πR2=6.28，∴πR2-6.28=0（2）设这个直角三角形较长的直角边长为x cm，由直角三角形的面积公式，得1/2x（x-3）=9，∴x2-3x-18=0习题21.1第3题答案方程x2+x-12=0的根是-4,3习题21.1第4题答案设矩形的宽为x cm，则矩形的长为（x+1）cm，由矩形的面积公式，得x∙（x+1）=132，∴x2+x-132=0习题21.1第5题答案解：设矩形的长为x m，则矩形的宽为（0.5-x）m，由矩形的面积公式得：（0.5-x）=0.06∴x2-0.5x+0.06=0习题21.1第6题答案解：设有n人参加聚会，根据题意可知：（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+3+2+1=10，即(n(n-1))/2=10，n2-n-20=0习题21.2第1题答案（1）36x2-1=0，移项，得36x2=1，直接开平方，得6x=±1，,6x=1或6x=-1，∴原方程的解是x1=1/6，x2=-1/6（2）4x2=81，直接开平方，得2=±9，,2x=9或2x=-9，∴原方程的解是x1=9/2，x2=-9/2（3）（x+5）2=25，直接开平方，得x+5=±5，∴+5=5或x+5=-5，∴原方程的解是x1=0，x2=-10（4）x2+2x+1=4，原方程化为（x+1）2=4，直接开平方，得x+1=±2，∴x+1=2或x+1=-2，∴原方程的解是x1=1，x2=-3习题21.2第2题答案（1）9；3（2）1/4；1/2（3）1；1（4）1/25；1/5习题21.2第3题答案（1）x2+10x+16=0，移项，得x2+10x=-16，配方，得x2+10x+52=-16+52，即（x+5）2=9，开平方，得x+5=±3，∴+5=3或x+5=-3，∴原方程的解为x1=-2，x2=-8（2）x2-x-3/4=0，移项，得x2-x=3/4，配方，得x2-x=3/4，配方，得x2-x+1/4=3/4+1/4，即（x-1/2）2=1，开平方，得x- 1/2=±1，∴原方程的解为x1=3/2，x2=-1/2（3）3x2+6x-5=0,二次项系数化为1，得x2+2x-5/3=0，移项，得x2+2x=5/3，配方，得x2+2x+1=5/3+1，即（x+1）2=8/3，（4）4x2-x-9=0，二次项系数化为1，得x2-1/4x-9/4=0，移项，得x2-1/4 x= 9/4，配方，得x2-1/4x+1/64=9/4+1/64，即（x-1/8）2=145/64，习题21.2第4题答案（1）因为△=（-3）2-4×2×（-3/2）=21>0，所以原方程有两个不相等的实数根（2）因为△=（-24）2-4×16×9=0，所以与原方程有两个相等的实数根（3）因为△=-4×1×9=-4<0，因为△=（-8）2-4×10=24>0，所以原方程有两个不相等的实数根习题21.2第5题答案（1）x2+x-12=0，∵a=1，b=1，c=-12，∴b2-4ac=1-4×1×（-12）=49>0，∴原方程的根为x1=-4，x2=3.∴b2-4ac=2-4×1×（-1/4）=3>0，（3）x2+4x+8=2x+11，原方程化为x2+2x-3=0，∵a=1，b=2，c=-3，∴b2-4ac=22-4×1×（-3）=16>0，∴原方程的根为x1=-3，x2=1.（4）x（x-4）=2-8x，原方程化为x2+4x-2=0，∵a=1，b=4，c=-2，∴b2-4ac=42-4×1×（-2）=24>0，（5）x2+2x=0，∵a=1，b=2，c=0，∴b2-4ac=22-4×1×0=4>0，∴原方程的根为x1=0，x2=-2.（6） x2+2x+10=0，∵a=1，b=2，c=10，∴b2-4ac=（2）2-4×1×10=-20<0，∴原方程无实数根习题21.2第6题答案（1）3x2-12x=-12，原方程可化为x2-4x+4=0，即（x-2）2=0，∴原方程的根为x1=x2=2（2）4x2-144=0，原方程可化为4（x+6）（x-6），∴x+6=0或x-6=0，∴原方程的根为x1=-6，x2=6.（3）3x（x-1）=2（x-1），原方程可化为（x-1）∙（3x-2）=0∴x-1=0或3x-2=0∴原方程的根为x1=1，x2=2/3（4）（2x-1）2=（3-x）2，原方程可化为[（2x-1）+（3-x）][（2x-1）-（3-x）]=0，即（x+2）（3x-4）=0，∴x+2=0或3x-4=0∴原方程的根为x1=-2，x2=4/3习题21.2第7题答案设原方程的两根分别为x1，x2（1）原方程可化为x2-3x-8=0，所以x1+x2=3，x1·x2=-8（2）x1+x2=-1/5，x1·x2=-1（3）原方程可化为x2-4x-6=0，所以x1+x2=4，x1·x2=-6（4）原方程可化为7x2-x-13=0，所以x1+x2=1/7，x1·x2=-13/7习题21.2第8题答案解：设这个直角三角形的较短直角边长为 x cm，则较长直角边长为（x+5）cm，根据题意得：1/2 x（x+5）=7，所以x2+5x-14=0，解得x1=-7，x2=2，因为直角三角形的边长为：答：这个直角三角形斜边的长为cm习题21.2第9题答案解：设共有x家公司参加商品交易会，由题意可知：（x-1）+（x-2）+（x-3）+…+3+2+1=45，即x（x-1）/2=45，∴x2-x-90=0，即（x-10）（x+9）=0，∴x-10=0或x+9=0，∴x1=10，x2=-9，∵x必须是正整数，∴x=-9不符合题意，舍去∴x=10答：共有10家公司参加商品交易会习题21.2第10题答案解法1：（公式法）原方程可化为3x2-14x+16=0，∵a=3，b=-14，c=16，∴b2-4ac=（-14）2-4×3×16=4>0，∴x=[-（-14）±]/(2×3)=(14±2)/6，∴原方程的根为x1=2，x2=8/3解法2：（因式分解法）原方程可化为[（x-3）+（5-2x）][（x-3）-（5-2x）]=0，即（2-x）（3x-8）=0，∴2-x=0或3x-8=0，∴原方程的根为x1=2，x2=8/3习题21.2第11题答案解：设这个矩形的一边长为x m，则与其相邻的一边长为（20/2-x）m，根据题意得：x（20/2-x）=24，整理，得x2-10x+24=0，解得x1=4，x2=6.当x=4时，20/2-x=10-4=6当x=6时， 20/2-x=10-6=4.故这个矩形相邻两边的长分别为4m和6m，即可围城一个面积为24m2的矩形习题21.2第12题答案解设：这个凸多边形的边数为n，由题意可知：1/2n（n-3）=20解得n=8或n=-5因为凸多边形的变数不能为负数所以n=-5不合题意，舍去所以n=8所以这个凸多边形是八边形假设存在有18条对角线的多边形，设其边数为x，由题意得：1/2 x（x-3）=18解得x=(3±)/2因为x的值必须是正整数所以这个方程不存在符合题意的解故不存在有18条对角线的凸多边形习题21.2第13题答案解：无论p取何值，方程（x-3）（x-2）-p2=0总有两个不相等的实数根，理由如下：原方程可以化为：x2-5x+6-p2=0△=b2-4ac=（-5）2-4×1×（6-p2）=25-24+4p2=1+4p2∵p2≥0，,1+4p2>0∴△=1+4p2>0∴无论P取何值，原方程总有两个不相等的实数根习题21.3第1题答案（1）x2+10x+21=0，原方程化为（x+3）（x+7）=0，或x+7=0，∴x1=-3，x2=-7.（2） x2-x-1=0∵a=1，b=-1，c=-1，b2-4ac=（-1）2-4×1×（-1）=5>0，（3）3x2+6x-4=0，∵a=3，b=6，c=-4，b2-4ac=62-4×4×3×（-4）=84>0，（4）3x（x+1）=3x+3，原方程化为x2=1，直接开平方，得x=±1，∴x1=1，x2=-1（5）4x2-4x+1=x2+6x+9，原方程化为（2x-1）2=（x+3）2，∴[（2x-1）+（x+3）][（2x-1）-（x+3）]=0，即（3x+2）（x-4）=0，,3x+2=0或x-4=0，∴x1=-2/3，x2=4∴a=7，b=-，c=-5，b2-4ac=（-）2-4×7×（-5）=146>0∴x= [-（-）±]/(2×7)=(±)/14，∴x1=(+)/14，x2=(-)/14习题21.3第2题答案解：设相邻两个偶数中较小的一个是x，则另一个是（x+2）.根据题意，得x（x+2）=168∴x2+2x-168=0∴x1=-14，x2=12.当x=-14时，x+2=-12当x=12时，x+2=14答：这两个偶数是-14，-12或12,14习题21.3第3题答案解：设直角三角形的一条直角边长为 xcm，由题意可知1/2x（14-x）=24，∴x2-14x+48=0∴x1=6，x2=8当x=6时，14-x=8当x=8时，14-x=6∴这个直角三角形的两条直角边的长分别为6cm，8cm习题21.3第4题答案解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2=91整理得x2+x-90=0，（x-9）∙（x+10）=0解得x1=9，x2=-10（舍）答：每个支干长出来9个小分支习题21.3第5题答案解：设菱形的一条对角线长为 x cm，则另一条对角线长为（10-x）cm，由菱形的性质可知：1/2 x∙（10-x）=12，整理，的x2-10x+24=0，解得x1=4，x2=6.当x=4时，10-x=6当x=6时，10-x=4所以这个菱形的两条对角线长分别为6cm和4cm.由菱形的性质和勾股定理，得棱长的边长为：所以菱形的周长是4cm习题21.3第6题答案解：设共有x个队参加比赛，由题意可知（x-1）+（x-2）+（x-3）+…+3+2+1=90/2，即1/2x（x-1）=45整理，得x2-x-90=0解得x1=10，x2=-9因为x=-9不符合题意，舍去所以x=10答：共有10个队参加比赛习题21.3第7题答案解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则7200（1+x）2=8450解得x1=1/12，x2=-25/12因为x=- 25/12 不符合题意，舍去所以x= 1/12≈0.083=8.3%答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为8.3%习题21.3第8题答案解：设镜框边的宽度应是x cm，根据题意得：（29+2x）（22+2x）-22×29=1/4×29×22整理，得8x2+204x-319=0解得x= [-204±]/16所以x1=[-204+)]/16，x2=[-204-)]/16因为x= [-204-)]/16<0不合题意，舍去所以x= [-204+)]/16≈1.5答：镜框边的宽度约 1.5cm习题21.3第9题答案解：设横彩条的宽度为3x cm，则竖彩条的宽为2x cm.根据题意得：30×20×1/4=30×20-（30-4x）（20-6x），整理，得12x2-130x+75=0解得x1=[65+5)]/12，x2=(65-5)/12因为30-4x>0，且20-6x>0所以x<10/3所以x= (65+5)/12不符合题意，舍去所以x=(65-5)/12≈0.6所以3x≈1.8,2x≈1.2答：设计横彩条的宽度约为1.8cm，竖彩条的宽度约为1.2cm习题21.3第10题答案（1）设线段AC的长度为x，则x2=（1-x）×1，解得x1=(-1+)/2，x2=(-1-)/2（舍），∴AC=(-1+)/2（2）设线段AD的长度为x，则x2=（(-1+)/2-x）∙(1+)/2，解得x1=(3-)/2，x2=-1（舍），∴ AD=(3-)/2（3）设线段AE的长度为x，则x2=（(3-)/2-x）∙(3-)/2，解得x1=-2+，x2=(1-)/2 （舍）∴AE=-2+【规律方法：若C为线段AB上一点，且满足AC2=BC∙AB,则 AC/AB=(-1)/2∙(-1)/2也叫作黄金比，C点为黄金分割点，一条线段上有两个黄金分割点.】第6页练习答案练习题答案复习题21第1题答案（1）196x2-1=0，移项，得196x2=1，直接开平方，得14x=±1，x=± 1/14，∴原方程的解为x1=1/14，x2=-1/14（2）4x2+12x+9=81，原方程化为x2+3x-18=0∵a=1，b=3，c=-18，b2-4ac=32-4×1×（-18）=81>0∴x1=-6，x2=3（3）x2-7x-1=0∵a=1，b=-7，c=-1，b2-4ac=（-7）2-4×1×（-1）=53>0，（4）2x2+3x=3，原方程化为2x2+3x-3=0，∵a=2，b=3,b=-3,b2-4ac=32-4×2×（-3）=33>0，∴x= (-3± )/(2×2)=(-3±)/4，∴x1=(-3+)/4，x2=(-3-)/4（5）x2-2x+1=25，原方程化为x2-2x-24=0，因式分解，得（x-6）（x+4）=0，∴x-6=0或x+4=0，∴x1=6，x2=-4（6）x（2x-5）=4x-10，原方程化为（2x-5）（x-2）=0，,2x-5=0或x-2=0，∴x1=5/2，x2=2（7）x2+5x+7=3x+11，原方程化为x2+2x-4=0，∵a=1，b=2，c=-4，b2-4ac=22-4×1×（-4）=20>0∴x= (-2±)/(2×1)=(-2±2)/2=-1±∴x1=-1+，x2=-1-（8）1-8x+16x2=2-8x，原方程化为（1-4x）（-1-4x）=0，1-4x=0或-1-4x=0，∴x1=1/4，x2=-1/4复习题21第2题答案解：设其中一个数为（8-x），根据题意，得x（8-x）=9.75，整理，得x2-8x+9.75=0，解得x1=6.5，x2=1.5当x=6.5时，8-x=1.5当x=1.5时，8-x=6.5答：这两个数是6.5和1.5复习题21第3题答案解：设矩形的宽为x cm，则长为（x+3）cm由矩形面积公式可得x（x+3）=4整理，得x2+3x-4=0解得x1=-4整理，得x2+3x-4=0解得x1=-4，x2=1因为矩形的边长是正数，所以x=-4不符合题意，舍去所以x=1所以x+3=1+3=4答：矩形的长是4cm，宽是1cm复习题21第4题答案解：设方程的两根分别为x1，x2（1）x1+x2=5，x1∙x2=-10（2） x1+x2=-7/2，x1∙x2=1/2（3）原方程化为3x2-2x-6=0，∴x1+x2=2/3，x1∙x2=-2（4）原方程化为x2-4x-7=0，∴x1+x2=4，x1∙x2=-7复习题21第5题答案解：设梯形的伤低长为x cm ，则下底长为（x+2）cm，高为（x-1）cm，根据题意，得1/2 [x+（x+2）]∙（x-1）=8，整理，得x2=9，解得x1=3，x2=-3.因为梯形的低边长不能为负数，所以x=-3不符合题意，舍去，所以x=3，所以x+2=5，x-1=2.画出这个直角梯形如下图所示：复习题21第6题答案解：设这个长方体的长为5x cm，则宽为2 x cm，根据题意，得2x2+7-4=0，解得x1=1/2，x2=-4.因为长方体的棱长不能为负数，所以x=-4不合题意，舍去，所以x= 1/2.所以这个长方体的长为5x=1/2×5=2.5（cm），宽为2x=1（cm）.画这个长方体的一个展开图如下图所示.（注意：长方体的展开图不唯一）复习题21第7题答案解:设应邀请x个球队参加比赛，由题意可知：（x-1）+（x-2）+…+3+2+1=15，即1/2 x（x-1）=15解得x1=6，x2=-5因为球队的个数不能为负数所以x=-5不符合题意，应舍去所以x=6答：应邀请6个球队参加比赛复习题21第8题答案解：设与墙垂直的篱笆长为x m，则与墙平行的篱笆为（20-2x）m根据题意，得x（20-2x）=50整理，得x2-10x+25=0解得x1=x2=5所以20-2x=10（m）答：用20m长的篱笆围城一个长为10m，宽为5m的矩形场地.（其中一边长为10m，另两边均为5m）复习题21第9题答案解：设平均每次降息的百分率变为x，根据题意得：2.25%（1-x）2=1.98%整理，得（1-x）2=0.88解得x1=1 -x2=1+因为降息的百分率不能大于1所以x=1+不合题意，舍去所以x=1-≈0.0619=6.19%答：平均每次降息的百分率约是6.19%复习题21第10题答案解：设人均收入的年平均增长率为x，由题意可知：12000（x+1）2=14520，解这个方程，得x+1=±x=-1或x=--1又∵x=--1不合题意，舍去∴x=（-1）×100%=10%答：人均收入的年平均增长率是10%复习题21第11题答案解：设矩形的一边长为x cm，则与其相邻的一边长为（20-x）cm，由题意得：x（20-x）=75整理，得x2-20x+75=0解得x1=5，x2=15，从而可知矩形的一边长15cm，与其相邻的一边长为5cm当面积为101cm2时，可列方程x（20-x）=101，即x2-20x+101=0∵△=-4<0∴次方程无解∴不能围成面积为101cm2的矩形复习题21第12题答案解：设花坛中甬道的宽为x m.梯形的中位线长为1/2 （100+180）=140（m），根据题意得：1/2（100+180）×80×1/6=80∙x∙2+140x-2x2整理，得3x2-450x+2800=0解得x1=(450+)/6=75+5/3，x2=(450-)/6=75-5/3因为x=75+5/3不符合题意，舍去所以x=75-5/3≈6.50（m）故甬道的宽度约为6.50m复习题21第13题答案（1）5/4=1.25（m/s），所以平均每秒小球的滚动速度减少1.25m/s （2）设小球滚动5m用了x s·(5+（5-1.25x）)/2x=5，即x2-8x+8=0解得x1=4+2（舍），x2=4-2≈1.2答：小球滚动5 m 约用了1.2s第9页练习答案练习第1题答案练习第2题答案第14页练习答案练习第1题答案练习第2题答案第16页练习答案练习题答案第22章习题22.1第1题答案解：设宽为x,面积为y，则y=2x2习题22.1第2题答案y=2(1-x)2习题22.1第3题答案列表：x ... -2 -1 0 1 2 ...y=4x2... 16 4 0 4 16 ...y=-4x2... -16 -4 0 -4 -16 ...y=（1/4）x2... 1 1/4 0 1/4 1 ... 描点、连线，如下图所示：习题22.1第4题答案解：抛物线y=5x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0）抛物线y= -1/5x2的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0）习题22.1第5题答案提示：图像略（1）对称轴都是y轴，顶点依次是（0,3）（0, -2）（2）对称轴依次是x=-2，x=1，顶点依次是（-2,-2）（1,2）习题22.1第6题答案（1）∵a=-3,b=12,c=-3∴-b/2a=-12/(2×(-3))=2,(4ac-b2)/4a=(4×(-3)×(-3)-122)/(4×(-3))=9∴抛物线y=-3x2+12x-3的开口向下，对称轴为直线x=2，顶点坐标是（2,9）（2）∵a=4,b=-24,c=26∴- b/2a=-(-24)/(2×4)=3, (4ac-b2)/4a=(4×4×26-（-24）2)/(4×4)=-10∴抛物线y=4x2 - 24x+26的开口向上，对称轴为直线x=3，顶点坐标是（3, -10）（3）∵a=2,b=8,c=-6∴- b/2a=-8/(2×2)=-2, (4ac-b2)/4a= (4×2×(-6)-82)/(4×2)= -14∴抛物线y=2x2 +8x-6的开口向上，对称轴是x=-2，顶点坐标为（-2,-14）（4）∵a=1/2，b =-2,c=-1∴- b/2a=-(-2)/(2×1/2)=2, (4ac-b2)/4a=(4×1/2×(-1)- （-2）2)/(4×1/2)=-3 ∴抛物线y=1/2x2-2x-1的开口向上，对称轴是x=2，顶点坐标是（2, -3）.图略习题22.1第7题答案（1）-1；-1（2）1/4；1/4习题22.1第8题答案解：由题意，可知S=1/2×(12-2t)×4t=4t(6-t)∴S=-4t2+24t,即△PBQ的面积S与出发时间t之间的关系式是S=-4t2+24t 又∵线段的长度只能为正数∴∴0<t<6,即自变量t的取值范围是0<t<6习题22.1第9题答案解：∵s=9t+1/2t2∴当t=12时，s=9×12+1/2×122=180,即经过12s汽车行驶了180m当s=380时，380=9t+1/2t2∴t1=20,t2=-38(不合题意，舍去)，即行驶380m需要20s习题22.1第10题答案（1）抛物线的对称轴为(-1+1)/2=0，设该抛物线的解析式为y=ax2+k(a≠0)将点（1,3）（2,6）代入得∴函数解析式为y=x2+2（2）设函数解析式为y=a x2+bx+c(a≠0)，将点（-1,-1）（0,-2）（1,1）代入得∴函数解析式为y=2x2+x-2（3）设函数解析式为y=a(x+1)(x-3) (a≠0),将点（1，-5）代入，得-5=a(1+1)（1-3）解得a=5/4∴函数解析式为y=5/4(x+1)(x-3)，即y=5/4x2-5/2x-15/4（4）设函数解析式为y=a x2+ bx+c(a≠0)，将点（1,2）（3,0）（-2,20）代入得∴函数解析式为y=x2-5x+6习题22.1第11题答案解：把（-1，-22）（0，-8）（2,8）分别代入y=a x2+bx+c，得a=-2,b=12, c=-8所以抛物线的解析式为y=-2x2+12x-8将解析式配方，得y=-2(x-3)2+10又a=-2<0所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3,10）习题22.1第12题答案（1）由已知vt=v0+at=0+1.5t=1.5t，s=vt=(v0+vt)/2t=1.5t/2t=3/4t2,即s=3/4t2（2）把s=3代入s=3/4t2中，得t=2(t=-2舍去)，即钢球从斜面顶端滚到底端用2s第29页练习答案练习第1题答案练习第2题答案习题22.2第1题答案（1）图像如下图所示：（2）有图像可知，当x=1或x=3时，函数值为0 习题22.2第2题答案（1）如下图（1）所示：方程x2-3x+2=0的解是x1=1,x2=2（2）如下图所示：方程-x2-6x-9=0的解是x1=x2=-3习题22.2第3题答案（1）如下图所示：（2）由图像可知，铅球推出的距离是10m习题22.2第4题答案解法1：由抛物线的轴对称性可知抛物线的对称轴是直线x=(-1+3)/2=1 解法2：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),即y=ax2-2ax-3a，∴x=-(-2a)/2a=1,即这条抛物线的对称轴是直线x=1习题22.2第5题答案提示：图像略（1）x1=3，x2=-1（2）x<-1或x>3（3）-1<x<3习题22.2第6题答案提示：（1）第三或第四象限或y轴负半轴上（2）x轴上（3）第一或第二象限或y轴正半轴上，当a<0时（1）第一或第二象限或y轴正半轴上（2）x轴上（3）第三或第四象限或y轴负半轴上第32页练习答案练习题答案习题22.3第1题答案（1）∵a=-4<0∴抛物线有最高点∵x=-3/[2×(-4)]=3/8，y=[4×(-4)×0-32]/[2×(-4)]=9/16∴抛物线最高点的坐标为（3/8，9/16）（2）∵a=3>0∴抛物线有最低点∵x=-1/(2×3)=-1/6，y=(4×3×6-12)/(4×3)=71/12∴抛物线最低点的坐标为（-1/6，71/12）习题22.3第2题答案解：设所获总利润为y元.由题意，可知y=(x-30)(100-x),即y=-x2+130x-3000 =-（x-65）2+1225∴当x=65时，y有最大值，最大值是1225，即以每件65元定价才能使所获利润最大习题22.3第3题答案解：s=60t-1.5t2=-1.5(t2-40t+400)+1.5×400=-1.5（t-20）2+600∴当t=20时，s取最大值，且最大值是600，即飞行着陆后滑行600m才能停下来习题22.3第4题答案解：设一条直角边长是x，那么另一条直角边长是8-x设面积为y,则y=1/2x•(8-x),即y=-（1/2）x2+4x对称轴为直线x=-b/2a=-4/(2×(-1/2))=4当x=4时，8-x=4,ymax=8∴当两条直角边长都为4时，面积有最大值8习题22.3第5题答案解：设AC的长为x,四边形ABCD 的面积为y.由题意，可知y=1/2AC•BD ∴y= 1/2 x(10-x), 即y=-1/2x2+5x=-1/2（x-5）2+25/2∴当x=5时，y有最大值，y最大值=25/2此时，10-x=10-5=5,故当AC=BD=5时，四边形ABCD的面积最大，最大面积为25/2习题22.3第6题答案解：∵∠A=30°，∠C=90°，且四边形CDEF是矩形∴FE//BC,ED//AC∴∠DEB=30°在Rt△AFE中，FE=1/2AE在Rt△EDB中，BD=1/2EB，设AE=x，则FE=1/2x令矩形CDEF的面积为S,则S=FE•ED= 1/2 x •/2(12-x)=/4(12x-x2)∴当x=6时，S最大值=9，此时AE=6，EB=12-x=6∴AE=EB,即点E是AB的中点时，剪出的矩形CDEF面积最大习题22.3第7题答案解：设AE=x，AB=a,正方形EFGH的面积为S，由正方形的性质可知AE=DH，即AH=a-x在Rt△AEH中：HE2=AH2+AE2=(a-x)2+x2=2x2-2ax+a2=2(x-1/2 a) 2+1/2a2∴当x=1/2a时，S有最小值，且S最小值=1/2a2，此时AE=1/2a,EB=1/2a,即点E是AB边的中点∴当点E是AB边的中点时，正方形EFGH的面积最小习题22.3第8题答案解：设房价定为每间每天增加x元，宾馆利润为y元由题意可知，y=(180+x-20)(50-x/10)=-1/10x2+34x+8000=-1/10（x-170）2+10890∴当x=170时，y取最大值，且y最大值=10890，此时180+x=350(元)∴房间每天每间定价为350元时，宾馆利润最大习题22.3第9题答案解：用定长为L的线段围成矩形时，设矩形的一边长为x则S矩形=x•(1/2L-x)=-x2+1/2 Lx=-(x-1/4L)2+1/16L2,当x=1/4 L时，S最大值=1/16L2用定长为L的线段围成圆时，设圆的半径为R，则2R=L，S圆=R2=（L/2）2=L2/4ￗ∵1/16L2=/16L2,L2/4=4/16L2，且π＜4∴1/16L2＜L2/4∴S矩形＜S圆∴用定长为L的线段围成圆的面积大第33页练习答案练习题答案复习题第1题答案解：由题意可知，y=(4+x)(4-x)= -x2+16,即y与x之间的关系式是y=-x2+16 复习题第2题答案解：由题意可知，y=5000（1+x）2=5000x2+10000x+5000,即y与x之间的函数关系式为：y=5000x2+10000x+5000复习题第3题答案D复习题第4题答案（1）∵a=1>0∴抛物线开口向上又∵x=-2/(2×1)=-1,y=(4×1×(-3)-22)/(4×1)=-4∴抛物线的对称轴是直线x=-1,顶点坐标是（-1,-4）.图略（2）∵a=-1＜0∴抛物线开口向下又∵x=-6/(2×（-1）)=3,y=(4×（-1）×1-62)/(4×（-1）)=10∴抛物线的对称轴是直线x=3,顶点坐标是（3,10）.图略（3）∵a=1/2>0∴抛物线开口向上又∵x=-2/(2×1/2)=-2, y= (4×1/2×1-22)/(4×1/2)=-1∴抛物线的对称轴是直线x=-2,顶点坐标是（-2,-1）.图略（4）∵a=-1/4＜0∴抛物线开口向下又∵x=-1/(2×（-1/4）)=2,y=(4×（-1/4）×（-4）-12)/(4×（-1/4）)=-3∴抛物线的对称轴是直线x=2,顶点坐标是（2, -3）.图略复习题第5题答案解：∵s=15t-6t2∴当t=-15/(2×(-6))=5/4时，s最大值=(4×（-6）×0-152)/(4×（-6）)＝75/8，即汽车刹车后到停下来前进了75/8ｍ复习题第6题答案（1）分别把（-3,２），（-1，-1），（1,３）代入y=ax2+bx+c得ａ＝7/8，ｂ＝2，ｃ＝1/8所以二次函数的解析式为ｙ＝7/8x2+2ｘ+1/8（２）设二次函数的解析式为ｙ＝ａ（ｘ+1/2）（ｘ-3/2）把（0, -５）代入，得ａ＝20/3所以二次函数的解析式为ｙ＝20/3x2-20/3 ｘ-5复习题第7题答案解：设垂直于墙的矩形一边长为ｘｍ，则平行于墙的矩形的另一边长为（30-2ｘ）ｍ设矩形的面积为ｙm2，则ｙ＝ｘ（30-2ｘ）＝-2x2+30ｘ＝-2(x-15/2)2+112.5∴当ｘ＝15/2时，ｙ有最大值，最大值为112.5，此时30-2ｘ=15∴当菜园垂直于墙的一边长为15/2ｍ，平行于墙的另一边长为15ｍ时，面积最大，最大面积为112.5m2复习题第8题答案解：设矩形的长为x cm，则宽为（18-ｘ）ｃｍ，Ｓ侧=2ｘ•（18-ｘ）＝-2x2+36ｘ=-2(x-9)2+162当ｘ＝9时，圆柱的侧面积最大，此时18-ｘ＝18-9＝9当矩形的长与宽都为９cm时旋转形成的圆柱的侧面积最大复习题第9题答案（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是菱形∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ又∵ＢＥ＝ＢＦ＝ＤＧ＝ＤＨ∴ＡＨ＝ＡＥ＝ＣＧ＝ＣＦ∴∠ＡＨＥ∠ＡＥＨ，∠Ａ＋∠ＡＥＨ+∠ＡＨＥ＝180，∠Ａ+2∠ＡＨＥ＝180〬又∵∠Ａ+∠Ｄ＝180〬∴∠Ｄ＝2∠ＡＨＥ，同理可得∠Ａ＝2∠ＤＨＧ∴２∠ＡＨＥ+２∠ＤＨＧ＝180〬∴∠ＡＨＥ+∠ＤＨＧ＝90〬∴∠ＥＨＧ＝90〬，同理可得∠ＨＧＦ＝∠ＧＦＥ＝90〬∴四边形ＥＦＧＨ是矩形（2）解：连接ＢＤ交ＥＦ于点Ｋ，如图７所示，设ＢＥ的长为ｘ，ＢＤ＝ＡＢ＝ａ∴四边形ＡＢＣＤ为菱形，∠Ａ＝60〬∴∠ＥＢＫ＝60〬，∠ＫＥＢ＝30〬在Ｒｔ△ＢＫＥ中，ＢＥ＝ｘ，则ＢＫ＝1/2ｘ，ＥＫ＝/2ｘＳ矩形ＥＦＧＨ＝ＥＦ•ＦＧ＝2ＥＫ•（ＢＤ-2ＢＫ）＝2×/2 ｘ（ａ-2×1/2ｘ）＝ｘ（ａ-ｘ）=-（x2-ａｘ）＝-（x2-ａｘ+a2/4-a2/4）＝-(x-a/2)2+/4a2当ｘ＝ａ/2时，即ＢＥ＝ａ/2时，矩形ＥＦＧＨ的面积最大第35页练习答案第37页练习答案第39页练习答案第40页练习答案练习第1题答案练习第2题答案第23章习题23.1第1题答案（1）如下图所示：（2）如下图所示：（3）如下图所示：（4）如下图所示：习题23.1第2题答案解：如下图所示，旋转中心为O点，旋转角为OA所转的角度习题23.1第3题答案解：如下图所示：习题23.1第4题答案解：旋转图形分别为△A₁B₁C₁，△A₂B₂C₂，如下图所示：习题23.1第5题答案（1）旋转中心为O₁点，旋转角为60〬，如下图所示：（2）旋转中心为O₂点，旋转角为90〬，如下图所示：习题23.1第6题答案提示：旋转角就是以旋转中心为顶点的周角被均匀地等分问题（360〬÷5=72〬 ,360〬÷3=120〬）解:（1）旋转角为72°，114°，216°，288°，360°时，旋转后的五角星与自身重合（2）等边三角形绕中心点O旋转120〬,240〬,360〬时与自身重合习题23.1第7题答案风车图案由四个全等的基本图形构成，可由其中一个基本图形绕中心旋转90〬,180〬,270〬得到习题23.1第8题答案提示：旋转中心在等腰三角形的外部解：五角星中间的点为旋转中心，旋转角为72〬,114〬,216〬,288〬习题23.1第9题答案（1）如下图所示：（2）∵BC=3，AC=4，∠C=90〬习题23.1第10题答案提示：线段BE与DC在形状完全相同的两个三角形中，可考虑旋转变换，点A是两个三角形的公共点，因此点A是旋转中心解：BE=DC，理由如下：因为△ABD与△ACE都是等边三角形所以AE=AC, AB=AD，∠DAB=∠CAE=60〬所以∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE所以△BAE绕点A顺时针旋转60〬时，BA与DA重合，AE与AC重合，则△BAE与△DAC完全重合所以BE=DC第59页练习答案练习第1题答案练习第2题答案练习第3题答案习题23.2第1题答案如下图所示：习题23.2第2题答案解：依题可知，是中心对称图形的有：禁止标志、风轮叶片、正方形、正六边形它们的对称中心分别是圆心，叶片的轴心，正方形对角线的交点，正六边形任意两条最长的对角线的交点习题23.2第3题答案如下图所示，四边形ABCD关于原点O对称的四边形为A\\\\\\\'B\\\\\\\'C\\\\\\\'D\\\\\\\'习题23.2第4题答案解：∵A（a，1）与A\\\\\\\'(5，b)关于原点O对称习题23.2第5题答案解：依题意可知此图形时中心对称图形，对称中心是O₁O₂的中点习题23.2第6题答案解：如下图所示，做出△ABC以BC的中点O为旋转中心旋转180〬°后的图形△DCB，则四边形ABCD即为以AC,AB为一组邻边的平行四边形习题23.2第7题答案解：如下图（1）中的△DCE是由△ACB以C为旋转中心，顺时针旋转90〬得到的.在下图（2）中，先以AC为对称轴作△ABC的轴对称图形△AFC，再把△AFC以C为旋转中心，逆时针旋转90〬，即可得到△DCE习题23.2第8题答案解：依题意知这两个梯形是全等的因为菱形是以它的对角线的交点为对称中心的中心对称图形根据中心对称的性质过对称中心的任意一条直线都将图形分成两个全等的图形所以它们全等习题23.2第9题答案不一定当两个全等的梯形的上底与下底之和等于它的一条腰长的时候，这两个全等的梯形可以拼成一个菱形，其他情况不行习题23.2第10题答案解：如下图所示：连接BE,DF,EF,BD,AC,BD与EF交于点O∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC,AD=BC∴∠1=∠2∵△ADE是等边三角形∴DE=AD,∠3=60〬∵△BCF为等边三角形∴BC=BF,∠4=60〬∴DE=BF∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BDE=∠DBF∴DE//BF∴四边形BEDF为平行四边形∴BD与EF互相平分于点O又∵四边形BEDF为平行四边形∴BD与AC互相平分于点O，即OD=OB，OE=OF，OA=OC ∴△ADE和△BCF成中心对称第61页练习答案练习第1题答案练习第2题答案练习第3题答案。

湘教版九年级数学上册《3.4 相似三角形的判定与性质》练习题-带参考答案

湘教版九年级数学上册《3.4 相似三角形的判定与性质》练习题-带参考答案

湘教版九年级数学上册《3.4 相似三角形的判定与性质》练习题-带参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.已知△ABC∽△A′B′C′且ABA′B′＝12，则S△ABC∶S△A′B′C′为( )A.1∶2B.2∶1C.1∶4D.4∶12.如图，△ABC与△DE F相似，相似比为1∶2，BC的对应边是EF，若BC＝1，则EF的长是( )A.1B.2C.3D.43.已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶14.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF ：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：25.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对6.如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条7.如图，点P是△ABC的边AB上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有( )A.2条B.3条C.4条D.5条8.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在格点为( )A.P1 B.P2C.P3D.P49.要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有( )A.1种B.2种C.3种D.4种10.如图，在△ABC中，CD⊥AB，且CD2＝AD•DB，AE平分∠CAB交CD于F，∠EAB＝∠B，CN＝BE.①CF＝BN；②∠ACB＝90°；③FN∥AB；④AD2＝DF•DC.则下列结论正确的是( )A.①②④B.②③④C.①②③④D.①③二、填空题11.若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比值为.12.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是.13.若△ABC∽△A′B′C′，且AB：A′B′＝3：4，△ABC的周长为12 cm，则△A′B′C′的周长为____________．14.下图中的每个点(包括△ABC的各个顶点)都在边长为1的小正方形的顶点上，在P、Q、G、H中找一个点，使它与点D、E构成的三角形与△ABC相似，这个点可以是.(写出满足条件的所有的点)15.如图，平行四边形ABCD中，E是BC边延长线上一点，AE交CD于F，则图中相似三角形有对．16.如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A(0，1)作y轴的垂线l于点B，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B.BA为邻边作▱ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1.B1A1为邻边作▱A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则Cn的坐标是.三、解答题17.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°. 求证：△ADC∽△DEB.18.如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．(1)判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；(2)求∠BAC的度数．19.如图所示，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C.求证：(1) ∠EAF＝∠B；(2) AF2＝FE·FB.20.如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD.(1)求证△ADC∽△BGC；(2)求证CG·AB＝CB·DG.21.如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，BP＝3PC，Q是CD的中点(1)求证：△ADQ∽△QCP；(2)若AB＝10，连接BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长.22.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB延长线上一点，E是AC上一点，DE交BC于点F.(1)如图①，若BD＝CE，求证：DF＝EF.(2)如图②，若BD＝1nCE，试写出DF和EF之间的数量关系，并证明.(3)如图③，在(2)的条件下，若点E在CA的延长线上，那么(2)中结论还成立吗？试证明.答案1.C2.B3.B4.A5.C.6.C7.C.8.B9.C.10.C.11.答案为：1：4.12.答案为：4：9.13.答案为：16cm.14.答案为：Q.15.答案为：4.16.答案为(﹣3×4n﹣1，4n).17.证明：∵△ABC是等边三角形∴∠B＝∠C＝60°∴∠ADB＝∠CAD＋∠C＝∠CAD＋60°∵∠ADE＝60°∴∠ADB＝∠BDE＋60°∴∠CAD＝∠BDE∴△ADC∽△DEB.18.解：(1)△PBA与△ABC相似，理由如下：∵AB＝5，BC＝5，BP＝1∴∵∠PBA＝∠ABC∴△PBA∽△ABC；(2)∵△PBA∽△ABC∴∠BAC＝∠BPA∵∠BPA＝90°＋45°＝135°∴∠BAC＝135°．19.证明：(1)∵AB∥CD∴∠B＝∠C又∠C＝∠EAF∴∠EAF＝∠B(2)∵∠EAF＝∠B，∠AFE＝∠BFA ∴△AFE∽△BFA则AFBF＝FEFA∴AF2＝FE·FB20.解：(1) ∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高∴∠BGC＝∠ADC＝90°.又∠C＝∠C∴△ADC∽△BGC.(2)∵△ADC∽△BGC∴CGDC＝BCAC.∴CGBC＝DCAC.又∠C＝∠C∴△GDC∽△BAC.∴CGBC＝DGAB.∴CG·AB＝CB·DG.21.证明：(1)∵正方形ABCD中，BP＝3PC，Q是CD的中点∴PC＝14﹣BC，CQ＝DQ＝12CD，且BC＝CD＝AD∴PC ：DQ ＝CQ ：AD ＝1：2 ∵∠PCQ ＝∠ADQ ＝90° ∴△PCQ ∽△ADQ (2)∵△BMP ∽△AMD ∴BM ：DM ＝BP ：AD ＝3：4 ∵AB ＝10 ∴BD ＝10 2 ∴BM ＝同理QN ＝53 5.22.证明：(1)在题图①中作EG ∥AB 交BC 于点G 则∠ABC ＝∠EGC ，∠D ＝∠FEG. ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C. ∴∠EGC ＝∠C.∴EG ＝EC. ∵BD ＝CE ，∴BD ＝EG. ∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠GFE ∴△BFD ≌△GFE. ∴DF ＝EF. (2)解：DF ＝1nEF.证明：在题图②中作EG ∥AB 交BC 于点G ，则∠D ＝∠FEG.由(1)得EG ＝EC. ∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠EFG ∴△BFD ∽△GFE.∴BD EG ＝DF EF. ∵BD ＝1n CE ＝1n EG∴DF ＝1n EF.(3)解：成立.证明：在题图③中作EG ∥AB 交CB 的延长线于点G则仍有EG＝EC，△BFD∽△GFE.∴BDEG＝DFEF.∵BD＝1nCE＝1nEG，∴DF＝1nEF.。

完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案

完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案

完整版)九年级数学相似三角形综合练习题及答案1.填空题：1) 若$a=8$cm，$b=6$cm，$c=4$cm，则$a$、$b$、$c$的第四比例项$d=\underline{12}$；$a$、$c$的比例中项$x=\underline{5}$。

2) $(2-x):x=x:(1-x)$。

则$x=\underline{1}$。

3) 在比例尺为1：的地图上，距离为3cm的两地实际距离为\underline{30}公里。

4) 圆的周长与其直径的比为\underline{$\pi$}。

5) $\frac{a^5-ab}{b^3}=\frac{a^4}{b^2}$，则$\frac{a}{b}=\underline{a^2}$。

6) 若$a:b:c=1:2:3$，且$a-b+c=6$，则$a=\underline{2}$，$b=\underline{1}$，$c=\underline{3}$。

7) 如图1，则$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CE}=\underline{\frac{3}{2}}$；若$BD=10$cm，则$AD=\underline{6}$cm；若$\triangle ADE$的周长为16cm，则$\triangle ABC$的周长为\underline{24}cm。

8) 若点$c$是线段$AB$的黄金分割点，且$AC>CB$，则$\frac{AC}{AB}=\underline{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$，$\frac{CB}{AB}=\underline{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$。

2.选择题：1) 根据$ab=cd$，共可写出以$a$为第四比例项的比例式的个数是（）A．$1$，B．$2$，C．$3$，D．$4$。

答案：B。

2) 若线段$a$、$b$、$c$、$d$成比例，则下列各式中一定能成立的是（）A．$abcd=1$，B．$a+b=c+d$，C．$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，D．$a^2+b^2=c^2+d^2$。

2020届九年级中考数学知识点《三角形》强化练习卷含答案

2020届九年级中考数学知识点《三角形》强化练习卷含答案

三角形一、选择题1．（2019宿迁）一副三角板如图摆放（直角顶点C 重合），边AB 与CE 交于点F ，DE BC ∥，则BFC ∠等于A ．105︒B ．100︒C ．75︒D ．60︒【答案】A2．（2019临沂）如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，FC AB ∥，若4AB =，3CF =，则BD 的长是A ．0.5B ．1C ．1.5D ．2【答案】B3．（2019绍兴）如图，墙上钉着三根木条a ，b ，c ，量得∠1=70°，∠2=100°，那么木条a ，b 所在直线所夹的锐角是A ．5°B ．10°C ．30°D ．70°【答案】B4．（2019潍坊）如图，已知AOB ∠．按照以下步骤作图：①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AOB ∠的两边于C ，D 两点，连接CD ．②分别以点C ，D 为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在AOB ∠内交于点E ，连接CE ，DE ．③连接OE 交CD 于点M ．下列结论中错误的是A ．CEO DEO ∠=∠B ．CM MD =C ．OCD ECD ∠=∠D ．12OCED S CD OE =⋅四边形 【答案】C5．（2019梧州）如图，DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且85AC BC ==，，则BEC △的周长是A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B6．（2019宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出A ．直角三角形的面积B ．最大正方形的面积C ．较小两个正方形重叠部分的面积D ．最大正方形与直角三角形的面积和 【答案】C7．（2019青岛）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为F ．若∠ABC =35°，∠C =50°，则∠CDE 的度数为A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°【答案】C9．（2019天水）如图，等边OAB △的边长为2，则点B 的坐标为A ．(11)，B ．(1C ．1)D ．【答案】B10．（2019宁波）已知直线m ∥n ，将一块含45°角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D ．若∠1=25°，则∠2的度数为A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°【答案】C11．（2019滨州）如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B12．（2019陕西）如图，在△ABC 中，∠B =30°，∠C =45°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ．若DE =1，则BC 的长为A ．B +C2 D ．3【答案】A13．（2019衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC =CD =DE ，点D 、E 可在槽中滑动．若∠BDE =75°，则∠CDE 的度数是A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°【答案】D14．（2019重庆A 卷）如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连接BD ，把△BDC ′沿BD 翻折，得到△，DC与AB交于点E，连接AC'，若AD=AC′=2，BD=3则点D到BC的距离为BDC'A B C D【答案】B15．（2019南通）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3（如图）．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【答案】C16．（2019杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°【答案】D17．（2019河南）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分别以点A，C为圆心，大于1AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长2为A ．B ．4C ．3D 【答案】A18．（2019张家界）如图，在ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C19．（2019台州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是 A ．3，4，8 B ．5，6，10 C ．5，5，11D ．5，6，11【答案】B20．（2019台湾）如图，△ABC 中，AC =BC <AB ．若∠1、∠2分别为∠ABC 、∠ACB 的外角，则下列角度关系何者正确A ．∠1<∠2B ．∠1=∠2C ．∠A +∠2<180°D ．∠A +∠1>180°【答案】C21．（2019长春）如图，在ABC △中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使2AD C B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是A ．B ．C ．D ．【答案】B22．（2019金华）若长度分别为a ，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是 A ．1 B ．2C ．3D ．8【答案】C23．（2019广西）如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒【答案】C24．（2019大庆）如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A =60°，则∠BEC 是A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B25．（2019荆门）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则1∠的度数是A ．95︒B ．100︒C ．105︒D ．110︒【答案】C26．（2019百色）三角形的内角和等于 A ．90︒B ．180︒C ．270︒D ．360︒【答案】B27．（2019徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是 A ．2，2，4 B ．5，6，12 C ．5，7，2 D ．6，8，10【答案】D 二、填空题28．（2019临沂）如图，在ABC △中，120ACB ∠=︒，4BC =，D 为AB 的中点，DC BC ⊥，则ABC △的面积是__________．【答案】29．（2019南京）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，CD 平分∠ACB ．若AD =2，BD =3，则AC 的长为__________．30．（2019威海）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD ．若90ACB ∠=︒，AC BC =，AB BD =，则ADC ∠=__________︒．【答案】10531．（2019北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB +∠PBA =__________°（点A ，B ，P 是网格线交点）．【答案】4532．（2019成都）如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．【答案】933．（2019黄冈）如图，AC BD ，在AB 的同侧，288AC BD AB ===，，，点M 为AB 的中点，若120CMD ∠=︒，则CD 的最大值是__________．【答案】1434．（2019舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在一个平面上，边AC与EF重合，AC=12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为__________cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为__________cm2．），（）【答案】（24–35．（2019长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE=50 m，则AB的长是__________m．【答案】10036．（2019南京）在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是__________．【答案】4<BC≤337．（2019枣庄）把两个同样大小含45︒角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个，，在同一直线上．若AB=2，则CD=__________．三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B C D38．（2019兰州）在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________． 【答案】70°39．（2019盐城）如图，在ABC △中，BC =45C ∠=︒，AB =，则AC 的长为__________．【答案】240．（2019伊春）一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当BDE △是直角三角形时，则CD 的长为__________． 【答案】3或24741．（2019襄阳）如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加下列条件中的一个：①A D ∠=∠，②A C D B =，③A B D C=，其中不能确定ABC △≌△DCB △的是__________（只填序号）．【答案】②42．（2019南通）如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．【答案】7043．（2019哈尔滨）在ABC △中，50A ∠=︒，30B ∠=︒，点D 在AB 边上，连接CD ，若ACD △为直角三角形，则BCD ∠的度数为__________． 【答案】60︒或10︒44．（2019怀化）若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为__________． 【答案】36°45．（2019通辽）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________． 【答案】6或46．（2019大庆）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 相交于点G ，若DG =1，则AD =__________．【答案】347．（2019江西）如图，在ABC △中，点D 是BC 上的点，40BAD ABC ∠=∠=︒，将ABD △沿着AD 翻折得到AED △，则CDE ∠=__________°．【答案】20 三、证明题48．（2019南京）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF ≌△CEF．证明：∵DE∥BC，CE∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形，∴BD=CE，∵D是AB的中点，∴AD=BD，∴AD=EC，∵CE∥AD，∴∠A=∠ECF，∠ADF=∠E，∴△ADF≌△CEF．49．（2019益阳）已知，如图，AB=AE，AB∥DE，∠ECB=70°，∠D=110°，求证：△ABC≌△EAD．证明：由∠ECB=70°得∠ACB=110°，又∵∠D=110°，∴∠ACB=∠D，∵AB∥DE，∴∠CAB=∠E，∴在△ABC和△EAD中，==ACB DCAB E AB AE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△EAD．50．（2019山西）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠F．求证：BC=DF．证明：∵AD=BE，∴AD-BD=BE-BD，∴AB=ED，∵AC∥EF，∴∠A=∠E，在△ABC和△EDF中，C FA E AB ED∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△EDF（AAS），∴BC=DF．51．（2019兰州）如图，AB=DE，BF=EC，∠B=∠E，求证：AC∥DF．证明：∵BF=EC，∴BF+FC=EC+FC，∴BC=EF，在△ABC 和△DEF 中，AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）， ∴∠ACB =∠DFE ， ∴AC ∥DF ．52．（2019广州）如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE =FE ，FC ∥AB ，求证：ADE CFE △≌△．证明：∵FC ∥AB ，∴∠A =∠FCE ，∠ADE =∠F ，所以在△ADE 与△CFE 中，A FCE ADE F DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CFE ．53．（2019泸州）如图，AB CD ∥，AD 和BC 相交于点O ，OA OD =．求证：OB OC =．证明：∵AB CD ∥，∴A D ∠=∠，B C ∠=∠，在AOB △和DOC △中，A D B C OA OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOB DOC △≌△， ∴OB OC =．54．（2019重庆A 卷）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ．（1）若∠C =36°，求∠BAD 的度数．（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB =FE ．证明：（1）∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠， ∵36C ∠=︒， ∴36ABC ∠=︒，∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒． （2）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠， 又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠， ∴EBF FEB ∠=∠， ∴BF EF =．55．（2019桂林）如图，AB =AD ，BC =DC ，点E 在AC 上． （1）求证：AC 平分∠BAD ； （2）求证：BE =DE ．证明：（1）在△ABC 与△ADC 中，AB AD AC AC BC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADC （SSS ）， ∴∠BAC =∠DAC ，即AC 平分∠BAD ．（2）由（1）∠BAE =∠DAE ，在△BAE 与△DAE 中，得BA DA BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△DAE （SAS ）， ∴BE =DE ．56．（2019黄石）如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，E 为边BC 上的点，且AB AE =，D 为线段BE 的中点，过点E 作EF AE ⊥，过点A 作AF BC ∥，且AF 、EF 相交于点F ． （1）求证：C BAD ∠=∠； （2）求证：AC EF =．证明：（1）如图，∵AB AE =，∴ABE △是等腰三角形， 又∵D 为BE 的中点，∴AD BE ⊥， 在Rt ABC △和Rt DBA △中，∵B Ð为公共角，90BAC BDA ∠=∠=︒， ∴C BAD ∠=∠．（2）∵AF BC ∥，∴EAF AEB ∠=∠， ∵AB AE =，∴ABE AEB ∠=∠，∴EAF ABC ∠=∠，又∵90BAC AEF ∠=∠=∠︒， ∴BAC AEF △≌△， ∴AC EF =．57．（2019重庆）如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ． （1）若∠C =42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE =FE ．证明：（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ，∠ADC =90°，又∠C =42°，∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°． （2）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵EF ∥AC ， ∴∠F =∠CAD ， ∴∠BAD =∠F ， ∴AE =FE ．58．（2019苏州）如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．（1）求证：EF BC =；（2）若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．证明：（1）∵CAF BAE ∠=∠， ∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．（2）∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．59．（2019无锡）如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ． 求证：（1）DBC ECB △≌△； （2）OB OC =．证明：（1）∵AB =AC ， ∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC ．60．（2019枣庄）在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长； （2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=．证明：（1）∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴AD BD DC ==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒， ∵2AB =，∴AD BD DC ===，∵30AMN ∠=︒，∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴30BMD ∠=︒，∴2BM DM =，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得DM =∴3AM AD DM =-=． （2）∵AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE △和ADF △中，B DAF DB DA BDE ADF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BDE ADF △≌△， ∴BE AF =．（3）如图，过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，∴90AME ∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，∴ME MA =，∵90AME ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴BME AMN ∠=∠，在BME △和AMN △中，E MAN ME MA BME AMN ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BME AMN △≌△，∴BE AN =，∴AB AN AB BE AE +=+==．61．（2019温州）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AB 边上一点，过点C 作CF ∥AB 交ED 的延长线于点F ．（1）求证：△BDE ≌△CDF ；（2）当AD ⊥BC ，AE =1，CF =2时，求AC 的长．证明：（1）∵CF AB ∥， ∴B FCD BED F ∠=∠∠=∠，， ∵AD 是BC 边上的中线，∴BD CD =，∴△BDE ≌△CDF ． （2）∵△BDE ≌△CDF ， ∴2BE CF ==，∴123AB AE BE =+=+=． ∵AD BC BD CD ⊥=，， ∴3AC AB ==．62．（2019杭州）如图，在△ABC 中，AC ＜AB ＜BC ．（1）已知线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P ，连接AP ，求证：∠APC =2∠B ．（2）以点B 为圆心，线段AB 的长为半径画弧，与BC 边交于点Q ，连接AQ ．若∠AQC =3∠B ，求∠B 的度数．证明：（1）∵线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点P ， ∴PA =PB ， ∴∠B =∠BAP ， ∵∠APC =∠B +∠BAP ， ∴∠APC =2∠B ；（2）根据题意可知BA =BQ ， ∴∠BAQ =∠BQA ，∵∠AQC =3∠B ，∠AQC =∠B +∠BAQ ， ∴∠BQA =2∠B ，∵∠BAQ +∠BQA +∠B =180°， ∴5∠B =180°， ∴∠B =36°．四、解答题63．（2019河北）已知：整式A=（n2-1）2+（2n）2，整式B>0．尝试化简整式A．发现A=B2，求整式B．联想由上可知，B2=（n2-1）2+（2n）2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：解：A=（n2-1）2+（2n）2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2，∵A=B2，B>0，∴B=n2+1，当2n=8时，n=4，∴n2+1=42+1=15；当n2-1=35时，n2+1=37．64．（2019大庆）如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km 至C港．（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1 km≈1.414 1.732）；（2）确定C港在A港的什么方向．解：（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴AC=14.1．答：A、C两地之间的距离为14.1 km．（2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C港在A港北偏东15°的方向上．65．（2019金华）如图，在76⨯的方格中，ABC△的顶点均在格点上，试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可．【答案】如图所示：。

初中数学证明题练习5套(含答案)

初中数学证明题练习5套(含答案)

初中数学证明题练习5套（含答案）（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。

求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG∴GN ∥AD ，GN=21AD∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG∴GM ∥BC ，GM=21BC∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB ⌒ =AB⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30°∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC∴DF BG FD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC 求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。

北师大版九年级上册数学1.1 菱形的性质与判定同步练习(附答案)

北师大版九年级上册数学1.1 菱形的性质与判定同步练习(附答案)

第一章特殊平行四边形1．1 菱形的性质与断定第1课时菱形的性质1．有一组__邻边__相等的平行四边形是菱形．2．菱形是__轴__对称图形，菱形的四边__相等__，菱形的对角线__互相垂直__．知识点一：菱形的定义1．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是(B)A．AB＝CD B．AB＝BCC．AD＝BC D．AC＝BD2．如图，在▱ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴▱ABCD是菱形__有一组邻边相等的平行四边形是菱形__．(请在横线上填上理由)知识点二：菱形的性质3．假设菱形两条对角线的长分别为6和8，那么这个菱形的周长为(A)A．20B．16C．12D．104．(易错题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的选项是(B)A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC,第4题图),第5题图) 5．如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是(C)A．四边形ABCD是平行四边形B．AC⊥BDC．△ABC是等边三角形D．∠CAB＝∠CAD6．在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝5，那么△ABD的周长是(C)A．10 B．12 C．15 D．207．菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较短的对角线长是(C)A．3 B．4 C．8 D．8 38．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD边中点，菱形ABCD 的周长为28，那么OH的长等于(A)A．B．4C．7 D．149．(2021·烟台)如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接OB.假设∠DAC＝28°，那么∠OBC的度数为(C) A．28°B．52°C．62°D．72°10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且BO＝DO.在Rt△AOB中，∵AB＝5，AO＝4，由勾股定理，得BO＝3，∴BD＝611．(2021·上海)如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，那么以下结论一定正确的选项是(B)A．△ABD与△ABC的周长相等B．△ABD与△ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍,第11题图),第12题图) 12．如图，菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，那么BC＝__5__．13．如图是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15 cm的可活动菱形衣架．假设墙上钉子间的间隔AB＝BC＝15 cm，那么∠1＝__120__°.,第13题图),第14题图) 14．(2021·白银)如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白局部．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，那么阴影局部的面积为__12__．15．(2021·宜宾)菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，那么较长的对角线长度是16．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点．求证：AE＝CF.解：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.∵点E，F分别是CD，AD的中点，∴DE＝12CD，DF＝12AD，∴DE＝DF.又∵∠ADE＝∠CDF，∴△AED≌△CFD(SAS)，∴AE＝CF17．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)假设∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D，∵点E，F分别是边BC，AD的中点，∴BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)(2)易得△ABC是等边三角形，点E为BC的中点，从而AE⊥BC，AE＝2318．如图，在菱形ABCD中，点F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．解：(1)证明：连接AC.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC.∴AE＝EC(2)点F是线段BC的中点．理由：∵ABCD是菱形，∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.∴AF是△ABC的角平分线．又∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF.∴点F是线段BC的中点第2课时菱形的断定对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形；__四边相等__的四边形是菱形．知识点：菱形的断定1．小明和小亮在做一道习题，假设四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形．小明补充的条件是AB＝BC；小亮补充的条件是AC＝BD，你认为以下说法正确的选项是(B)A．小明、小亮都正确B．小明正确，小亮错误C．小明错误，小亮正确D．小明、小亮都错误2．以下命题中正确的选项是(D)A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形3．如图，以下条件之一能使▱ABCD是菱形的是(D)①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.A．①③B．②③C．③④D．①③④,第3题图),第4题图) 4．如下图，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，那么四边形AFDE是(A)A．菱形B．长方形C．正方形D．以上都不对5．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如下图，能得到四边形ABCD 是菱形的根据是(B)A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形,第5题图),第6题图) 6．(易错题)如图，以下条件能断定四边形ABCD为菱形的有(C)①AB＝BC＝CD＝DA；②AC，BD互相垂直平分；③平行四边形ABCD，且AC⊥BD；④平行四边形ABCD，且AC＝BD.A．1个B．2个C．3个D．4个7．(2021·淄博)▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是__AD＝DC(答案不唯一)__．8．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件__OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC__，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)9．(2021·舟山)：如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EF 分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF.(1)求证：△DOE ≌△BOF ； (2)当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由． 解：(1)证明：∵▱ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，∴BO ＝DO ，∠EDB ＝∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中⎩⎨⎧∠EDO ＝∠OBF ，DO ＝BO ，∠EOD ＝∠FOB ，∴△DOE ≌△BOF (ASA )(2)当∠DOE ＝90°时，四边形BFDE 为菱形，理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴BF ＝DE ，又∵BF ∥DE ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BO ＝DO ，∠EOD ＝90°，∴EB ＝DE ，∴四边形BFDE 为菱形10．(2021·徐州)假设顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，那么该四边形一定是( C )A ．长方形B ．对角线相等的梯形C ．对角线相等的四边形D ．对角线互相垂直的四边形11．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下： 甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于点M ，O ，N ，连接AN ，CM ，那么四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于点E ，F ，连接EF ，那么四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断( C )A ．甲正确，乙错误B ．乙正确，甲错误C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误12．(2021·十堰)如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE ＝DF.给出以下条件：①BE ⊥EC ；②BF ∥CE ；③AB ＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为这个条件是__③__．(只填写序号)13．(2021·新疆)如图，△ABC ，按如下步骤作图：①分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交点P ，Q 两点； ②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；③过点C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF.(1)求证：△AED ≌△CFD ；(2)求证：四边形AECF 是菱形．解：(1)由作图知：PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD ，∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，在△AED 与△CFD 中，⎩⎨⎧∠EAC ＝∠FCA ，AD ＝CD ，∠CFD ＝∠AED ，∴△AED ≌△CFD(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形14．(2021·南京)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F.(1)求证：四边形DBFE 是平行四边形；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形DBFE 是菱形？为什么？解：(1)证明：∵点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，又∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形 (2)当AB ＝BC 时，四边形是菱形．理由如下：∵点D 是AB 的中点，∴BD ＝12AB ，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，∵AB ＝BC ，∴BD ＝DE ，又∵四边形DBFE 是平行四边形，∴四边形DBFE 是菱形15．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全一样的且含60°角的直角三角形ABC 与AFE 按如图①所示位置放置，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图②，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P .(1)求证：AM ＝AN ；(2)当旋转角α＝30°，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由．解：(1)证明：∵α＋∠EAC ＝90°，∠NAF ＋∠EAC ＝90°，∴α＝∠NAF.又∵∠B ＝∠F ，AB ＝AF ，∴△ABM ≌△AFN ，∴AM ＝AN (2)四边形ABPF 是菱形．理由：∵α＝30°，∠EAF ＝90°，∴∠BAF ＝120°.又∵∠B ＝∠F ＝60°，∴∠B ＋∠BAF ＝60°＋120°＝180°，∠F ＋∠BAF ＝60°＋120°＝180°.∴AF ∥BC ，AB ∥EF.∴四边形ABPF 是平行四边形．又∵AB ＝AF ，∴四边形ABPF 是菱形。

北师大版初三,九年级数学数学上册,课后习题答案

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北师大版初三，九年级数学数学上册，课后习题答案第4页练习答案解：因为在菱形ABCD中，AC±BD于点O，所以∠AOB=90°.在Rt△ABO中，OB=√(AB^2-AO^2 )=√(5^2-4^2 )=3（cm）.因为在菱形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，所以BD=2OB=6cm.1.11.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB,BC//AD,∴∠B+∠BAD=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵∠BAD=2∠B,∴∠B+2∠B=180°，∴∠B=60°.∵BC=AB，∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形的等边三角形）.2.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=BA,∴AC±BD,AO=1/2 AC= 1/2×8=4，DO= 1/2 BD= 1/2×6=3.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD=√(AO²+DO²)=√(4²+3²)=5.∴菱形ABCD的周长为4AD=4×5=20.3.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB,AC±BD，DO=BO,∴△ABD是等腰三角形，∴AO是等腰△ABD低边BD上的高，中线，也是∠DAB的平分线，∴AC平分∠BAD.同理可证AC平分∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.4.解：有4个等腰三角形和4个直角三角形.第7页练习答案解，所画菱形AB-CD如图1-1-32所示，使对角线AC=6cm，BD=4cm.1.21.证明：在□ABCD中，AD//BC,∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）.∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF.∵AE//CF,∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.∵EF±AC,∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.2.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC±BD,OA=OC,OB=OD.又∵点E,F,G,H,分别是OA,OB,OC,OD 的中点，∴OE=1/2OA,OG=1/2 OG,OF= 1/2 OB,OH= 1/2 OD,∴OE=OG,OF=OH,∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.∵AC⊥BD,即EG⊥HF,∴平行四边形EFGH是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.3.解：四边形CDC′E是菱形.证明如下：由题意得，△C′DE≌△CDE.所以∠C′DE=∠CDE,C^' D=CD,CE=C^' E.又因为AD//BC,所以∠C′DE=∠CED,所以∠CDE=∠CED,所以CD=CE（等角对等边），所以CD=CE=C′E=C′D,所以四边形CDC′E是菱形（四边相等的四边形是菱形）.第9页练习答案1.解：（1）如图1-1-33所示.∵四边形AB-CD是菱形，∴AB=BC=CD=DA=1/4×40=10（cm）.∵对角线AC=10cm，∴AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°.∵AD//BC,∴∠BAD+∠B=180°，∴∠BAD=180°-∠B=180°-60°=120°，∴∠BCD=∠BAD=120°，∠D=∠B=60°.（2）如图1-1-34所示，连接BD，交AC于点O，∴AO=1/2 AC= 1/2×10=5（cm）.在Rt△AOB中，∠AOB=90°，由勾股定理，得BO=√(AB^2-AO^2 )=√(〖10〗^2-5^2 )=5√3 （cm），∴BD=2BO=2×5√3=10√3 （cm），∴这个菱形另一条对角线的长为10√3 cm.2.证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，∴∠B=90°-∠BAC=90°-60°=30°.∵FD是BC的垂直平分线，∴EB=EC,∴∠ECB=∠B=30°（等边对等角）.∴∠ECA=∠ACB-∠ECB=90°-30°=60°.在△AEC中，∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ECA=180°-60°-60°=60°.∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE.在Rt△BDE中，∠BDE=90°，∴∠BED=90°-∠B=90°-30°=60°.∴∠AEF=∠BED=60°（对顶角相等）.∵AE=CF,AF=CE,∴AF=AE,∴△AEF是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.∴AF=EF，∴AF=EF=CE=AC,∴四边形ACEF是菱形（四边相等的四边形是菱形）.1.31.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD,AB=CB,∠A=∠C.∵BE=BF,∴AB-BE=CB-BF,即AE=CF.在△ADE和CDF中，.（2）∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE（等边对等角）.2.已知：如图1-1-35所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是对角线.求证：S菱形ABCD=1/2 AC∙BD.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.∴S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD=1/2 AO.BO.∴S菱形ABCD=4×1/2 AO∙BO= 1/2×2AO∙2BO=1/2 AC∙BD.3.解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOB=90°，AO= 1/2 AC= 1/2×16=8，BO= 1/2 BD= 1/2×12=6. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=√(AO^2+BO^2 )=√(8^2+6^2 )=10.∵S菱形ABCD=1/2 AC∙BD= 1/2×16×12=96，又∵DH⊥AB,∴S菱形ABCD=AB∙DH,∴96=AB∙DH,即96=10DH,DH=9.6.∴菱形ABCD的高DH为9.6.4.证明：∵点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD,的中点，∴GF是△ADC的中位线，EH是△ABD的中位线，∴GF//AD,GF=1/2 AD,EH//AD,EH=1/2AD,∴GF//EH,GF=EH,∴四边形EGFH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又∵FH是△BDC的中位线，∴FH=1/2 BC.又∵AD=BC,∴GF=FH,∴平行四边形EGFH是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.5.略第13页练习答案解：在矩形ABCD中，AO=4，BD=AC=2AO=8.因为∠BA=90°，所以在Rt△BAD中，由勾股定理，得AD=√(BD^2-AB^2 )=√(8^2-6^2 )=2√7.所以BD与AD的长分别为8与2√7.1.41.解：如图1-2-33所示，设这个矩形为ABCD，两条对角线相交于点O，OA=OB=3.在△AOB中，∠OAB=∠OBA=45°，于是∠AOB=90°，AB=√(OB^2+OA^2 )=3√2,同理AD=3√2,所以BC=AD=3√2 AB=DC=3√2所以这个矩形的各边长都是3√2.2.解：如图1-2-34所示，设这个矩形AB-CD两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AC=BD=15，∴AO=1/2AC=7.5，BO=1/2 BD=7.5，∴OA=OB,∴△AOB是等边三角形，∴AB=7.5.3.解：四边形ADCE是菱形.证明如下：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=1/2 AB,AD= 1/2 AB,∴AD=CD.∵AE//CD,CE//AD,∴四边形ADCE是平行四边形.又∵AD=CD,∴平行四边形ADCE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）4.已知：如图1-2-35所示，在△ABC中，BO为AC边上的中线，BO=1/2 AC.求证：△ABC是直角三角形.证明：如图1-2-35所示，延长BO到D，使BO=DO,连接AD,CD.∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是矩形.∴∠ABC=90°.∴△ABC是直角三角形.第16页练习答案证明：∵四边形ABCDS是平行四边形，∴AB=DC.∵M是AD的中点，∴AM=DM.又∵MB=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）,∴∠A=∠D.又∵AB//DC,∴∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°.∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.1.51.解：（1）四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.（2）当△ABC是直角三角形，即∠BAC=90°时，四边形ABEC是矩形.2.解：四边形ACBD是矩形.证明如下：如图1-2-36所示.∵CD//MN,∴∠2=∠4.∵BD平分∠ABN,∴∠1=∠4，∴∠1=∠2，∴OB=OD（等角对等边）.同理可证OB=OC,∴OC=OD.∵O是AB的中点，∴OA=OB,∴四边形ACBD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.又∵BC平分∠ABM,∴∠3=1/2∠ABM.∵BD平分∠ABN,∴∠1= 1/2∠ABN.∵∠ABM+∠ABN=180°，∴2∠3+2∠1=180°，∴∠3+∠1=90°，即∠CBD=90°.∴平行四边形ACBD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）3.解：做法如下：如图1-2-37所示，（1）连接AC,BD;（2）过A,C两点分别作EF//BD,GH//BD;（3）同法作FG//AC,EH//AH,与EF,GH交于四个点E，F,G,H,则矩形EFGH即为所求，且S矩形EFGH=2S菱形ABCD.第18页练习答案证明：∵四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，∴AB=AD=CD=BC,∴四边形ABD和CBD组成，∴AB=AD=CD=BC,∴四边形ABCD是菱形.∵M,N分别是BC和AD的中点，∴DN=1/2 AD,BM= 1/2 BC,∴DN=BM.∵BN=DM,∴四边形BMDN是平行四边形.∴∠DBN=1/2∠ABD= 1/2×60°=30°，∠DBM=60°，∴∠NBM=∠DBN+∠DBM=30°+60°=90.∴平行四边形BMDN是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.1.61.解：在矩形ABCD中，AC=BD=4，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴AB= 1/2 AC= 1/2×4=2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√(AC^2-AB^2 )=√(4^2-2^2 )=2√3.∴S矩形ABCD=BC∙AB=2√3×2=4√3.2.解：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，即∠BAE+∠EAD=90°.∵∠EAD=3∠BAE,∴∠BAE+3∠BAE=90°，∠BAE=22.5°.∴∠EAD=3∠BAE=3×22.5°=67.5°.∵AE⊥BO,∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°，即22.5°+∠ABE=90°，∴∠ABE=67.5°.∵AC=BC,OA=1/2 AC,OB= 1/2 BD,∴OA=OB,∴∠OAB=∠ABE=67.5°.∵∠EAO+∠BAE=∠OAB,∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°.3.证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD.∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE//BC,AE=BD,ED=AB（平行四边形的性质）.∴AE=CD.∵AE//CD,∴四边形ADCE是平行四边形（一组对边平行且相等的平行四边形是矩形）.∵AB=AC，∴ED=AC,∴平行四边形ADCE是矩形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. ※4.解：将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合得到的图形如图1-2-38所示.折痕为EF，则AE=CE,EF垂直平分AC，连接AC交EF于点O，在矩形ABCD中，∠B=90°，BC=8cm，设CE=x cm，则AE=x cm，BE=BC-CE=（8-x）cm.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE²=AB²+BE²,X²=6²+（8-x）²，解得x=25/2，即EC=25/4cm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√(AB^2+BC^2 )=√(6^2+8^2 )=10cm.∴OC=1/2=AC=1/2×10=5cm.∵EF⊥AC,∴∠EOC=90°.在Rt△EOC中，由勾股定理，得EO²=EC²-OC²,EO=√(EO^2-OC^2 )=√(（25/4）^2-5^2 )=15/4 cm，∴折痕EF=2EO=2× 15/4=15/2 cm. ※5.解：如图1-2-39所示，连接PO.S矩形ABCD=AB.BC=3×4=12.在Rt△ABC中，AC=B√(AB²+BC²)=√(3²+4²)=5.又因为AC=BD,AO= 1/2 AC,DC= 1/2 BD,所以AO=DO=5/2.所以S△AOD=S△APO+S△POD= 1/2 AO.PE+ 1/2 DO∙PE= 1/2 AO（PE+PE）=1/2×5/2 （PE+PE）=5/4 （PE+PE）.又因为S△AOD= 1/4 S矩形ABCD= 1/4×12=3，所以5/4 （PE+PE）=3，解得PE+PE= 12/5.第21页练习答案1.解：以正方形的四个顶点为直角顶点的等腰直角三角形共有四个，以正方形的两条对角线的交点为顶点的等腰直角三角形也有四个，所以共有八个等腰直角三角形.2.：△ADF≌△ABF,△DCF≌△BCF,△ADC≌△ABC.以△ADF≌ABF为例加以证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB,∠DAF=∠BAF.∵AF=AF,∴△ADF≌ABF（SAS）.1.71.解：设正方形的边长为为想x cm，则x²+x²=2²，解得x=√2，即正方形的边长为√2 cm.2.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=BC=DC.∵△CBE是等边三角形，∴BE=EC=CB,∠EBC=∠ECB=60°.∴∠ABE=30°.∴AB=BE,∴∠AEB=BAE=(180°-∠ABE)/2=(180°-30°)/2=75°.3.证明：如图1-3-24所示，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=D,∠BAD=∠D=90°，AB=DA.∵PD=QC,∴AP=DQ∴△ABP≌△DAQ.∴BP=AQ,∠1=∠2.∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，即BP⊥AQ.※4.解：过正方形两条对角线的交点任意做两条互相垂直的直线，即可将正方形分成大小，形状完全相同的四部分.答案不唯一，如图1-3-25所以方法仅供参考.第24页练习答案答案：满足对角线垂直的矩形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形.满足对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形证明结论如下：（1）对角线垂直的矩形是正方形.（2）已知：如图1-3-7（1）多事，四边形ABCD是矩形，AC,BD是对角线，且AC⊥BD.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC平分BD.又∵AC⊥BD，∴AC是BD的垂直平分线.∴AB=AD.∴四边形ABCD是正方形.（4）有一个角是直角的菱形是正方形.已知，如图1-3-7（4）所示，四边形ABCD是菱形，∠A=90°.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形.又AB=BC，∴矩形ABCD是正方形.1.81.答案：对角线相等的菱形是正方形.已知：如图1-3-7（3）所示，四边形ABCD是菱形，AC,BD是对角线，且AC=DC.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC.又∵AB=BA,BD=AC,∴△ABD≌△BAC（SSS）.∴∠DAB=∠CBA.又∵AD//bc,∴∠dab+∠cba=180°.∴∠DAB=∠CBA=90°.∴四边形ABCD是正方形.2.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CB,AD//CB,∴∠ADF=∠CBE.在△ADF和=∠CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF=CF,∠AFD=∠CEB.∵∠AFD+∠AFE=180°，∠CEB+∠CEF=180°，∴∠AFE=∠CEF（等角的补角相等）.∴AF//CE（内错角相等，两直线平行）.∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.∵AD=AB,∴∠ADF=∠ABE.在△AFD和AEB中，∴△AFD≌△AEB（SAS）.∴AF=AE,∴四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.3.解：四边形EFGH是正方形.在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.因为AE=BF=CG=DH,所以AB-AE=BC-BF=CD-CG=AD-DH,即BE=CF=DG=AH.所以△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），所以∠AEH,HE=EF=FG=GH.所以四边形EFGH 是菱形.因为∠AEH+∠AHE=90°，所以∠DHG+∠AHE=90°，所以∠EHG=90°，所以菱形EFGH是正方形.4.解：重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的1/4.证明如下：重叠部分为等腰直角三角形时，重叠部分为面积为正方形ABCD面积的1/4，即S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD= 1/4S正方形ABCD.重叠部分为四边形是，如图1-3-26所示.设OA′与AB相交于点E,OC′与BC相交于点F.∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB,∠EAO=∠FBO=45°，AO⊥BD.又∵∠AOE=90°-∠EOB,∠BOF=90°-∠EOB,∴∠AOE=∠BOF,∴△AOE≌△BOF.∴S△AOE+S△BOE=S△BOE+S△BOE,∴S△AOB=S四边形EBFO.又∵S△AOB=1/4 S正方形EBFO.∴S四边形EBFO=1/4 S正方形ABCD.第一章复习题1.解：设该菱形为菱形ABCD，两对角线交于点O，则△AOB为直角三角形，直角边长分别为2cm 和4cm，则有勾股定理，得AB=√(OA^2+OB^2 )=√(2^2+4^2 )=2√5 （cm），即林习惯的边长为2√5 cm.2.解：由OA=OB=√2/2 AB,可知OA^2+OB^2=AB^2,则∠AOB=90°.因为OA=OB=OC=OD,所以AC,BD互相垂直平分且相等，故四边形ABCD必是正方形.3.解：不一定是菱形，因为也可能是矩形.4.已知：如图1-4-20所示，菱形BACD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=60cm，周长为200cm.求（1）BD的长；（2）菱形的面积.解：（1）因为菱形四边相等，对角线互相垂直平分，所以AB=1/4×200=50（cm），AC⊥BD且OA=OC= 1/2 AC= 1/2×60=30（cm），OB=OD.在Rt△AOB中，OB=√(AB²-AO²)=√(50²-30²)=40（cm）.所以BD=2OB=80cm.（2）S菱形ABCD=1/2 AC∙BD= 1/2×60×80=2 400（cm^2 ）.5.已知：如图1-4-21所示，在四边形AB-CD，对角线AC⊥BD,E,F,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证：四边形EFPQ为正方形.证明：∵E,Q分别为B,AD的中点，∴四边形EFPQ为平行四边形.∵AC=BD,∴EF=EQ.∴□EFPQ为菱形.∵AC⊥BD,∴EF⊥EQ.∴∠QEF=90°.∴菱形EFPQ是正方形.6.解∵AC=EC,∴∠CEA=∠CAE.由四边形ABCD是正方形.得AD//BE,∴∠DAE=∠CEA=∠CAE.又∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°，∴∠DAE=1/2∠DAC= 1/2×45°=22.5°.7.解：（1）是正方形，因为对角线相等的菱形必为正方形.（2）是正方形，因为这个四边形的对角线相等，四条边也相等.8.证明：如图1-4-22所示，∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.∵DE//AC,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴AE=DE.∵DE//AC,DF//AB,∴四边形AEDF是平行四边形.又AE=DE,∴□AEDF是菱形.9.证明：如图1-4-23所示，∵BE⊥AC,ME为Rt△BEC的中线，∴ME=1/2BC.同理MF=1/2BC,∴ME=MF.10.已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC=BD=l.求正方形的周长和面积.解：正方形ABCD中，AB=BC,∠B=90°.在Rt△ABC中，AB²+BC²=AC²,2AB²=l²,所以AB=√2/2l.所以正方形的周长=4AB=4×√2/2 l=2√2 l,S四边形ABCD=AB^2=（√2/2 l）^2=1/2 l^2.11.证明：∵CP//BD,DP//AC,∴四边形CODP是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.∵OC=1/2 AC,OD= 1/2 BD,∴OC=OD∴四边形CODP是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.12.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.∵OA=OC,OB=OD,又∵AM=BP=CN=DQ,∴OA-AM=OC-CN,即OM=ON,OB-BP=OD-DQ,即OP=OQ,∴四边形MPNQ是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.∵AM+MN+NC=AC,BP+PQ+DQ=BD,∴MN=PQ,∴四边形MPNQ是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.13.证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB,∴∠FCD=1/2∠ACB=45°.∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°.在Rt△FCD中，∠FDC=90°-∠FCD=90°-45°=45°，∴∠FCD=∠FDC,∴FC=FD.∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°.∴∠DFC=∠FCE=∠DEC=90°.∴四边形DFCE是矩形（有个三角是直角的四边形是矩形）.∵FC=FD,∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.14.解：由AP=4t cm，CQ=l cm，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC-CQ=（20-t）cm.∴DQ=DC-CQ=（20-t）cm.当四边形APQD是矩形时，则有DQ=AP,∴20-t=4t，解得t=4∴当t为4时，三角形APQD是矩形.15解：△BFD是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC,∴∠ADB=∠DBC.∵∠FBD=∠DBC,∵∠FBD=∠ADB,∴BF=DF.∴△BFD是等腰三角形.16.解由题意知，矩形ABCD≌矩形GCDF,∴AB=FG,BC=GC,AC=FC,∴△ABC≌△FGC,∴∠ACB=∠FCG.∵∠ACB+∠ACD=90°，∴∠FCG+∠ACD=90°，即∠ACF=90°.∵AC=CF,∴△ACF是等腰直角三角形.∴∠AFC=45°.17.解不一定，因为还可能是菱形，若要判断这块纱巾是否为正方形，还需要检验对角线是否相等.18.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//DA.∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AH平分∠DAB,BH,平分∠ABC,∴∠HAB=1/2∠DAB,∠HBA= 1/2∠ABC.∴∠HAB+∠HBA=90°.∴∠H=90°.同理可证∠F=90°，∠HEF=90°.∴四边形EFGH是矩形.19.解：略.提示：如图1-4-24所示图形仅供参考.第32页练习答案1.解：设直角三角形的三边长分别为m-1，n，n+1（n>1，且n为整数，）则（n-1）²+n²=（n+1）².2.解：∵（3x+2）²=4（x-3）²，∴9x²+12x+4-4x²+24x-36=0，∴5x²+36x-32=0.其中二次项系数为5，一次项系数为36，常数项为-32.（答案不唯一）3.解：设竹竿长为x尺，则门框宽为（x-4）尺，高为（x-2）尺.由勾股定理，得（x-4）²+（x-2）^2=x²，即x²-12x+20=0. 2.11.解：（1）设这个正方形的边长是xm，根据题意，得（x+5）（x+2）=54，即x²+7x-44=0.设这三个连续整数依次为x，x+1，x+2，根据题意，得x（x+1）+x（x+2）+（x+1）（x+2）=242，即x²+2x-80=0.2.（答案不唯一）根据题意，得x（8-x）=15.整理，得x²-8x+15=0. 列表：由表格知x=5.（当x=3时，也满足方程，但不符合实际，故舍去）答：可用16m长的绳子围城一个15m²的矩形，其次为5m，宽为3m.3.解：根据题意，得10+2.5t-5t2=5，即2t²-t-2=0. 列表：所以1<t<2. 进一步列表：所以1.2<t<1.3.答：他完成规定动作的事假最多不超过1.3s.第34页练习答案解：设这五个连续整数第一个数为x，则另外四个数分别为x+1，x+2，x+3，x+4.根据题意，得（x+1）²+（x+2）²+x²=（x+3）²+（x+4）².整理，得x²-8x-20=0. 列表：∴x=-2或x=10.因此这五个连续整数依次为-2，-1,0,1,2或10,11,12,13,14.2.2 1.解：设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m.根据题意，得x（x+2）=120，即x²+2x-120=0.列表：由表格知x=10.（当x=-12时，也满足方程，但不符合实际情况，故舍去）答：苗圃的宽为10m，长为12m.2.解：能.设矩形的长为xm，则宽为（8-x）m.第37页练习答案（1）x_1=5+√7，x_2=5-√7.（2）x_1=7+√57，x_2=7-√57.（3）x_1=(√13-3)/2，x_2=-(√3+3)/2.（4）x_1=3+√11，x_2=3-√11.2.3 1.解：（1）移项，得x²+12x=-25.配方，得x²+12x+6²=-25+36，（x+6）²=11，即x+6=√11或x+6=-√11. ∴x_1=√11-6，x_2=-√11-6.（2）配方，得x²+4x+2²=10+2²，（x+2）²=14，即x+2=√14 或x2=-√14.∴x_1=√14-2，x_2=-√14-2.（3）配方，得x²-6x+（-3）²=11+（-3）²，（x-3）²=20，即x-3=2√5 或x-3=-2√5.∴x_1=2√5+3，x_2=-2√5+3.（4）化简，得x²-9x=-19，配方，得x²-9x+（-9/2）^2=-19+（-9/2）^2，（x-9/2）^2=5/4，即x-9/2=√5/2 或x- 9/2=-√5/2，∴x_1=(9+√5)/2，x_2=(9-√5)/2.2.解：设道路的宽为xm，根据题意，得（35-x）（26-x）=850.整理，得x²-61x+（-61/2）²=-60+（-61/2）².∴（x-61/2）^2=(3 481)/4.开平方，得x- 61/2=±59/2.解得x_1=1，x_2=60（不合题意，舍去）.答：道路的宽应为1m.3.解：设增加69人后，增加的行数，列数都是x，则（x+8）（x+12）=69+8×12. 整理，得x²+20x=69.配方.得x²+20x+10²=69+10².∴（x+10）²=169.开平方，得x+10=±13.解得x_1=3，x_2=-23（不合题意，舍去）答：增加的行数，列数都是3.第39页练习答案解（1）移项，得3x²-9x=-2. 两边同除以3，得x²-3x=-2/3.配方，得（x-3/2）²=19/12. 开平方，得x-3/2=±√57/6.∴x_1=(9+√57)/6，x_2=(9-√57)/6.（2）移项，得2x²-7x=-6. 两边同除以2，得x²-7/2 x=-3.配方，得（x-7/4）²=1/16. 开平方，得x-7/4=±1/4.∴x_1=2，x_2=3/2.（3）移项，得4x²-8x=3. 两边同除以4，得x²-2x=3/4.配方，得（x-1）²=7/4. 开平方，得x-1=±√7/2.∴x_1=(2+√7)/2，x_2=(2-√7)/2.2.4 1.（1）x_1=1，x_2=1/6.（2）x_1=3，x_2=-6/5.（3）x_1=4，x_2=-13/4.（4）x_1=(-1+√21)/5，x_2=(-1-√21)/5.2.解：设共有x只猴子，根据题意，得x=（1/8 x）²+12.解得x1=16，x_2=48.答：共有16只或48只猴子.3.解：如图2-2-4所示，过点Q作QH⊥AB,垂足为H. 设经过ts时，点P和点Q的距离是10cm. 则CQ=2tcm，AP=3tcm.∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°.∵∠QHB=90°，∴四边形QHBC是矩形，∴BH=CQ=2t，HQ=BQ=BC=6cm，∴PH=AB-AP-BH=16-3t-2t=（16-5t）cm.在Rt△PHQ中，∠PHQ=90°，由勾股定理，得PQ²=PH²+HQ².当PQ=10cm时，10²=（16-5t）²+6². ∴（16-5t）²=64，解得t_1=8/5，t_2=24/5，经检验：t_1=8/5s， t_2=24/5 s时都符合题意，所以当t_1=8/5 s和t_2=24/5 s时，点P和点Q 的距离是10cm.第43页练习答案1.解：（1）原方程变形为2x²-7x+5=0，这里a=2，b=-7，c=5，∵b²-4ab=（-7）^2-4×2×5=9>0，∴原方程变形为4x²-4x+3=0，这里a=4，b=-4，c=3，∵b²=-32<0，∴原方程没有实数根.（3）原方程变形为4y²-2.4y+0.36=0，这里a=4，b=-2,.4，c=0.36，∵b²-4ac=（-2.4）²-4×4×0.36=5.76-5.76=0，∴原方程有两个相等的实数根.2.解：（1）∵a=2，b=-9，c=8，∴b²-4ac=（-9）²-4×2×8=17>0，∴x=(9+√17)/4，即x_1=(9+√17)/4，x_2=(9-√17)/4.（2）∵a=9，b=6，c=1，∴b²-4ab=36-4×9×1=0，∴x=(-6±0)/18=-1/3，即x_1=x_2=-1/2.（3）∵a=16，b=8，c=-3，∴b²-4ac=64-4×16×（-3）=256，∴x=(-8±√256)/32=(-8±16)/32，即x_1=1/4，x_2=-3/4.（4）原方程化为x²-3x+5=0.∵a=1，b=-3，c=5，∴b²-4ac=（-3）²-4×1×5=-11<0，∴原方程没有实数根.3.解：设中间的一条边长为n，则另两条边长分别为n-2和n+2.由勾股定理，得n²+（n-2）²=（n+2）²，解得n_1=8，n_2=0（不合题意，舍去）.∴这个三角形的三条边分别为6,8,10.2.5 1.解：（1）原方程变形为5x²+x-7=0，这里a=5，b=1，c=-7，因为b²-4ac=1²-4×5×（-7）=141>0，所以原方程有两个不相等的实数根.（2）这里a=25，b=20，c=4.因为b²-4ac=20²-4×25×4=0，所以原方程有两个相等的实数根.（3）原方程变形为4x²+3x+1=0，这里a=4，b=3，c=1，因为b²-4ac=3²-4×4×1=-7<0，2.解：（1）∵a=2，b=-4，c=-1，∴b²-4ab=16-4×2×（-1）=24>0，∴x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(4±2√6)/4，∴x_1=(2+√6)/2，x_2=(2-√6)/2.（2）5x+2=3x²变形为3x²-5x-2=0.∵a=3，b-5，c=-2，∴b²-4ac=25-4×3×（-2）=49>0，∴x=(-b±√(b²-4ac))/2a=(5±7)/6，∴x_1=2，x_2=-1/3.（3）（x-2）（3x-5）=1变形为3x²-11x+9=0.∵a=3，b=-11，c=9，∴b²-4ac=121-108=13>0，∴x=(-b±√(b^2-4ab))/2a=(11±√13)/6.∴x_1=(11+√13)/6，x_2=(11-√13)/6.（4）0.2x²+5=3/2 x变形为0.2x²-3/2 x+5=0，∵a=0.2，b=-3/2，c=5，∴b²-4ac=（-3/2）²-4×0.2×5=-7/4<0，∴原方程没有实数根.3.解：设门的高为x尺，则宽为（x-6.8）尺.根据题意，得10²=x²+（x-6.8）²整理，得2x²-13.6x-53.76=0.解得x_1=9.6，x_2=-2.8（不合题意，舍去）.∴x=9.6.∴x-6.8=2.8.答：门的高度为9尺6寸，宽为2尺8寸.4.解设木箱的长为x dm，则宽为（x-5）dm，于是有8x（x-5）=528，解得x_1=11，x_2=-6（不合题意，舍去）.所以x=11.所以x-5=11-5=6.答：木箱的长为11dm，宽为6dm.第44页练习答案解：根据题意，得（16-x）（12-x）=1/2×16×12.解得x_1=24（不合题意，舍去），x_2=4.∴x=4，∴图中的x为4.2.6 1.解设金色纸边的宽是x cm，根据题意，得（90+2x）（40+2x）×72%= 90×40，即x²+65x-350=0，解得x_1=5，x_2=-70（不合题意，舍去）.答：金色纸边的宽是50cm.2.解：设鸡场的一边（靠墙的一边）长为xm，则另外两边长均为(40-x)/2 m.（1）若x∙(40-x)/2=180，解得x_1=20+2√10（不合题意，舍去），x_2=20-2√10.∴鸡场的面积能达到180m².若x∙(40-x)/2=200，解得x_1=x_2=20.∴鸡场的面积能达到200m².（2）若x∙(40-x)/2=250，则x²-40x+500=0，方程无实数根.∴鸡场的面积不能达到250m².3.解：设圆柱底面半径为Rcm，则15∙2πR+2πR²=200π，解得R_1=5，R_2=-0（不合题意，舍去）.∴圆柱底面半径为5 cm.※4.解：如图2-3-2所示，过点P做x轴的垂线，垂足为M，根据题意，得S△pab=S梯形pmob-S△boa-S△pma，即1/2 （1+a）×14-1/2 a²-1/2×1×（14-a）=18，解得a_1=3，a_2=12.所以a的值为3或12.第47页练习答案1.解：（1）（x+2）（x-4）=0，x+2=0，或x-4=0，∴x_1=-2，x_2=4.（2）解：移项的4x（2x+1）-3（2x+1）=0，∴（2x+1）（4x-3）=0，∴2x+1=0，或4x-3=0，∴x_1=-1/2，x_2=3/4.2.解：设这个数为n，则2n²-7n=0，解得n_1=0，n_2=7/2.2.71.解：（1）（4x-1）（5x+7）=0，4x-1=0，或5x+7=0，∴x_1=1/4，x_2=-7/5.（2）原方程可变形为3x（x-1）+2（x-1）=0，即（x-1）（3x+2）=0，X-1=0，或3x+2=0，∴x_1=1，x_2=-2/3.（3）原方程可变形为（2x+3）（2x+3-4）=0，2x+3=0，或2x-1=0，∴x_1=-3/2，x_2=1/2.（4）原方程可变形为2（2x-3）²-（x+3）（x-3）=0，（x-3）（2x-6-x-3）=0，X-3=0，或x-9=0，∴x_1=3，x_2=9.2.解：（1）5（x²-x）=3（x²+x）.化简，得2x²-8x=0,2x（x-4）=0，∴2x=0或x-4=0，∴x_1=0，x_2=4.（2）（x-2）²=（2x+3）².移项，得（x-2）²-（2x+3）²=0，（x-2+2x+3）（x-2-2x-3）=0，（3x+1）（-x-5）=0，∴3x+1=0或-x-5=0.∴x_1=-1/3，x_2=-5.（3）（x-2）（x-3）=12.化简，得x²-5x-6=0，∵a=1，b=-5，c=-6，b²-4ac=（-5）²-4×1×（-6）=49，∴x=(-（-5）±√49)/(2×1)=(5±7)/2，∴x_1=6，x_2=-1.（4）2x+6=（x+3）²，移项，得（x+3）²-（2x+6）=0，（x+3）²-2（x+3）=0，（x+3）（x+3-2）=0，（x+3）（x+1）=0，x+3=0或x+1=0，∴x_1=-3，x_2=-1.（5）2y²+4y=y+2，化简，得2y²+3y-2=0.∵a=2，b=3，c=-2，∴b²-4ac=3²-4×2×（-2）=25.∴x=(-3±√25)/(2×2)=(-3±5)/4，∴x_1=1/2，x_2=-2.3.解：设原正方形空地上的边长为xm，则（x-1）（x-2）=12，解得x_1=5，x_2=-12，解得x_1=5，x_2=-2（不和题意，舍去）.故原正方形空地上的边长为5m. 第50页练习答案1.解：（1）∵b²-4ac=（-3）²-4×1×（-1）=13>0.∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x_1，x_2，那么x_1+x_2=3，x_1 x_2=-1.（2）∵b²-4ac=2²-4×3×（-5）=64>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x_1，x_2，那么x_1+x_2=-2/3，x_1，x_2=-5/3.2.解：它们的答案不确定.判断方法：∵b²-4ac=6²-4×9×（-1）=72>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x_1，x_2，那么x_1+x_2=-2/3，，x_1 x_2=-1/9.小明的答案中x_1+x_2=（-1/3）+（-1/3）=-2/3，x_1 x_2=（-1/3）×（-1/3）=1/9≠-1/9，∴小明的答案错误.笑话的答案中x_1+x_2=（-3+3√2）+（-3-3√2）=-6≠-2/3，x_1 x_2=（-3+3√2）（-3-3√2）=-9≠-1/9，∴小华的答案错误.3.解：设它的另一个根为x_1，根据一元二次方程根与系数的关系，得3x_1=-7，x_1=-7/3，∴它的另一个根是-7/3.2.81.解：（1）原方程变形为3x²-x-1=0，∵b²-4ac=（-1）²-4×3×（-1）=13>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为x_1，x_2，那么x_1+x_2=1/3，x_1 x_2=-1/3.（2）原方程化简，2x²+6x-2=0，即x²+3x-1=0.∵b²-4ac=3²-4×1×（-1）=13>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根为x_1，x_2，那么x_1+x_2=-3，x_1 x_2=-1.2.解:（1）∵a=12，b=7，c=1，∴b²-4ac=7²-4×12×1=1，∴x=(-7±√1)/(2×12)=(-7±1)/24，∴x_1=-1/4，x_2=-1/3.（2）原方程变形为0.8x²+x-0.3=0，∵a=0.8，b=1，c=-0.3，∴b²-4ac=1²-4×0.8×（-0.3）=1.96，∴x=(-1±√1.96)/(2×0.8)=(-1±1.4)/1.6，∴x_1=1/4，x_2=-3/2.（3）原方程变形为3x²-2√3 x+1=0.∵a=3，b=-2√3，c=1，∴b²-4ac=（-2√3）²-4×3×1=0，∴x=(-（-2√3）±√0)/(2×3)=(2√3)/6=√3/3.∴x_1=x_2=√3/3.（4）原方程化简，得x²-4x-8=0，配方，得x²-4x+（-2）²-（-2）²-8=0，（x-2）²=12，∴x-2=±2√3. ∴x_1=2+2√3，x_2=2-2√3.3.解：设方程5x²+kx-6=0的另一根为x_1，由根与系数的关系，得2x_1=-6/5，解得x_1=-3/5.当x_1=-3/5时，2+（-3/5）=-k/5.解得k=-7.所以它的另一个根为-3/5，k的值为-7.4.解：∵a=1，b=-17，c=66，∴b²-4ac=（-17）²-4×1×66=289-264=25>0，∴方程有两个不相等的实数根.设一元一次方程x²-17x+66=0的两个实数根分别为，x_1，x_2，由根与系数的关系，得x_1+x_2=17.∵17>20，不满足三角形的两边之和大于第三边，不能构成三角形，∴这个三角形的第三边的长不可能是20.第52页练习答案解：设相遇时所走的时间为x，则10²+（3x）²=（7x-10）².解得x_1=3.5，x_2=0（不合题意，舍去）.∴x=3.5.∴甲走了3.5×7=24.5（步），乙走了3.5×3=10.5（步）.答：甲走了24.5步，乙走了10.5步.1.解：设赛义得到的钱数为x，则少的一笔钱为20-x，根据题意，得x²-20x+96=0.解得x_1=12，x_(2=8) （不合题意，舍去）.答：赛义德到的钱数为12.2.解：设经过x s△pcq的面积为Rt△ACB面积的一半，根据题意，得1/2 （8-x）（6-x）=1/2×1/2×8×6.整理，得x²-14x+24=0.解得x_1=12（不合题意，舍去），x_2=2.答：经过2 s△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半.3.解：设渠道深为x m，则渠低宽为（x+0.4）m，上口宽为（x+0.4+0.6）m.根据题意，得1/2 x【（x+0.4）+（x+0.4+0.6）】=0.78，整理，得x²+0.7x-0.78=0.解得x_1=0.6，x_2=-1.3（不合题意，舍去）.答：渠深为0.6m.4.解：设经过ts后P,Q两点相距25cm，∴PC=2tcm，BQ=t cm，CQ=BC-BQ=25-t（cm）.在Rt△PCQ中，∠C=90°，由古定理，得PQ²=PC²+CQ²,25²=（2t）²+（25-t）².解这个方程，得t_1=0（不合题意，舍去），t_2=10.∴经过10s后P,Q两点相距25cm.第55页练习答案解：设每张贺年卡应降价x元，根据题意，得（0.3-x）（500+x/0.05×200）=180，整理，得400x²-70x+3=0.解得x_1=0.1，x_2=0.075（不合题意，舍去）.答：每张贺年卡应降价0.1元.2.10 1.解：设每件应降价x元，根据题意，得（44-x）（20+5x）=1600，整理，得x²-40x+144=0.解得x_1=4，x_2=36（不合题意，舍去）.答：每件应降价4元.2.解设储藏x个星期出售这批农产品可获利122 000元.根据题意，得（80-2x）（1 200+200x）-1 600x-64 000=122 000，化简，得x²-30x+225=0.解得x_1=x_2=15，所以储藏15个星期出售这批农产品可获利122 000元.3.解：设该市这两年自然保护区面积的年均增长率为x，则4.85%∙（1+x）^2=8%.解这个方程，得x_1≈0.284=28.4%，x_2≈-2.284（舍去）.4.解：设该商场11,12两个月营业额的月均增长率为x，根据题意，得2 500+2 500（1+x）+2 500（1+x）²=9 100.解得x_1=0.2=20%，x_2≈-3.2（不合题意，舍去）所以该商场11,12两个月营业额的月均增长率为20%.第二章复习题1.解：设其中一个数为x，则另一个数为x-4，则x（x-4）=45，解得x_1=9，x_2=-5.当x=9是时，x-4=5；当x=-5时，x-4=-9.答：这两个数为9和5，或-5和-9.2.解：（1）x（x-14）=0，x=0，或x-14=0，所以x_1=0，x_2=14.（2）x^2+12x+27=0，（x+3）（x+9）=0，X+3=0，或x+9=0，所以x_1=-3，x_2=-9.（3）x²=x+56，x²-x-56=0，（x+7）（x-8）=0，X+7=0，或x-8=0，所以x_1=-7，x_2=8.（4）x（5x+4）=5x+4，（5x+4）（x-1）=0，5x+4=0，或x-1=0，所以x_1=-4/5，x_2=1.（5）4x²-45=31x，4x²-31x-45=0，（4x+5）（x-9）=0，4x+5=0，或x-9=0，所以x_1=-5/4，x_2=9.（6）-3x²+22x-24=0，3x²-22x+24=0，（3x-4）（x-6）=0，所以x_1=4/3，x_2=6.（7）（x+8）（x+1）=-12，X²+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，X+4=0，或x+5=0，所以x_1=-4，x_2=-5.（8）（3x+2）（x+3）=x+14，3x²+10x-8=0，（3x-2）（x+4）=0,3x-2=0，或x+4=0，所以x_1=2/3，x_2=-4.3.（1）解法1：原方程可化为x²+9x+18=0，（x+3）（x+6）=0，所以x_1=-3，x_2=-6.（2）解：x²-2√5 x+2=0，X²-2√5x=-2，X²-2√5 x+5=-2+5，（x-√5）²=3，x-√5=±√3，所以x_1=√5+√3，x_2=√5-√3.（3）解：（x+1）²-3（x+1）+2=0，（x+1-1）（x+1-2）=0，（x-1）=0，所以x_1=0，x_2=1.4.解：（1）∵a=2，b=1，c=-1，∴b²-4ac=1²-4×4×2（-1）=9>0，∴方程有两个不相等的实数根.（2）原方程变形为4x²-4x+1=0，∵a=4，b=-4，c=1，∴b²-4ac=（-4）²-4×4×1=16-16=0，∴方程有两个相等的实数根.（3∵a=7，b=2，c=3，b²-4ac=2²-4×7×3=-80<0，∴方程没有实数根.*5.解：（1）∵a=1，b=-5，c=-6，b²-4ac=（-5）²-4×1×（-6）=49>0，∴方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为x_1，x_2.由根与系数的关系，得x_1+x_2=-b/a=-5/3，x_1 x_2=c/a=1/3.6解：（1）根据题意，得x²-13x+12=0，所以x1=1，x_2=12，即当x=1或x=12时，代数式x²-13x+12的值等于0.（2）由题意，得x²-13x+12=42，所以x_1=15，x_2=-2，所以当x=15或x=-2时，代数式x²-13x+12的值等于42.（3）由题意，得x²-13x+12=-4x²+18，所以x_1=3，x_2=-2/5，所以当x=3或x=-2/5时，代数式x²-13x+12的值与代数式-4x²+18的值相等. 7.解：设该公司这两年缴税的年均增长率为x，由题意，得40（1+x）²=48.4.解得x_1=0.1=10%，x_2=-2.1（舍去）.答:该公司这两年缴税的年均增长率为10%.8.解：设原铁皮的边长为x cm，则4（x-8）²=400.解得x_1=18，x_2=-2（不合题意，舍去）.答：原铁皮的边长应为18cm.9.解：如图2-7-3所示，设小路宽为xm，由题意，得2x（15+2x）+2×20x=246.整理，得2x²+35x-123=0.解得x_1=3，x_2=-20.5（舍去）.答：小路的宽为3m.10.解：设每行的座位数为x，则总行数为x+16，依题意，得x（x+16）=1 161. （x-27）（x+43）=0.解得x_1=27，x_2=-43（舍去）.答：每行的座位数为27.11.解：设其中一段长为x cm，则另一段长为（56-x）cm.（1）由（x/4）²+（(56+x)/4）²=100，解得x_1=24，x_2=32，所以一段长为24cm，另一段长为32cm.（2）由（x/4）²+（(56-x)/4）²=196，解得x_1=0，x_2=56，所以不能剪开.（3）由（x/4）²+（(56-x)/4）^2=200，解得x_1=28+4√51>56（舍去），X_2=28-4√51<0（舍去）.所以面积之和不可能等于200cm^2.12.解：令3x+5=y，原方程可化为y²-4y+3=0，（y-1）（y-3）=0，解得y_1=1，y_2=3.当y=1，即3x+5=1时，x=-4/3；当y=3，即3x+5=3时，x=-2/3.所以原方程的解为x_1=-4/3，x_2=-2/3.13.解：把2+√3 代入x^2-4x+c=0中，得（2+√3）^2-4（2+√3）+c0.解得c=1.原方程的另一个根为2-√3，c的值为1.14.解：当s=200时，200=10t+3t²，解得t_1=20/3，t_2=-10（不合题意，舍去），所以行驶200m需要的时间为20/3 s.15.解法1：设水渠宽为cm，根据题意，得（92-2x）（60-x）=885×6=92x+2×60x-2x²，即x²-106x+105=0.解得x_1=105（舍去），x_2=1.答：水渠应挖1m宽.解法2：设水渠宽为xm，根据题意，得（92-2x）（60-x）=885×6，即x²-106x+105=0.解得x_1=105（舍去），x_2=1.答：水渠应挖1m宽.16.解：设应多种x颗桃树，由题意，得（100+x）（1 000-2x）=1 000×100×（1+15.2%）.整理，得x²-400x+7 600=0.解得x_1=380，x_2=20.又由题意知x=380不符合题意，故舍去，因此x只能为20.答：应多种20颗桃树，产量会增加15.2%.17.解：设其中一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为（x+1）cm，所以x²+（x+1）²=7².解得X_1=(√97-1)/2，x_2=(-√97-1)/2 （舍去）.所以x+1=(√97-1)/2+1=(√97+1)/2.答：这两条直角边长分别为(√97-1)/2cm和(√97+1)/2cm.18.解：设t时后侦察船可侦侦察到这艘军舰，根据题意，有（90-30t）²+（20t）²=50².整理得13t²-54t+56=0.因为b²-4ac=（-54）²-4×13×56=4>0，所以方程有实数根，即侦察船可侦察到军舰，解得t_1=2，t_2=28/13（不合题意，舍去）.答：侦察船可侦察到军舰，最早在2时后可侦察到.19.解：设到会人数为x，则有x（x-1）/2=66.整数得x^2-1x-132=0.解得x_1=12，x_2=-11（不合题意，舍去）.答：这次会议到会的人数为12.20.解：设点P（x，-2x+3），一次函数y=-2x+3的图象交x轴于点A（3/2，0），交y轴于点B（0,3）. ∵点P在第一象限，∴x>0，-2x+3>0，∴PD=x，PC=-2x+3.根据题意，得S_矩形OCPD=PD∙PC=1，x（-2x+3）=1.化简，得-2x²+3x-1=0，解这个方程，得x_1=1，x_2=1/2.当x=1时，-2x+3=-2×1+3=1，∴点P_1 （1,1）当x=1/2 时，-2x+3=-2× 1/2+3=2，∴点P_2 （1/2，2）.∴当点P_1 （1,1）或P_2（1/2，2）时，矩形OCPD的面积为1.21.分析：由于距台风中心200km的区域受影响，所以应考虑轮船与台风中心的距离是否超过200km，如果超过200km，则会进入台风影响区.解：（1）这艘轮船不改变航向，他会进入台风影响区.理由：如图2-7-4所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=500km，BA=300km，由勾股定理，得AC=√(BC^2-BA^2 )=√(〖500〗^2-〖300〗^2 )=400（km）.当这艘轮船不改变航向时，轮船由C地到A地的时间为400/30=13（h），台风中心由B地到A的时间为300/20=15（h）.故轮船到达A地时，台风中心距离A地为300-20×40/3=331/3 （km）.而331/3 km<200km，所以这艘轮船不改变航向会进入台风影响区.（2）设从接到报警开始，经过th这艘轮船就会进入台风影响区，则CD=30t km，BE=20t km，AD=AC-CD=（400-30t）km，AE=AB-BE=（300-20t）km，DE=200km.在Rt△DAE中，由勾股定理，得AD²+AE²=DE²,即（400-30t）²+（300-20t）²=200².整理，得13t²-360t+2 100=0，解得t_1≈8.35，t_2≈19.34.所以从接到报警开始，经过8.35h它就会进入台风影响区.※22.解：设该银行一年定期存款的年利率是x，根据题意，得【2 000（1+x）-1 00】+【2 000（1+x）-1 000】x=1 107.45.化简，得（1 000+2 000x）（1+x）=1 107.45400x²+600x-21.49=0.解这个方程，得x_1=0.035=3.5%，x_2=-1.535（不合题意，舍去）.所以该银行一年定期存款的年利率是3.5%.第61页练习答案解：列表如下：或画树状图如图3-1-13所示：由表或树状图可知总共有4中结果，每中结果出现的可能性相同，其中恰好是白色上衣和白色裤子的结果有一种，所以，P（白色上衣和白色裤子）=1/4.3.1 1.解：列表如下：（1）由表可知，一次实验中两张牌的牌面数字和有2,3,4.（2）两张牌的牌面数字和为3的概率最大.（3）P（和为3）=3/4=1/2.2.解：列表如下：由表可知：（1）两次都摸到红球的概率为1/4；（2）连词摸到不同颜色的去的概率为2/4=1/2.（3）解：可能性相同.因为掷一枚硬币正反面朝上的概率都是1/2.第64页练习答案解：设三张大小一样而画面不同的画片分别为A,B,C,将出现的可能结果列表如下：由表可知，出现的总结过有9种，能拼成原来的一幅画的结果有（A上，A下），（B上，B下，）（C上，C下）三种，所以P（两张恰好能拼成原来的一幅画）=3/9=1/3.3.2 1.解：将出现的可能结果列表如下：由表可知，（1）两张牌的牌面数字和等于1的概率为0；（2）两张牌的牌面数字和等于2的概率为1/9；（3）两张牌的牌面数字和为4的概率最大；（4）两张牌的牌面数字和大于3的概率是6/9=2/3.。

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--切线的证明(含解析)

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--切线的证明(含解析)

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--切线的证明1．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，O是BC边上的点，⊙O与AB相切，切点为D，AC与⊙O相交于点E，且AD=AE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）如果F为DE弧上的一个动点（不与D、E重合），过点F作⊙O的切线分别与边AB、AC相交于G、H，连接OG、OH，有两个结论：①四边形BCHG的周长不变，②∠GOH的度数不变．已知这两个结论只有一个符合题意，找出正确的结论并证明；（3）探究：在（2）的条件下，设BG=x，CH=y，试问y与x之间满足怎样的函数关系，写出你的探究过程并确定变量x的取值范围，并说明当x=y时F点的位置．2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且CD平分⊙ACB，过点D作DE∥AB交CB延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC＝4，tan∠BAC=12，求DE的长．3．如图，以BC为直径的⊙O交⊙CFB的边CF于点A，BM平分⊙ABC交AC于点M，AD⊙BC于点D，AD交BM于点N，ME⊙BC于点E，AB2=AF·AC，cos⊙ABD=35，AD=12．（1）求证：⊙ABF⊙⊙ACB；（2）求证：FB是⊙O的切线；（3）证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．4．如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD//OC.（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB=3AE=12，求BF的长.5．如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，⊙CBO=45°，CD⊙AB．⊙CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．（1）求点C 的坐标；（2）当⊙BCP=15°时，求t 的值；（3）以点P 为圆心，PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化，当⊙P 与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．6．如图，A 为⊙O 外一点，AO⊙BC ，直径BC ＝12，AO ＝10，BD 的长为π，点P 是BC 上一动点，⊙DPM ＝90°，点M 在⊙O 上，且⊙DPM 在DP 的下方．（1）当sinA ＝35时，求证：AM 是⊙O 的切线； （2）求AM 的最大长度．7．如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为（0，8）、（6，0），以AC 为直径作⊙O ，交坐标轴于点B ，点D 是⊙O 上一点，且 BD =AD ，过点D 作DE⊙BC ，垂足为E.（1）求证：CD 平分⊙ACE ；（2）判断直线ED 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（3）求线段CE 的长.8．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦（不是直径），OD ⊙AC 垂足为G 交⊙O 于D ，E 为⊙O 上一点（异于A 、B ），连接ED 交AC 于点F ，过点E 的直线交BA 、CA 的延长线分别于点P 、M ，且ME ＝MF ．（1）求证：PE是⊙O的切线．（2）若DF＝2，EF＝8，求AD的长．（3）若PE＝6 √2，sin⊙P＝13，求AE的长．9．如图，已知等边⊙ABC，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D 作DF⊙AC，垂足为F，过点F作FG⊙AB，垂足为G，连结GD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求FG的长；（3）求tan⊙FGD的值．10．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，圆心O在AB上，且⊙B=2⊙A，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF=FC．（1）求证：CF是⊙O的切线（2）设⊙O的半径为2，且AC=CE，求AM的长11．如图，⊙ O是⊙ ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，求证：（1）∠ECB=∠BAD；（2）BE是⊙ O的切线．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）若BC=6，cosC=35，求DN的长．13．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊙OF于点F，交⊙O于点D，AC与BD交于点G，点E为OC的延长线上一点，且⊙OEB=⊙ACD.（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为52，BG的长为154，求tan⊙CAB.14．如图，⊙ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF⊙BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为6，AF＝2√3，求AC的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.15．如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF=∠GBC，连接FG.备用图（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4.①当OD=3，求AD的长度；②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积.16．如图1，在矩形ABCD中，AB=9,BC=12，点P是线段AD上的一个动点，以点P为圆心，PD为半径作⊙P，连接CP.（1）当⊙P经过PC的中点时，PC的长为；（2）当CP平分∠ACD时，判断AC与⊙P的位置关系.说明理由，并求出PD的长；（3）如图2，当⊙P与AC交于E,F两点，且EF=9.6时，求点P到AC 的距离．答案解析部分1．【答案】（1）解：如图，连接OA，OD，OE，∵AB是⊙O的切线，点D为切点，∴⊙ADO=90°，∵AD=AE，OD=0E，AO=AO，∴⊙AOD⊙⊙AOE，∴⊙ADO=⊙AEO=90°，∴AC是⊙O的切线，点E为切点；（2）解：根据题意，四边形BCHG的周长为BC+CH+BG+HG，∵∠A=90°，AB=AC=4，∴⊙B=⊙C=45°，BC=4 √2，∵⊙ADO=⊙AEO=90°，OD=0E，∴⊙DOB=⊙EOC=45°，⊙BOD⊙⊙COE，∴OB=OC，BD=CE，∴⊙EOD=90°，⊙AOB=90°，⊙BAO=45°，∴BD=OD=DA=CE= 12AB=2，∵AB，AC，GH都是⊙O的切线，∴HF=HE，GD=GF，∴四边形BCHG的周长为BC+CE+EH+GH+BD+GD=BC+CE+BD+GH+HF+FG= BC+CE+BD+2GH=4+4 √2+2GH，∵GH是变量，∴四边形BCHG的周长不是定值，这个结论不符合题意；∵AB，AC，GH都是⊙O的切线，根据切线长定理，得GO平分⊙DOF，HO平分⊙EOF，∴⊙GOH=⊙GOF+⊙HOF= 12⊙DOF+12⊙EOF=12（⊙DOF+⊙EO）= 12⊙EOD，∵⊙EOD=90°，∴⊙GOH=45°，是个定值，故该结论符合题意（3）解：根据题意，GD=GF=x-2，HE=HF=y-2，∴GH=x+y-4，AG=4-x，AH=4-y，在直角三角形AGH中，AG2+AH2=GH2，∴(x−2)2+(y−2)2=(x+y−4）2，整理，得y= 8x，且2＜x＜4，当x=y时，∴AG=AH，∴AG：AB=AH：AC，∴GH⊙BC，∴OF⊙GH，∵BG=CH，⊙B=⊙C，BO=CO，∴⊙BOG⊙⊙COH，∴GO=HO，∴GF=FH，∴A，F，O三点一线，∴⊙DOF=⊙EOF，∴弧DF=弧EF，故点F是弧DE的中点．2．【答案】（1）解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB＝90°，∵CD平分⊙ACB，∴⊙ACD＝45°，∴⊙AOD＝2⊙ACD＝90°，∵AB∥DE，∴⊙ODE＝⊙AOD＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点B作BG⊙DE于点G，∴⊙BGD＝⊙BGE＝90°，∵⊙AOD＝90°，∴⊙DOB＝90°，∵⊙ODE=90°，∴四边形ODGB是矩形，∵OD＝OB，∴四边形ODGB是正方形，∴OB＝OD＝DG＝BG，∵AC＝4，∴tan∠BAC=1 2，∴BC＝2，∴AB=√AC2+BC2=2√5，∴BG=DG=OB=√5，∵AB∥DE，∴⊙ABC＝⊙E，∴⊙EBG＝⊙BAC，∴tan∠EBG=tan∠BAC=1 2，∴EG=12BG=√5 2，∴DE=DG+EG=3√52．3．【答案】（1）证明：∵BC为⊙O的直径∴⊙BAC=90°∴⊙BAF=⊙BAC=90°又∵AB2=AF·AC∴ABAC=AF AB∴⊙ABF⊙⊙ACB（2）证明：∵⊙ABF⊙⊙ACB∴⊙ABF=⊙C又∵⊙ABC+⊙C=90°∴⊙FBC=⊙ABC+⊙ABF=90°∴BF是⊙O的切线（3）证明：∵ME⊙BC，MA⊙AB，BM平分⊙ABC ∴MA=ME∴⊙AMN=90°－⊙ABM=90°－⊙EBM=⊙EMN∴AB=BE∵NM=NM∴⊙AMN⊙⊙EMN∴AN=NE又∵AD⊙BC，ME⊙BC，∴ME⊙AD，∴⊙ANM=⊙EMN，∴⊙ANM=⊙AMN∴AN=AM∴AN=NE=EM=MA，∴四边形AMEN是菱形．∵cos⊙ABD= 35，⊙ADB=90°∴BDAB=3 5设BD=3x，则AB=5x，AD= √(5x)2−(3x)2=4x 又∵AD=12，∴x=3，∴BD=9，AB=15，∴BE=BA=15∴DE=BE-BD=6∵ND⊙ME，∴⊙BND⊙⊙BME∴NDME=BD BE设ME=y，则ND=12-y，12−y y=9 15，解得y= 15 2∴S= ME⋅DE=152×6=454．【答案】（1）证明：连接OD∵CB与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC∵AD//OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠DOC∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=∠COB=∠DOC，∴△DOC≌△BOC(SAS)，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥DC又OD为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线（2）解：设CB=x∵AE⊥EB，∴AE为⊙O的切线，∴CD、CB为⊙O的切线，∴ED=AE= 4，CD=CB=x，∠DOC=∠BCO，∴BD⊥OC过点E作EM⊥BC于M，则EM=12，CM=x−4，∴(4+x)2=122+(x−4)2解得x=9，∴CB=9，∴OC=√62+92=3√13，∵AB是直径，且AD⊙OC∴⊙OFB=⊙ADB=⊙OBC=90°又∵⊙COB=⊙BOF∴OB BF =OC BC∴BF =OB⋅BC OC =6×93√13=1813√13 5．【答案】（1）解：∵⊙BCO=⊙CBO=45°，∴OC=OB=3，又∵点C 在y 轴的正半轴上，∴点C 的坐标为（0，3）（2）解：分两种情况考虑：①当点P 在点B 右侧时，如图2，若⊙BCP=15°，得⊙PCO=30°，故PO=CO•tan30°= √3 ，此时t=4+ √3 ；②当点P 在点B 左侧时，如图3，由⊙BCP=15°，得⊙PCO=60°，故OP=COtan60°=3 √3 ，此时，t=4+3 √3 ，∴t 的值为4+ √3 或4+3 √3（3）解：由题意知，若⊙P 与四边形ABCD 的边相切时，有以下三种情况： ①当⊙P 与BC 相切于点C 时，有⊙BCP=90°，从而⊙OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊙CD，即点P与点O重合，此时t=4；③当⊙P与AD相切时，由题意，得⊙DAO=90°，∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，于是（9-t）2=（t-4）2+32，即81-18t+t2=t2-8t+16+9，解得：t=5.6，∴t的值为1或4或5.6．6．【答案】（1）证明：如图①，过点O作OE⊙AM于点E，∵在Rt⊙AOE 中，当sinA ＝35，OA ＝10， ∴OE ＝6∵直径BC ＝12，∴OM ＝6＝OE ，∴点E 与点M 重合，OM⊙AM ，∴AM 是⊙O 的切线．（2）解：如图②，当点P 与点B 重合时，AM 取得最大值．AM 的最大长度可以通过勾股定理求得．延长AO 交⊙O 于点F ，作MG⊙AF 于点G ，连接OD 、OM ，DM ，∵BD 的长为π，∴π＝∠BOD⋅π⋅6180， ∴⊙BOD ＝30°，∵⊙DBM ＝90°，∴DM 是⊙O 的直径，即DM 过点O ，∴⊙COM ＝30°，∵AO⊙BC ，∴⊙MOG ＝60°，在Rt⊙GOM 中，⊙MOG ＝60°，OM ＝6，∴OG＝3，GM＝3√3，在Rt⊙GAM中，AM＝√AG2+GM2＝14，∴AM的最大长度：14．7．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴⊙BAD+⊙BCD=180°，又∵⊙BCD+⊙DCE=180°，∴⊙DCE=⊙BAD，∵＝，∴⊙BAD=⊙ACD，∴⊙DCE=⊙ACD，∴CD平分⊙ACE.（2）解：直线ED与⊙O相切.连接OD.∵OC=OD，∴⊙ODC=⊙OCD，又∵⊙DCE=⊙ACD，∴⊙DCE=⊙ODC，∴OD⊙BE，∴⊙ODE=⊙DEC，又∵DE⊙BC，∴⊙DEC=90°，∴⊙ODE=90°∴OD⊙DE，∴ED与⊙O相切（3）解：延长DO交AB于点H.∵OD⊙BE，O是AC的中点，∴H是AB的中点，∴HO是⊙ABC的中位线，∴HO= 12BC=3，又∵AC为直径，∴⊙ADC=90°，又∵O是AC的中点∴OD= 12AC=12× √62+82=5，∴HD=3+5=8，∵⊙ABC=⊙DEC=⊙ODE=90°，∴四边形BEDH是矩形，∴BE=HD=8，∴CE=8﹣6=28．【答案】（1）证明：连接OE，∵OD⊙AC，∴⊙DGF＝90°，∴⊙D+⊙DFG＝⊙D+⊙AFE＝90°，∴⊙DFG＝⊙AFE，∵ME＝MF，∴⊙MEF＝⊙MFE，∵OE＝OD，∴⊙D＝⊙OED，∴⊙OED+⊙MEF＝90°，∴OE⊙PE，∴PE是⊙O的切线（2）解：∵OD⊙AC，∴CD=AD，∴⊙FAD＝⊙AED，∵⊙ADF＝⊙EDA，∴⊙DFA ～⊙DAE ， ∴AD DE =DF AD， ∴AD 2＝DF•DE ＝2×10＝20， ∴AD ＝2 √5（3）解：设OE ＝x ， ∵sin⊙P ＝ OE OP =13， ∴OP ＝3x ，∴x 2+（6 √2 ）2＝（3x ）2，解得：x ＝3，过E 作EH 垂直AB 于H ，sin⊙P ＝ EH PE =6√2=13 ， ∴EH ＝2 √2 ，∵OH 2+EH 2＝OE 2，∴OH ＝1，∴AH ＝2，∵AE 2＝HE 2+AH 2，∴AE ＝2 √3 ．9．【答案】（1）解：连结OD ，如图，∵⊙ABC 为等边三角形，∴⊙C ＝⊙A ＝⊙B ＝60°，而OD ＝OB ，∴⊙ODB 是等边三角形，⊙ODB ＝60°，∴⊙ODB ＝⊙C ，∴OD⊙AC ，∵DF⊙AC ，∴OD⊙DF ，∴DF 是⊙O 的切线；（2）解：∵OD⊙AC ，点O 为AB 的中点，∴OD 为⊙ABC 的中位线，∴BD ＝CD ＝6．在Rt⊙CDF中，⊙C＝60°，∴⊙CDF＝30°，∴CF＝12CD＝3，∴AF＝AC﹣CF＝12﹣3＝9，在Rt⊙AFG中，∵⊙A＝60°，∴FG＝AF×sinA＝9× √32＝9√32（3）解：过D作DH⊙AB于H．∵FG⊙AB，DH⊙AB，∴FG⊙DH，∴⊙FGD＝⊙GDH．在Rt⊙BDH中，⊙B＝60°，∴⊙BDH＝30°，∴BH＝12BD＝3，DH＝√3BH＝3√3，在Rt⊙AFG中，∵⊙AFG＝30°，∴AG＝12AF＝92，∵GH＝AB﹣AG﹣BH＝12﹣92﹣3＝92，∴tan⊙GDH＝GHDH=923√3=√32，∴tan⊙FGD＝tan⊙GDH＝√32．10．【答案】（1）证明：连接OC，如图，∵⊙O是⊙ABC的外接圆，圆心O在AB上，∴AB是⊙O的直径，∴⊙ACB=90°，又∵⊙B=2⊙A，∴⊙B=60°，⊙A=30°，∵EM⊙AB ，∴⊙EMB=90°，在Rt⊙EMB 中，⊙B=60°，∴⊙E=30°，又∵EF=FC ，∴⊙ECF=⊙E=30°，又∵⊙ECA=90°，∴⊙FCA=60°，∵OA=OC ，∴⊙OCA=⊙A=30°，∴⊙FCO=⊙FCA+⊙ACO=90°，∴OC⊙CF ，∴FC 是⊙O 的切线（2）解：在Rt⊙ABC 中，∵⊙ACB=90°，⊙A=30°，AB=4， ∴BC=12AB=2，AC=√3BC=2√3， ∵AC=CE ，∴CE=2√3，∴BE=BC+CE=2+2√3，在Rt⊙BEM 中，⊙BME=90°，⊙E=30°∴BM=12BE=1+√3， ∴AM=AB ﹣BM=4﹣1﹣√3=3﹣√311．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴⊙ECB=⊙BAD ．（2）证明：连结OB，OD，在⊙ABO和⊙DBO中，{AB=BD BO=BOOA=OD，∴⊙ABO⊙⊙DBO （SSS），∴⊙DBO=⊙ABO，∵⊙ABO=⊙OAB=⊙BDC，∴⊙DBO=⊙BDC，∴OB⊙ED，∵BE⊙ED，∴EB⊙BO，∴BE是⊙O的切线12．【答案】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°；又∵AB=AC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，∵AO=DO，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD//AC；∵DM⊥AC，∴∠AMD=90°，∴∠ODN=∠AMD=90°，∴OD⊥MN；又∵OD是⊙O半径，∴MN是⊙O的切线；（2）∵BC=6，BD=CD，∴BD=CD=3；在Rt△ADC中，cosC=CD AC，∵cosC=35，∴AC=5；又∵AB=AC，∴AB=5；在Rt△ADB中，根据勾股定理AD=√AB2−BD2=4，∵∠ODN=90°，∴∠NDB+∠BDO=90°；又∵∠ADB=90°，∴∠BDO+∠ODA=90°，∠OAD=∠ODA，∴∠NDB=∠OAD；又∵∠N=∠N，∴△BDN∽△DAN，∴BNDN=DNAN=BDDA=34，∴BN=34DN，DN=34AN，∴BN=34(34AN)=916AN，∵BN+AB=AN，∴916AN+5=AN，∴AN=80 7，∴DN=34AN=607．13．【答案】（1）证明：∵∠OEB=∠ACD，∠ACD=∠ABD，∴∠OEB=∠ABD，∵OF⊥BD，∴∠BFE=90°，∴∠OEB+∠EBF=90°，∴∠ABD+∠EBF=90°，即∠OBE=90°，∴BE⊥OB，∴BE是⊙O的切线；（2）解：∵OA=OB，∴∠CAO=∠ACO，∵∠CDB =∠CAO ，∴∠ACO =∠CDB ，∵∠CFD =∠GFC ，∴△CDF ∼△GCF ，∴GF CF =CG CD， ∵∠CDB =∠CAB ， ∠DCA =∠DBA ， ∴△DCG ∼△ABG ，∴CG CD =BG AB， ∴GF CF =BG AB， ∵r =52 ， BG =154， ∴AB =2r =5 ，∴tan∠CAB =tan∠ACO =GF CF =BG AB =34. 14．【答案】（1）解：直线AF 与⊙O 相切. 理由如下：连接OC ，∵PC 为圆O 切线，∴CP⊙OC ，∴⊙OCP ＝90°，∵OF⊙BC ，∴⊙AOF ＝⊙B ，⊙COF ＝⊙OCB ，∵OC ＝OB ，∴⊙OCB ＝⊙B ，∴⊙AOF ＝⊙COF ，∵在⊙AOF 和⊙COF 中，{OA =OC ∠AOF =∠COF OF =OF，∴⊙AOF⊙⊙COF（SAS），∴⊙OAF＝⊙OCF＝90°，∴AF⊙OA，又∵OA为圆O的半径，∴AF为圆O的切线；（2）解：∵⊙AOF⊙⊙COF，∴⊙AOF＝⊙COF，∵OA＝OC，∴E为AC中点，即AE=CE=12AC，OE⊥AC，∵⊙OAF=90°，OA=6，AF=2√3，∴tan∠AOF=AFOA=2√36=√33，∴⊙AOF＝30°，∴AE=12OA=3，∴AC=2AE=6；（3）解：∵AC＝OA＝6，OC＝OA，∴⊙AOC是等边三角形，∴⊙AOC＝60°，OC＝6，∵⊙OCP＝90°，∴CP=√3OC=6√3，∴S⊙OCP＝12OC⋅CP=12×6×6√3=18√3，S扇形AOC=60⋅π×62360=6π，∴阴影部分的面积=S⊙OCP﹣S扇形AOC＝18√3−6π. 15．【答案】（1）证明：连接AF，∵BF为⊙O的直径，∴∠BAF =90° ， ∠FAG =90° ， ∴∠BGF +∠AFG =90° ，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ， ∵∠ACB =∠AFB ， ∠BGF =∠ABC ， ∴∠BGF =∠AFB ，∴∠AFB +∠AFG =90° ，即 ∠OFG =90° . 又∵OF 为半径，∴FG 是 ⊙O 的切线.（2）解：①连接CF ，则 ∠ACF =∠ABF ，∵AB=AC ，OB=OC ，OA=OA ，∴△ABO ≅△ACO ，∴∠ABO =∠BAO =∠CAO =∠ACO ， ∴∠CAO =∠ACF ，∴AO ∥CF ，∴AD CD =OD DF. ∵半径是4， OD =3 ，∴DF =1 ， BD =7 ， ∴AD CD =3 ，即 CD =13AD ， 又由相交弦定理可得： AD ⋅CD =BD ⋅DF ， ∴AD ⋅CD =7 ，即 13AD 2=7 ， ∴AD =√21 （舍负）；②∵△ODC 为直角三角形， ∠ODC =90° 不可能等于 90° . ∴（i ）当 ∠ODC =90° 时，则 AD =CD ， 由于 ∠ACO =∠ACF ，∴OD =DF =2 ， BD =6 ， ∴AD ⋅CD =AD 2=6×2=12 ，∴AD=2√3，AC=4√3，∴S△ABC=12×4√3×6=12√3；（ii）当∠COD=90°时，∵OB=OC=4，∴△OBC是等腰直角三角形，∴BC=4√2，延长AO交BC于点M，∵AB=AC，∴弧AB=弧AC，∴AM⊥BC，∴MO=sin45∘⋅BO=2√2，∴AM=4+2√2，∴S△ABC=12×4√2×(4+2√2)=8√2+8.16．【答案】（1）6√3（2）⊙P与AC相切，理由如下：如图1，过点P作PH⊥AC于点H．∵CP平分∠ACD，∴PH=PD，∴⊙P与AC相切于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90∘在Rt△ADC中，CD=9,AD=12，∴AC=15，∴sin∠DAC=3 5设⊙P半径为x，则PH=PD=x，AP=12−x．在 Rt △AHP 中， sin∠PAH =PH AP =x 12−x∴x 12−x =35 ∴x =4.5 ，即 PD 的长为 4.5 ． （3）如图2，过点 P 作 PH ⊥AC 于 H ，连接 PF ．由（2）可知：在 Rt △AHP 中， sin∠PAH =PH AP =35设 ⊙P 半径为 x ，则 PF =PD =x,AP =12−x ．∴PH =35(12−x). 在 ⊙P 中， PH ⊥AC,EF =9.6∴HF =245在 Rt △PHF 中， [35(12−x)]2+(245)2=x 2 ∴x 1=6,x 2=−392 (舍)．∴PD =6 ，∴PH =35(12−x)=185 ，即点 P 到 AC 的距离为 185 ．。

中考数学几何证明题--(专题练习 答案详解)

中考数学几何证明题--(专题练习 答案详解)

中考数学24题专题练习1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G 为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD 为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF 的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．参考答案1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；（2）延长CD和BE的延长线交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90°，BE=CE（已证），∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE（已证），∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH（已证），ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G 为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．（1）解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，∴…（5分）（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，∴四边形FDME是矩形，∴FE=DM，∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图），在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴OF∥BE．（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．证明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．（1）解：连接BD，由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90°又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴△GAD≌△EFD，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF又∵CF=6，∴BC=，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．（2）证明：∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∴∠HDF=∠CBF ，由（1）得，∠ADB=∠CBD ，∴∠HDB=∠HBD ，∴HD=HB ，由（1）得CD=CB ，CBD CDBCBD HDF CDB CBH∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠∠∠∴即BDH=HBDHB=HD∴△CDH ≌△CBH ，∴∠DCH=∠BCH ，∴∠BCH=∠BCD==．6、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm ，，求梯形ABCD 的面积；（2）若E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上一点，且满足EF=GH ，∠EFH=∠FHG ，求证：HD=BE+BF ．解：（1）连AC ，过C 作CM ⊥AD 于M ，如图，在Rt △ABC 中，AB=6，sin ∠ACB==，∴AC=10，∴BC=8，在Rt △CDM 中，∠D=45°，∴DM=CM=AB=6，∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD 的面积=•（8+14）•6=66（cm 2）；（2）证明：过G 作GN ⊥AD ，如图，∵∠D=45°，∴△DNG 为等腰直角三角形，∴DN=GN ，又∵AD ∥BC ，∴∠BFH=∠FHN ，而∠EFH=∠FHG ，∴∠BFE=∠GHN ，∵EF=GH ，∴Rt △BEF ≌Rt △NGH ，∴BE=GN ，BF=HN ，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE ．7、已知：如图，▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CD 至F ，使DF=CD ，连接BF 交AD 于点E ．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵DF=CD，∴AB∥DF．∵DF=CD，∴AB=DF．∴四边形ABDF是平行四边形，∴AE=DE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD．∴∠COD=90°．∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF∥BD．∴∠CAF=∠COD=90°．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．（1）证明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），ED=DE（公共边），AE=CE（正方形的四条边长相等），∴△DAE≌△DCE （SAS），∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；又∵CG=CE（已知），∴∠G=∠CEG（等边对等角）；而∠CEG=2∠EAC（外角定理），∠ECB=2∠CEG（外角定理），∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，∴∠G=∠CEG=30°；过点C作CH⊥AG于点H，∴∠FCH=30°，∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2×CF=3CF．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．（1）证明：连接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中点，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；（2）作PH⊥CF于H点．∵P是EF的中点，∴PH=EC．设EC=x．由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，FD=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．∴S△DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．∵E为CD的中点，∴ED=EC．∴△ADE≌△FCE．∴EF=EA．（5分）（2）解：连接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=90°．∵DG⊥BC，∴四边形ABGD是矩形．∴BG=AD，GA=BD．∵BD=BC，∴GA=BC．由（1）得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．∵由（1）得EF=EA，∴EG⊥AF．（5分）11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD 为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．（1）证明：∵△ADF为等边三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）∵AE为公共边∴△FAE≌△BAE（4分）∴EF=EB（5分）（2）解：如图，连接EC．（6分）∵在等边三角形△ADF中，∴FD=FA，∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，∴BE=BA=6．∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°，∵∠ABC=60°，∴∠GBE=30°∴GE=GB．（8分）∵点G是BC的中点，∴EG=CG∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，∴△CEG为等边三角形，∴∠CEG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2∴CE=，∴BC=（10分）；解法二：过C作CQ⊥AB于Q，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷=4．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．（1）证明：∵AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°．∴∠DBC=∠ADB=30°．∴∠BDC=90°．（1分）由已知AE⊥BD，∴AE∥DC．（2分）又∵AE为等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中点，∵F是DC的中点，∴EF∥BC．∴EF∥AD．∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）∴AE=DF（4分）∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，（5分）∴AE=GF．（6分）（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．在Rt△DGC中∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=．（8分）由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四边形DEGF的面积=EF•DG=．（10分）13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．∴AG=CG，∴∠E=30°．∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，∵DE⊥EC，∴∠AED+∠BEC=90°∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．（2）答：△ABF是等腰直角三角形．理由是：延长AF交BC的延长线于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AD=BE，∴BE=CM，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴AF=FM，∴∠ABC=90°，∴BF⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．解答：（1）证明：连接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，（AAS）∴AD=AE；（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∴AB=10．说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．（1）证明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知E是BD的中点，∴AE⊥BD．（2）解：延长AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD（已证），∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中点（已知），所以由三角形中位线定理得：EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）=×（14﹣4）=5．答：EF的长为5．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，∴△BCE≌△CAD．∴CD=BE．（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．∴AE=AC﹣CE=2．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×=2（2分）在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，∴四边形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE==5；（2）延长AF、BC交于点N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．解：（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分）∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形．（2分）∴CE=AD，DE=AC．∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BD=AC=DE．∵AC⊥BD，∴DE⊥BD．∴△DBE为等腰直角三角形．（4分）∵DH⊥BC，∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）（2）∵AD=CE，∴．（7分）∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6，∴．∴梯形ABCD的面积为18．（8分）注：此题解题方法并不唯一．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，∴△AGD是等边三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，∴△AGE≌△DAB；（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形．∴EF=BD，∴EF=AE．∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，∴AB=CD，∵AD=DC，∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS）．（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴∠BPF=120°．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD，∵在梯形ABCD中AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠DBC+2∠DBC=90°∴∠DBC=30°∴∠ABC=60°（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵∠DBC=30°，BC=8，∴DC=4，∵CF=CD∴CF=4，∴BF=12，∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC∴∠F=30°，∵∠DBC=30°，∴∠F=∠DBC，∴DB=DF，∴，在直角三角形DBH中，∴，∴，∴，即△DBF的面积为．26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，∴∠ECB=15°，∵∠ECD=45°，∴∠DCF=60°，在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，∴DF=3，DC=6，由题得，四边形ABFD是矩形，∴AB=DF=3，∵AB=BC，∴BC=3，∴BF=BC﹣FC=3﹣3，∴AD=DF=3﹣3，∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3，答：梯形ABCD的周长是9+3．（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE，∴CN=CE，可证∠NCD=∠DCE，∵CD=CD，∴△DEC≌△DNC，∴ED=EN，∴ED=BE+FC．28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．（1）证明：∵AD∥BC，E是AB的中点，∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F．∴△BCE≌△AFE（AAS）．（2）解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°．∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，∴△BCE≌△AFE．∴AF=BC=4．∵EF2=AF2+AE2=9+16=25，∴EF=5．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF 的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，∴△DCF≌△BCF．（2）延长DF交BC于G，∵AD∥BG，AB∥DG，∴四边形ABGD为平行四边形．∴AD=BG．∵△DFC≌△BFC，∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△BFG．∴DE=BG，EF=GF．∴AD=DE．（3）∵EF=GF，DF=BF，∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．∵DG=AB，∴BE=AB．∵C△DFE=DF+FE+DE=6，∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．∴AB+AD=6．又∵AD=2，∴AB=4．∴DG=AB=4．∵BG=AD=2，∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．又∵DC=BC=5，在△DGC中∵42+32=52∴DG2+GC2=DC2∴∠DGC=90°．∴S梯形ABCD=（AD+BC）•DG=（2+5）×4=14．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．解答：解：（1）证明：∵AD∥BC，DE2=CD2+CE2=42+32=25，∴∠OAD=∠OEB，∴DE=5又∵AB=AD，AO⊥BD，∴AD=BE=5，∴OB=OD，∴S梯形ABCD=．又∵∠AOD=∠EOB，∴△ADO≌△EBO（AAS），∴AD=EB，又∵AD∥BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD∴四边形ABCD是菱形．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DE=BE，。

专题2.3根的判别式【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册[含答案]

专题2.3根的判别式【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册[含答案]

专题2.3根的判别式【十大题型】【北师大版】【题型1判断不含参数的一元二次方程的根的情况】【题型2判断含参数的一元二次方程的根的情况】【题型3由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】【题型4证明一元二次方程的根的情况】【题型5由根的判别式求代数式的取值范围】【题型6根的判别式与三角形的综合运用】【题型7根的判别式与四边形的综合运用】【题型8根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】【题型9一元二次方程中的新定义问题】【题型10 一元二次方程中的多结论问题】知识点1：一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：24b acn．=-①当240n时，原方程有两个不等的实数根；=->b ac②当240=-=n时，原方程有两个相等的实数根；b ac③当240n时，原方程没有实数根．b ac=-<【题型1判断不含参数的一元二次方程的根的情况】【例1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）1．关于一元二次方程2320+-=根的情况，下列说法正确的是（）x xA．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【变式1-1】（23-24九年级·广东广州·期末）2．方程240x-=的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根【变式1-2】（23-24九年级·河南许昌·期末）3．设一元二次方程20x bx c ++=．在下面的三组条件中选择其中一组b ，c 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①2b =，1c =；②5b =，6c =；③4b =，2c =-．【变式1-3】（23-24九年级·河南安阳·期中）4．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．220x x -=B ．2440x x +-=C ．()2230x --=D ．2320x +=【题型2 判断含参数的一元二次方程的根的情况】【例2】（23-24九年级·贵州毕节·期末）5．关于x 的方程2(2)0x k x k +--=的根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【变式2-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）6．已知一元二次方程20x bx c ++=．(1)当2b =时，若方程的一个根为3-，求c 的值以及方程的另一个根；(2)当2114c b +=时，请判别方程根的情况．【变式2-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）7．一元二次方程2470x x +-=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有一个实根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·期末）8．对于一元二次方程()200ax bx c a ++=¹，下列说法不正确的是（ ）A ．若=1x -是方程的解，则0a b c -+=B ．若0c =，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根C ．若0ac <，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根D ．若0a c +=，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根【题型3 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】【例3】（23-24·四川广安·中考真题）9．若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m <且1m ¹-B ．0m ³C ．0m £且1m ¹-D ．0m <【变式3-1】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）10．若方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【变式3-2】（23-24九年级·安徽亳州·期末）11．关于x 的一元二次方程2240x x m ++=的根的判别式的值为24，则m = ．【变式3-3】（23-24九年级·四川眉山·期末）12．关于x 的方程()21104k x x --+=有两个不相等的实根，则k 的取值范围是（ ）A ．2k ³B ．2k £且1k ¹C ．2k >D ．2k <且1k ¹【题型4 证明一元二次方程的根的情况】【例4】（23-24九年级·四川泸州·期末）13．已知：关于x 的一元二次方程()()2120x x m ---=．求证：无论m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根．【变式4-1】（23-24九年级·北京顺义·期末）14．关于x 的一元二次方程210x mx m ++-=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的一个根小于2-，求m 的取值范围．【变式4-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）15．已知关于x 的一元二次方程223210x mx m m -++-=．(1)当2m =时，解这个方程；(2)试判断方程根的情况，并说明理由．【变式4-3】（23-24九年级·福建泉州·期末）16．已知关于x 的一元二次方程22430x mx m -+=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若0m >，且该方程的两个实数根的积为12，求m 的值．【题型5 由根的判别式求代数式的取值范围】【例5】（23-24九年级·安徽·期末）17．若实数a ，b 满足22240a ab ab -++=，则a 的取值范围是 ．【变式5-1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）18．已知实数,m n 满足223m mn n -+=，设22P m mn n =+-，则P 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【变式5-2】（23-24九年级·浙江温州·期中）19．已知关于x 的一元二次方程2230x x m -+=有实数根，设此方程的一个实数根为t ，令2241y t t m =-++，则y 的取值范围为．【变式5-3】（23-24九年级·江西景德镇·期末）20．设实数,,x y z 满足22227x y z xy yz zx ++---=，则y z -的最大值为 .【题型6 根的判别式与三角形的综合运用】【例6】（23-24九年级·四川眉山·期末）21．已知关于x 的一元二次方程()2232220x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值时，这个方程总有实数根；(2)若ABC V 的两边,AB AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为3，当ABC V 是等腰三角形时，求m 的值．【变式6-1】（23-24九年级·山西晋城·期末）22．关于x 的方程22220-++=x cx a b 有两个相等的实数根，若a ，b ，c 是ABC V 的三边长，则这个三角形一定是（ ）．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【变式6-2】（23-24九年级·河南驻马店·期末）23．已知关于x 的方程，()2220x k x k -++=．(1)求证：无论k 为任意实数值方程，总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边1a =，另两边b 、c 恰是这个方程的两个根，求三角形ABC 的周长．【变式6-3】（23-24·广东惠州·二模）24．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +2k ＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）记该方程的两个实数根为x 1和x 2若以x 1，x 2，3为三边长的三角形是直角三角形，求k 的值．【题型7 根的判别式与四边形的综合运用】【例7】（23-24九年级·安徽黄山·期末）25．已知关于x 的一元二次方程()2350x k x k --+-=．(1)求证：无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当11k =时，该方程的两个根分别是菱形ABCD 的两条对角线的长，求菱形ABCD 的面积．【变式7-1】（23-24九年级·湖南·阶段练习）26．已知ABCD Y 的两对角线AC ，BD 的长是关于x 的方程21024m x mx -+-=的两个实数根．(1)若AC 的长为1，求m 的值；(2)当m 为何值时，ABCD Y 是矩形．【变式7-2】（23-24九年级·广西崇左·期末）27．已知正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的长是关于x 的方程202mx mx -+=的两个实数根．（1）求m 的值；（2）求正方形的面积．【变式7-3】（23-24·四川成都·二模）28．已知矩形的长和宽分别为a 和b ，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a ，b 应该满足的条件为 ．【题型8 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】【例8】（23-24九年级·重庆万州·期中）29．若整数a 使得关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根，并且使得关于y 的分式 方程32133ay yy y -+=--有整数解，则符合条件的整数a 的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式8-1】（23-24·广东汕头·三模）30．一元二次方程2240x x --=有两个实数根a ，b ，那么一次函数(1)y ab x a b =-++的图象一定不经过的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式8-2】（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）31．已知不等式组01312x a x ->ìïí-<ïî有且仅有4个整数解，则关于x 的方程()2210ax a x a +-+=的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法判断【变式8-3】（23-24·山东菏泽·模拟预测）32．已知关于x y 、的方程组2223,234x y m n xy n m n -=-ìí=-++î对每一个实数n 都有实数解，那么正整数m 的值为．【题型9 一元二次方程中的新定义问题】【例9】（23-24九年级·浙江宁波·期末）33．新定义：《a ，b ，c 》为一元二次方程20ax bx c ++=(其中0,,,a a b c ¹为实数)的“共同体数”，如：2210x x +-=的“共同体数”为《1，2，1-》，以下“共同体数”中能让一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根的是( )A ．《3，2，1》B ．《3，4，5》C ．《1n +，2n ，1n -》D ．1,,+《》m m m m【变式9-1】（23-24九年级·浙江金华·期末）34．对于实数a ，b 定义新运算：2a b b ab =-△，若关于x 的方程6x k =△有两个相等实数根，则k 的值为.【变式9-2】（23-24九年级·辽宁沈阳·阶段练习）35．定义一种新运算“a b V ”，对于任意实数a ，b ，231a b ba a =+-△，如23443331=´+´-△，若0x k =△（k 为实数）是关于x 的一元二次方程，并且该方程有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．94k £-B ．94k £-且0k ¹C ．94k ³-D ．94k ³-且0k ¹【变式9-3】（23-24·四川达州·一模）36．阅读下列材料：我们发现，关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹，如果24b acD =-的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，D 的值一定是一个完全平方数．定义：两根都为整数的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹称为“全整根方程”，代数式244ac b a-的值为该“全整根方程”的“最值码”，用(),,Q a b c 表示，即()24,,4ac b Q a b c a -=；若另一关于x 的一元二次方程()200px qx r p ++=¹也为“全整根方程”，其“最值码”记为(),,Q p q r ，当满足()(),,,,Q a b c Q p q r c -=时，则称一元二次方程()200ax bx c a ++=¹是一元二次方程()200px qx r p ++=¹的“全整根伴侣方程”．(1)“全整根方程”2320x x -+=的“最值码”是______；(2)关于x 的一元二次方程()2221230x m x m m --+--=（m 为整数、且415m <<）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”；(3)若关于x 的一元二次方程()2120x m x m +-+-=是()210x n x n +--=（m ，n 均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m n -的值．【题型10 一元二次方程中的多结论问题】【例10】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）37．已知()1a a >是关于x 的方程20x bx b a -+-=的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当1a t =＋时，一定有1b t =-；③b 是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【变式10-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）38．关于x 的一元二次方程20ax bx c ++= 0a ¹（） ，下列说法：①若420a b c -+=，则关于x 的方程20ax bx c ++=必有一个根为2x =；②当22c b +£（a ） （时，则关于x 的方程20ax bx c ++=必有实数根；③若260b ac ->，则方程一定有两个不相等的实数根；④若200ax bx c a ++=¹（）和200cx bx a c +=+¹（）有一个相同的根，那么这个根一定是1．其中正确的是（填序号）【变式10-2】（23-24九年级·河北石家庄·阶段练习）39．已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹，下列说法正确的有（ ）①若0ac ＞，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；②若0a b c ++=，则240b ac -³；③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+．A ．1个B ．2 个C ．3个D ．4 个【变式10-3】（23-24九年级·浙江舟山·期中）40．对于一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c ，有下列说法：①若方程20ax c +=有两个不相等的实数根，则方程20(a 0)++=¹ax bx c 必有两个不相等的实数根；②若方程20(a 0)++=¹ax bx c 有两个实数根，则方程20cx bx a ++=一定有两个实数根；③若c 是方程20(a 0)++=¹ax bx c 的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若0x 是一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的根，则2204(2)b ac ax b -=-其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个1．A【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）0D >，方程有两个不相等的实数根；（2）0D =，方程有两个相等的实数根；（3）0D <，方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案．【详解】解：由△2(3)41(2)170D =--´´-=>，\一元二次方程2320x x --=有两个不相等的实数根．故选：A 2．C【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：∵()240414160b ac D =-=-´´-=>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：C3．选②，方程的解为12x =-，23x =-；选③，方程的解为12x =，22x =-【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及解一元二次方程，解题的关键是掌握当方程有两个不相等的实数根时，判别式0D >．先根据判别式得出可选择的组，然后解方程即可．【详解】解：Q 使这个方程有两个不相等的实数根，240b ac \->，即24b ac>\②③均可，当选②解方程时：2560x x ++=，()()230x x ++=，20x +=或30x +=，12x \=-，23x =-；当选③解方程时：2420x x +-=，24424x x ++=+，()226x +=，2x +=，12x \=，22x =．4．D【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根之间的关系，注意根的判别式的各量是一般式的各项系数，根的判别式D 与实数根的情况之间的关系如下：0D >，一元二次方程有两个不相等的实数根；=0D ，一元二次方程有两个相等的实数根；0D <，一元二次方程无实数根．【详解】解：A 选项()2Δ241040=--´´=>，则A 选项有两个不等实数根，不符合题意；B 选项1616320D =+=>，则B 选项有两个不等实数根，不符合题意；C 选项方程的一般式为：2410x x -+=，则164120D =-=>，则C 选项有两个不等实数根，不符合题意；D 选项方程=0432240D -´´=-<，则D 选项没有实数根，符合题意．故选：D ．5．A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法．先计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可判断方程根的情况．【详解】解：关于x 的方程2(2)0x k x k +--=，∵1a =，2b k =-，=-c k ，∴2224(2)41()40b ac k k k -=--´´-=+>，所以关于x 的一元二次方程2(2)0x k x k +--=有两个不相等的实数根，故选：A ．6．(1)3c =-，方程另外一个根为1x =(2)原方程有两个不相等的实数根【分析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程等知识点， （1）将2b =和方程的一个根为3-代入方程求出c 值，再解方程即可；（2）根据2114c b +=判断出D 的取值范围，进而进行判断即可；熟练掌握根的判别式以及解一元二次方程是解决此题的关键．【详解】（1）2b =Q 时，若方程的一个根为3-，()()23230c \-+´-+=解得：3c =-，\得到方程为2230x x +-=，解得13x =-或21x =，3c \=-，方程另外一个根为1x =；（2）2114c b +=Q ，∴2114c b =-222221Δ4414404b c b b b b æö\=-=--=-+=>ç÷èø，\原方程有两个不相等的实数根．7．D【分析】本题考查了根的判别式：先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：∵2470x x +-=，∴1,4,7a b c ===-，()24164171628440b ac D =-=-´´-=+=>，故选：D ．8．B【分析】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式D 的关系：Δ0Û＞方程有两个不相等的实数根；Δ0=Û方程有两个相等的实数根，Δ0Û＜方程没有实数根．根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可．【详解】解：A 、将x =―1代入方程20(a 0)++=¹ax bx c 可得：0a b c -+=，∴本选项说法正确，不符合题意；B 、若0c =，则方程为20ax bx +=，∴2240b ac b D =-=³，∴程20ax bx c ++=必有两个的实数根，故原说法错误，符合题意；C 、∵0ac ＜，∴240b ac D =-＞，∴方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根，原说法正确，不符合题意；D 、∵方程20ax bx c ++=中，0a c +=，∵222440b ac b a D ==+->，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，故原说法正确，不符合题意；故选：B ．9．A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=¹，若240b ac D =->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac D =-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac D =-，则方程没有实数根．由关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=两个不相等的实数根，可得0D >且10m +¹，解此不等式组即可求得答案．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，∴()()22410m D =--+>，解得：0m <，10m +¹Q ，1m \¹-，m \的取值范围是：0m <且1m ¹-．故选：A ．10．C【分析】本题主要考查解一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．本题有两个相等的实数根，即240b ac D =-=，代入数值计算求解即可．【详解】解：∵该方程有两个相等实根，∴()2440c D =--=，解得4c =；故答案为：C ．11．1-【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的根的判别式为24b ac D =-是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2240x x m ++=的根的判别式的值为24，∴22444224b ac m D =-=-´=，解得：1m =-．故答案为：1-．12．D【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当0D >时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据二次项系数非零及根的判别式0D >，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的方程()21104k x x --+=有两个不相等的实根，∴()()210114104k k -¹ìïí=--´->ïîV ，解得：2k <且1k ¹．故选：D ．13．见解析【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的根与24b ac D =-有如下关系：当0D >时，方程有两个不相等的实数根；当0D =时，方程有两个相等的实数根；当0D <时，方程无实数根．根据根的判别式得出()()22234241m m D =---=+，然后说明0D >即可．【详解】证明：由()()2120x x m ---=得22320x x m -+-=，则()()22234241m m D =---=+，∵无论m 取何值，都有20m ³，∴24110m +³>，即0D >，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．14．(1)见解析(2)3m >【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式．熟练掌握一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式是解题的关键．（1）根据()()222414420m m m m m D =--=-+=-³，证明即可；（2）由210x mx m ++-=，可得()()110x m x +-+=，解得，1x m =-或1x =-，由方程的一个根小于2-，可得12m -<-，计算求解即可．【详解】（1）证明：∵210x mx m ++-=，∴()()222414420m m m m m D =--=-+=-³，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵210x mx m ++-=，∴()()110x m x +-+=，解得，1x m =-或1x =-，∵方程的一个根小于2-，∴12m -<-，解得，3m >．15．(1)123x x ==(2)有两个实数根，理由见解析【分析】本题考查解一元二次方程，由一元二次方程的判别式判断其根的情况．掌握解一元二次方程的方法和一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的根的判别式为24b ac D =-，且当0D >时，该方程有两个不相等的实数根；当0D =时，该方程有两个相等的实数根；当0D <时，该方程没有实数根是解题关键．（1）当2m =时，原方程为2690x x -+=，即()230x -=，再直接解方程即可；（2）根据方程可求出()()()2223412120m m m m D =--´´+-=-³，即可得出原方程有两个实数根．【详解】（1）解：当2m =时，原方程为223222210x x -´+´+-=，即为2690x x -+=，∴()230x -=，∴123x x ==；（2）解：由题意可知1a =，3b m =-，221c m m =+-，∴()()()222243412120b ac m m m m D =-=--´´+-=-³，∴原方程有两个实数根．16．(1)见解析(2)2m =【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解法是解本题的关键．（1）表示出根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；（2）利用因式分解法可得12,3x m x m ==，再由“该方程的两个实数根的积为12”可求得2312m =，计算即可求出m 的值．【详解】（1）证明：21,4,3a b m c m ==-=Q ，22224(4)4134b ac m m m \D =-=--´´=，Q 无论m 取何值时，240m ³，即0D ³，\原方程总有两个实数根；（2）解：22430x mx m -+=Q ，即：()()30x m x m --=，12,3x m x m \==，Q 该方程的两个实数根的积为122312m \=，2m \=±，0m >Q ，2m \=．17．80a -£<【分析】由实数a ，b 满足22240a ab ab -++=得到关于b 的一元二次方程22240ab ab a -++=，由根的判别式24320a a D =--³且20a ¹，得到不等式组，解不等式组即可得到a 的取值范围．【详解】解：∵实数a ，b 满足22240a ab ab -++=，∴关于b 的一元二次方程22240ab ab a -++=中，()()2224244320a a a a a D =--´+=--³且20a ¹，即()80a a +£且0a ¹，∴080a a >ìí+£î或080a a <ìí+³î，解得80a -£<，即a 的取值范围是80a -£<．故答案为：80a -£<【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元一次不等式组的解法等知识，由根的判别式24320a a D =--³且20a ¹得到不等式组是解题的关键．18．C【分析】由原式得，223P m =-．将223m mn n -+=看成关于n 的一元二次方程，根据方程有实数解，所以()22Δ430m m =--³，可得24m £，进而得出结论．【详解】解：将两个等式相加得：232P m +=，则223P m =-．要求P 的最大值，只需求出2m 的最大值．将223m mn n -+=看成关于n 的一元二次方程，整理得：2230n mn m -+-=．根据方程有实数解，所以()22Δ430m m =--³．可得24m £，即2m 的最大值为4．所以当24m =时，P 的最大值为5．故选：C【点睛】本题考查等式性质，一元二次方程根的判别式，将含有多个参数的等式理解为含参数的一元二次方程，从而运用方程的知识解决问题是解题的关键．19．4y £【分析】由一元二次方程根的判别式先求解3m £，根据一元二次方程的解的定义得出223t t m -=代入代数式，进而即可求解．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程2230x x m -+=有实数根，244120b ac m \=-=-³V ，解得：3m £，设此方程的一个实数根为t ，223t t m\-=-\2241y t t m =-++341m m =-++1m =+3m £Q14m \+£ 即4y £故答案为：4y £．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，不等式的性质，熟练的运用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．20．6【分析】先将已知等式配成一个完全平方的形式，再令x y a y z b -=ìí-=î，将完全平方式转化为一个只含a 和b 的等式，然后将问题转化为已知一元二次方程的根的情况，求未知参数问题，最后利用根的判别式求解即可.【详解】22227x y z xy yz zx ++---=两边同乘以2得：2222()54x y z xy yz zx ++---=整理得：222()()()54x y y z x z -+-+-=①令x y ay z b -=ìí-=î，则x z a b-=+代入①得：222()54a b a b +++=化简得：22270a bab ++-=由题意可知，关于a 的一元二次方程22270a ba b ++-=有实数根则方程的根的判别式224(27)0b b D =--³解得：6b £，即6y z -£所以y z -的最大值为6故答案为：6.【点睛】本题是一道难题，考查了求代数式的极值的知识，在已知条件转换变形后，将其看成一个一元二次方程的实数根的情况来分析是解题关键.21．(1)见解析(2)m 的值为12【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程：（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）利用因式分解法求出方程的两根，1x m =，222x m =+，再根据等腰三角形的定义，即可求解．【详解】（1）解：()()22324122m m m D =-+-´´+éùëû22912488m m m m =++--244m m =++()220m =+³，∴无论m 取何值时，这个方程总有实数根．（2）解：()2232220x m x m m -+++=()()220x m x m ---=∴1x m =，222x m =+，当3m =时，三边为3，3，8（舍），当223m +=时， 12m =，三边为12，3，3，∴m 的值为12．22．B【分析】由关于x 的方程22220-++=x cx a b 有两个相等的实数根，可得()()222240c a b =--+=V ，整理得222c a b =+，根据勾股定理逆定理判断ABC V 的形状即可．【详解】解：∵关于x 的方程22220-++=x cx a b 有两个相等的实数根，∴()()222240c a b =--+=V ，整理得222c a b =+，∴ABC V 是直角三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．23．(1)证明见解析(2)5【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义和构成三角形的条件：（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）分当等腰三角形的腰长为1时，则1x =是方程()2220x k x k -++=的一个根，当底边长为1时，则原方程有两个相等的实数根，两种情况求出k 的值进而求出另一个根，再根据构成三角形的条件求解即可．【详解】（1）证明：由题意得，()228k k D =-+-éùëû 2448k k k =++-244k k =-+()220k =-³，∴无论k 为任意实数值方程，总有实数根；（2）解：当等腰三角形的腰长为1时，则1x =是方程()2220x k x k -++=的一个根，∴()1220k k -++=，∴1k =，∴原方程为2320x x -+=，解得1x =或2x =，∴底边长为2，∵112+=，∴此时不能构成三角形，不符合题意；当底边长为1时，则原方程有两个相等的实数根，∴()220k D =-=，∴2k =，∴原方程为2440x x -+=，解得122x x ==，∵122+>，∴此时能构成三角形，∴ABC V 的周长为2215++=．24．（1）见详解；（2）k 【分析】（1）先把方程变为一元二次方程一般式，然后确定()1212a b k c k ==-+=，，，再计算()22=4210b ac k D -=-³即可；（2）将方程因式分解得()()210x k x --=，得出方程的解1221x k x ==，，然后分两种情况2k ＜3与2k ＞3，分别根据勾股定理建构方程求解即可．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +2k ＝0．∴()1212a b k c k ==-+=，，，∴()()2222=4=-21412441210b ac k k k k k D -+-´´=-+=-³éùëû，∴方程总有两个实数根；（2）将方程因式分解得()()210x k x --=，解得1221x k x ==，，∵以2k ，1，3为三边长的三角形是直角三角形，∴当2k ＜3时，则()2221+23k =，解得k k ==舍去)；当2k ＞3时，则()2221+32k =，解得k k ==舍去)；以1，2k ，3为三边长的三角形是直角三角形，k 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，勾股定理，掌握一元二次方程根的判别式，因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，勾股定理是解题关键．25．(1)详见解析(2)3ABCD S =菱形【分析】（1）根据根的判别式的范围即可证明；（2）求出一元二次方程的两个根，根据菱形的面积公式进行解答即可；此题考查菱形的性质、一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法是解题的关键．【详解】（1）证明：()()()222Δ3415102954k k k k k éù=---´´-=-+=-+ëû，0\D >，\无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）当11k =时，原方程为2860x x -+=，1,8,6a b c ==-=，()2Δ841640=--´´=，∴4==x∴1244x x =+=-14432ABCD S \=´+´-=菱形((26．(1)32m =(2)1【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，矩形的判定．（1）将1x =代入方程，求出m 的值即可；（2）根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到方程有两个相等的实数根，得到0D =，进行求解即可．【详解】（1）解：∵ABCD Y 的两对角线AC ，BD 的长是关于x 的方程21024m x mx -+-=的两个实数根，∴当AC 的长为1时，211024m m -+-=，解得：32m =；（2）∵ABCD Y 的两对角线AC ，BD ，∴当AC BD =时，ABCD Y 是矩形，\方程21024m x mx -+-=有两个相等的实数根，214024m m æö\D =--=ç÷èø，解得121m m ==，即m 的值为1．27．（1）2；（2）12．【分析】（1）先根据正方形的性质可得AC BD =，再利用一元二次方程根的判别式即可得；（2）先解一元二次方程可得1AC BD ==，再利用正方形的面积公式即可得．【详解】解：（1）在正方形ABCD 中，AC BD =，由题意得：关于x 的方程202m x mx -+=的根的判别式等于0，即220m m -=，解得122,0m m ==，0AC BD =>Q ，20m \=舍去，故m 的值为2；（2）由（1）得：方程为2210x x -+=，解得121x x ==，1AC BD \==，则正方形的面积为11111222AC BD ×=´´=．【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用、正方形的性质等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．28．22+10a b ab³【分析】因为矩形的长和宽分别为a 、b ，所以其周长和面积分别为2(a +b )和ab ，设所求矩形的长为x ，则宽为13(a +b )-x ，其面积为x [13(a +b )-x ]，根据题意得：x [13(a +b )-x ]=13ab ，因为存在另外一个矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，故该方程有解，即△≥0，得出不等式即可求解．【详解】解：设所求矩形的长为x ，则宽为13(a +b )-x ，其面积为x [13(a +b )-x ]，根据题意得：x [13(a +b )-x ]=13ab ，即()211-++=033x a b x ab ，∵存在该矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一∴方程有解，∴△=21()1433ab a b éù-ú´+êëû=221214++-9993a ab b ab =221101-+999a ab b ≥0∴22-10+0a ab b ³∴22+10a b ab³故答案为：22+10a b ab ³．【点睛】本题考查了一元二次方程解的判别式，解题的关键是根据题意，列出方程，把问题转化为求△的问题．29．B【分析】对于关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根，利用判别式的意义得到a-2≠0且2a+3≥0且△=2-4（a-2）≥0，解不等式组得到整数a 为：-1，0，1，3，4，5；接着解分式方程得到y=61a -，而y≠3，则61a -≠3，解得a≠3，从而得到当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，然后求符合条件的所有a 的个数．【详解】解：∵整数a 使得关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根，∴a-2≠0且2a+3≥0且△=2-4（a-2）≥0，∴31122a -££且a≠2，∴整数a 为：-1，0，1，3，4，5；去分母得3-ay+3-y=-2y ，解得y=61a -，而y≠3，则61a -≠3，解得a≠3，当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，∴符合条件的所有a 的个数是3．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．30．D【分析】根据根与系数的关系即可求出ab 与a b +的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：由根与系数的关系可知：2a b +=，4ab =-，∴15ab -=∴一次函数解析式为：52y x =+，故一次函数的图象一定不经过第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．31．C【分析】本题考查解含参数的一元一次不等式组、不等式的性质及利用判别式确定一元二次方程根的情况等知识，先解一元一次不等式，再根据方程组解的情况得到34a £<，再结合一元二次方程的判别式，由不等式的性质确定0D <即可得到答案，熟练掌握含参数的一元一次不等式组的解法及判别式与一元二次方程根的情况是解决问题的关键．【详解】解：01312x a x ->ìïí-<ïî①②由①得x a >；由②得8x <；Q 不等式组01312x a x ->ìïí-<ïî有且仅有4个整数解，\34a £<；Q 关于x 的方程()2210ax a x a +-+=中，()2221441a a a D =--=-+，1511\-<D £-，即0D <，。

九年级数学练习题及答案

九年级数学练习题及答案

九年级数学练习题及答案一、选择题1. 已知函数\( y = 2x + 3 \)，当\( x = 1 \)时，\( y \)的值是多少？A. 5B. 4C. 3D. 22. 一个圆的半径是7，那么它的直径是多少？A. 14B. 12C. 10D. 83. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 84. 一个数的平方根等于它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 45. 计算下列表达式的值：\( (-2)^2 \)。

A. 4B. -4C. 2D. -2二、填空题6. 一个数的立方根是\( \sqrt[3]{8} \)，这个数是________。

7. 如果一个长方体的长、宽、高分别是2、3、4，那么它的体积是________。

8. 一个数的相反数是-5，这个数是________。

9. 一个分数的分母是9，分子是6，化简后是________。

10. 一个数的绝对值是5，这个数可以是________。

三、解答题11. 解一元一次方程：\( 3x - 5 = 14 \)。

12. 某班有40名学生，其中女生人数是男生人数的2倍，求男生和女生各有多少人？13. 已知点A(-3, 4)和点B(6, -2)，求这两点之间的距离。

14. 一个长方体的底面积是120平方厘米，高是10厘米，求长方体的体积。

15. 一个直角三角形的两条直角边分别是6和8，求斜边的长度。

四、证明题16. 证明：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

17. 证明：如果一个三角形的两边和这两边之间的夹角相等，那么这个三角形是全等的。

五、应用题18. 某工厂生产一批玩具，每件玩具的成本是10元，售价是15元。

如果工厂希望获得的利润是1000元，需要生产多少件玩具？19. 一个圆形花坛的半径是5米，如果沿着花坛周围铺设一条1米宽的小路，求小路的面积。

20. 某校九年级有300名学生，其中参加数学竞赛的学生有50人，求参加数学竞赛的学生占总人数的百分比。

初三数学圆练习题及答案

初三数学圆练习题及答案

初三数学圆练习题及答案一、选择题1. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，那么直线与圆的位置关系是（）。

A. 相交B. 相切C. 相离D. 包含2. 圆的方程为 \( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 \)，点P(1, 5)在圆上，求过点P的圆的切线斜率。

A. 0B. 1C. -1D. 不存在3. 已知点A(2, 3)和点B(-1, -2)，求以线段AB为直径的圆的方程。

A. \( (x-0.5)^2 + (y-0.5)^2 = 13.5 \)B. \( (x-0.5)^2 + (y-0.5)^2 = 5 \)C. \( (x-0.5)^2 + (y-0.5)^2 = 10 \)D. \( (x-0.5)^2 + (y-0.5)^2 = 18 \)二、填空题4. 已知圆心O(0, 0)，半径r=4，点P(4, 3)，求点P到圆心O的距离OP。

\( OP = \) ______5. 若圆x²+y²=r²内有一点P(1, 1)，求过点P的最短弦所在直线的方程。

\( 直线方程 = \) ______6. 已知圆的方程为 \( x^2 + y^2 - 6x - 8y + 16 = 0 \)，求圆心坐标和半径。

圆心坐标为( , )，半径为______。

三、解答题7. 已知圆C的方程为 \( (x-2)^2 + (y-3)^2 = 9 \)，求圆C的圆心坐标和半径。

8. 在平面直角坐标系中，圆x²+y²=9与直线y=2x+3相交于A、B两点，求AB的长度。

9. 已知圆心在直线x-y+c=0上，且经过点P(2, 3)，求圆的方程。

四、证明题10. 已知圆O的半径为5，点P在圆上，PA、PB是圆的两条切线，PA 和PB的长度相等，证明PA垂直于PB。

答案：1. A2. C3. B4. \( OP = 5 \)5. \( 直线方程 = x + y - 6 = 0 \)6. 圆心坐标为(3, 4)，半径为 \( \sqrt{5} \)7. 圆C的圆心坐标为(2, 3)，半径为3。

人教版九年级数学上册《24.2 点和圆、直线和圆的位置关系》练习题(附带参考答案)

人教版九年级数学上册《24.2 点和圆、直线和圆的位置关系》练习题(附带参考答案)

人教版九年级数学上册《24.2 点和圆、直线和圆的位置关系》练习题(附带参考答案）学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一、选择题1．点I是△ABC的外心，则点I是△ABC的（）A．三条垂直平分线交点B．三条角平分线交点C．三条中线交点D．三条高的交点2．用反证法证明命题“在△ABC中，若AB≠BC，则∠A≠∠C”时，首先应假设（）A．∠A=∠B B．AB=BC C．∠B=∠C D．∠A=∠C3．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个4．⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定5．如图，为的直径，与相切于点，交的延长线于点，且．若，则半径长为（）A．2 B．3 C．D．6．在△ABC中∠C=90°，AC=4，AB=5，以点C为圆心，R为半径作圆．若⊙C与边AB只有一个公共点，则R的取值范围是（）A．R=12B．3⩽R⩽45C．0<R<3或R>4D．3<R⩽4或R=1257．如图，AB切于⊙O点B，延长AO交⊙O于点C，连接BC，若∠A=40°，则∠C=（）A．20°B．25°C．40°D．50°8．如图，已知等腰△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E，若CD=4√5，CE=8，则⊙O的半径是（）A．92B．5 C．6 D．152二、填空题9．已知A为⊙O外一点，若点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，则⊙O的半径为．10．⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是.11．已知Rt△ABC中∠C=90°，AC=5，BC=12，则△ABC的外接圆半径是．12．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P = 50°，则∠ACB ＝°13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF ＝3，则△ABC的面积是．三、解答题14．如图，AD，BD是⊙O的弦AD⊥BD，且BD=2AD=8，点C是BD的延长线上的一点CD=2，求证：AC是⊙O的切线．15．如图，已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C为⊙O上一点．若∠P=70°，求∠C的大小．16．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．（1）若∠ADE=28°，求∠C的度数；（2）若AC=2√3，CE=2，求⊙O半径的长．17．如图，已知内接于的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且．（1）求证：；（2）求证：平分．参考答案1．A2．D3．D4．A5．B6．D7．B8．B9．110．相交11．13212．6513．614．证明：连接AB∵AD⊥BD，且BD=2AD=8∴AB为直径，AB2=82+42=80∵CD=2，AD=4∴AC2=22+42=20∵CD=2，BD=8∴BC2=102=100∴AC2+AB2=CB2∴∠BAC=90°∴AC是⊙O的切线．15．解：连接OA、OB∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B∴∠OAP=∠OBP=90°∵∠P=70°∴∠AOB=360°－∠OAP－∠OBP－∠P=110°∠AOB=55°．∴∠C= 1216．（1）解：如图，连接OA∵∠ADE=28°∴∠AOC=2∠ADE=56°∵AC切⊙O于点A∴∠OAC=90°∴在△AOC中（2）解：设OA=OE=r在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2=OC2即r2+(2√3)2=(r+2)2解得：r=2答：⊙O半径的长是2．17．（1）证明：是的切线即．是的直径．．即．（2）证明：与都是所对的圆周角．．由（1）知平分．。

浙教版九年级数学上册第四章：相似三角形基本模型练习题(含答案)

浙教版九年级数学上册第四章：相似三角形基本模型练习题(含答案)

相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，结论：AD AE DE AB AC BC ==，图②反A 字型，结论：AE AD DEAC AB BC== 图③双A 字型，结论：DF BG EF GC =，图④内含正方形A 字形，结论AH a aAH BC-=（a 为正方形边长）IH G FED CB AGFEDC BAEDCB A ED C BA图① 图② 图③ 图④8字型图①8字型，结论：AO BO AB OD CO CD ==，图②反8字型，结论：AO BO AB CO DO CD==、四点共圆 图③双8字型，结论：AE DF BE CF=，图④A 8字型，结论：111AB CD EF += 图⑤，结论：EF EG =、AED BEC ABE CDE S S S S ⋅=⋅△△△△EFD C BA F ED C BAOD C BAODC BAGFED CB A图① 图② 图③ 图④ 图⑤一线三等角型结论：出现两个相似三角形HE DC B AE DC BAEDCBAC60°F E DCB AFED CB A图① 图② 图③ 图④角分线定理与射影定理图①内角分线型，结论：AB BD AC DC =，图②外角分线型，结论：AB BDAC CD= 图③斜射影定理型，结论：2AB BD BC =⋅，图④射影定理型，结论：1、2AC AD AB =⋅，2、2CD AD BD =⋅，3、2BC BD BA =⋅D C BD BCAEDB AD B A梅涅劳斯型常用辅助线G FEDCBAGFEDCBA G E DC B ADEFCBA四、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题． 常用的面积法基本模型如下：如图：1212ABC ACDBC AHS BCS CD CD AH ⋅⋅==⋅⋅△△． 图1：“山字”型H DC B A如图：1212ABC BCDBC AHS AH AO S DG OD BC DG ⋅⋅===⋅⋅△△． 图2：“田字”型G HODCBA如图：ABD ABD AED ACE AED ACE S S S AB AD AB ADS S S AE AC AE AC⋅=⋅=⋅=⋅△△△△△△．图3：“燕尾”型CDEB A考点一：相似三角形【例1】 如图，D 、E 是ABC ∆的边AC 、AB 上的点，且AD AC ⋅=AE AB ⋅，求证：ADE B ∠=∠.EDCBA【答案】∵AD AC AE AB ⋅=⋅ ∴AD ABAE AC=∵DAE BAC ∠=∠∴DAE ∆∽BAC ∆∴ADE B ∠=∠ 【例2】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC ∆的面积是BDE ∆面积的4倍，6AC =，求DE 的长.ED CB A【答案】∵AD BC ⊥，CE AB ⊥，ABD CBE ∠=∠ ∴ABD ∆∽CBE ∆∴BE BCBD AB=∵EBD CBA ∠=∠ ∴BED ∆∽BCA ∆∴11322DEDE AC AC===⇒== 【例3】 如图，ABC △中，60ABC ∠=︒，点P 是ABC △内一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，86PA PC ==，，则PB =________．PCBA【解析】120APB BPC ∠=∠=︒，60BAP ABP ABC ABP CBP ∠=︒-∠=∠-∠=∠，故ABP BCP △∽△，2PB PA PC =⋅．【例4】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠．HGFED CB A【答案】45︒ 【解析】连接DF 、CG ，则45EDF EBF DFB ∠=∠+∠=︒，若DFB EBG ∠=∠，则EBF EBG ∠+∠可求，问题的关键是证明BCG FDB △∽△．考点二：相似三角形与边的比例☞考点说明：可运用相似三角形模型，常用A 字形与8字形【例5】 在ABC ∆中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.PE D CBA MPED C BA【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥，∴PCM PBD ∆∆∽， ∴CM PC BD PB =， ∵CM AB ∥，∴CEM AED ∆∆∽， ∴CM AD CE AE =， ∵BD CE =， ∴CM CM CE BD =， ∴PC AD PB AE=， ∴AD BP AE CP ⋅=⋅【例6】 如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE= PEDCBA4321MPE D CBA【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥，∴PCM PBD ∆∆∽， ∴BP BD CP CM =， ∵CM AB ∥， ∴14∠=∠， 又∵AD AE =，∴12∠=∠，∴24∠=∠， ∵23∠=∠， ∴34∠=∠， ∴CM CE = ∴BP BD CP CE= 【例7】 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F .求证：3EF DE =.F NMED CBAK HF N MG ED CBA【答案】过M ，N 分别作AC 的平行线交AB 于H ，G 两点，NH 交AM 于K ，∵BM MN NC ==， ∴BG GH HA ==，易知12HK GM =，12GM HN =，∴14HK HN =，即13HK KN =，又∵DF HN ∥， ∴13DE HK EF KN ==，即3EF DE =. 考点三：相似三角形与内接矩形☞考点说明：内接矩形问题是相似三角形中比较典型的问题，考查了相似三角形对应高的比等于相似比【例1】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。

【初中数学】人教版九年级上册中考特训（一） 根的判别式作用大(练习题)

【初中数学】人教版九年级上册中考特训（一） 根的判别式作用大(练习题)

人教版九年级上册中考特训（一）根的判别式作用大(353)1.若关于x的一元二次方程(m−2)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A.m≤3B.m<3C.m<3且m≠2D.m≤3且m≠22.若关于x的一元二次方程(m−2)x2+(2m+1)x+m−2=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m>34B.m≥34且m≠2 C.m<34D.m>34且m≠23.已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+2=0.(1)求证：不论m为何值时，方程总有实数根；(2)当m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？4.已知关于x的一元二次方程x2−2x−k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.k⩾1B.k>1C.k⩾−1D.k>−15.若关于x的一元二次方程x2+2(k−1)x+k2−1=0有实数根，则k的取值范围是（）A.k⩾1B.k>1C.k<1D.k⩽16.若关于x的一元二次方程x2−2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A. B.C. D.7.关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根.8.下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（）A.(x−1)2=0B.x2+2x−19=0C.x2+4=0D.x2+x+1=09.下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2−4x+c=0一定有实数根的是（）A.a>0B.a=0C.c>0D.c=010.若a，b，c为常数，且(a−c)2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.有一根为011.已知关于x的方程x2−(2m+1)x+m(m+1)=0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x=0，求代数式(2m−1)2+(3+m)(3−m)+7m−5的值(要求先化简再求值)．12.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．13.定义新运算：对于任意实数m，n，都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算．例如：−3☆2=(−3)2×2+2=20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断关于x的一元二次方程2x2−bx+a=0的根的情况．参考答案1.【答案】:D【解析】:∵方程有实数根，∴22−4×(m−2)×1≥0且m−2≠0，∴m≤3且m≠2.故选D2.【答案】:D【解析】:根据题意得m−2≠0且Δ=(2m+1)2−4(m−2)(m−2)>0，解得m>34且m≠23(1)【答案】证明：Δ=(m+2)2−8m=m2−4m+4=(m−2)2.∵不论m为何值时，都有(m−2)2≥0，∴Δ≥0，∴方程总有实数根(2)【答案】解方程，得x=m+2±√(m−2)22m =m+2±(m−2)2m，x1=2m，x2=1.∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或m=2(不合题意)，∴m=14.【答案】:D【解析】:关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，说明Δ>0，由此得出实数k的取值范围5.【答案】:D【解析】:∵关于x的一元二次方程x2+2(k−1)x+k2−1=0有实数根，∴Δ=b2−4ac=4(k−1)2−4(k2−1)=−8k+8⩾0，解得k⩽16.【答案】:B【解析】:∵关于x的一元二次方程x2−2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，∴Δ=4−4(kb+1)>0，解得kb<0.A项，k>0，b>0，即kb>0，故A不正确；B项，k>0，b<0，即kb<0，故B正确；C项，k<0，b<0，即kb>0，故C不正确；D项，k>0，b=0，即kb=0，故D不正确．故选 B.7(1)【答案】∵关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根，∴△=(2m+1)2−4×1×(m2−1)=4m+5>0，.解得m>−54【解析】:由方程有两个不相等的实数根即可得出△>0，进而求出m的取值范围.(2)【答案】令m=1，此时原方程为x2+3x=0，即x(x+3)=0，解得x1=0，x2=−3.【解析】:结合（1）结论，令m=1，将m=1代入原方程，利用因式分解法解方程.8.【答案】:B9.【答案】:D【解析】:∵一元二次方程有实数根，∴Δ=(−4)2−4ac=16−4ac≥0，且a≠0，∴ac≤4且a≠0. A项，若a>0，当a=1，c=5时，ac=5>4，故此选项错误；B 项，a=0不符合一元二次方程的定义，故此选项错误；C项，若c>0，当a=1，c=5时，ac=5>4，故此选项错误；D项，若c=0，则ac=0≤4，故此选项正确10.【答案】:B【解析】:∵(a−c)2=a2+c2−2ac>a2+c2，∴ac<0.在关于x的方程ax2+bx+c=0中，b2−4ac⩾−4ac>0，∴关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根11(1)【答案】证明：∵关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m(m+1)=0，∴Δ=(2m+1)2−4m(m+1)=1>0，∴方程总有两个不相等的实数根【解析】:要证明方程总有两个不相等的实数根，即证明Δ>0(2)【答案】∵x=0是此方程的一个根，∴把x=0代入方程中得到m(m+1)=0，∴m=0或m=−1.∵(2m−1)2+(3+m)(3−m)+7m−5=4m2−4m+1+9−m2+7m−5=3m2+3m+5.把m=0代入3m2+3m+5，得3m2+3m+5=5；把m=−1代入3m2+3m+5，得3m2+3m+5=3×1−3+5=5.【解析】:把x=0代入方程中求出m的值，然后化简代数式，再将m的值代入所求的代数式并求值12(1)【答案】证明：∵Δ=[−(2k+1)]2−4(k2+k)=1>0，∴该方程有两个不相等的实数根【解析】:先计算出Δ=1，然后根据判别式的意义得出结论(2)【答案】∵△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，由(1)知，AB≠AC，△ABC的第三边BC的长为5，且△ABC是等腰三角形，∴必然有AB=5或AC=5，即x=5是原方程的一个解．将x=5代入方程x2−(2k+1)x+k2+k=0，得25−5(2k+1)+k2+k=0，解得k=4或k=5.当k=4时，原方程为x2−9x+20=0，x1=5，x2=4，以5，5，4为边长能构成等腰三角形；当k=5时，原方程为x2−11x+30=0，x1=5，x2=6，以5，5，6为边长能构成等腰三角形．∴k的值为4或5【解析】:根据题意推导出x=5是原方程的一个解，将其代入原方程，解出k=4或k=5；然后分别验证当k=4或k=5时，求出的边长能否构成等腰三角形.13.【答案】:∵2☆a的值小于0，∴22·a+a=5a<0，解得a<0. ∵在方程2x2−bx+a=0中，Δ=(−b)2−8a≥−8a>0，∴方程2x2−bx+a=0有两个不相等的实数根。

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合(含答案)

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合(含答案)

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合1．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F﹐且∠BOD=∠BCD，连结BD、AC、CE.（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；（3）如果AF=1，sin∠FCA=√33，求EG的长.2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−23x 2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C(52,34).（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO=∠BAO时，求点P的坐标；（3）点N(n,0) (0<n<52)在x轴的正半轴上，点M(0,m)是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC=90°.①求m与n之间的函数关系式；②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？3．综合与探究如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，D(3,4)两点，直线AD与y 轴交于点Q．点P(m,n)是直线AD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，并且交直线AD于点E．（1）请直接写出抛物线与直线AD的函数关系表达式；（2）当CP//AD时，求出点P的坐标；（3）是否存在点P，∠CPE=∠QFE？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．4．如图，在梯形ABCD中，AD⊙BC，⊙B=90°，BC=6，AD=3，⊙DCB=30°．点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边⊙EFG，设E点移动距离为x（x＞0）．（1）⊙EFG的边长是（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在；（2）若⊙EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求y与x之间的函数关系式；（3）探究（2）中得到的函数y在x取何值时，存在最大值？并求出最大值．5．如图，抛物线y=−34x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴；（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；（3）若△BPN与△OPM面积相等，直接写出点M的坐标．6．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r(r＞1)，点P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：过圆心C的任意直线CP与⊙C交于点A，B，若满足|PA﹣PB|＝2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图点P为⊙C的一个“完美点”.（1）当⊙O的半径为2时，﹣12)⊙O的“完①点M( 32，0)⊙O的“完美点”，点(﹣√32美点”；(填“是”或者“不是”)②若⊙O的“完美点”P在直线y＝34x上，求PO的长及点P的坐标；（2）设圆心C的坐标为(s，t)，且在直线y＝﹣2x+1上，⊙C半径为r，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求t的取值范围.7．平面直角坐标系xOy中有点P和某一函数图象M，过点P作x轴的垂线，交图象M 于点Q ，设点P ，Q 的纵坐标分别为 y P ， y Q ．如果 y P >y Q ，那么称点P 为图象M 的上位点；如果 y P =y Q ，那么称点P 为图象M 的图上点；如果 y P <y Q ，那么称点P 为图象M 的下位点． （1）已知抛物线 y =x 2−2 .① 在点A (-1，0)，B (0，-2)，C (2，3)中，是抛物线的上位点的是 ；② 如果点D 是直线 y =x 的图上点，且为抛物线的上位点，求点D 的横坐标 x D 的取值范围；（2）将直线 y =x +3 在直线 y =3 下方的部分沿直线 y =3 翻折，直线 y =x +3 的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记作图象G ．⊙H 的圆心H 在x 轴上，半径为 1 ．如果在图象G 和⊙H 上分别存在点E 和点F ，使得线段EF 上同时存在图象G 的上位点，图上点和下位点，求圆心H 的横坐标 x H 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，点A 在⊙O 上，点P 在⊙O 内，给出如下定义：连接AP 并延长交⊙O 于点B ，若AP =kAB ，则称点P 是点A 关于⊙O 的k 倍特征点．（1）如图，点A 的坐标为(1，0)．①若点P 的坐标为(−12，0)，则点P 是点A 关于⊙O 的 ▲倍特征点；②在C 1(0，12)，C 2(12，0)，C 3(12，−12)这三个点中，点 ▲是点A 关于⊙O 的12倍特征点； ③直线l 经过点A ，与y 轴交于点D ，∠DAO =60°.点E 在直线l 上，且点E 是点A 关于⊙O 的12倍特征点，求点E 的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数y=−x+1(0<x<1)的图象上任意一点M，在⊙O上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．9．如图，已知抛物线y=x2+bx-3c经过点A(1,0)和点B(0,-3)，与x 轴交于另一点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是抛物线对称轴上的动点，是否存在这样的点P ，使以点A、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在⊙ABC中，⊙ACB =90°，AB=10，AC=8，CD是边AB的中线．动点P 从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线CD-DB向终点B运动．过点P作PQ⊙AC于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，使点C、N始终在PQ的异侧，且PN= 2．设矩形PQMN与⊙ACD重叠部分图形的面积是S，点P的运动时间为t(s)3PQ（t>0）．（1）当点P在边CD上时，用含t的代数式表示PQ的长．（2）当点N落在边AD上时，求t的值．（3）当点P在CD上时，求S与t之间的函数关系式．（4）连结DQ，当直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分时，直接写出t的值．11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y= √36x2﹣114x+3 √3与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作CD⊙x轴，且交抛物线于点D，连接AD，交y轴于点E，连接AC．（1）求S⊙ABD的值；（2）如图2，若点P是直线AD下方抛物线上一动点，过点P作PF⊙y轴交直线AD于点F，作PG⊙AC交直线AD于点G，当⊙PGF的周长最大时，在线段DE上取一点Q，当PQ+ 35QE的值最小时，求此时PQ+35QE的值；（3）如图3，M是BC的中点，以CM为斜边作直角⊙CMN，使CN⊙x轴，MN⊙y 轴，将⊙CMN沿射线CB平移，记平移后的三角形为⊙C′M′N′，当点N′落在x轴上即停止运动，将此时的⊙C′M′N′绕点C′逆时针旋转（旋转度数不超过180°），旋转过程中直线M′N′与直线CA交于点S，与y轴交于点T，与x轴交于点W，请问⊙CST是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的WN′的长度；若不能，请说明理由．12．在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2−32x−2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若⊙DPQ与⊙ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．13．如图，已知抛物线与x轴交于A(−1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x 轴于点F，交BC于点E，过点D作DM⊥BC，垂足为M．求线段DM的最大值；（3）已知P为抛物线对称轴上一动点，若△PBC是直角三角形，求出点P的坐标．14．如图，D是⊙ABC的BC边上一点，连接AD，作⊙ABD的外接圆，将⊙ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上.（1）求证：AE＝AB.（2）填空：①当⊙CAB＝90°，cos⊙ADB＝13，BE＝2时，边BC的长为.②当⊙BAE＝时，四边形AOED是菱形.15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连结AB，过点A作AC⊙AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连结BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连结AE并延长交x轴于点F，连结DF.（1）求线段AE的长；（2）若AB﹣BO＝2，求tan⊙AFC的值；（3）若⊙DEF与⊙AEB相似，求BEDE的值.16．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BG与⊙O相切于点B，交AC的延长线于点D（点D在线段BG上），AC = 8，tan⊙BDC = 4 3（1）求⊙O的直径；（2）当DG= 52时，过G作GE//AD，交BA的延长线于点E，说明EG与⊙O相切.答案解析部分1．【答案】（1）证明：如图，连结OC ，∵OE⊙BC ， ∴⊙OHB=90°， ∴⊙OBH+⊙BOD=90°， ∵OB=OC ， ∴⊙OBH=⊙OCB ， ∵⊙BOD=⊙BCD ， ∴⊙BCD+⊙OCB=90°， ∴OC⊙CD ，∵点C 为⊙O 上一点， ∴DF 为⊙O 的切线（2）证明：∵⊙OCD=90°， ∴⊙ECG+⊙OCE=90°， ∵OC=OE ， ∴⊙OCE=⊙OEC ， ∴⊙ECG+⊙OEC=90°， ∵⊙OEC+⊙HCE=90°， ∴⊙ECG=⊙HCE ， 在⊙CHE 和⊙CGE 中， {∠CHE ＝∠CGE ＝90°∠ECG ＝∠HCE CE ＝CE，∴⊙CHE⊙⊙CGE （AAS ） （3）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙ACB=90°， ∴⊙ABC+⊙BAC=90°， ∵DF 为⊙O 的切线， ∴⊙OCA+⊙FCA=90°， ∵OA=OC ， ∴⊙OAC=⊙OCA ， ∴⊙FCA=⊙ABC ，∴sin∠ABC =sin∠FCA =√33，设AC= √3a ，则AB=3a ，∴BC =√AB 2−AC 2=√(3a)2−(√3a)2=√6a ， ∵⊙FCA=⊙ABC ，⊙AFC=⊙CFB ， ∴⊙ACF⊙⊙CFB ，∴AF CF =CF BF =AC BC =1√2，∵AF=1， ∴CF= √2 ， ∴BF =(√2)21=2 ，∴BF-AF=AB=1，∴OC =12,BC =√63，∵OE⊙BC ，∴CH =12BC =√66，∴OH =√OC 2−CH 2=(12)2−(√66)2=√36，∴HE=OE-OH= 12−√36，∵⊙CHE⊙⊙CGE ，∴EG=HE= 12−√36.2．【答案】（1）解：∵直线 y =−12x +2 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，令x=0，则y=2，令y=0，则x=4， ∴A （4，0），B （0，2），∵抛物线 y =−23x 2+bx +c 经过B （0，2）， C(52,34) ，∴{2=c 34=−23×254+52b +c ，解得： {b =76c =2 ， ∴抛物线的表达式为： y =−23x 2+76x +2 ； （2）解：当点P 在x 轴上方时，点P 与点C 重合，满足 ∠PAO =∠BAO ， ∵C(52,34) ，∴P(52,34) ，当点P 在x 轴下方时，如图，AP 与y 轴交于点Q ，∵∠PAO =∠BAO ，∴B ，Q 关于x 轴对称，∴Q （0，-2），又A （4，0），设直线AQ 的表达式为y=px+q ，代入，{−2=q0=4p +q ，解得： {p =12q =−2 ，∴直线AQ 的表达式为： y =12x −2 ，联立得：{y =12x −2y =−23x 2+76x +2，解得：x=3或-2，∴点P 的坐标为（3， −12 ）或（-2，-3），综上，当 ∠PAO =∠BAO 时，点P 的坐标为： (52,34) 或（3，−12 ）或（-2，-3）； （3）解：①如图，⊙MNC=90°，过点C 作CD⊙x 轴于点D ，∴⊙MNO+⊙CND=90°，∵⊙OMN+⊙MNO=90°，∴⊙CND=⊙OMN,又⊙MON=⊙CDN=90°，∴⊙MNO⊙⊙NCD ，∴MO ND =NO CD ，即 m 52−n =n 34 ， 整理得： m =−43n 2+103n ； ②如图，∵⊙MNC=90°，以MC 为直径画圆E ，∵N(n,0) (0<n <52) ， ∴点N 在线段OD 上（不含O 和D ），即圆E 与线段OD 有两个交点（不含O 和D ）， ∵点M 在y 轴正半轴，当圆E 与线段OD 相切时，有NE= 12 MC ，即NE 2= 14MC 2， ∵M （0，m ）， C(52,34) ， ∴E （ 54， 38+m 2 ）， ∴(38+m 2)2 = 14[(52)2+(m −34)2] ， 解得：m= 2512， 当点M 与点O 重合时，如图，此时圆E 与线段OD （不含O 和D ）有一个交点，∴当0＜m ＜ 2512时，圆E 与线段OD 有两个交点， 故m 的取值范围是：0＜m ＜ 2512. 3．【答案】（1）解：∵抛物线 y =−x 2+bx +c 经过 A(−1,0) ， D(3,4) 两点，∴{−(−1)2+b ×(−1)+c =0−32+b ×3+c =4，解之得： {b =3c =4 ∴抛物线的函数关系表达式为 y =−x 2+3x +4 ，设直线 AD 的函数关系表达式为 y =kx +b ，∵直线 AD 经过 A(−1,0) ， D(3,4) 两点，∴{k ×(−1)+b =0k ×3+b =4，解之得： {k =1b =1 ∴直线 AD 的函数关系表达式为 y =x +1 ．（2）解：把 x =0 代入 y =−x 2+3x +4 ，得 y =4 ．∴点 C 坐标是（0，4），∵CP//AD∴k CP =k AD =1 ，设直线 CP 的函数关系表达式为 y =x +b ，∵将点 C （0，4），代入 y =x +b 得： b =4 ，∴直线 CP 的函数关系表达式为 y =x +4 ，∵直线 CP 与抛物线 y =−x 2+3x +4 相交于 P ，则有： x +4=−x 2+3x +4 ，解之得： x 1=0 ， x 2=2 ，把 x =2 代入 y =x +4 ，得 y =6 ，∴点P 的坐标是（2，6）．（3）解：存在点 P ，使得 ∠CPE =∠QFE ．过点 C 作 CG ⊥PF ，垂足为 G ．过点 Q 作 QH ⊥PF ，垂足为 H ．则四边形CGHQ为矩形．∴CG=QH，∠CGP=∠QHF=90°．∴当PG=HF时，△CGP≌△QHF，这时∠CPG=∠QFH，即∠CPE=∠QFE．设P(m,−m2+3m+4)，则PG=−m2+3m+4−4=−m2+3m．∵HF=QO=1．∴−m2+3m=1，解得m=3+√52或m=3−√52．4．【答案】（1）x；D（2）解：①当0＜x≤2时，⊙EFG在梯形ABCD内部，所以y= √34x2；②分两种情况：⊙．当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，⊙EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，∵⊙FNC=⊙FCN=30°，∴FN=FC=6﹣2x．∴GN=3x﹣6．∵在Rt⊙NMG中，⊙G=60°，GN=3x﹣6，∴GM= 12（3x﹣6），由勾股定理得：MN= √32（3x﹣6），∴S⊙GMN= 12×GM×MN= 12× 12（3x﹣6）× √32（3x﹣6）= √38（3x﹣6）2，所以，此时y= √34x2﹣√38（3x﹣6）2=﹣7√38x2+9√32x−9√32；⊙．当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，⊙EFG与梯形ABCD重叠部分为⊙ECP，∵EC=6﹣x，∴y= √38（6﹣x）2= √38x2﹣3√32x+ 9√32，⊙．当x＞6时，点E，F都在线段BC的延长线上，没公共部分，∴y=0（3）解：当0＜x≤2时，∵y= √34x2，在x＞0时，y随x增大而增大，∴x=2时，y最大= √3；当2＜x＜3时，∵y=﹣9√37x 2+9√32x−9√32在x= 187时，y最大= 9√37；当3≤x≤6时，∵y= √38x−3√32x+9√32，在x＜6时，y随x增大而减小，∴x=3时，y最大= 9√38．综上所述：当x= 187时，y最大=9√37．5．【答案】（1）解：∵抛物线y=−34x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，∴{−34×16+4 b+c=0c=3，解得{b=94c=3，∴抛物线y=−34x 2+94x+3=−34(x−32)2+7516；∴抛物线的对称轴为直线x=32（2）解：设直线A(4，0)，B(0，3)的解析式为y=ax+d，∴{4a+d=0d=3，解得{a=−34 d=3，∴直线AB的表达式为：y=−34x+3；∵点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴PN//y轴，即PN//OB，且点N在点P上方，若以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，则只需要PN=OB，∴−34m2+94m+3−(−34m+3)=3，解得m=2；即当m=2时，以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形．（3）解：M（1，0）6．【答案】（1）不是；是；解：如图1，根据题意，|PA−PB|＝2，∴|OP+2−(2−OP)|＝2，∴OP＝1. 若点P在第一象限内，作PQ⊙x轴于点Q，∵点P在直线y＝34x上，OP＝1，∴OQ=45,PQ=3 5 .∴P( 45,35). 若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(﹣45，﹣35). 综上所述，PO的长为1，点P的坐标为( 45,35)或（−45,−35）).（2）解：对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA﹣PB|＝2，∴|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2.∴CP＝1.∴对于任意的点P，满足CP＝1，都有|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2，∴|PA﹣PB|＝2，故此时点P为⊙C的“完美点”.因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆.设直线y＝﹣2x+1与y轴交于点D，如图2，当⊙C 移动到与y 轴相切且切点在点D 的上方时，t 的值最大.设切点为E ，连接CE ，∵⊙C 的圆心在直线y ＝﹣2x+1上，∴此直线和y 轴，x 轴的交点D(0，1)，F( 12，0)， ∴OF ＝ 12，OD ＝1， ∵CE⊙OF ，∴⊙DOF⊙⊙DEC ，∴OD DE =OF CE， ∴1DE =12， ∴DE ＝2，∴OE ＝3，t 的最大值为3，当⊙C 移动到与y 轴相切且切点在点D 的下方时，t 的值最小.同理可得t 的最小值为﹣1.综上所述，t 的取值范围为﹣1≤t≤3.7．【答案】（1）解：① A ，C ②∵点D 是直线 y =x 的图上点，∴点D 在 y =x 上. 又∵点D 是 y =x 2−2 的上位点， ∴点D 在 y =x 与y =x 2−2 的交点R ，S 之间运动. ∵{y =x 2−2,y =x.∴{x 1=−1,y 1=−1. {x 2=2,y 2=2.∴点R( −1 ， −1 )，S( 2 ， 2 ). ∴−1<x D <2 .（2）解：如图，当圆与两条直线的反向延长线相切时，为临界点，临界点的两边都满足要求.将y=x+3沿直线y=3翻折后的直线的解析式为y=−x+3当y=x+3=0时，x=−3，∴A(-3,0),OA=3当x=0时，y=x+3=3∴C(0,3),OC=3∴OA=OC∵∠AOC=90°∴∠CAO=45°∴AH1=rsin45°=1√22=√2∵A(-3,0)∴x H1=−3+√2同理可得x H2=3−√2∴线段EF上同时存在图象G的上位点，图上点和下位点，圆心H的横坐标x H的取值范围为x H>3−√2或x H<−3+√2.8．【答案】（1）解：①34②C3③如图所示，设直线AD交圆O于B，连接OE，过点E作EF⊙x轴于F，∵点E 是点A 关于⊙O 的12倍的特征点， ∴AE AB =12， ∴E 是AB 的中点，∴OE⊙AB ，∵⊙EAO=60°，∴⊙EOA=30°，∴AE =12OA =12，EF =12OE ， ∴OE =√OA 2−AE 2=√32， ∴EF =√34， ∴OF =√OE 2−EF 2=34， ∴点E 的坐标为（34，√34）； （2）k 的最小值为2−√24，k 有最大值为2+√249．【答案】（1）解：把A （1，0），B （0，-3）代入 y=x 2+bx-3c ，得 {1+b −3c =0−3c =−3解得 {b =2c =1∴抛物线的解析式为y=x 2+2x-3；（2）解：对于y=x 2+2x-3，∵x =−b 2a=−1 ，A(1，0)∴C 点坐标为（-3,0），AC=4，Q点的横坐标为-1.如图所示：若以点A、C、P、Q 为顶点的平行四边形以AC为边，则PQ=AC=4.①当P点的横坐标为x1=-1-4=-5时，y1=x2+2x−3=25−10−3=12，即P1(-5,12）②当P点的横坐标为x2=-1+4=3时，y2=x2+2x−3=9+6−3=12，即P2(3,12）；若以点A、C、P、Q为顶点的平行四边形以AC为对角线，则设P3的横坐标为x3，则有x3−12=−3+12，解得x3=-1，y3=x2+2x−3=1−2−3=−4，即P3(-1，-4)。

人教版九年级上册数学二次函数和一元二次方程的关系练习题(含答案)

人教版九年级上册数学二次函数和一元二次方程的关系练习题(含答案)

二次函数与一元二次方程的关系知识点回顾一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标，就是令y =0，求20ax bx c ++=中x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴的交点的个数，它们的关系如下表：要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由ac b 42-=∆的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，042>-=∆ac b ，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时042=-=∆ac b 方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时，042<-=∆ac b ，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴交点和二次函数与一次函数1y kx b =+(0)k ≠的交点问题．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴的交点是(0，c )．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与一次函数1y kx b =+(k ≠0)的交点个数由方程组12,y kx b y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时⇔两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时⇔两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时⇔两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 要点诠释：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 课后作业 ●基础训练1.已知二次函数y=ax 2-5x+c 的图象如图所示,请根据图象回答下列问题: (1)a=_______,c=______.(2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标P__________. (3)该函数有最______值,当x=______时,y 最值=________.(4)当x_____时,y 随x 的增大而减小.当x_____时,y 随x 的增大而增大.(5)抛物线与x 轴交点坐标A_______,B________;与y 轴交点C 的坐标为_______;ABC S ∆=_________,ABP S ∆=________.(6)当y>0时,x 的取值范围是_________;当y<0时,x 的取值范围是_________. (7)方程ax 2-5x+c=0中△的符号为________.方程ax 2-5x+c=0的两根分别为_____,____. (8)当x=6时,y______0;当x=-2时,y______0. 2.已知下表:(1)求a 、b 、c 的值，并在表内空格处填入正确的数； (2)请你根据上面的结果判断:①是否存在实数x,使二次三项式ax 2+bx+c 的值为0?若存在,求出这个实数值;若不存在,请说明理由.②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图,由图象确定,当x取什么实数时,ax2+ bx+c>0?3.请画出适当的函数图象,求方程x2=12x+3的解.4.若二次函数y=-12x2+bx+c的图象与x轴相交于A(-5,0),B(-1,0).(1)求这个二次函数的关系式;(2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与x轴只有一个交点,那么应该怎样平移?向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位?5.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系.(1)请你以汽车刹车时的车速V为自变量,刹车距离s为函数, 在图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象;(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么?(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数关系式;(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.●能力提升6.如图所示,矩形ABCD的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB在x 轴上,点C 在直线y=x-2上.(1)求矩形各顶点坐标;(2)若直线y=x-2与y轴交于点E,抛物线过E、A、B三点,求抛物线的关系式;(3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部,并说明理由.7.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x=5 3 .(1)求这条抛物线的关系式.CBA x ODyE(2)证明:这条抛物线与x 轴的两个交点中,必存在点C,使得对x 轴上任意点D 都有AC+BC≤AD+BD.8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m 处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5m 时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面距离为3.05m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;(2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m 处出手.问:球出手时,他跳离地面多高?9.某工厂生产A 产品x 吨所需费用为P 元,而卖出x 吨这种产品的售价为每吨Q 元, 已知P=110x 2+5x+1000,Q=-30x+45. 3.05m4m2.5mxOy(1)该厂生产并售出x 吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式;(2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元? 这时每吨的价格又是多少元?10.已知抛物线y=2x 2-kx -1与x 轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k 的取值范围.11.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB 所在直线为x 轴,以斜边AB 上的高所在直线为y 轴,建立直角坐标系,若OA 2+OB 2= 17, 且线段OA 、OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx+2(m -3)=0的两个根. (1)求C 点的坐标;(2)以斜边AB 为直径作圆与y 轴交于另一点E,求过A 、B 、E 三点的抛物线的关系式,并画出此抛物线的草图.(3)在抛物线上是否存在点P ,使△ABP 与△ABC 全等?若存在,求出符合条件的P 点的坐标;若不存在,说明理由.C BAxOy●综合探究12.已知抛物线L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的顶点P的坐标是24,24b ac ba a⎛⎫-- ⎪⎝⎭,与y轴的交点是M(0,c)我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.(1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式:伴随抛物线的关系式_________________伴随直线的关系式___________________(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3, 则这条抛物线的关系是___________:(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;(4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点x2>x1>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件.答案：1.(1)a=1;c=4 (2)直线x=52,59,24⎛⎫-⎪⎝⎭(3)小;52;94-(4)55;22≤≥(5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; 278; (6)x<1或x>4;1<x<4 (7)正号;x1=1;x2=4 (8)>;>2.(1)由表知,当x=0时,ax 2+bx+c=3;当x=1时,ax 2=1;当x=2时,ax 2+bx+c=3.∴31423c a a b c =⎧⎪=⎨⎪++=⎩,∴123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩, ∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入0,4,2. (2)①在x 2-2x+3=0中,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0, ∴不存在实数x 能使ax 2+bx+c=0.②函数y=x 2-2x+3的图象示意图如答图所示, 观察图象得出,无论x 取什么实数总有ax 2+bx+c>0.3.:在同一坐标系中如答图所示, 画出函数y=x 2的图象,画出函数y=12x+3 的图象, 这两个图象的交点为A,B,交点A,B 的横坐标32-和2就是方程x 2=12x+3的解. 4.:(1)∵y=12-x 2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得∴()221(5)5021(1)(1)02b c b c ⎧⎛⎫-⨯-+⨯-+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-+⨯-+= ⎪⎪⎝⎭⎩,352a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,∴y=215322x x ---.632BAxyO(2)∵y=215322x x ---=21(3)22x -++ ∴顶点坐标为(-3,2),∴欲使函数的图象与x 轴只有一个交点,应向下平移2个单位. 5.:(1)函数的图象如答图所示.(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数. (3)设所求函数关系式为:s=av 2+bv+c,把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av 2+bv+c,得222484822.5646436969672a b c a b c a b c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得35123160a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.∴23351216s v v =+ (4)当v=80时,223333808052.55121651216v v +=⨯+⨯= ∵s=52.5, ∴23351216s v v =+ 当v=112时,22333311211294.55121651216v v +=⨯+⨯= ∵s=94.5,∴23351216s v v =+ 经检验,所得结论是正确的. 6.:(1)如答图所示.∵y=x -2,AD=BC=2,设C 点坐标为(m,2), 把C(m,2)代入y=x -2,2=m -2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1, ∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2).(2)∵y=x -2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2).设经过E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为y=ax 2+bx+c,∴201640c a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得12522a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩∴y=215222x x -+-. (3)抛物线顶点在矩形ABCD 内部.∵y=215222x x -+-, ∴顶点为59,28⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵5142<<, ∴顶点59,28⎛⎫⎪⎝⎭在矩形ABCD 内部. 7.(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax 2+bx+c, ∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x=53. ∴31646523c a b c b a ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-=⎩, 解得981543a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴y=2915384x x -+. (2)证明:令y=0,得2915384x x -+=0, ∴ 124,23x x ==∵A(0,3),取A点关于x轴的对称点E,∴E(0,-3).设直线BE的关系式为y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,∴k=94,∴y=94x-3 .由94x-3=0,得x=43.故C为4,03⎛⎫⎪⎝⎭,C点与抛物线在x轴上的一个交点重合,在x轴上任取一点D,在△BED中,BE< BD+DE.又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,∴AC+BC<AD+BD.若D与C重合,则AC+BC=AD+BD. ∴AC+BC≤AD+BD. 8:(1)图中各点字母表示如答图所示.∵OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5.∴点D坐标为(1.5,3.05).∵抛物线顶点坐标(0,3.5),∴设所求抛物线的关系式为y=ax2+3.5,把D(1.5, 3.05)代入上式,得3.05=a×1.52+3.5,∴a=-0.2,∴y=-0.2x2+3.5(2)∵OA=2.5,∴设C点坐标为(2.5,m),∴把C(2.5,m)代入y=-0.2x2+3.5,得m=- 0.2×2.52+3.5=2.25.∴该运动员跳离地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).3.05m4m2.5m xOyBDA9:(1)∵P=110x 2+5x+1000,Q=-30x+45. ∴W=Qx -P=(-30x+45)-(110x 2+5x+1000)= 224010015x x -+-.(2)∵W=224010015x x -+-=-215(x -150)2+2000. ∵-215<0,∴W 有最大值. 当x=150吨时,利润最多,最大利润2000元. 当x=150吨,Q=-30x+45=40(元). 10:∵y=2x 2-kx -1,∴△=(-k)2-4×2×(-1)=k 2+8>0,∴无论k 为何实数, 抛物线y=2x 2-kx -1与x 轴恒有两个交点. 设y=2x 2-kx -1与x 轴两交点的横坐标分别为x 1,x 2,且规定x 1<2,x 2> 2, ∴x 1-2<0,x 2-2>0.∴(x 1-2)(x 2-2)<0,∴x 1x 2-2(x 1+x 2)+4<0.∵x 1,x 2亦是方程2x 2-kx -1=0的两个根,∴x 1+x 2=2k ,x 1·x 2=-12,∴124022k --⨯+<,∴k>72. ∴k 的取值范围为k>72. 法二:∵抛物线y=2x 2-kx -1与x 轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2,∴此函数的图象大致位置如答图所示. 由图象知:当x=2时,y<0. 即y=2×22-2k -1<0,∴k>72.∴k 的取值范围为k>72.11:(1)线段OA,OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx+2(m -3)=0 的两个根,∴(1)2(3)(2)OA OB m OA OB m +=⎧⎨=-⎩L g L又∵OA 2+OB 2=17,∴(OA+OB)2-2·OA ·OB=17.③把①,②代入③,得m 2-4(m -3) =17,∴m 2-4m -5=0.解之,得m=-1或m=5. 又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.∴当m=5时,得方程:x 2-5x+4=0,解之,得x=1或x=4. ∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CO ⊥AB, ∴OC 2=OA ·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2) (2)∵OA=1,OB=4,C,E 两点关于x 轴对称, ∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).设经过A,B,E 三点的抛物线的关系式为y=ax 2+bx+c,则016402a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩ ,解之,得12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴所求抛物线关系式为y=213222x x --. (3)存在.∵点E 是抛物线与圆的交点. ∴Rt △ACB ≌Rt △AEB,∴E(0,-2)符合条件. ∵圆心的坐标(32,0 )在抛物线的对称轴上. ∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.∴点E 关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意. ∴可求得E′(3,-2).∴抛物线上存在点P 符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2) 12.(1)y=-2x 2+1,y=-2x+1. (2)y=x 2-2x -3(3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c), ∴设它的解析式为y=m(x -0)2+c(m≠0).∴设抛物线过P 24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, ∴22442ac b b m c a a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭g 解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=-ax 2+c. 设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0).∵P 24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在此直线上,∴2442ac b b k c a a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭g , ∴k=2b . ∴伴随直线关系式为y=2bx+c (4)∵抛物线L 与x 轴有两交点,∴△1=b 2-4ac>0,∴b 2<4ac.∵x 2>x 1>0,∴x 1+ x 2= -b a >0,x 1x 2=ca>0,∴ab<0,ac>0.对于伴随抛物线y=-ax 2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax 2+c=0,得x=∴,C D ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭,∴又AB=x2-x1=.由AB=CD,得整理得b2=8ac,综合b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8ac,得a,b,c满足的条件为b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).。

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第27章 证明全章标准检测卷(100分 90分钟)一、选择题:(每题2分,共22分)1.如图1所示,AB∥CD,EG⊥AB,若∠1=58°,则∠E 的度数等于( ) A.122° B.58° C.32° D.29°C A B1EDFG CA BE D F③②①CA BOD(1) (2) (3) (4) 2.如图2所示,DE∥BC,EF∥AB,图中与∠BFE 互补的角共有( ) A.3个 B.2个 C.5个 D.4个3.在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则a:b:c=( ) A.1:2:3 B.1:2: C.1:4.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是( ) A.30° B.60°; C.30°或150° D.不能确定5.如图3所示,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块, 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那最省事的办法是( )A.带①去B.带②去;C.带③去D.带①和②去6.等腰三角形周长是32cm,一边长为10cm,则其他两边的长分别为( )A.10cm,12cm;B.11cm,11cm;C.11cm,11cm 或10cm,12cmD.不能确定 7.若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长,那么它的最小内角为( ) A.10° B.20° C.30° D.60°8.如图4所示,在等腰梯形ABCD 中,AD∥BC,AC,BD 相交于点O, 则图中全等三角形共有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对9.矩形ABCD 中,E 在AD 上,AE=ED,F 在BC 上,若EF 把矩形ABCD 的面积分为1:2,则BF:FC=( )(BF<FC)A.1:3B.1:4C.1:5D.2:910.梯形的一腰长为10cm,这腰和底边所成的角为300,中位线长12cm, 则此梯形的面积为( )A.30cm 2B.40cm 2C.50cm 2D.60cm 211.已知四边形ABCD 中,AC⊥BD,E、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点, 则四边形EFGH 是( )A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形 二、填空题:(每题2分,共26分)12.如图所示,直线AB 、CD 被直线EF 所截,若∠1=∠2,则∠AEF+∠CFE=____ 度. 13.若等腰三角形的两边长分别为3和4,则其周长为_________. 14.等腰三角形一个内角为80°,则其他两角是_________. 15.已知三角形的三个内角的度数比为2:3:4, 则这个三角形三个内角的度数为________. C A B21E DF16.三角形两边的长分别为5和7,则最短边长的取值范围是_________.17.三角形的一个外角是100°,则与它不相邻的两内角平分线夹角(钝角) 是______度. 18.如果△ABC≌△A′B′C′,AB=24, '''A B C S ∆=180,那么△ABC 中AB 边上的高是____. 19.等腰三角形一腰上的中线分三角形的周长为6cm 和15cm 的两部分, 则它的腰长是________,底边长为________.20.若平行四边形的周长是100cm,且一组邻边的差是30cm, 则较短的边长是___cm;若平行四边形的周长为56cm,两条邻边的比是4:3,则较长边是_____cm.21.已知菱形的一条对角线的长为12cm,面积是30cm 2,则这个菱形的另一条对角线的长为________cm.22.命题“如果一个四边形的四边都相等,那么这个四边形是菱形”的逆命题是_________________________________________________.23.如图所示,梯形ABCD 中,AD∥BC,AC、BD 交于O 点, AOD S ∆：COB S ∆ 1:9,则DOC S ∆: BOC S ∆=___________.24.等腰梯形的中位线长为8cm,腰长为6cm,则梯形的周长是________. 三、解答题:(每题7分,共42分)25.已知一个多边形的内角和等于1080°,求这个多边形的边形.26.如图所示,△ABD、△ACE 都是等边三角形,求证:CD=BE.CABE D27.已知:如图所示,ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,EF 经过点O 并且分别和AB 、CD 相交于点E 、F 、G 、H 分别为OA 、OC 的中点.求证:四边形EHFG 是平行四边形.CABEODF G HCA BOD28.已知:如图所示,在梯形ABCD 中,AD∥BC,对角线AC 和BD 相交于点E,且AC= AB,BD=BC,BA⊥AC 于点C,求证:CD=CE.CABED29.如图所示,在△ABC 中,AB=AC,D 是AB 上任意一点,且BD=CE,连结DE 交BC 于F. 求证:FD=FE.C ABED F30.如图所示,以△ABC 的三边为边,分别作三个等边三角形. (1)求证四边形ADEF 是平行四边形.(2)△ABC 满足什么条件时,四边形ADEF 是菱形?是矩形? (3)这样的ADEF 是否总是存在?CABEDF四、学科间综合题:(10分)31.如图所示是一个半径为R,重为G 的均匀圆柱体,现在其边缘上作用一拉力,使它能滚上高为h 的台阶,则拉力应作用于哪一点?沿哪个方向才能最省力?最小拉力为多大?答案:一、1.C 2.D 3.C 4.C 5.C 6.C 7.C 8.C 9.C 10.D 11.B二、12.180° 13.10或11 14.80°,20°或50°,50° 15.40°,60°,80 ° 16.大于2且小于或等于5 17.130° 18.15 19.10cm,1cm 20.10,16 21.5 22.如果一个四边形是菱形,那么它的四条边都相等. 23.1:3 24.28cm 三、25.解:设这个多边形是n 边形,由题意知,(n-2)×180°=1080°,∴n=8, 故该多边形的边数为8.26.证明:∵△ABD,△ACE 都是等边三角形,∴AC=AE,AD=AB,∵∠EAC=∠DAB=60°,∠EAC+∠BAC=∠DAB+∠BAC, 即∠EAB=∠CAD. 在△EAB 和△CAD 中,AE=AC,∠EAB=∠CAD,AB=AD, ∴△EAB≌△CAD. ∴BE=CD.27.证明:如答图所示,∵点O 为ABCD 对角线AC,BD 的交点,∴OA=OC,OB=OD.∵G,H 分别为OA,OC 的中点,∴OG=12OA,OH=12OC, ∴OG=OH. 又∵AB∥CD,∴∠1=∠2.在△OEB 和△OFD 中,∠1=∠2,OB=OD,∠3=∠4, ∴△OEB≌△OFD, ∴OE=OF.∴四边形EHFG 为平行四边形.CAB4321EODFG H28.证明:如答图所示,作AN⊥BC 于N,DM⊥BC 于M, ∵AB=AC,∴AN 为BC 的中线, 又∵∠BAC=90°,∴AN=12BC.∵AN⊥BC,DM⊥BC,AD∥BC, ∴四边形ANMD 为矩形.∴AN=DM.∴DM=12BC. ∵BC=BD,∴DM=12BD.又∵∠DMB=90°, ∴∠DBC=30°,∴∠BDC=∠BCD=75°. ∵AB=AC,∠BAC=90°, ∴∠ACB=45°.∴∠DEC=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°. ∴∠EDC=∠DEC=75°, ∴CD=CE.CABEM DN29.证明:如答图所示,过D 作DH∥AC 交BC 于H, 则∠ACB=∠DHB,DH∥CE. ∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB, ∴∠B=∠DHB, ∴DB=DH.∵BD=CE,∴DH=CE. ∵DH∥CE,∴△HDF∽△CEF.∴1FD DHFE EC ==, 即FD=FE.C ABED FH30.证明:如答图所示,(1)∵△ABD,△BCE,△ACF 都是等边三角形,∴AB=BD=AD, ∠ABD=∠EBC=∠BCE=∠ACF=60°, BC=BE=CE,AC=AF=FC. ∵∠ABD=∠EBC=60°,∴∠ABD -∠ABE=∠EBC -∠ABE.∴∠DBE=∠ABC, ∴△DBE≌△ABC, ∴DE=AC.∵AC=AF,∴DE=AF.同理可得,△EFC≌△BAC,得EF=AB, ∴EF=AD,∴四边形ADEF 是平行四边形.(2)解:当AB=AC 时 ,四边形ADEF 是菱形,理由如下:∵AB=AD,AF=AC, 又AB=AC,∴AD=AF.又∵四边形ADEF 为平行四边形,∴ADEF 是菱形.当∠BAC=150°时, 四边形ADEF 是矩形. 理由如下:∵∠BAD=∠CAF=60°,∠BAC=150°,∠BAD+∠CAF+∠BAC+∠DAF= 360°, ∠DAF=90°.又∵四边形ADEF 是平行四边形, ∴四边形ADEF 是矩形.(3)当∠BAC=60°时,不存在这样的ADEF.理由如下: ∵当∠BAC=60°时,有∠DAF=60°+60°+60°=180°,即D,A,F 三点在同一直线上时,不存在这样的ADEF.CABEDF四、31.解:如答图所示,使圆柱体滚上台阶,拉力最小时,力臂应最长,即为圆柱体的直径AB=2R,方向垂直于过A 点的直径斜向上,那么重力的力臂为AC, 由AC === ,再由杠杆平衡条件,得F ·2R=G ·AC,答:拉力应作用在垂直于地A 点的直径斜向上,最小拉力为B。

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