2020版高考一轮复习：第14章 第1节 机械振动

第1节机械振动

知识点一| 简谐运动的特征(对应学生用书第201页)

1．简谐运动

(1)定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。

(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。

(3)回复力

①定义：使物体返回到平衡位置的力。

②方向：总是指向平衡位置。

③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。

2．简谐运动的两种模型

(1)简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。(×)

(2)做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。

(3)做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小。(√)

简谐运动的“五个特征”

1．动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。

2．运动学特征：简谐运动的加速度的大小与物体偏离平衡位置的位移的大小成正比，而方向相反，

为变加速运动，远离平衡位置时，x 、F 、a 、E p 均增大，v 、E k 均减小，靠近平衡位置时则相反。

3．运动的周期性特征：相隔T 或nT 的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同。 4．对称性特征 (1)相隔T

2

或

2n ＋1

2

T(n 为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。

(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O 对称的两点P 、P′(OP＝OP′)时，速

度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。

(3)振子由P 到O 所用时间等于由O 到P′所用时间，即t PO ＝t OP′。 (4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等，即t OP ＝t PO 。

5．能量特征：振动的能量包括动能E k 和势能E p ，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。

[典例] (多选)如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O 点为中心点，在C 、D 两点之间做周期为T 的简谐运动。已知在t 1时刻物块的

速度大小为v 、方向向下，动能为E k 。下列说法正确的是( )

值小于T 2

A ．如果在t 2时刻物块的速度大小也为v ，方向向下，则t 2－t 1的最小

B ．如果在t 2时刻物块的动能也为E k ，则t 2－t 1的最小值为T

C ．当物块通过O 点时，其加速度最小

D ．物块运动至C 点时，其加速度最小

AC [如果在t 2时刻物块的速度大小也为v 、方向也向下，则t 2－t 1的最小值小于T

2，选项A 正确；如

果在t 2时刻物块的动能也为E k ，则t 2－t 1的最小值小于T

2，选项B 错误；物块通过O 点时，其加速度最小，

速度最大，选项C 正确；物块运动至C 点时，其加速度最大，速度为零，选项D 错误。]

考法1 简谐运动的特点

1．(多选)振动的单摆当摆球通过平衡位置时，关于摆球受到的回复力、合力及加速度的说法中正确的是( )

A．回复力为零

B．合力不为零，方向指向悬点

C．合力不为零，方向沿轨迹的切线

D．回复力为零，合力也为零

AB[单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力和向心加速度，方向指向悬点(即指向圆心)，故选A、B。] 2．(2019·南昌模拟)关于水平放置的弹簧振子所做的简谐运动，下列说法错误的是( )

A．位移的方向是由振子所在处指向平衡位置

B．加速度的方向总是由振子所在处指向平衡位置

C．经过半个周期振子经过的路程一定是振幅的2倍

D．若两时刻相差半个周期，弹簧在这两个时刻的形变量一定相等

A[位移的方向始终是由平衡位置指向振子所在处，选项A错误；加速度的方向始终是由振子所在处指向平衡位置，选项B正确；经过半个周期，振子经过的路程是振幅的2倍，若两时刻相差半个周期，两时刻弹簧的形变量一定相等，选项C、D正确。]

考法2 简谐运动的对称性、周期性

3．(多选)(2019·鞍山模拟)弹簧振子做简谐运动，O 为平衡位置，当它经过点O 时开始计时，经过0.3 s ，第一次到达点M ，再经过0.2 s 第二次到达点M ，则弹簧振子的周期不可能为( )

A ．0.53 s

B ．1.4 s

C ．1.6 s

D ．2 s

BD [如图甲所示，设O 为平衡位置，OB(OC)代表振幅，振子从O→C 所需时间为T

4。因为简谐运动具

有对称性，所以振子从M→C 所用时间和从C→M 所用时间相等，故T 4＝0.3 s ＋0.2

2 s ＝0.4 s ，解得T ＝1.6

s ；如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B 运动，设点M′与点M 关于点O 对称，则振子从点M′经过点B 到点M′所用的时间与振子从点M 经过点C 到点M 所需时间相等，即0.2 s 。振子从点O 到点M′、从点M′到点O 及从点O 到点M 所需时间相等，为0.3 s －0.2 s 3＝130 s ，故周期为T ＝0.5 s ＋1

30 s≈0.53

s ，所以周期不可能为选项B 、D 。]

甲 乙

考法3 简谐运动的能量

4．如图所示，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a 、b 两个小物块粘在一起组成的。物块在光滑水平面上左右振动，振幅为A 0，周期为T 0。当物块向右通过平衡位置时，a 、b 之间的粘胶脱开，以后小物

块a 振动的

振幅和周期分别为A 和T ，则A________(选填“＞”“＜”或“＝”)A 0，T________(选填“＞”“＜”或“＝”)T 0。

解析：当物块向右通过平衡位置时，脱离前： 振子的动能E k1＝12(m a ＋m b )v 2

脱离后振子的动能E k2＝12

m a v 2

由机械能守恒可知，平衡位置处的动能等于最大位移处的弹性势能，因此脱离后振子振幅变小；由于弹簧振子的质量减小，根据a ＝－kx

m 可知，在同一个位置物块a 的加速度变大，即速度变化更快，故脱离

后周期变小。

答案：＜ ＜

知识点二| 简谐运动的规律和图象

(对应学生用书第202页)

1．简谐运动的表达式

(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。

(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf，表示简谐运动的快慢，ωt＋φ代表运动的相位，φ代表初相位。

2．简谐运动的图象

(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图象如图甲所示。

甲乙

(2)从最大位置开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图象如图乙所示。

[判断正误]

(1)公式x＝Asin ωt说明是从平衡位置开始计时。(√)

(2)简谐运动的图象描述的是振动质点的轨迹。(×)

(3)根据简谐运动的图象可以判断质点在某一时刻的位移大小、振动方向。

(√)

1．(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝Asin π

4t ，则关于该质点，下列说法

正确的是( )

A ．振动的周期为8 s

B ．第1 s 末与第3 s 末的位移相同

C ．第1 s 末与第3 s 末的速度相同

D ．第3 s 末至第5 s 末各时刻的位移方向都相同 AB [由关系式可知ω＝π4rad/s ，T ＝2π

ω＝8 s ，A 对；

将t ＝1 s 和t ＝3 s 代入关系式中求得两时刻位移相同，B 对；可以作出质点的振动图象，得第1 s 末和第3 s 末的速度方向不同，C 错；得第3 s 末质点

的位移方向与第5 s 末质点的位移方向相反，D 错。]

2．(多选)(2019·南通模拟)一列简谐横波沿着x 轴正方向传播，波中A 、B 两质点在平衡位置间的距离为0.5 m ，且小于一个波长，如图甲所示，A 、B 两质点振动图象如图乙所示。由此可知( )

甲 乙

A ．波中质点在一个周期内通过的路程为8 cm

B ．该机械波的波长为4 m

C ．该机械波的波速为0.5 m/s

D ．t ＝1.5 s 时，A 、B 两质点的位移相同

AC [根据A 、B 两质点的振动图象可知该波的周期为4 s ，振幅为2 cm ，波中质点在一个周期内通过的路程为4个振幅，为4×2 cm＝8 cm ，选项A 正确；根据A 、B 两质点的振动图象可画出A 、B 两点之间的波形图，A 、B 两点之间的距离为14波长，即1

4λ＝0.5 m ，该波的波长为λ＝2 m ，选项B 错误；该机械

波的传播速度为v ＝λ

T ＝0.5 m/s ，选项C 正确；在t ＝1.5 s 时，A 质点的位移为负值，B 质点的位移为正

值，两质点位移一定不同，选项D 错误。]

[考法指导] 由简谐运动的图象中获得的信息 1振幅A 、周期T 。

2某一时刻质点离开平衡位置的位移。

3某一时刻质点的回复力、加速度和速度的方向。

①回复力和加速度的方向：因为回复力总是指向平衡位置，所以回复力和加速度在图象上总是指向t 轴。

②速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移若增大，质点的速度方向就是远离t 轴；下一时刻位移若减小，质点的速度方向就是指向t 轴。

4某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。

(对应学生用书第203页)

1．受迫振动

(1)概念：振动系统在周期性驱动力作用下的振动。

(2)特点：受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关。

2．共振

(1)现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大。

(2)条件：驱动力的频率等于固有频率。

(3)特征：共振时振幅最大。

(4)共振曲线(如图所示)。

[判断正误]

(1)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。(√)

(2)物体受迫振动的频率与驱动力的频率无关。(×)

(3)共振是受迫振动的一个特例。(√)

1．(多选)关于受迫振动和共振，下列说法正确的是( )

A．火车过桥时限制速度是为了防止火车发生共振

B．若驱动力的频率为5 Hz，则受迫振动稳定后的振动频率一定为5 Hz

C．当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大

D．受迫振动系统的机械能守恒

BC[火车过桥时限制速度是为了防止桥发生共振，选项A错误；对于一个受迫振动系统，若驱动力的频率为5 Hz，则振动系统稳定后的振动频率也一定为5 Hz，选项B正确；由共振的定义可知，选项C 正确；受迫振动系统，驱动力做功，系统的机械能不守恒，选项D错误。]

[考法指导]受迫振动和共振的两点总结

1无论发生共振与否，受迫振动的频率都等于驱动力的频率，但只有发生共振现象时振幅才能达到最大。

2受迫振动系统中的能量转化不再只有系统内部动能和势能的转化，还有驱动力对系统做正功补偿系统因克服阻力而损失的机械能。

固驱动力频率/Hz 30 40 50 60 70 80

受迫振动振幅/cm 10.2 16.8 27.2 28.1 16.5 8.3 固固

C．50 Hz＜f固≤60 Hz D．以上三个都不对

C[从如图所示的共振曲线可判断出f驱与f固相差越大，受迫振动的振幅越小；f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大。并可以从中看出f驱越接近f固，振幅的变化越慢。比较各组数据知f驱在50～60 Hz范围内时，振幅变化最小，因此50 Hz＜f固≤60 Hz，即C正确。]

[考法指导]共振曲线的意义

(对应学生用书第203页)

1．实验原理

单摆在偏角很小(小于5°)时的摆动，可看成简谐运动，其固有周期T ＝2πl g ，可得g ＝4π2

l T

2，通过实验方法测出摆长l 和周期T ，即可计算得到当地的重力加速度。

2．实验步骤 (1)组成单摆

实验器材有：带有铁夹的铁架台，中心有孔的小钢球，约1_m 长的细线。在细线的一端打一个比小钢球的孔径稍大些的结，将细线穿过小钢球上的小孔，制成一个单摆；将单摆固定在带铁夹的铁架台上，使小钢球自由下垂。

(2)测摆长

实验器材有：毫米刻度尺和游标卡尺。让摆球处于自由下垂状态时，用刻度尺量出悬线长l 线，用游标卡尺测出摆球的直径(2r)，则摆长为l ＝l 线＋r 。

(3)测周期

实验仪器有：秒表。把摆球拉离平衡位置一个小角度(小于5°)，使单摆在竖直面内摆动，测量其完成全振动30次(或50次)所用的时间，求出完成一次全振动所用的平均时间，即为周期T 。

(4)求重力加速度

将l 和T 代入g ＝4π2

l

T ，求g 的值；变更摆长3次，重新测量每次的摆长和周期，再取重力加速度的

平均值，即得本地的重力加速度。

3．数据处理

(1)平均值法：用g ＝g 1＋g 2＋g 3＋g 4＋g 5＋g 6

6

求出重力加速度。

(2)图象法：由单摆的周期公式T ＝2π

l g 可得l ＝g 4π

2T 2，因此以摆长l 为纵轴，以T 2

为横轴作出的l-T 2图象是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k ，即可求出g 值。g ＝4π2

k ，k ＝l T 2＝Δl ΔT

2。

[判断正误]

(1)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。 (×) (2)对单摆模型，细线的质量及伸缩均不计。 (√)

(3)单摆摆球的重力提供回复力。

(×)

1．用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示。

(1)组装单摆时，应在下列器材中选用________(选填选项前的字母)。

A ．长度为1 m 左右的细线

B ．长度为30 cm 左右的细线

C ．直径为1.8 cm 的塑料球

D ．直径为1.8 cm 的铁球

(2)测出悬点O 到小球球心的距离(摆长)l 及单摆完成n 次全振动所用的时间t ，则重力加速度g ＝________(用l 、n 、t 表示)。

(3)下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理。

组 次 1 2 3 摆长l/cm 80.00 90.00 100.00 50次全振动时间t/s

90.0 95.5 100.5 振动周期T/s 1.80 1.91 重力加速度g/(m·s －2

)

9.74

9.73

(4)用多组实验数据作出T 2

-l 图象，也可以求出重力加速度g 。已知三位同学作出的T 2

-l 图线的示意图如图中的a 、b 、c 所示，其中a 和b 平行，b 和c 都过原点，图线b 对应的g 值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b ，下列分析正确的是________(选填选项前的字母)。

A ．出现图线a 的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长l

B ．出现图线c 的原因可能是误将49次全振动记为50次

C ．图线c 对应的g 值小于图线b 对应的g 值

解析：(1)单摆模型需要满足的两个基本条件是：摆线长远大于小球的直径

和小球的密度越大越好。所以应选A 、D 。

(2)由T ＝t

n

，T ＝2π

l g 得g ＝4π2n 2

l t

2。 (3)T ＝t n ＝100.5

50

s ＝2.01 s

g ＝4π2n 2

l t 2＝4×3.142

×502

×1100.5

2

m/s 2≈9.76 m/s 2

。 (4)b 图线为正确图线，a 图线与b 图线相比，测量的周期相同时，摆长短，说明测量摆长偏小，A 错误；c 图线与b 图线相比，测量摆长相同时，周期偏小，可能出现的原因是多记了全振动次数，所以B 正确；由T ＝2π

l g 得T 2

＝4π2

g

l ，图线斜率小，说明g 偏大，故C 错误。 答案：(1)AD (2)4π2n 2

l

t 2

(3)2.01 9.76 (4)B 2．某同学利用单摆测量重力加速度。

(1)为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是________(选填选项前的字母)。 A ．组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球

B ．组装单摆须选用轻且不易伸长的细线

C ．实验时须使摆球在同一竖直面内摆动

D ．摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大

(2)如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1 m 的单摆。实验时，由于仅有量程为20 cm 、精度为1 mm 的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T 1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T 2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离

Δl。用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g ＝________。

解析：(1)应选用密度较大且直径较小的摆球，A 错。在摆动中要尽力保证摆长不变，故应选用不易伸长的细线，B 对。摆动中要避免单摆成为圆锥摆，摆球要在同一竖直面内摆动，C 对。摆动中摆角要控制在5°以内，所以D 错。

(2)设两次摆动时单摆的摆长分别为l 1和l 2，则T 1＝2πl 1

g ，T 2＝2πl 2g ，则Δl＝g 4π

2(T 21－T 2

2)，因此，

g ＝4π2

Δl

T 21－T 22

。

答案：(1)BC (2)4π2

Δl

T 21－T 22