线性代数——矩阵的运算ppt课件

b32t2 ) b32t2 )
即
y1 y2
(a11b11 (a21b11
a12b21 a22b21
a13b31 )t1 a23b31 )t1
(a11b12 (a21b12
a12b22 a22b22
a13b32 )t2 a23b32 )t2
令
A
=
a11 a21
a12 a22
a13
a13b31 a23b31
a11b12 a12b22 a13b32
a21b12
a22b22
a23b32
矩阵C是由矩阵A与B按照某种运算得到的，
这就是下面要给出的矩阵乘法。
１、定义
设 A aij 是一个m s 矩阵，B bij 是一个
s n 矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积
A+ AB + BA+ B = A+ B
上页 下页 返回 14
即AB + BA = O 用A分别左乘，右乘上式，得 A2B+ ABA= AB + ABA = O
ABA BA2 ABA BA O
所以有 AB = ABA BA 注：事实上AB = BA = O
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a23
b11
B
=
b21
b31
b12
b22
b32
C
a11b11
a21b11
a12b21 a22b21
a13b31 a23b31
a11b12 a12b22 a13b32
a21b12
a22b22
a23b32
上页 下页 返回 7
C
a11b11
a21b11
a12b21 a22b21
第二节 矩阵的计算
一、 矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、 矩阵转置 五、方阵的行列式 六、 共轭矩阵 七、矩阵的应用
上页 下页 返回 1
一、矩阵的加法
１、定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那么矩阵
A 与 B 的和记作A B，规定为
a11 b11
1、定义
数与矩阵A的乘积记作 A或A,规定为
上页 下页 返回 4
a11 a12
A
A
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a21
a22
am1 am1
2、数乘矩阵的运算规律
a1n
a2n
.
amn
（设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A;
2 A A A; 3 A B A B.
上页 下页 返回 5
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵 的线性运算.
2 17 10
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注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘.
２、矩阵乘法的运算规律
1 ABC ABC ; 2 AB C AB AC, B C A BA CA;
3 AB AB AB （其中 为数）;
注意 矩阵乘积一般不满足交换律
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
上页 下页 返回 2
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
例如
12 3 5 1 8 9
1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1
三、矩阵与矩阵相乘
设变量t1, t2到变量x1, x2 , x3的线性变换为
I
x1 x2
= =
b11t1 b21t1
+ +
b12t2 b22t2
x3 = b31t1 + b32t2
变量x1, x2, x3到变量y1, y2的线性变换为：
y1 y2
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4.
3 3 6 2 8 1 6 8 9
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矩阵与的差规定为 记为
2、矩阵加法的运算规律
1 A B B A; 2 A B C A B C .
二、数与矩阵相乘
例 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
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则
AB 0 0
0 , 0
BA 2 2
2 , 2
故 AB BA.
方阵的幂
设A是n阶方阵，定义：A1 A，A2 A1A1，
Ak1 Ak A1，其中k为正整数。 注意：Ak Al = Ak+l，(Ak )l = Akl，
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
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解
A
aij
,
34
B bij 43,
C
cij
.
33
故
1
C AB 1
0
0 1 5
1 3 1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
5 6 7
10 2 6.
是一个m n 矩阵 C cij ，其中
s
cij ai b1 1 j ai b2 2 j a bis sj aikbkj k 1 上页 下页 返回 8
并把此乘积记作 C AB .
例１
C 2 1
4 2 222 3
4
622
16 8
?
32 16
22
例2 设
1 A 1
a13 x3 a23 x3
上页 下页 返回 6
那么变量t1,t2到变量y1, y2的线性变换为：
(Ш)
y1 y2
a11 (b11t1 a21 (b11t1
b12t2 ) b12t2 )
a12 (b21t1 a22 (b21t1
b22t2 ) b22t2 )
a13 (b31t1 a23 (b31t1
但(AB)k = Ak Bk不一定成立。
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例3
设矩阵A
1 0
1 1
，求An
解：A2
1 0
11
1
0
1 1
1 0
2
1
A3
A2 A
1 0
21
1
0
1 1
1 0
3
1
1 0
n 11
1
0
1 1
1 0
n
1
A4
A3 A
1
0
31
1
0
1 1
1 0
4
1
利用数学归纳法可以证明，An
=
1
0
n
1
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例4 设A, B都是n阶方阵，且满足A2 = A， B2 = B及(A+B)2 = A+ B. 证明：AB = BA
证明 由已知A2 =A，B2 =B，有 ( A B)2 A2 AB BA B2 A AB BA B 而已知(A+B)2 = A+ B，所以