复变函数与积分变换-第二章-解析函数(上)
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利用该定理可以判断那些函数是不可导的 .
使用时: 1) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， 2) 验证C-R条件. 3) 求导数：
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成 的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim 如果极限 存在，则称函数 z 0 z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数，
f ( z0 z ) f ( z0 ) dw lim 记作 f ( z0 ) dz z z0 z 0 z
(1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。
例如 (1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数； (2) w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析 函数； 定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数， 则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时) 均是D内的解析函数。
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
u v x y u v y x
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联 系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求 出导数来.
练习 : 判定下列函数在何处可导, 在何处解析 : 1)w z; 2)w z 2 Re( z ); 3) f ( z ) 2 x 3 3 y 2i
解 1)w x iy, 故u x , v y,由此算出 u u v v 1, 0, 0, 1 x y x y u v 所以在全平面 x y
u v 2 x ay dx 2 y x y 又 ax 2by 2cx dy u v x y
练习 : 判定下列函数在何处可导, 在何处解析 : 1)w z 2 z; 2)w z 2 Re( z ); 3) f ( z ) 2 x 3 3 y 2i
(1)w z ; (2) f ( z ) e (cos y i sin y )；(3) w z
x 2
例2 若f ( z ) 0 , z D f ( z ) C , z D 例3 证明 : f ( z ) Re z在平面上处处连续处处
不可导.
2 2 2 2 例6 设 f ( z ) x axy by i ( cx dxy y ),问常 4 数a , b, c , d 取何值时f ( z )在复平面处处解析 ? 解 u x 2 axy by 2 , v cx 2 dxy y 2 处处可微, 且 u u 2 x ay, ax 2by x y v v 2cx dy, dx 2 y x y 要使f ( z )在复平面处处解析 , 就必须处处满足 C R方程.
一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。
定义
方程
u v x y
v u x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
设函数w f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )在点 z x iy可导, 则
若沿平行于实轴的方式z z z(y 0)
3. 判定解析函数的方法
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义 域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。 问题:如何判断函数的解析性？
Baidu Nhomakorabea
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求
函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的
f ( z z ) f ( z ) u v f ( z ) lim i z 0 z x x
若沿平行于虚轴的方式 z z z(x 0)
u f ( z z ) f ( z ) 1 u v v f ( z ) lim i z 0 z i y y y y
由以上讨论 P ( z ) a0 a1 z an z n是 整 个 复 平 面 上 的 解 函 析数 ； P( z) R( z ) 是复平面上 (除 分 母 为 0点 外)的 解 析 函 数 . Q( z )
定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。
即C R方程不满足,因此w z在全平面处处不可导 , 从而也处处不解析 . 2)w z Re( z ) ( x iy ) x x 2 ixy, 故u x 2 , v xy,
它们在全平面处处可微 ,由此算出 u u v v 2 x , 0, y , x , x y x y
f ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) , ( g ( z ) 0) g( z ) 2 g (z)
由以上讨论 P ( z ) a0 a1 z a n z n在 整 个 复 平 面 上 处 处 导 可； P(z) R( z ) 在 复 平 面 上 （ 除 分 母0 为 点外）处 Q( z ) 处可导 .
第二章 解析函数
第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 解析函数与调和函数 第四节 初等函数
第一部分 解析函数
1. 复变函数的导数与微分
2. 解析函数的概念
3. 判定解析函数的方法
1 复变函数的导数与微分
(1)导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
(3)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广 ① 常数的导数 c=(a+ib)=0.
② (zn)=nzn-1 (n是自然数). ③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
[f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
④复合函数的导数 ( f [g(z)]) =f (w)g(z)， 其中w=g(z)。
1 ⑤ 反函数的导数 f ' ( z ) ，其中: w=f (z) '(w)
与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。
例2 解
1 已 知 f ( z ) ( z 5z ) ， 求f ' ( z ) z 1 1 2 f ( z ) 2( z 5 z )(2 z 5) ( z 1)2
如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导。
例1 求 f ( z ) z n 的导数。
(2) 微分 设函数w f ( z )在z点邻域内有定义，如果 w Az o( z ), 其中A与z无关，则称w f ( z )在z点可微，Az称 w f ( z )在z点的微分，记为dw,即dw Az .
z 0
2. w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处可微.
2. 解析函数的概念
定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z)在z0解析； 如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。 如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。
2 2
(4)可微、可导、连续关系 1.若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续.
证明 : 若f ( z )在z0可导, 则
f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim , z 0 z 从而 f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim [ f ( z0 z ) f ( z0 )] lim z z 0 z 0 z 0, 即 lim f ( z0 z ) f ( z0 ), 所以f ( z )在z0连续.
使用时: 1) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， 2) 验证C-R条件. 3) 求导数：
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成 的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim 如果极限 存在，则称函数 z 0 z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数，
f ( z0 z ) f ( z0 ) dw lim 记作 f ( z0 ) dz z z0 z 0 z
(1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。
例如 (1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数； (2) w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析 函数； 定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数， 则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时) 均是D内的解析函数。
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
u v x y u v y x
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联 系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求 出导数来.
练习 : 判定下列函数在何处可导, 在何处解析 : 1)w z; 2)w z 2 Re( z ); 3) f ( z ) 2 x 3 3 y 2i
解 1)w x iy, 故u x , v y,由此算出 u u v v 1, 0, 0, 1 x y x y u v 所以在全平面 x y
u v 2 x ay dx 2 y x y 又 ax 2by 2cx dy u v x y
练习 : 判定下列函数在何处可导, 在何处解析 : 1)w z 2 z; 2)w z 2 Re( z ); 3) f ( z ) 2 x 3 3 y 2i
(1)w z ; (2) f ( z ) e (cos y i sin y )；(3) w z
x 2
例2 若f ( z ) 0 , z D f ( z ) C , z D 例3 证明 : f ( z ) Re z在平面上处处连续处处
不可导.
2 2 2 2 例6 设 f ( z ) x axy by i ( cx dxy y ),问常 4 数a , b, c , d 取何值时f ( z )在复平面处处解析 ? 解 u x 2 axy by 2 , v cx 2 dxy y 2 处处可微, 且 u u 2 x ay, ax 2by x y v v 2cx dy, dx 2 y x y 要使f ( z )在复平面处处解析 , 就必须处处满足 C R方程.
一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。
定义
方程
u v x y
v u x y
称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).
设函数w f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )在点 z x iy可导, 则
若沿平行于实轴的方式z z z(y 0)
3. 判定解析函数的方法
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义 域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。 问题:如何判断函数的解析性？
Baidu Nhomakorabea
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求
函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的
f ( z z ) f ( z ) u v f ( z ) lim i z 0 z x x
若沿平行于虚轴的方式 z z z(x 0)
u f ( z z ) f ( z ) 1 u v v f ( z ) lim i z 0 z i y y y y
由以上讨论 P ( z ) a0 a1 z an z n是 整 个 复 平 面 上 的 解 函 析数 ； P( z) R( z ) 是复平面上 (除 分 母 为 0点 外)的 解 析 函 数 . Q( z )
定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。
即C R方程不满足,因此w z在全平面处处不可导 , 从而也处处不解析 . 2)w z Re( z ) ( x iy ) x x 2 ixy, 故u x 2 , v xy,
它们在全平面处处可微 ,由此算出 u u v v 2 x , 0, y , x , x y x y
f ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) , ( g ( z ) 0) g( z ) 2 g (z)
由以上讨论 P ( z ) a0 a1 z a n z n在 整 个 复 平 面 上 处 处 导 可； P(z) R( z ) 在 复 平 面 上 （ 除 分 母0 为 点外）处 Q( z ) 处可导 .
第二章 解析函数
第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 解析函数与调和函数 第四节 初等函数
第一部分 解析函数
1. 复变函数的导数与微分
2. 解析函数的概念
3. 判定解析函数的方法
1 复变函数的导数与微分
(1)导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
(3)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广 ① 常数的导数 c=(a+ib)=0.
② (zn)=nzn-1 (n是自然数). ③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
[f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
④复合函数的导数 ( f [g(z)]) =f (w)g(z)， 其中w=g(z)。
1 ⑤ 反函数的导数 f ' ( z ) ，其中: w=f (z) '(w)
与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。
例2 解
1 已 知 f ( z ) ( z 5z ) ， 求f ' ( z ) z 1 1 2 f ( z ) 2( z 5 z )(2 z 5) ( z 1)2
如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导。
例1 求 f ( z ) z n 的导数。
(2) 微分 设函数w f ( z )在z点邻域内有定义，如果 w Az o( z ), 其中A与z无关，则称w f ( z )在z点可微，Az称 w f ( z )在z点的微分，记为dw,即dw Az .
z 0
2. w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处可微.
2. 解析函数的概念
定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z)在z0解析； 如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。 如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。
2 2
(4)可微、可导、连续关系 1.若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续.
证明 : 若f ( z )在z0可导, 则
f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) lim , z 0 z 从而 f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim [ f ( z0 z ) f ( z0 )] lim z z 0 z 0 z 0, 即 lim f ( z0 z ) f ( z0 ), 所以f ( z )在z0连续.