若干图的Mycielski图的点可区别均匀边色数
路的广义Mycielski图的全染色
自然 数 ， Ｉ ） 为 Ｃ的第 一类 广 义 Ｍｙｉｌ ｉ ， （称 Ｇ ｃｅｓ ［ ｋ］
（ ） ｍ ｔ ， ，０ Ｉ１ ２… ， ； ； Ｇ） ，位 … ｖ ： １ ， … ＝ ， ｐ） ￣ １
， ， ，叩 ， … ｔ｝ ，
１ ） 意 的边 ∈ （） 对任 ＥＧ Ａｕ＃ ｖ ） Ａｕ）
删） Ｍ， ） ；
） ，
） ；
目 Ｇ＝ ） １ ０ ＥＧ ， ） Ｇ ｕ ｉ （） ｌ ｝ 秽 ∈ １ ｋ ， ０ １２ … ，－ ｝ ≤ ， ≤ｐ ｉ ， ， ， ｎ ｌ。 ＝ 定义 ４ 对于简单 图 Ｇ ， （） ， 是 （， ｔ ｃｌ ， ｖ ｌ 自然数， Ｇ称为 Ｇ的第二类广义 Ｍ ｃ ｌ ｉ ， ％（） ｙｉ ｓ ［ ｅ ｋ］
是 有 限简 单图 。
其中 Ｖ ∥Ｉ∈ ， ） ＶＧ ＵＶ ＝ ｖ ｝ ＝ ｎ（（） 。 ）
定义
如 果
对 于简 单图 ｃｖ 毋 ， （ Ｉｐ， 是 （， Ｉ ＿ ， ｖ － ｌ
１ 定 义 及 引 理
定 义 １＿ 设 ｃｖ， 【 ｔ 司 （ 目是简 单 图 ， ｋ是 自然数 ， ，是 从 ｖ（） （） ｛，， ，ｋ 的 映射 ，如 果 ｃ ＵＥ Ｇ 到 ｌ２ … ｌ
摘 要： Ｇ是一个 图， 是从 ｖｃ ｕ （） 设 ， （） ＥＧ 到集合 ｃ的一个映射 ， 如果，满足相邻点染 色 不 同 ， 邻 边 染 色不 同， 意 一 个点 与其 关联 的边 染 色不 同 ， 相 任 则称 ，是 图 Ｇ的全 染 色。针 对 此
概 念研 究 了路 的广 义 Ｍｙｉｓｉ ｃ ｌ 图的全 染 色。 ｅｋ
ａ ｙｔｏａｊｃｎ ｅ ｃ ｒ ｄ ｅ，ｎ ｉｅ ｔ ｅｅ ｎ ｄ ｅ ｏｎ ｔ ｙ ｏ ｅｃｌｒ ｇ Ｆ ｒ ｅｃｎ ｅ ｔ ｔｅ ｎ ｗ ｄａ ｅ ｔ ￣ ｅｏ ｇｓ ｉｃｄ ｎ ｔ ａ ｄｅ ｇ ｄ ｏ ｅｓｍ ｏｏ ｎ ． ｏ ｏｃ ｐ， ｈ ｖ ｅ ｖ ｘ ｄ ｉ ｈ ｔ
图的D(2)-点可区别一般边染色
２ ０ １ ３ ， ２ ８ （ ２ ） ： ２ １ １ — ２ ２ １
图的Ｄ（ ２ ） 一 点可区别一般边染色
陈祥 恩木 ， 赵飞虎， 胡志涛， 李泽鹏， 姚
（ 西北师范大学 数 学与统计 学院， 甘肃兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
兵
摘
要 ： 引入 了 图的Ｄ（ ） 一 点 可 区别 一般 边 染 色， 并对 ＝ ２ 的情形 做 了讨论， 得 到
引理 １ ． １ 【 】 对阶 数 至 少 为３ 的 路Ｐ， 有） （ ２ （ Ｐ）＝ ３ ；且 对 阶数 等 于３ 的 圈ｃ（ ｋ 为正 整 数） ， 有） ／ ２ （ Ｃ）＝ ３ ；对 阶 数ｎ 不 被３ 整 除 且 不等 于５ 的 圈 ，有ｘ ２ （ Ｃ ￣ ）＝ ４ ；对 阶 数 等 于５ 的 圈 ，
§ １ 引言及 准备 工作
图的染 色 问题具有重 要的理论意义及 实际意义， 研究 图的染 色 问题 就是确定各类 图的各种 染色色数 的具体值或上下 界． 本文主 要讨论 了图的Ｄ（ ２ ） 一 点可区别一般边染色， 仅考虑简单无 向
有 限 图ห้องสมุดไป่ตู้
所谓 图Ｇ的一个ｋ 一 一般边 染色（ 或使用 了 种颜 色的一般 边染色） － 厂 是指 种颜 色１ ， ２ ， … ， 关 于Ｇ的全体边 的一个分配（ 注意分配给相邻边的颜色可 以相 同） ． Ｖ ∈ （ Ｇ） ， 用Ｓ ｆ （ Ｘ ） （ 或不致 引起
混淆 时， 记为Ｓ （ ） ） 表示在 ， 下与Ｘ 关 联的边 的颜色 作成的集合（ 非多重集） ， 称之 为在， 下点Ｘ 的色
集合． 对 ， Ｙ∈ （ Ｇ） ， 若ｓ （ ｘ ） ≠ｓ （ ） ， 则称 与Ｙ 可 区别 ． 以下用ｄ （ ｕ ， ） 表示图Ｇ中任意两 点 ， 之
P 2n的Mycielski图的邻强边色数和邻点可区别全色数
广西科 学 Ｇｕ ｎ ｘ Ｓ ｉ ｃｓ Ｏ ８ １ （ ） ４ ａ ｇ ｉ ｃ ｎｅ Ｏ ， ５ １ ：～６ ｅ ２
的 Ｍｙｉ ｓｉ 的邻 强 边 色 数 和 邻 点 可 区别 全 色数 ｃ ｌｋ 图 ｅ
Ａ ｊｃｎ ｔｏ ｇ Ｅ ｇ ｏ ｌ ｎ ａ ｊｃｎ－ｅｔｘ ｄａ ｅ ｔ Ｓｒ ｎ ｄ ｅ Ｃ ｌｒｙ ａ ｄ Ａ ｄａ ｅ ｔｖ ｒｅ 。 ｏ 。 Ｉ
ｔ ｔ １ ｈ ｏ ｔｃ ｎ ｍ ｂ ｒ Ｍ ｙ ｉｌｋｉｇ ａ ｈ ｏ ａ ｒ ｍａ ｉ ｕ ｃ ｅ． ｃｅｓ ｒ ｐ
图 的 染 色 是 图 论 研 究 的 主 要 内 容 之 一 ， 色 的 一 染
／ 为 Ｇ 的 ｋ 正 常 边 染 色 ， 为 ｋＰ ～ 记 － ＥＣ．
个 基本 问题就 是确定 相应 的色数 ． 图的强边染 色产 生
中 图法 分 类 号 ： ７ ５ ０１ ． ５ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ： ０ ５ ９ ６ （ ０ ８ Ｏ 一０ ４ ０ １ ０ — １ ４ ２ ０ ） ｌ０ ０ — ３
Ａｂ ｔａ ｔ Ａ ｅ ｇ ａ ｈ ｏ 尸： ｓｄ ｆ ｅ ｔ ｅａ ｊｃ ｎ ｔｏ ｇ ｅ ｇ ｈ ｏ ｔ ｕ ｅ ｎ ｄ ａｅ ｔ ｓｒ ｃ ： ｎ ｗ ｒｐ ｆ ｗａ ｅ ｉ ｄ，ｈ ｄａ ｅ ｔｓｒ ｎ ｄ ｅｃ ｒ ｍａ ｉ ｎ ｍｂ ｒａ ｄ ａ ｊｃ ｎ ｎ ｃ ｖ ｒｅ ｉｔ ｇ ｉ ｉｇ ｔｔｌ ｈ ｏ ｔ ｕ ｅ ， ｎ ｏ ｓｒ ｃ ｈ ｏｏ ｉｇ ｍｅｈ ｄ ｏ ｄａ ｅ ｔｖ ｒｅ ｅｔｘ ｄｓｉ ｕｓ ｎ ｏａ ｒ ｍａｉ ｎ ｍｂ ｒ ａ ｄ ｃ ｎ ｔｕ ｔｔ ｅｃ ｌｒｎ ｔ ｏ ｆａ ｊｃ ｎ ｅ ｔｘ ｎ ｈ ｃ ｃ ｄｓｉｇ ｉ ｉｇｔ ｔｌ ｏｏ ｉｇ ｏ ｈ ｒｐ ｆＭ ｙ ｉｌ ｉ ｆｇ ａ ｈＰ： ｌｏｂ ｏ ｆ ｍｅ ｅ ≥ ３ ｉｔ ｕｓ ｎ ｏａ ｌｒｎ ｆｔ ｅｇ ａ ｈ ｏ ｃ ｓ ｒｐ ａｓ ｅｃ ｎｉ ｄ ｗｈ ｎ ｎ ｈ ｃ ｅｋ ｏ ｒ ．
冠图Cm．S。和Cm．P。的邻点可区别I-全色数
第38卷 第2期西南师范大学学报(自然科学版)2013年2月V o l .38 N o .2 J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )F e b .2013文章编号:10005471(2013)02002504冠图C m ㊃S n 和C m ㊃P n 的邻点可区别I 全色数①田京京陕西理工学院数学系,陕西汉中723000摘要:根据冠图C m ㊃S n 和C m ㊃P n 的结构性质,用穷染递推的方法,讨论了C m ㊃S n 和C m ㊃P n 的邻点可区别I 全染色,得到了相应的色数,并给出了具体的染色方案.关 键 词:图;星;路;冠图;邻点可区别I 全染色;邻点可区别I 全色数中图分类号:O 157.5文献标志码:A图的染色问题是图论研究的主要内容之一.它有着很重要的实际应用背景,无论是电信通讯站点的频率分配问题,还是人力资源配置问题都与图染色有着重要的联系.目前,图的染色理论被广泛应用于计算机网络结构区分,计算机和银行安全密码问题等方面.而图的染色的基本问题就是确定其各种染色法的色数[1-11].为了解决网络权的分配问题,文献[1-2]提出了点可区别边染色(也称为强边染色).文献[3]提出了图的邻强边染色(邻点可区别边染色),并得到了圈㊁完全图等某些特殊图类的邻强边色数(即邻边可区别边色数).文献[4]提出了邻点可区别全染色,引起了国内外学者的关注,得到了一些结果(参见文献[6-7,11]).文献[8]提出了图的邻点可区别I 全染色.本文根据冠图C m ㊃S n 和C m ㊃P n 的结构性质,讨论了C m ㊃S n 和C m ㊃P n 的邻点可区别I 全染色,得到了相应的色数,并给出了具体的染色方案.定义1[8] 若对简单连通图G (V ,E ),存在正整数k 和映射f :V (G )ɣE (G ң){1,2, ,k },使得(1)∀u v ɪE (G ),u ʂv ,有f (u )ʂf (v );(2)∀u v ,u w ɪE (G ),v ʂw ,有f (u v )ʂf (u w );(3)∀u v ɪE (G ),有C (u )ʂC (v ).则称f 是图G 的邻点可区别I 全染色,而称χia t (G )=m i n {k |G 存在一个使用k 种颜色的邻点可区别I 全染色}为G 的邻点可区别I 全色数(简记为k -A V D I T 染色),其中色集合C (u )为C (u )={f (u )}ɣ{f (u v )|u v ɪE (G )} 引理1[8]对简单连通图G (V ,E ),用Δ表示图的最大度.若∀u v ɪE (G ),有d (u )=d (v )=Δ,则有χia t (G )ȡΔ+1.定义2 S n 表示阶为n +1的星,用C m ㊃S n 表示m 个S n 的星心连成的圈,称为m 个S n (星)的心联图,或称为圈和星的冠图.设m 个S n 的星心为{v i 0|i =1,2, ,m },其余点为{v i j |i =1,2, ,m ;j =1,2, ,n },则V (C m ㊃S n )={v i 0|i =1,2, ,m }ɣ{v i j |i =1,2, ,m ;j =1,2, ,n }①收稿日期:20110603基金项目:陕西省教育厅自然科学基金资助项目(11J K 0508).作者简介:田京京(1979),女,陕西汉中人,讲师,主要从事图论及其应用的研究.Copyright ©博看网. All Rights Reserved.E (C m ㊃S n )={v i 0v i j |i =1,2, ,m ;j =1,2, ,n }ɣ{v i 0v (i +1)0|i =1,2, ,m -1}ɣ{v m 0v 10}.定义3 若图G (V ,E )满足V (C m ㊃P n )={v i j |i =1,2, ,m ;j =0,1,2, ,n -1}E (C m ㊃P n )={v i j v i (j+1)|i =1,2, ,m ;j =0,1,2, ,n -2}ɣ{v i 0v (i +1)0|i =1,2, ,m -1}ɣ{v m 0v 10}则称C m ㊃P n 为圈和路的冠图.本文给出C m ㊃S n 和C m ㊃P n 的邻点可区别I 全色数.文中未加说明的术语㊁记号可参见文献[12].定理1 当m ȡ3,n ȡ2时,有x ia t (C m ㊃S n )=n +3.证 分3种情况考虑:情况1 当m =3时,我们只需给出C m ㊃S n 的一个n +3AV D I T 染色,为此令f 为:f (v 10)=1 f (v 20)=2 f (v 30)=3f (v 10v 20)=2 f (v 20v 30)=3 f (v 30v 10)=1f (v 10v 1j )=f (v 1j )=j +3 j =1,2, ,n f (v 20v 2j )=f (v 2j )=j +3 j =1,2, ,n f (v 30v 3j )=f (v 3j )=j +3 j =1,2, ,n 则C (v i j )={j +3|j =1,2, ,n }(i =1,2,3),且C (v i 0)={1,2,j +3} i =1{2,3,j +3} i =2{1,3,j +3} i =ìîíïïïï3故f 是C m ㊃S n 的一个n +3A V D I T 染色.情况2 当m ȡ4,m ʉ0(m o d 2)时,由引理1知,为证结论成立只需给出C m ㊃S n 的一个n +3A V D I T 染色,为此令f 为:f (v i 0)=2 i ʉ0(m o d 2)1 i ʉ1(m o d 2{) i =1,2, ,mf (v i j )=f (v i 0v i j )=j +3(i =1,2, ,m ;j =1,2, ,n );对边v 10v 20,v 20v 30, ,v m 0v 10用颜色2,3循环去染.则C (v i j )={j +3|j =1,2, ,n }(i =1,2, ,m ),且C (v i 0)={2,3,j +3} i ʉ0(m o d 2){1,2,3,j +3} i ʉ1(m o d 2{) i =1,2, ,m故f 是C m ㊃S n 的一个n +3AV D I T 染色.情况3 当m ȡ5,m ʉ1(m o d 2)时,只需给出C m ㊃S n 的一个n +3AV D I T 染色,为此令f 为:先对点v 10,v 20 ,v m 0用颜色1,2循环染;对边v 10v 20,v 20v 30, ,v m 0v 10用颜色2,3循环去染;然后将点v m 0所染颜色改为n +3,边v m 0v 10所染颜色改为1,f (v 1j )=f (v 10v 1j )=j +2 j =1,2, ,n f (v i j )=f (v i 0v i j )=j +3 i =2, ,m ;j =1,2, ,n 则C (v i 0)={2,3,j +3} i ʉ0(m o d2){1,2,3,j +3} i ʉ1(m o d2{) i =2,3, ,m -1;j =1,2, ,n C (v 10)={1,2,j +2,n +3} C (v m 0)={1,3,j +3} j =1,2, ,n 故f 是C m ㊃S n 的一个n +3AV D I T 染色.综上所述,定理1成立.定理2 当m ȡ3,n ȡ2时,有x ia t (C m ㊃P n )=4.证 分3种情况考虑:82西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第38卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.情况1 当m =3时,只需给出C m ㊃P n 的一个4A V D I T 染色,为此令f 为:f (v 10)=1 f (v 20)=2 f (v 30)=3f (v 10v 20)=4 f (v 20v 30)=3 f (v 30v 10)=1 对点v i 1,v i 2, ,v i (n -1)(i =1,3)用颜色2,1循环染;对点v 21,v 22, ,v 2(n -1)用颜色1,2循环染;对边v 10v 11,v 11v 12, ,v 1(n -2)v 1(n -1)用颜色2,3循环去染;对边v 20v 21,v 21v 22, ,v 2(n -2)v 2(n -1)用颜色1,3循环去染;对边v 31v 32, ,v 3(n -2)v 3(n -1)用颜色1,3循环去染;对边v 30v 31用颜色4去染.显然f 是C m ㊃P n 的一个4A V D I T 染色.情况2 当m ȡ4,m ʉ0(m o d 2)时,只需给出C m ㊃S n 的一个4AV D I T 染色,为此令f 为:f (v i 0)=2 i ʉ0(m o d 2)1 i ʉ1(m o d 2{) i =1,2, ,m对边v 10v 20,v 20v 30, ,v m 0v 10用颜色2,3循环去染;对点v i 1,v i 2, ,v i (n -1)(i ʉ1(m o d 2))用颜色2,1循环染;对点v i 1,v i 2, ,v i (n -1)(i ʉ0(m o d 2))用颜色1,2循环染;对边v i 0v i 1,v i 1v i 2, ,v i (n -2)v i (n -1)(i ʉ1(m o d 2))用颜色1,3循环去染;对边v i 1v i 2,v i 2v i 3, ,v i (n -2)v i (n -1)(i ʉ0(m o d 2))用颜色3,1循环去染;对边v i 0v i 1(i ʉ0(m o d 2))用颜色4去染.则C (v i 0)={2,3,4} i ʉ0(m o d 2){1,2,3} i ʉ1(m o d 2{) i =1,2, ,mC (v i 1)={1,3,4} i =0(m o d 2)C (v i j )={1,2,3} j ʉ0(m o d 2){1,3} j ʉ1(m o d2{) i ʉ0(m o d 2);j =2,3, ,n -2C (v i j )={1,3} j ʉ0(m o d2){1,2,3} j ʉ1(mo d 2{) i ʉ1(m o d 2)故f 是C m ㊃P n 的一个4A V D I T 染色.情况3 当m ȡ5,m ʉ1(m o d 2)时,证明过程与定理2的情况2类似.综上所述,定理2得证.参考文献:[1]B U R R I S A C ,S C H E L P R H.V e r t e x -D i s t i n g u i s h i n g P r o p e rE d g e -C o l o r i n g [J ].Jo fG r a p h T h e o r y ,1997,26(2):73-82.[2] B A Z G A N C ,HA R K A T -B E N HAM D I N E A ,L IH a o ,e t a l .O nt h eV e r t e x -D i s t i n g u i s h i n g P r o p e rE d g e -C o l o r i n g [J ].C o m b i nT h e o r y:S e rB ,1999,75(2):288-301.[3] Z HA N GZ h o n g -f u ,L I U L i n -z h o n g ,WA N G j i a n -f a n g .A d j a c e n t S t r o n g E d g eC l o r i n g o fG r a p h [J ].A p p l i e d M a t h e m a t -i c sL e t t e r s ,2002,15(5):623-626.[4] Z HA N GZ h o n g -f u ,C H E N X i a n g e n ,L I J i n g -w e n ,e t a l .O nA d j a c e n t -V e r t e x -D i s t i n g u i s h i n g T o t a lC o l o r i n g o fG r a p h s [J ].S c i e n c e i nC h i n a :S e rA ,2005,48(3):289-299.[5] 张忠辅,李敬文,陈祥恩,等.图的距离不大于β的任意两点可区别边染色[J ].数学学报,2006,49(3):703-708.[6] WA N G H a i -y i n g .O nt h eA d j a c e n tV e r t e xD i s t i n g u i s h i n g T o t a lC h r o m a t i cN u m b e ro f t h eG r a p h sw i t h Δ=3[J ].J 92第2期 田京京:冠图C m ㊃S n 和C m ㊃P n 的邻点可区别I 全色数Copyright ©博看网. All Rights Reserved.03西南师范大学学报(自然科学版)h t t p://x b b j b.s w u.c n第38卷C o m b i nO p t i m,2007,14:87-109.[7]J O N A T HA N H.C o n c i s eP r o o f s f o rA d j a c e n tV e r t e x-D i s t i n g u i s h i n g T o t a lC o l o r i n g s[J].D i s c r e t eM a t h e m a t i c s,2009,309(8):2548-2550.[8] Z HA N G Z h o n g-f u,WO O D A L L D R,L I J i n g-w e n,e t a l.A d j a c e n tV e r t e x-D i s t i n g u i s h i n g I-T o t a lC o l o r i n g o fG r a p h s[D].兰州:兰州交通大学,2008.[9]田京京,邓方安,张忠辅.C m㊃S n的D(2)点可区别边色数[J].数学的实践与认识,2008,38(16):149-153.[10]李敬文,王鸿杰,文飞,等.图K_(2n)\E(K_(1,m))(nȡ2)的点可区别边染色[J].西南大学学报:自然科学版,2012,34(8):86-90.[11]孙磊,孙艳丽,董海燕.几类图的相邻顶点可区别的全染色[J].西南师范大学学报:自然科学版,2006,31(4):1-4.[12]B O N D YJA,MU R T Y USR.G r a p hT h e o r y w i t hA p p l i c a t i o n[M].N e w-Y o r k:T h eM a c m i l l a nP r e s sL t d,1976.O nA d j a c e n tV e r t e x-D i s t i n g u i s h i n g I-T o t a l C h r o m a t i cN u m b e ro f t h eC r o w nG r a p h C m㊃S n a n d C m㊃P nT I A NJ i n g-j i n gD e p a r t m e n t o fM a t h e m a t i c s,S h a n n x i U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y,H a n z h o n g S h a n n x i723000,C h i n aA b s t r a c t:I n t h i s p a p e r,a c c o r d i n g t o t h e p r o p e r t i e s o f t h e c r o w n g r a p h C m㊃S n a n d C m㊃P n,t h e a d j a c e n t v e r t e xd i s t i n g u i s h i n g I-t o t a l c o l o r i n g o f t w ok i n d s o f c r o w n g r a p h C m㊃S n a n d C m㊃P n h a v e b e e nd i s c u s s e d b y m e a n s o f c o l o r o n e b y o n e a n d r e c u r s i o n.T h e a d j a c e n t v e r t e x d i s t i n g u i s h i n g I-t o t a l c h r o m a t i c n u m b e r o f C m㊃S n a n d C m㊃P n h a v eb e e no b t a i n e d,a n d t h e c o l o r i n g m e t h o do f t h e c r o w n g r a p h C m㊃S n a n d C m㊃P n h a v eb e e n g i v e n.K e y w o r d s:g r a p h;s t a r;p a t h;c r o w n g r a p h;a d j a c e n t v e r t e xd i s t i n g u i s h i n g I-t o t a l c o l o r i n g;a d j a c e n t v e r-t e xd i s t i n g u i s h i n g I-t o t a l c h r o m a t i c n u m b e r责任编辑廖坤Copyright©博看网. 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Mycielski图的一般邻点可区别全色数
Mycielski图的一般邻点可区别全色数王继顺【摘要】设图G(V,E)是阶数至少为2的简单连通图,k是正整数.从VUE到{1,2,…,k}的映射f称为图G的一般邻点可区别全染色(简记k-GAVDTC),如果对任意2个相邻顶点u≠v的色集合C(u)≠C(v),其中C(u)={f(u)}U{f(uv)| uv∈E(G)},并称χgat(G)=min{k| G有k-GAVDTC}为图G一般邻点可区别全色数.综合运用构造法、调整法及概率法讨论了路、圈、扇、星、轮和完全二部图的Mycielski图的一般邻点可区别全染色,给出了其确切的一般邻点可区别全色数.%In the report,let G(V,E) be a simple connect graph with order at least 2 and k be a positive integer.Mappingffrom V U E to { 1,2,…,k } was named a general a djacent vertex distinguishing total coloring of G,or k-GAVDTC,if (V)uv ∈E(G),C（u) ≠ C(v),in which C(u) ={f(u) } U {f(uv) | uv∈E(G)}.The number χgut (G)=min{ k | k-GAVDTC of G } is named the general adjacent vertex distinguishing total chromatic number of G.The combination of structural method,adjustment method and probability method,were used to discuss the general adjacent vertex distinguishing total coloring of Mycielski graphs of some particular graphs such as path,cycle,fan,star,wheel and complete bipartite graph.And the general adjacent vertex distinguishing total chromatic number of them was confirmed.【期刊名称】《海南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(034)004【总页数】6页(P307-312)【关键词】Mycielski图;一般邻点可区别全染色;一般邻点可区别全色数【作者】王继顺【作者单位】连云港师范高等专科学校数学与信息工程学院,江苏连云港222006【正文语种】中文【中图分类】O157.5由信息科学中的电信通讯站的频率分配问题、计算机科学中的网络结构设计区分问题所引出的点可区别边染色[1-3]，邻点可区别边染色[4-5]，邻点可区别全染色[6]等具有一定的理论价值和实际意义，逐渐成为图论工作者研究的重要课题[7-10].为拓展图染色理论的应用领域，文献[11]进一步提出了一般邻点可区别边染色概念，文献[12-13]提出图的一般邻点可区别全染色的新染色概念. 由于其同样是十分困难的问题，至今文献甚少. 文献[14]根据路、圈、扇、轮等图的结构性质，确定了其一般邻点可区别的全色数．定义1[6] 设G(V，E)是简单连通图，k是正整数，f是V∪E(G)到{1，2，…k}的映射，若f满足1) 对任意uv,uw E(G), v≠w，有f(uv)≠f(uw);2) 对任意uvE(G), 有f(u)≠f(v),f(u)≠f(uv),f(v)≠f(uv),则称f为G的k-正常全染色，进一步；3) 对任意uvE(G),有C(u)≠C(v)，则称f为G的一个k-邻点可区别全染色法(简记为k-AVDTC)，而称χat(G)=min{k|G的k-AVDTC}为G的邻点可区别全色数，其中C(u)={f(u)|uV(G)}∪{f(uv)|uvE(G)}称为点u在f下的色集.定义2[12-13] 设G(V,E)是简单连通图，k是正整数，f是V(G)∪E(G)到{1，2，…k}的映射，若对任意uvE(G)，有C(u≠)C(v)，则称f为G的一般邻点可区别全染色(简记为k-GAVDTC)，并称χgat(G)=min{k|G有k-GAVDTC}为G的一般邻点可区别全色数.关于图的一般邻点可区别全色数，有2个猜想.猜想1[12-13] 设G(V，E)是有n个顶点的简单图，有⎤+1.猜想2[12-13] 设G(V，E)是有n个顶点的简单图，且Δ(G)≥4，则χgat≤Δ(G)+1.定义3[15-16] 设G(V，E)是简单连通图，若图M(G)满足V(M(G))=V∪V′∪{ω}，E(M(G))=E(G)∪{uv′|uV，v′V′，uvE(G)}∪{ωv′|v′V′}，其中，V′={v′|vV}，{ω}∩V∩V′=Ø，则称M(G)为由G构造而得的Mycielski图.Mycielski图是图论中一种重要的图，也是实际应用中经常遇到的一种网络.文献[7,15-17]研究了Mycielski图的相关染色，笔者从Mycielski图的构造特点出发，运用构造法、概率法及色调整技术研究了路、圈、扇、星、轮、完全图和完全二部图的一般邻点可区别全染色问题，得到其一般邻点可区别全色数.文中所涉及的图都是简单连通有限图，未给出的术语与记号参见文献[18].引理1 设G(V，E)图为简单图，1) 如果E(G)≠Ø，则χgat(G)≥2；2) 如果G(V,E)含K3，则χgat(G)≥3.引理2 如果G(V，E)含C5，则χgat(G)≥3.证明不然，根据引理1 1),χgat(G)≥2.假设χgat(G)=2, 不是一般性，对于G(V，E)首先染其C5.事实上，令C5=v1v2v3v4v5v1且C(v1)={1}，则f(v2)=1,f(v2v3)=2，或f(v2)=2,f(v2v3)=1,或f(v2)=2,f(v2v3)=2，而f(v3)=2,f(v3v4)=2，或f(v3)=1,f(v3v4)=1根据如此染色，有定理1 设Pn为n(n≥2)阶路，则证明设Pn=v1v2…vn，分2种情况进行证明.情形1 当n=2,注意到M(Pn)=C5，由引理2，χgat(M(Pn))=3[12-13].情形2 当n≥3，根据引理2，χgat(M(Pn))≥3. 为证χgat(M(Pn))=3，构造映射f：V∪E(M(Pn)){1，2，3}如下定理2 设Cn是n(n≥3)阶圈，则证明设Cn=v1v2…vnv1，分3种情况进行讨论.情形1 当n=3时，M(C3)包含有K3, 按照引理1 2), 有χgat(M(C3))≥3.为证结论成立, 只需给出M(C3)的一个3-GAVDTC. 令f，,n.易于验证f是M(C3)的一个3-GAVDTC. 所以χgat(M(Pn))=3.情形2 当n≥4时, 根据引理2, 有χgat(M(Pn))≥3. 现在只需构造M(C3)的一个3-GAVDTC法f. 为此，从2个方面考虑.情形(1) 当n≡0(mod 2)时, 令f易见，f为M(Cn)的一个3-GAVDTC(n≡0(mod 2)). 所以结论成立.情形(2) 当n≡1(mod 2)时,令f显然,f是M(Cn)的一个3-GAVDTC(n≡1(mod 2)).所以结论成立.定理3 设Fn是有n+1(n≥2) 个顶点的扇, 则证明根据引理1 2), χgat(M(Fn))≥3. 只需构造M(Cn)的一个3-GAVDTC. 令d(v0)=n, v0V(Fn),Fn的其他顶点分别为v1,v2,v3,…,vn.令f显然, f为M(Fn)的3-GAVDTC. 从而结论成立.定理4 设Wn是有n+1(n≥3)个顶点的轮,则证明令d(v0)=n,v0V(Wn),其他顶点分别为v1,v2,v3,…,vn,从2个方面考虑.情形1 当n≡0(mod 2)时, 根据引理1 2),χgat(M(Wn))≥3. 为证结论成立, 只需构造M(Wn)的一个3-GAVDTC. 令f显然，f是M(Wn)的3-GAVDTC. 从而结论成立.情形 2 当n≡1(mod 2)时, χgat(M(Wn))≥4. 否则, 根据引理1 2),χgat(M(Wn))≥3. 令χgat(M(Wn))=3, 则所有顶点的色集必是{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}其中之一. 对于M(Wn)的轮Wn，不失一般性，首先固定顶点v0的色集为C(v0)={1}，由于每个vi都与v0相邻，所以顶点vi(i=1, 2,…,n)的色集必是{1, 2}, {1, 3}和{1, 2, 3}其中之一. 由所有的顶点组成圈Cn，且n是奇数，所以所有的顶点vi(i=1, 2,…,n)的色集含有{1, 2}, {1, 3}和{1, 2, 3},且这些色集是不能有重复色集相邻的按序排列下来.不妨令C(v1)={1,3},C(v2)={1, 2},C(vn)={1, 2, 3},则顶点vn-1的色集必然是C(vn-1)={1,2}或C(vn-1)={1,3}.下面确定的色集.当C(v1)={1,3}，C(v2)={1,2},C(vn-1)={1,2},C(vn)={1,2,3}时, 因为每个也都与v0相邻，(i=1, 2,…,n)的色集就不可能是{1}, {2}, {3} 或 {2, 3}, 而只能是{1, 2}, {1, 3}和{1, 2, 3}其中之一.与v2，vn相邻，可以确定的色集是{1, 3},同样，的色集是和即可能是{1, 2}或{1, 3}.由于与所有的vi(i=1, 2,…,n)相邻，可以确定的色集是{1}或{2, 3}.考虑的所有可能情况, 所有色集{1}, {2}, {3}; {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} 和 {1, 2, 3}都不可能确定为ω的色集.当C(v1)={1, 3},C(v2)={1, 2},C(vn-1)={1, 3},C(vn)={1, 2, 3}时，情况也是如此. 为此假定C(v0)={1}不可能. 对于其他情况如C(v0)={1,2},C(v0)={1, 2, 3},同样推得不可能. 所以当n≡1(mod 2)时，χgat(M(Wn))≥4.为证χgat(M(Wn))=4，构造M(Wn)(n≡1(mod 2))的4-GAVDTC法f则显然,f是M(Wn)的4-GAVDTC(n≡1(mod 2)).从而结论成立.定理5 设完全二部图为Km,n, 则证明令(X,Y)为Km,n的二部顶点集对. 根据引理2, χgat(M(Km,n))≥3.首先, 用色1, 2和3染M(Km,n)的顶点集X和X′的所有顶点，用色1染所有的边，然后用色2染顶点集Y和Y′的所有顶点，最后用色3染顶点ω. 显然该f是M(Km,n)的3-GAVDTC. 结论成立.推论1 设Sn=K1,n是有n+1(n≥2)个顶点的星, 则证明根据定理5，结论显然.由上述结论，关于Mycielski图的一般邻点可区别全色数，可得定理6.定理6 设G(V,E)为任意简单图, 则证明按照定义1, 显然有χgat(M(G))≥χgat(G). 仅需证明χgat(M(G))≤χgat(G)+1.令H=M(G)=G，再让H=Sn，其中Sn为阶是n=|V(G)|. 现在以χgat(M(G))色(令k)染G，用色k+1染图H(d(H)=n)的顶点，用色1染H=Sn的边；对任意uG, 以G中染u的关联边的色来染边uv(vH)，且当uG，v′H，uvE(G)时，对任意v′H(dv′(H)=1)用与顶点u相同的色来染. 由此可以验证结论成立.。
毕业论文范例——mycielski图的染色问题
目录中文摘要------------------------------------------------------------------2 英文摘要------------------------------------------------------------------3 引言----------------------------------------------------------------------4 一、mycielski图的定义-----------------------------------------------------5 1． mycielski图的定义----------------------------------------------------52 . 广义mycielski图的定义-----------------------------------------------5二、mycielski图的染色问题-------------------------------------------------5(一)边色数----------------------------------------------------------------51. Mycielski图的边色数---------------------------------------------------52.广义Myc ielski 图的边色数----------------------------------------------6(二)邻强边色数------------------------------------------------------------61. Myciel ski 图的邻强边色数---------------------------------------------72. 广义Mycielski 图的邻强边色数------------------------------------------7 （三）全色数--------------------------------------------------------------81. Mycielski图的全色数--------------------------------------------------82. 广义Mycielski图的全色数---------------------------------------------9 （四）邻点可区别全色数----------------------------------------------------91.Mycielski 图的邻点可区别全色数---------------------------------------102.广义Mycielski图的邻点可区别全色数----------------------------------12 致谢--------------------------------------------------------------------13 参考文献----------------------------------------------------------------14Mycielski图的染色问题摘要：本论文总结了Mycielski 图及广义Mycielski 图关于染色问题的各方面定义和定理，主要包括边色数、邻强边色数、全色数、邻点可区别全色数的相关结论。
多重Mycielski图的邻点可区别全染色
。
） 图 Ｇ 的顶点集 合 ，Ｅ（ 是 图 Ｇ 的边 集． 是 Ｇ）
Ｔｈ ｄａ ｅ ｔｖ ｒｅ — ｉｔ ｇ ｉｈｎ ｏａ ｏｏ ｉｇｏ ｅａ ｊｃ ｎ ｅ ｔｘｄｓｉ ｕｓ ｉｇ ｔ ｔｌ ｌｒｎ ｆ ｎ ｃ
ｋ－ ｕ ｔ— ｙ ｉｌ ｋ ｈ ｒ ｐ ｍ ｌｉＭ ｃｅ ｓ ｉｔ ｅ ｇ ａ ｈｓ
ＺＨ Ａ Ｎ Ｇ Ｃｈｅ ｎ， Ｃ Ｈ ＥＮ ａ — ｎ， ＬＩ ｎ ｓ ｅ ｇ Ｘｉｎｇ ａ Ｕ Ｘｉ — ｈ ｎＧ 有 ｔ ＴＣ Ｇ） ｎｔ ｌ —
ＡＶＤ Ｃ） Ｔ 叫做 图 Ｇ 的邻点 可 区别 全色 数．
定义 ２ 对 阶 图 Ｇ（ Ｅ）Ｍｋ Ｇ） 为 Ｇ的 ｋ ， ， （ 称
重 Ｍｙ ｉｌ ｉ （ ≥ ２ ，其 中 （ Ｇ） 一 ｛。， ｃ ｓ 图 ｋ ｅ ｋ ） Ｍ （ ） 。
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒｃ ：Ｔｈ ｐ ｅ ｏ ｎ ｓ ｏ ｈ ｄａ ｅ ｔ ｅ ｔｘ— ｉｔ ｇ ｉｈ ｎ ｏ ａ ｏ ｏ ｉｇ ｎ ｍｂ ｒ ｏ ｍｕｔ— ｅ ｕ ｐ ｒ ｂ ｕ ｄ ｆ ｔ ｅ ａ ｊ ｃ ｎ ｖ ｒｅ ｄｓ ｉ ｕｓ ｉｇ ｔ ｔ ｌｃ ｌｒｎ ｕ ｅ ｎ ｋ— ｌｉ ｎ Ｍ ｙ ｉｌｋ ｒ ｐ ｓ ａ ｅ ｄ ｓ ｕ ｓｄ Ｔｈ ｄａ ｅ ｔ ｅｔ ｘ— ｉｔ ｇ ｉｈ ｎ ｏ ａ ｏｏ ｉｇ ｎ ｍｂ ｒ ｎ ｋ ｍｕｔ ｃｅｓ ｉｇ ａ ｈ ｒ ｉｃ ｓ ｅ ． ｅ ａ ｊ ｃ ｎ ｖ ｒｅ ｄｓ ｉ ｕ ｓ ｉｇ ｔ ｔｌｃ ｌｒｎ ｕ ｅ ｓ ｏ ｎ ｌ ｉ
Ｋｅ ｒ ｓ － ｌ — ｙ ｉｌｋ ｒ ｐ ｙｗｏ ｄ ：ｋ ｍｕｔ Ｍ ｃｅｓ ｉｇ ａ ｈ；ａ ｊｃ ｎ ｅ ｔｘ ｄｓｉｇ ｉｈ ｎ ｏ ａ ｏｏ ｉｇ；ｔ ｅａ ｊｃ ｎ ｅ ｔｘ ｉ ｄａ ｅ ｔｖ ｒｅ — ｉｔ ｕ ｓ ｉｇ ｔ ｔｌｃ ｌｒｎ ｎ ｈ ｄａ ｅ ｔｖ ｒｅ —
完全二部图的Mycielski图的点可区别全色数
左 端 知 （ Ｍ（
）≥ ２ ） ｍ＋ ２要 证 结论 为 真 ， ， 仅
需给出 Ｍ（ Ｋ ）的一个 （ ｍ＋ ２ 一 ） Ｃ法． ２ ） ＶＩ Ｔ
设 Ｃ＝ ｛ ，， ，ｍ＋ １０． 厂为 １２ … ２ ， ｝令
厂 叫）一 ｍ＋ ｌ （ ；
ＵＥＧ （ ）Ｕ ｛ Ｉ Ｅ Ｖ ． 删 ） 其 中，
文献标识码 ： Ａ
０ 引 言
图 的染色 是 图论 的主要 研 究 内容 之 一． 由计 算 机科学和信息科学所产生的点可区别边染色＿ ， １ 邻 ］ 点可 区别边染 色 （ 或邻 强 边 染 色 ）２ 及 Ｄ（ 点 可 ＿ 【 叫 区别全 染色 点可 区别 全 染 色［ 都 是 十分 困难 引， 。 等 的问题 ， 今 文献 甚 少． 文 给 出 了 完 全 二 部 图 的 至 本
不同元素中任取 个的组合数 ； ＋１ 和△分别表示Ｇ
的最 小度 和最 大度． 显然 ， 猜想 的左 端是 成立 的．
Ｍｙｉ ｓｉ ｃ ｌ 图的点可区别全色数． ｅｋ 定 义 １。 对 阶数 不小 于 ２的联 通 图 Ｇ（ Ｅ） ［ Ｖ， ，
令 －为 Ｖ（ 厂 Ｇ）ＵＥ（ 到 Ｃ一 ｛， ， ，｝ Ｇ） １ ２… 是 的映射 ， 其 中 ｋ为正 整数 ， 对任意 的 “Ｅ （ ， 表 示 Ｇ）Ｃ（）
厂“ （ ）Ｕ ｛ （ｖ ＇ Ｅ（ ） ． ｆ ｕ ）ｌ Ｏ∈ Ｕ Ｇ ） 如果 厂满足 ： ｉ ．对任 意 的 Ｕ ， Ｅ Ｅ（ ， ７ 删 Ｇ） 乱≠ ， ３ 有
ｆｕ ） ｆｖ ； （ｖ ≠ （ｍ）
１ 主 要 结 论 及 其 证 明
引理 １ Ｅ 对 Ｍ（ Ｋ ）有 ，
ｆ ｕ ）一 ２ （１ ｍ＋ １ ； ｆ ｕ ）一 ０ （ｓ ；
关于几类特殊图的Mycielski图的邻点可区别全色数
关于几类特殊图的Mycielski图的邻点可区别全色数陈祥恩;张忠辅;晏静之;张贵仓【期刊名称】《兰州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2005(041)002【摘要】设G是一个简单图,f是一个从V(G)∪ E(G)到{1,2,…,k}的映射.对每个v∈V(G),令Cf(v)={f(v)}∪{f(vw)|w∈V(G),vw∈E(G)}.如果f是G的正常全染色且u,v∈V(G),一旦uv∈E(G),就有Cf(u)≠Cf(v),那么称f为G的邻点可区别全染色(简称为k-AVDTC).设xat(G)=min{k|G存在k-AVDTC},则称xat(G)为G的邻点可区别全色数.给出了路、圈、完全图、完全二分图、星、扇和轮的Mycielski图的邻点可区别全色数.%Let G be a simple graph, f be a mapping from V(G) U E(G) to {1, 2, … , k}. Let Cf(v) = {f(v)}∪{f(vw)|w ∈ V(G), vw ∈ E(G)}for every v ∈ V(G). Iff is a k-proper-total-coloring, and for u, v ∈ V(G), uv ∈ E(G), we have Cf(u) ≠ Cf(v), then f is called the k-adjacent-vertex-distinguishing total coloring(k-AVDTC for short). Let xat(G) = min{k|G has a k-adjacent-vertex- distinguishing total coloring}. Then xat(G) is called the adjacent-vertex-distinguishing total chromatic number. The adjacent-vertex-distinguishing total chromatic numbers on Mycielski's graphs of path, cycle, complete graph, complete bipartite graph, star, fan and wheel are presented in this paper.【总页数】6页(P117-122)【作者】陈祥恩;张忠辅;晏静之;张贵仓【作者单位】西北师范大学,数学与信息科学学院,甘肃,兰州,730070;西北师范大学,数学与信息科学学院,甘肃,兰州,730070;兰州交通大学,应用数学研究所,甘肃,兰州,730070;兰州大学,数学与统计学院,甘肃,兰州,730000;西北师范大学,数学与信息科学学院,甘肃,兰州,730070【正文语种】中文【中图分类】O1【相关文献】1.两类特殊的k重Mycielski图的邻点强可区别E-全染色 [J], 李雨虹;强会英;顾忠栋2.若干图广义Mycielski图的点边邻点可区别的全染色 [J], 强会英;张忠辅3.关于几类特殊图的Mycielski图的点可区别全色数 [J], 安明强;刘信生;陈祥恩4.P2n的Mycielski图的邻强边色数和邻点可区别全色数 [J], 孔令峰;苏文龙;罗海鹏;黎贞崇;何建东5.广义Mycielski图的邻强边色数和邻点可区别全色数的两个上界 [J], 李沐春;强会英;张忠辅因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
几类图的2-距离和可区别染色
几类图的2-距离和可区别染色几类图的2-距离和可区别染色简介：图论是研究顶点和边构成的图的结构和性质的数学学科。
其中，图的距离和染色是图论中的两个重要概念。
本文将讨论几类特殊的图的2-距离和可区别染色，并探讨它们的性质和应用。
一、路径图的2-距离和可区别染色路径图是由一系列不相交的边连接的顶点构成的图，顶点按顺序排列，边只能连接相邻的两个顶点。
对于路径图，我们可以定义2-距离为两个顶点之间的距离。
例如，路径图中相邻顶点的距离为1，隔一个顶点的距离为2，以此类推。
而在路径图的可区别染色中，相邻的两个顶点不能染成相同的颜色。
通过对路径图的研究，我们可以发现以下性质：1. 路径图的2-距离是唯一确定的，两个不同的顶点之间的2-距离不同。
2. 路径图的可区别染色需要至少n种颜色，其中n是顶点的个数。
3. 路径图是可完全染色的，即可以使用n种颜色将路径图的顶点染色，且相邻的两个顶点颜色不同。
二、环图的2-距离和可区别染色环图是由一系列相邻的顶点构成的图，首尾相连形成一个循环。
对于环图，我们同样可以定义2-距离为两个顶点之间的距离。
而在环图的可区别染色中，相邻的两个顶点不能染成相同的颜色。
与路径图不同的是，环图的性质有所差异：1. 环图的2-距离是多样的，同一个顶点到不同顶点的2-距离可相同。
2. 环图的可区别染色需要至少2种颜色，即使顶点个数增加，所需的颜色数目也不变。
3. 环图是可完全染色的，可以使用2种颜色将环图的顶点染色，其中相邻的两个顶点颜色不同。
三、完全图的2-距离和可区别染色完全图是每两个顶点之间都存在边的图。
对于完全图，我们同样可以定义2-距离为两个顶点之间的距离。
而在完全图的可区别染色中，相邻的两个顶点不能染成相同的颜色。
完全图的性质如下：1. 完全图的2-距离是唯一确定的，两个不同的顶点之间的2-距离不同。
2. 完全图的可区别染色需要至少n种颜色，其中n是顶点的个数。
3. 完全图是可完全染色的，可以使用n种颜色将完全图的顶点染色，其中相邻的两个顶点颜色不同。
【国家自然科学基金】_点可区别全染色_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730
20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
科研热词 推荐指数 图 4 邻点可区别全色数 3 邻点可区别全染色 3 点可区别全色数 3 点可区别全染色 3 完全二部图 3 联图 2 全染色 2 邻点可区别ⅵ-全色数 1 邻点可区别ⅵ-全染色 1 点强可区别全色数 1 点强可区别全染色 1 点可区别ⅳ-全色数 1 点可区别ⅳ-全染色 1 点可区别ie全染色 1 点可区别ie-全色数 1 点可区别ie-全染色 1 点可区别-ie全色数 1 点不交的并 1 正常全染色 1 广义mycielski图 1 奇阶完全图 1 倍图 1 上界 1 ⅳ-全染色 1 total coloring 1 the join of graphs 1 d(β )-点可区别vie-全色数 1 d(β )-点可区别vie-全染色 1 adjacent-vertex-distinguishing1 total coloring adjacent-vertex-distinguishing1 total chromatic nu
推荐指数 9 9 5 5 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
2011年 科研热词 推荐指数 点可区别全染色 9 点可区别全色数 7 邻点可区别全染色 3 奇阶完全图 3 图 3 三角排序 3 邻点可区别全色数 2 梯图 2 lovász局部引理 2 邻点可区别-点边全染色 1 路 1 补倍图 1 联图 1 积图 1 点可区别的全色数 1 点可区别的全染色 1 点可区别ie-全色数 1 点可区别ie-全染色 1 折叠立方体 1 平面图 1 对角线排序 1 圈 1 全染色 1 smarandachely点可区别全色数 1 smarandachely点可区别全染色 1 m个图的点不交的并 1 d(β )-点可区别全染色 1
若干Mycielski图的邻点可区别均匀全染色
点 可 区别均 匀全 色数 。
Ｍｙ ｃ ｉ ｅ ｌ ｓ ｋ ｉ 图是一类 应 用较 广泛 的 图 ， 本文 利用 构造 法 和匹 配法 研 究 了路 、 圈、 星和扇的 Ｍ ｙ ｃ ｉ ｅ ｌ ｓ ｋ ｉ 图
｛ ｅ Ｉ ｅ ∈ （ Ｇ ） ， （ ｅ ）：ｉ ｝ ， 。 ： 。 ｕ Ｅ 。 ， 若满足： Ｖ ｉ ， ∈｛ １ ， ２ ， …， ｋ ｝ ， ｌ ｌ Ｔ ｌ ｌ ｌ ≤１ ， 则称厂 为图Ｇ 的
一
个 一 邻点 可 区别均 匀全染 色 ， 记为ｋ － Ａ Ｖ Ｄ Ｅ Ｔ Ｃ， 且 称 （ Ｇ）＝ｍ ｉ ｎ｛ ｋ 』 Ｇ的 ｋ － Ａ Ｖ Ｄ Ｅ Ｔ Ｃ｝ 为图 Ｇ的邻点
（ １ Ｉ ）对 Ｖ ｕ ∈Ｅ（ Ｇ ） ， 有， （ ｕ ）≠ｆ （ ） ， ｆ （ ）≠ｆ （ “ ） ， ｆ （ ／ Ｌ ）≠ｆ （ ） ， 则称 ，为图 Ｇ的 ｋ 一 正 常全染
色。 进一 步 ， 若厂 还 满足 ： （ ｍ）Ｖ／ ／ ， Ｖ∈ Ｅ（ Ｇ ） ， “≠ ， Ｃ （ ｕ ）≠ Ｃ （ ） ， 则 称 ／为 图 Ｇ 的 一 个 ｋ 一邻 点 可 区 别 全 染 色 ， 记 为
０ 引 言
本 文所考 虑 的图均 为连 通 、 有限 、 无 向的简单 图 。２ ０ ０ ４年 ， 文献 ［ １ ］ 提 出了邻 点 可 区 别全 染 色 的 概 念及 相关 猜想 ， 给 出 了完 全 图 、 完 全二 部 图 、 圈、 扇、 轮 和树 等 简单 图 的邻 点 可 区别 全色 数 。文 献 ［ ２—３ ］ 提 出 了图 的均匀 全染 色概念 及相关 猜 想 。文献 ［ ４— ６ ］ 研 究 了一 些 简单 图的均 匀 全 色数 。在此 基 础上 ， 文献 ［ ７ ］ 给 出了 图的邻 点可 区别 均匀 全 染 色 的概 念 及 其 几类 简 单 图的倍 图 的邻 点可 区别 均 匀 全 色数 ， 并 提 出相关猜 想 。 由于邻点 可 区别均 匀全染 色 比邻 点 可 区别 全染 色 更 加 困难 ， 所 以这 个 猜想 就 显 得 甚
广义Mycielski图的补图的若干参数
广义Mycielski图的补图的若干参数刘志霞;边红;刘敏;于海征【摘要】为了寻找一类具有任意大色数但不含三角形的图类,Mycielski提出了一种有趣的图变换,称之为图G的Mycielskian图,记为μ(G).Lam等对μ(G)的定义做了一个自然的推广,提出了广义Mycielskian图(也被Tardif称为cones over图),记为μm(G),其中m代表正整数.本文中给出了广义Mycielskian图的补图的控制数、全控制数、packing数和open packing数的明确结果.【期刊名称】《厦门大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(058)002【总页数】4页(P288-291)【关键词】广义Mycielskian图;补图;控制数;packing数【作者】刘志霞;边红;刘敏;于海征【作者单位】新疆师范大学数学科学学院,乌鲁木齐新疆830017;新疆师范大学数学科学学院,乌鲁木齐新疆830017;新疆师范大学数学科学学院,乌鲁木齐新疆830017;新疆大学数学与系统科学学院,乌鲁木齐新疆830046【正文语种】中文【中图分类】O157.51 预备知识本文中所考虑的图G都是有限简单图，用表示它的补图.为了寻找一类具有任意大色数但不含三角形的图类,Mycielski[1]在1955年提出了一种新的图变换，叫做Mycielskian图，记为μ(G).令图G=(V,E)，图G的Mycielskian图μ(G)的顶点集为V∪V′∪{u}，其中V′={x′:x∈V}，边集为E∪{xy′:xy∈E}∪{x′u:x′∈V′}.本文中把x′称为x的拷贝点，反之亦然；u点称为μ(G)的根点.Mycielskian图的很多有趣的性质都和各种各样的图参数有关.Mycielski[1]给出了Mycielskian图的色数χ(μ(G))和团数ω(μ(G))的结果：χ(μ(G))=χ(G)+1,ω(μ(G))=ω(G),此结果表明Mycielskian图是一类团数固定而色数不断增加的图类.Fisher等[2]研究了μ(G)图的哈密顿性，同时还证明了：diam(μ(G))=min(max(2,diam(G)),4);γ(μ(G))=γ(G)+1;若图G没有孤立点，则η(μ(G))=η(G),这里的diam(G),γ(G),η(G)分别表示图G的直径、控制数和packing数.在同一篇文章中，Fisher等[2]还研究了双团划分数：令图G是有n个顶点的图，则bp(μ(G))≤min(n+1,bp(G)+bp(G+v)).Chang等[3]证明了如果图G 没有孤立点时，则有κ(μ(G))≥κ(G)+1成立，这里的κ(G)表示图G的连通性.Larsen等[4]研究了Mycielskian图的分数色f(G)，得f(μ(G))=χf(G)+1f(G).循环色c(G)是图G的一般色数的自然推广，关于Mycielskain图的循环色数的研究可以参考文献[5-7].Lam等[8]提出一种类似于Mycielskian图的图变换，记为μm(G),其中m是任意正整数.这种图类也被Tardif[9]称为cones over图.令图图G的广义Mycielskian 图μm(G)的顶点集为V0∪V1∪V2∪…∪Vm∪{u}，这里其中Vl是V0的第l次拷贝；边集为点称为μm(G)的根点，m是μm(G)的拷贝层数.定义μ0(G)是通过在图G上增加一个全局点u而得到的图(即u点与图G的所有点都相连).显然，μ1(G)就是所谓的图G的Mycielskian图.已经有很多学者给出了广义Mycielskian图各类参数的结果.Lin等[8]给出了广义Mycielskian图的循环团数、特征值、谱、点覆盖数、双团划分数.并且还证明了μm(G)的全控制数的结果，即如果m是奇数，则有如果m是偶数，则同时文献[8]中还研究了μm(G)的open packing数，即如果m是奇数且η0(G)≥2，则有如果m是奇数且η0(G)=1，则有如果m是偶数，则Tardif[9]不但证明了还给出了对于任意m≥0,k≥1都有χ(μm(C2k+1))=4.Lin等[10]研究了对于任意m≥0,k≥1，有χc(μm(C2k+1))=m[11]给出了完全图的循环色数的结果.有关广义Mycielskian图的Zagreb指标结果可以查阅文献[12]. 本研究在以上研究结果的基础上，给出了广义Mycielskian图的补图的控制数、全控制数、packing数和open packing数的明确结果.2 主要结果令G是一个图，v是图G的任意一个顶点.用NG(v)表示图G中和点v相邻的点的集合，也称为图G中v的开邻集.图G中v的闭邻集定义为NG(v)∪{v}.一个点子集称为图G的一个控制集，如果这个点子集的闭邻集控制图G的所有点.图G中最小控制集所包含的点的个数，称为图G的控制数，记为γ(G).全控制集是指开邻集可以控制图G的所有点的一个点子集.图G中最小全控制集所包含的点的个数，称为图G的全控制数，记为γt(G).在随后的讨论中，如不加特殊说明，只考虑广义Mycielskian图的补图.令图广义Mycielskian图μm(G)的顶点集为：{V0，V1，V2，…，Vm}，Vi也可看作是图G的顶点集V0的拷贝点集,u为μm(G)的根点，m是图μm(G)的拷贝层数.广义Mycielskian图的补图记为在这一节中，首先给出的控制数和全控制数的结果.由控制数和全控制数的定义.对任意的至少有两个顶点的简单图G.有如下事实：事实(i):γ(G)≥1，并且γ(G)=1，当且仅当G有一个全局点；事实(ii):γt(G)≥2，并且γt(G)=2，当且仅当∃u,v∈V(G)，s.t.,NG(u)∪NG(v)=V(G).显然，当m=0时，对于m≥1时，有如下结果：定理1 令G是一个图，是图G的广义Mycielskian图的补图.则证明由μm(G)的定义，有全局点，当且仅当G有孤立点.所以当G有孤立点时，下面假设G没有孤立点，即没有全局点，则分两种情形证明：情形1) 若图G连通且至少有两个顶点时，在中，令中可以控制Vm中的所有点；而u可以控制除Vm以外中的所有点.根据控制集的定义可知，S是的一个控制集，再由最小控制集的定义，情形2) 若图G不连通，在中，令且i≠j，其中分别代表G中任意两个不同连通分支中的任意一点.S中可以控制除自身所在连通分支及相应拷贝点集外的所有其他点；同理可以控制除自身所在连通分支及相应拷贝点集外的所有其他点；而取自不同的连通分支，则根据控制集的定义可知，S是的一个控制集，所以综上可得，在这一节中，考虑的全控制数.首先，当m=0时，显然不存在.下面只需考虑m≥1的情形.定理2 令G是一个图，diam(G)是图G的直径.则证明分以下3种情形证明.情形1) 当m>1时，在中，令由的构造可以看出，S的点可以控制点u和Vm中的所有点，而u可以控制V0,V1,…,Vm-1中的所有点，根据全控制数的定义可知，S是的一个全控制集，故情形2) 当m=1且diam(G)>2时，取其中由的定义可知，在中，S中的可以控制除和在V1中的拷贝点集以外的中的所有点；而可以控制除和在V1中的拷贝点集以外的中的所有点；同时或和(或在V1中的拷贝点集可被或控制.由全控制数的定义，S是的一个全控制集，故由事实(ii)可知，综上所述，在情形1)和2)下，情形3) 当m=1且diam(G)=1或2时.令在中，S中的点可以控制u和而可以控制除自身以外的V1中的所有点和点可以控制V0中的所有点，即所以反之，证明则下面只需证明中任意两个点的集合都不是的全控集即可.根据任意两个点在中的位置不同，分以下5种情形：子情形i 若两个点都位于V0.不妨设为若diam(G)=1，则在中无法被自身所控制；若diam(G)=2且∉E(G),则在G中至少存在一个点使得而在中无法控制子情形ii 若两个点分别位于V0和V1.不妨设为当i=j时，则在中，和都无法控制当i≠j时，如果则在中无法控制自身.若∉E(G).则G中至少存在一个点使得而无法控制子情形iii 若两个点均位于V1中.不妨设为则无法控制点u.子情形iv 若两个点分别位于V0和u点.不妨设为则和u无法控制在V1中的拷贝点集.子情形v 若两个点分别位于V1和u点.不妨设为则和u无法控制自身的两个点.综上可知，故在情形3)下，如果一个点子集中的每个点的闭邻集和这个点子集中的其他点的闭邻集都没有交点，本文中称这个点子集为图G的一个packing集.图G中最大packing集的点的个数，称为图G的packing数，记为η(G).open packing集是指每个点的开邻集和这个集合中的其它点的开邻集都没有交点的一个点子集，open packing数指的是图G中最大的open packing集所包含的点的个数，记为η0(G).由open packing集的定义，有如下事实(m):对于任意简单图G，有η(G)≥1(或η0(G)≥1),其中η(G)=1(或η0(G)=1)当且仅当diam(G)≤2.当m=0时，显然有下面只需证明m≥1的情形.定理3 令G是一个连通图.则证明由μm(G)和的定义，显然有根据事实(m)可知，定理4 令G是一个连通图，则证明分下面两种情形证明：情形1) 当m=1且G中至少存在一个度为n-1(n≥2)的点.不妨设是图G中任意一个度为n-1的点.令由和open packing集的定义可知，而故S中的每个点的开邻集与其他点的开邻集没有交点，则S是的open packing集，即反之，只需证明成立即可.由此，只需证明在中任取3个点的集合S′都不是open packing集即可.根据所取3个点在中的位置不同，分以下7种子情形:子情形i 若且i≠j≠g.由的定义可知中的点的开邻集和的开邻集有交点故S′不是open packing集.子情形ii 若且i≠j.当i≠j≠g时，中的点的开邻集和的开邻集有交点故S′不是的open packing集.当i=j或者j=g时，不妨假设i=g，根据的定义可知，中的点的开邻集与的开邻集有交点子情形iii 若且j≠g.同样，由的定义可知，即S′中的点的开邻集与的开邻集有交点u.子情形iv 若且i≠j≠g，易知,则S′中的点的开邻集与的开邻集有交点u.子情形v 若且i≠j，易知，则S′中的点的开邻集与u的开邻集有交点子情形vi 若且i≠j,易知，则S′中的点的开邻集与u的开邻集有交点子情形vii 若且i≠j,由的定义可知，则S′中的点的开邻集与的开邻集有交点u.综上可知，故情形2) 当m=1且图G的所有点的度都小于n-1或m>1时，令根据图的open packing集的定义，S′是的一个open packing集，再由open packing数的定义，则η0(G)≥1.当G是一个连通图时，根据μm(G)图和图的定义，很显然再根据事实(iii)，一定有η0(G)=1成立.【相关文献】[1] MYCIELSKI J.Sur le colouriage es graphes[J].Colloq Math,1955,3:161-162.[2] FISHERA C D,MCKENNAA A P,BOYERB DE.Hamiltonicity,diameter,domination,packing,and biclique partitions of Mycielski’s graphs[J].Discrete Applied Mathematics,1998,84:93-105.[3] CHANG G.J,HUANG L.ZHU X.Circular chromatic numbers of Mycielski’sgraphs[J].Discrete Math,1999,205:23-37.[4] LARSEN M,PROPP J,ULLMAN D.The fractional chromatic number of Mycielski’s graphs[J].Graph Theory,1995,19:411-416.[5] FAN G.Circular chromatic number and Mycielskigraphs[J].Combinatoria,2004,24(1):127-135.[6] HAJIABOLHASSAN H,ZHU X.The circular chromatic number and Mycielski construction[J].Graph Theory,2003,44:106-115.[7] HUANG L,CHANG G J.The circular chromatic number of the Mycielskian of Theory,1999,32:63-71.[8] LIN W,WU J,LAM P C B,et al.Several parameters of generalized Mycielskians[J].Discrete Applied Mathematics,2006,154:1173-1182.[9] TARDIF C.Fractional chromatic numbers of cones over graphs[J].GraphTheory,2001,38:87-94.[10] LIN W,LAM P C B,SHIU W C.Circular chromatic numbers of the generalized Mycielskians of cycles[J].Nanjing Univ Math Biquarterly,2006,23(2):232-241.[11] LAM P C B,GU G,LIN W,et al.Circular chromatic number and a generalization of the construction of Mycielski[J].Combin Theory Ser,2003,89:195-205.[12] AMALORPAVA J,DHANALAKSHMI K,MICHAELRAJ L B.The rst and the second Zagreb indices of the generalized Mycielskian of graphs[J].Electronic Notes in Discrete Mathematics,2016,53:239-258.。
三类K重Mycielski图的邻点强可区别E-全染色
三类K重Mycielski图的邻点强可区别E-全染色李雨虹;强会英;王洪申【摘要】对简单图G,如果图G存在一个染色法f,使得任意两个相邻的顶点染不同的颜色,任意一条边与其关联的点染不同的颜色,任意两个相邻点的色集合不同,其中每个点的色集合包含该点及其关联边和相邻点的颜色,则称该染色法f为G的邻点强可区别E-全染色,且称所用最小的颜色数为图G的邻点强可区别E-全色数.本文应用反证法和构造函数染色法研究了图Mk(Pn),Mk(Sn),Mk(Cn)的邻点强可区别E-全染色,并得出了其邻点强可区别E-全色数.【期刊名称】《安阳师范学院学报》【年(卷),期】2018(000)002【总页数】5页(P8-12)【关键词】K重Mycielski图;邻点强可区别全染色;邻点强可区别E-全染色【作者】李雨虹;强会英;王洪申【作者单位】兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070;兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070;兰州理工大学机电工程学院,甘肃兰州730050【正文语种】中文【中图分类】O157.51 引言图染色理论是图论[1]里面很重要并且应用很广泛的一门学科，它来源于1852年“四色猜想”问题的提出. 1993年，A.C.Burris和R.H.Schelp首次提出了图的点可区别正常边染色的概念；2002年，张忠辅，刘林忠等教授在点可区别正常边染色的基础上提出了图的邻强边染色[2]；2005年，张忠辅，陈祥恩等教授结合学习传播过程中的干扰和共振现象提出了图的邻点可区别全染色[3]；2007年，张忠辅，程辉等人提出了图的邻点强可区别全染色[4]，文献[5]是邻点强可区别E-全染色的一些结果.本文在文献[5]的基础上得到了路图，圈图和星图的广义Mycielski图的邻点强可区别区别E-全染色，下面给出相关的定义：2 基本概念定义1[4,5] 设图G是阶数至少为2的连通图，映射f:V(G)∪E(G)→{1,2,…,k},其中k为正整数，C(u)={f(u)}∪{f(v)}∪{f(uv)|uv∈E(G),v∈V(G)}如果f满足：(1)对任意的uv∈E(G),f(u)≠f(v),f(u)≠f(uv),f(v)≠f(uv);(2)对任意的uv,uw∈E(G),u≠v,f(uv)≠f(uw);(3)对任意的uv∈E(G),u≠v,C(u)≠C(v).则称f为图G的k-邻点强可区别全染色，简记为k-AVSDTC.又称χast(G)=min{k|G有k-AVSDTC}为G的邻点强可区别全色数.定义2[5] 设图G是阶数至少为2的连通图，映射f:V(G)∪E(G)→{1,2,…,k}，其中k为自然数，C(u)={f(u)}∪{f(v)}∪{f(uv)|uv∈E(G),v∈V(G)}.如果f满足：(1)对任意的uv∈E(G),u≠v,f(u)≠f(v),f(u)≠f(uv);(2)对任意的uv∈E(G),u≠v,C(u)≠C(v).则称f为G的k-邻点强可区别E-全染色，简记为k-E-AVSDETC,又称{G有k-E-AVSDETC}为图的邻点强可区别E-全色数.由图的邻点强可区别全染色和图的邻点强可区别E-全染色的概念，下面引理成立：引理1[5] 对于无孤立边的简单图G，有定义3[6] 对图G(V,E),μ(G)称为G的Mycielski,V(μ(G))=V(G)∪V′∪{w},E(μ(G))=E(G)∪{uv′|u∈V(G),v′∈V′,且uv∈E(G)}∪{wv′|v′∈V′},其中w∉V(G),V′={v′|v∈V(G)}定义4[7] 设G的顶点集合为V(G)={u1i|i=1,2,…,n}的简单图，n是正整数，称Mk(G)为G的k重Mycielski图，其中k≥2,如果V(Mk(G))={u1.1,u1.2,…,u1.n；u2.1,u2.2,…,u2.n；…；uk.1,…,uk.n}∪{w}E(Mk(G))=E(M(G))∪{uijui+1,l|u1ju1l∈E(G),1≤j,l≤n,1≤i≤k-1,}∪{wvkj|vkj∈V(G),1≤j≤n}.3 主要结论及其证明定理1 设Pn是n(n≥3)阶的路，则有证明易知χ(Mk(Pn))=3，由引理1可知如果设色集合C={1,2,3,4}，令：φ(uij)={1,j≡1(mod2),2,j≡0(mod2),1≤i≤k;1≤j≤n.φ(w)=3,由图的结构知，|C(w)|≥3 ，下面分两种情形考虑：情形1：当|C(w)|=3 时，则点uij(除了u1j)和点w在邻点强可区别E-全染色的条件下，必存在j∈{1,2,…,n}，使得C(u1j)=C(u1,j+1),与定义矛盾.情形2：当|C(w)|=4 时，必存在j∈{1,2,…,n},使得C(ukj)=C(w)与定义矛盾.故下面给出图Mk(Pn)的一个5-E-AVSDETC染色法，令f如下：f(uij)={1,j≡1(mod2),2,j≡0(mod2)1≤i≤k;1≤j≤n.f(w)=5.f(u1j,u1,j+1)=3,1≤j≤n-1.边uijui+1,l的染法分以下四种情况：当i≡0(mod4)时：f(uijui+1,j-1)=3,1≤i≤k-1;2≤j≤n.f(uijui+1,j+1)=3,1≤i≤k-1;1≤j≤n-1. 当i≡1(mod4)时：f(uijui+1,j-1)={3,j≡1(mod2),4,j≡0(mod2),1≤i≤k-1;2≤j≤n.f(uijui+1,j+1)={3,j≡1(mod2),4,j≡0(mod2),1≤i≤k-1;1≤j≤n-1.当i≡2(mod4)时：f(uijui+1,j-1)=4,1≤i≤k-1;2≤j≤n.f(uijui+1,j+1)=4,1≤i≤k-1;1≤j≤n-1. 当i≡3(mod4)时：f(uijui+1,j-1)={3,j≡0(mod2),4,j≡1(mod2),1≤i≤k-1;2≤j≤n.f(uijui+1,j+1)={3,j≡0(mod2),1,j≡1(mod2),1≤i≤k-1;1≤j≤n-1.f(wvkj)={1,j≡0(mod2),2,j≡1(mod2),1≤j≤n.此时，各点的色集合的补集为：当i≡0(mod4)或i≡1(mod4)时：{{4,5},j≡1(mod2),{5},j≡0(mod2),1≤i≤k-1;1≤j≤n.当i≡2(mod4)或i≡3(mod4)时：{{3,5},j≡1(mod2),{5},j≡0(mod2),1≤i≤k-1;1≤j≤n.当k≡0(mod4)时：{{3},j≡0(mod2),{4},j≡1(mod2),1≤j≤n.当k≡1(mod4)时：当k≡2(mod4)时：{{3},j≡1(mod2),{4},j≡0(mod2),1≤j≤n.当k≡3(mod4)时：显然，对∀uv∈E(G),有C(u)≠C(v),故结论成立.定理2 设Sn是n(n≥4)阶的星图，则有证明易知χ(Mk(Sn))=3，由引理1可知如果则会出现与定理1类似的矛盾，故下面给出图Mk(Sn)的一个5-E-AVSDETC染色法，令f如下：f(uij)={1,j=1,2,2≤j≤n,1≤i≤k.f(w)=5.f(u11u1j)=3,2≤j≤n.边uijui+1,l的染法如下：f(uijui+1,1)={3,i≡0(mod4)或i≡3(mod4), 4,i≡1(mod4)或i≡2(mod4),1≤i≤k-1;2≤j≤n.f(ui1ui+1,j)={3,i≡0(mod4)或i≡1(mod4), 4,i≡2(mod4)或i≡3(mod4),1≤i≤k-1;2≤j≤n.f(wvkj)={2,j=1,1,2≤j≤n.此时，各点的色集合的补集为：当i≡0(mod4)或i≡1(mod4)时：{{4,5},j=1,{5},2≤j≤n,1≤i≤k-1.当i≡2(mod4)或i≡3(mod4)时：{{3,5},j=1,{5},2≤j≤n,1≤i≤k-1.点ukj的色集合的补集分以下四种情况：当k≡0(mod4)时：{{4},j=1,{3},2≤j≤n.当k≡1(mod4)时：当k≡2(mod4)时：{{3},j=1,{4},2≤j≤n.当k≡3(mod4)时：显然，对∀uv∈E(G),有C(u)≠C(v)，故结论成立.定理3 设Cn是n(n≥4)阶的圈图，则有{5,n≡0(mod2),6,n≡1(mod2),(k≥3).证明下面分两种情况讨论：情况1：当n≡0(mod2)时，易知χ(Mk(Cn))=3，由引理1可知如果则会出现与定理1类似的矛盾，故下面给出图Mk(Cn)的一个5-E-AVSDETC染色法，令f如下：f(uij)={1,j≡1(mod2),2,j≡0(mod2),1≤i≤k;1≤j≤n.f(w)=5.f(u1ju1,j+1)=3,1≤j≤n-1.f(u11u1n)=3.边uijui+1,l的染法分以下四种情况：当i≡0(mod4)时：f(uijui+1,j-1)=3,1≤i≤k-1;2≤j≤n.f(uijui+1,j+1)=3,1≤i≤k-1;1≤j≤n-1.当i≡1(mod4)时：f(uijui+1,j-1)={3,j≡1(mod2),4,j≡0(mod2),1≤i≤k-1;2≤j≤n.f(uijui+1,j+1)={〗3,j≡1(mod2),4,j≡0(mod2),1≤i≤k-1;1≤j≤n-1.当i≡2(mod4)时：f(uijui+1,j-1)=4,1≤i≤k-1;2≤j≤n.f(uijui+1,j+1)=4,1≤i≤k-1;1≤j≤n-1.当i≡3(mod4)时：f(uijui+1,j-1)={3,j≡0(mod2),4,j≡1(mod2),1≤i≤k-1;2≤j≤n.f(uijui+1,j+1)={3,j≡0(mod2),4,j≡1(mod2),1≤i≤k-1;1≤j≤n-1.f(uinui+1,1)={3,i≡0(mod4)或i≡3(mod4), 4,i≡1(mod4)或i≡2(mod4),1≤i≤k-1.f(ui1ui+1,n)={3,i≡0(mod4)或i≡1(mod4), 4,i≡2(mod4)或i≡3(mod4),1≤i≤k-1.f(wvkj)={1,j≡0(mod2),2,j≡1(mod2),1≤j≤n.此时，各点的色集合的补集为：当i≡0(mod4)或i≡1(mod4)时：{{4,5},j≡1(mod2),{5},j≡0(mod2),1≤i≤k-1;1≤j≤n.当i≡2(mod4)或i≡3(mod4)时：{{3,5},j≡1(mod2),{5},j≡0(mod2),1≤i≤k-1;1≤j≤n.点ukj的色集合的补集分以下四种情况：当k≡0(mod4)时：{{3},j≡0(mod2),{4},j≡1(mod2),1≤j≤n.当k≡1(mod4)时：当k≡2(mod4)时：{{3},j≡1(mod2),{4},j≡0(mod2),1≤j≤n.当k≡3(mod4)时：显然，对∀uv∈E(G),有C(u)≠C(v),故结论成立.情况2：当n≡1(mod2)时，易知χ(Mk(Cn))=4，由引理1可知如果设色集合C={1,2,3,4,5},令φ(uin)=3,1≤i≤k.φ(w)=4.φ(uij)={1,j≡1(mod2),2,j≡0(mod2),1≤i≤k;1≤j≤n-1.由图的结构知，|C(w)|≥4，下面分两种情形考虑：情形2.1：当|C(w)|=4时，则点uij(除了u1j)和点w在邻点强可区别E-全染色的条件下，必存在j∈{1,2,…,n}，使得C(u1j)=C(u1,j+1)与定义矛盾.情形2.2：当|C(w)|=5时，必存在j∈{1,2,…,n},使得C(ukj)=C(w)与定义矛盾.故下面给出图Mk(Cn)的一个6-E-AVSDETC染色法，令f如下：f(uij)={1,j≡1(mod2),2,j≡0(mod2)1≤i≤k;1≤j≤n-1.f(uin)=3,1≤i≤k.f(w)=4.f(u1ju1,j+1)={3,1≤j≤n-2,5,j=n-1,f(u11u2n)=f(u1nu21)=f(u11u1n)=2.f(u1ju2,j-1)={3,j≡0(mod2),4,j≡1(mod2),2≤j≤n.f(u1ju2,j-+)={3,j≡0(mod2),4,j≡1(mod2),1≤j≤n-2.f(u1,n-1u2,n)=1. 边uijui+1,l的染法如下：f(uijui+1,j-1)={6,i≡1(mod4)或i≡2(mod4),5,i≡0(mod4)或i≡3(mod4),2≤i≤k-1;2≤j≤n.f(uijui+1,j+1)={6,i≡1(mod4)或i≡2(mod4),5,i≡0(mod4)或i≡3(mod4),2≤i≤k-1;2≤j≤n-1.f(ui1ui+1,n)=f(uinui+1,1)={6,i≡1(mod4)或i≡2(mod4),5,i≡0(mod4)或i≡3(mod4),2≤i≤k-1.当k≡0(mod4)或k≡2(mod4)时：f(wvkj)={2,j≡1(mod2),1,j≡0(mod4),1≤j≤n.当k≡1(mod4)时：f(wvkj)=6,1≤j≤n.当k≡3(mod4)时：f(wvkj)=5,1≤j≤n.此时，各点的色集合的补集为：{{5,6},j≡1(mod2),{4,5,6},j≡0(mod2),1≤j≤n-2.{{3,5},j≡0(mod2),{4,5},j≡1(mod2),1≤j≤n-2.当i≡0(mod4)时：{{4,6},j=1,n-1,n,{3,4,6},2≤j≤n-2,3≤i≤k-1.当i≡1(mod4)时：{{4},j=1,n-1,n,{3,4},2≤j≤n-2,3≤i≤k-1.当i≡2(mod4)时：{{4,5},j=1,n-1,n,{3,4,5},2≤j≤n-2,3≤i≤k-1.当i≡3(mod4)时：{{4},j=1,n-1,n,{3,4},2≤j≤n-2,3≤i≤k-1.当k≡0(mod4)时：{{6},j=1,n-1,n,{3,6},3≤j≤n-2.当k≡1(mod4)时：{φ,j=1,n-1,n,{φ},3≤j≤n-2.当k≡2(mod4)时：{{5},j=1,n-1,n,{3,5},3≤j≤n-2.当k≡3(mod4)时：{φ,j=1,n-1,n,{φ},3≤j≤n-2.显然，对∀uv∈E(G),有C(u)≠C(v),故结论成立.[参考文献]【相关文献】[1]Bondy J A. Graph theory with applications [J]. Journal of the Operational Research Society, 1977, 28(1):237-238.[2]Zhang Z,Liu L,Wang J.Adjacent strong edge coloring of graphs [J].Applied Mathematics Letters,2002,15(5):623-626.[3]张忠辅,陈祥恩,李敬文,等.关于图的邻点可区别全染色[J].中国科学,2004,34(5):574-583.[4]张忠辅,程辉,姚兵,等.图的邻点强可区别的全染色[J].中国科学,2007,37(9):1073-1082.[5]顾忠栋.若干图的邻点强可区别E-全染色[D].兰州:兰州交通大学,2017.[6]张忠辅,李敬文,田双亮,等.圈的Mycielski图的均匀全染色[J].兰州交通大学学报,2003, 22(6):1-3.[7]强会英,晁福刚,张忠辅.完全图的广义Mycielski图的邻点可区别的全色数[J].兰州大学学报:自然科学版,2006,42(2):99-101.。
路的Mycielski图上的对策着色和对策着色数
给 出 了 它 的对 策 色数 Ⅱ， 并给 出 了选 手 Ａｉ 相 应 获 胜 的对 策 。 ｌｅ ｃ
关键词 ：顶点 着色；色对 策；对策 色数 Ⅱ
中 图分 类 号 ：Ｔ ９ １７ Ｎ １．３ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章编 号 ：１７ ９ ７ （０ ６ ４— １４— ６ ２— ８０ ２０ ）０ ０ ３ ０ ４
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第２ ９卷 第 ４期 ２ ０６年 １ ０ ２月
长 春理 工大学 学报
Ｊｕ ｎ ｌｏ ａ ｇ ｈ ｎＵｎｖ ｒｉ ｆＳ ｉｎ ｅａ ｄＴｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ ｒ ａ ｆＣｈ ｎ ｃ ｕ ｉｅｓｔ ｏ ｃｅ ｃ ｎ ｃ ｎ ｌｇ ｙ
为 了简单起 见 ， 我们 分 别称 上述 对 策着 色和 对 策色 数为 色对策 Ｉ和对策 色数 Ｉ。在 色对 策 Ｉ 的基
础上 ，Ｃ ｅ ， ｃ ｅ ｈ ｎ Ｓ ｈｌ Ｓ ｒｖ ｐ和 ｈｅｅ对选手 Ｂ ｂ再 附加 条 ｏ
件 ，提 出了一 种 新 的对 策 着 色 ， 即图 Ｇ的 对 策着
色 Ⅱ ，这 个 条 件 是 限 制 选 手 Ｂ ｂ只 能利 用 选 手 Ｊ ｏ
Ａｉ ｌｅ已引入 的颜 色 之 一 ，除 非 他 为保 证 图着 色 是 ｃ 正 常 的而不得 不利用 ｘ中 的一种新 颜色 。图 Ｇ的对 策色 数 Ⅱ是选 手 Ａｉｅ 对 策 着色 Ⅱ中有一 个 获 胜 ｌ 在 ｃ 策 略 的最 小 的 ｔ ，记 为 数Ⅱ
。 ， ｒ 、
（ Ｇ）。图簇 Ｊ 的对策 色 ｒ １
（ Ｇ）定 义为 ：
ｆ ａ ｛ （ ） Ｇ∈厂ｆ 若 （ ）皆是有限值 ， ｍ ｘ Ｇ ： ， Ｇ
… 一Ｉ ，
Ｊ 是树 ，并 确 定 了 ｒ １ 类 ，由 （ ） Ｇ ，
广义Mycielski图的邻强边色数和邻点可区别全色数的两个上界
广义Mycielski图的邻强边色数和邻点可区别全色数的两个上
界
广义Mycielski图的邻强边色数和邻点可区别全色数的两个上界
对简单图G,|V(G)|=p,n是自然数,Mn(G)被称为图G的广义Mycielski图,如果V(Mn(G))={v01,v02,…,v0p;v11,v12,…,v1p;…;vn1,vn2,…,vnp},E(Mn( G))=E(G)∪{vijv(i+1)k|v0jv0k∈E(G),1≤j,k≤p, i=0,1,…,n-1}.文中针对简单图G与它的广义Mycielski图之间的关系,给出了G的广义Mycielski图的邻强边色数和邻点可区别全色数的两个上界.
作者：李沐春强会英张忠辅LI Mu-chun QIANG Hui-ying ZHANG Zhong-fu 作者单位：兰州交通大学,数理与软件工程学院,甘肃,兰州,730070 刊名：大学数学PKU英文刊名：COLLEGE MATHEMATICS 年，卷(期)：2009 25(2) 分类号：O157.5 关键词：广义Mycielski图邻强边色数邻点可区别全色数。
路、扇及星的Mycielski图的邻点可区别I-全染色
路、扇及星的Mycielski图的邻点可区别I-全染色刘秀丽【摘要】研究了Pn,E和Sn图的Mycielski图的邻点可区别的I-全染色.图G的邻点可区别的I-全染色是从G的点边集V(G) ∪E(G)到色集{1,2,…,k}的一个映射f,满足:任意uv∈E(G),u≠v,有f(u)≠f(v);任意uv,uw∈E(G),v≠w,有f(uv)≠f(uw);任意uv∈E(G),u≠v,有C(u)≠C(u),其中C(u)={f(u)}∪{f(uv)|uv∈E(G)}.最小的k值称为图G的邻点可区别的I-全色数,记作艺(G).根据图M(Pn),M(Fn)和M(Sn)的构造特征,利用构造函数法,构造了一个从点边集V(G) ∪E(G)到色集合{1,2,…,k}的函数,给出了一种染色方案,得到了M(Pn),M(Fn)和M(Sn)图的邻点可区别的I-全色数,并且满足猜想.【期刊名称】《中北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(036)004【总页数】4页(P408-411)【关键词】全染色;邻点可区别全染色;邻点可区别I-全染色;邻点可区别I-全色数;Mycielski图【作者】刘秀丽【作者单位】菏泽学院数学系,山东菏泽274015【正文语种】中文【中图分类】O157.5图的染色问题是图论的主要研究内容之一，具有重要的理论意义和现实意义，因而逐渐成为众多学者研究的重要领域之一［1］.全染色问题特别是邻点可区别全染色又是染色问题中的难点.2004年，张忠辅等［2］提出了邻点可区别全染色的概念，这个染色问题已经被广泛研究［3-5］.在邻点可区别全染色概念的基础上，又提出了图的邻点可区别I-全染色的概念.近年来，一些学者对一些特殊图类的邻点可区别I-全染色进行了研究［6-11］，本文讨论了M（Pn），M（Fn）和M（Sn）图的邻点可区别I-全染色，根据M（Pn），M（Fn）和M（Sn）图的特征，给出了一种具体的染色方案，得到了它们的邻点可区别I-全色数，并且满足猜想.定义1［9，12］对于阶数不小于2的连通图G，f是从V（G）∪E（G）到｛1，2，…，k｝的映射，k是自然数，如果f满足：3）任意uv∈EGu≠v有Cu≠Cv.其中C（u）=｛f（u）｝∪｛f（uv）|uv∈E （G）｝，则称f是图G的邻点可区别I-全染色（简记作k-IAVDTC），记χiat （G）=min｛k|G有k-邻点可区别I-全染色｝为G的邻点可区别I-全色数.定义2［13-14］设图G是简单图，构造图M（G），使其中称图M（G）是图G的Mycielski图.引理1［9］对简单图G，有χi≥Δ.如果任意uv∈E（G）且d（u）=d（v）=Δ，则有χiat（G）≥Δ+1.猜想1［11］对简单图G，则有χiat（G）≤Δ+2.本文所讨论的图均为简单、有限图.文中未加说明的记号和术语参见文献［1，15］.1 主要结果及证明定理1 设Pn表示阶为n（n≥3）的路，则有证明 1）n=3.由图M（P 3）的结构知Δ（M（P 3））=4，所以由引理1，有χiat（M（P 3））≥4.为了证明χi at （M（P 3））=4，只需给出M（F 3）的一个4-I-AVDTC.为此，构造一个映射f：V（M（P 3））∪E（M（P 3））→｛1，2，3，4｝：此时综上，f是M（P 3）的一个4-I-AVDTC.所以χiat（M（P 3））=4.2）n=4.由图M（P 4）的结构知Δ（M（P 4））=4且最大度点相邻，所以由引理1，有χiat（M（P 4））≥5.为了证明χiat（M（P 4））=5，只需给出M（P 4）的一个5-I-AVDTC.为此，构造一个映射f：此时综上，f是M（P 4）的一个5-I-AVDTC.所以χiat（M（P 4））=5.3）n≥5.由图M（Pn）的结构知Δ（M（Pn））=n，所以由引理1，有χiat（M（Pn））≥n.为了证明只需给出M（Pn）一个为此，构造一个映射此时综上，f是M（Pn）的一个n-I-AVDTC.所以χiat（M（Pn））=n.定理2 设Fn表示阶为n+1（n≥3）的扇，则有证明 1）n=3.由图M（F 3）的结构知Δ（M（F 3））=6且最大度点相邻，所以由引理1，有χiat（M（F 3））≥7.不妨设为了证明只需给出M（F 3）的一个7-I-AVDTC.为此，构造一个映射f：V（M（F 3））∪综上，f是M（F 3）的一个7-I-AVDTC.所以2）n≥4.由图M（Fn）的结构知Δ（M（Fn））=2n，所以由引理1，有χiat（M（Fn））≥2n.不妨设V（Fn）=为了证明只需给出M（Fn）的一个2n-I-AVDTC.为此，构造一个映射f：V（M（Fn））∪E（M（Fn））→｛1，2，…，2n｝：此时综上，f是M（Fn）的一个2n-I-AVDTC.所以χiat（M（Fn））=2n.定理3 设Sn表示阶为n+1（n≥3）的星，则有证明由图M（Sn）的结构知Δ（M（Sn））=2n，所以由引理1，有不妨设为了证明只需给出M（Sn）一个2n-I-AVDTC.为此，构造一个映射此时综上，f是M（Sn）的一个2n-I-AVDTC.所以χiat（M（Sn））=2n.参考文献：［1］Bondy J A，Murty U S A.Graph theory with apolications［M］.London：Macmillan Press Ltd.，1976.［2］张忠辅，陈祥恩，李敬文，等.关于图的邻点可区别全染色［J］.中国科学（A辑），2004，34（5）：574-583.Zhang Zhongfu，Chen Xiang'en，Li Jingwen，et al.Adjacent vertex distinguishing total coloring of graph ［J］.Science in China（Ser.A），2004，34（5）：574-583.（in Chinese）［3］孙晓玲，杜建伟.一类外平面图的邻点可区别全染色［J］.中北大学学报（自然科学版），2009，30（1）：1-4.Sun Xiaoling，Du Jianwei.Adjacent vertex distinguishing total coloring of a class of outerplane graphs［J］.Journal of Nouth University of China（Natural Science Edition），2009，30（1）：1-4.（in Chinese）［4］张芳红，王治文，陈祥恩.C5∨K t的邻点可区别全色数［J］.数学的实践与认识，2012，42（16）：247-252.Zhang Fanghong，Wang Zhiwen，Chen Xiang'en.Adjacent-vertex-distinguishing total chromatic numbers of C5∨Kt ［J］.Mathematics in Practice and Theory，2012，42（16）：247-252.（in Chinese）［5］杨超，姚兵，王宏宇.复合交叉圈的邻点可区别全色数［J］.华南师范大学学报（自然科学版），2014，46（1）：22-26.Yang Chao，Yao Bing，WangHongyu.Adjacent-vertex distinguishing total chromatic numbers of compound intersecting cycles［J］.Journal of South China Normal University（Natural Science Edition），2014，46（1）：22-26.（in Chinese）［6］王治文，杨随义，文飞.关于若干倍图的关联邻点可区别全染色［J］.内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版），2009，38（6）：643-646.Wang Zhiwen，Yang Suiyi，Wen Fei.On a number of incidence adjacent vertex-distinguishing total coloring of double graphs［J］.Journal of Inner Mongolia Normal University（Natural Science Edition），2009，38（6）：643-646.（in Chinese）［7］杨随义，王治文.一类3-正则图的关联邻点可区别全染色［J］.山西大学学报（自然科学版），2010，33（3）：354-357.Yang Suiyi，WangZhiwen.Incidence adjacent vertexdistinguishing total coloring of a kind of3-regular graph［J］.Journal of Shanxi University（Natural Science Edition），2010，33（3）：354-357.（in Chinese）［8］卢建立，任凤霞，马美琳.项链的若干染色问题［J］.科技导报，2012，30（7）：44-47.Lu Jianli，Ren Fengxia，Ma Meilin.Several coloring problems involving necklace［J］.Science and Technology Review，2012，30（7）：44-47.（in Chinese）［9］杨晓亚.图Pn□Cm的邻点可区别的I-全染色［J］.纯粹数学与应用数学，2012，2（6）：757-764.Yang Xiaoya.Adjacent vertex-distinguishing I-total colorings of Pn□Cm［J］.Pure and Applied Mathematics，2012，2（6）：757-764.（in Chinese）［10］杨随义，高毓平，何万生.图Pm□K n的邻点可区别I-全染色［J］.数学的实践与认识，2013，43（1）：212-218.Yang Suiyi，Gao Yuping，HeWansheng.Adjacent vertex-distinguishing I-total coloring of Pm□K n ［J］.Mathematics in Practice and Theory，2013，43（1）：212-218.（in Chinese）［11］Chen Xiangen，Gao Yuping，Yao Bing.Not necessarily proper total colourings which are adjacent vertex distinguishing［J］.International Journal of Computer Mathematics，2013，90（11）：2298-2307.［12］田京京.冠图Cm·Sn和Cm·Pn的邻点可区别的I-全染色［J］.西南师范大学学报（自然科学版），2013，38（2）：25-28.Tian Jingjing.On adjacent vertex-distinguishing Itotal chromatic number of the crown graph Cm·Sn and Cm·Pn［J］.Journal of Southwest China Normal University（Natural Science Edition），2013，38（2）：25-28.（in Chinese）［13］陈祥恩，张忠辅，晏静之，等.关于几类特殊图的Mycielski图的邻点可区别全色数（英文）［J］.兰州大学学报（自然科学版），2005，41（2）：117-122.Chen Xiang'en，Zhang Zhongfu，Yan Jingzhi，et al.Adjacent-vertex-distinguishing total chromatic numbers on Mycielski's graph of several kinds of pareicular graphs［J］.Journal of Lanzhou University（Natural Science），2005，41（2）：117-122.（in Chinese）［14］王继顺.图M（Pn）和M（Cn）的点可区别边色数［J］.数学杂志，2012，32（2）：363-368.Wang Jishun.Vertex-distinguishing edge chromatic number of M（Pn）and M（Cn）［J］.Journal of Math.，2012，32（2）：363-368.（in Chinese）［15］Bollobas B.Modern graph theory［M］.New York：Springer-Verlag，1998.。
广义Mycielski图的D(β)-点可区别VIE-全染色
（．长江大学 信息与数学学院， １ 湖北 荆州 ４４２ ； ．西北师范大学 数学与信息科学学院， ３０３ ２ 兰州 ７０７ ） ３０９
摘 要 ：单 图 Ｇ的 Ｄ（ ）一点 可 区 ＶＥ一 染 色是 满足 当 ， Ｅ （ ）０ ＜ ｄ ，）≤ 时 ， Ｉ 全 Ｇ ， （
有．ｕ ｓ ）≠｜ （ ｓ ）的正常全染 色，这里 ｄ ｔ 是任意两点 扎 间的距 离， （ ） （ （ ，） ， ， ｜ Ｍ 是点 ｕ的色集合。 ｓ Ｄ（ ）一点可 区别 ＶＥ一全 色数 是对 图 Ｇ进行 Ｄ（ ３ ／ Ｉ ３）一点 可 区别 ＶＥ一全染 色所 需最 小 色数 。文 中 Ｉ
ｔｎ ｉｈ ｎ Ｅ —ｔ ｔｌｃ ｒｍａｉ ｕｍｂ ｒ ｉ ｇ ｓ ｉ ｇ ＶＩ ｕ ｏａ ｈ ｏ ｔｃ ｎ ｅ
１ 引 言
定 义 １‘ Ｇ （ 【 】 Ｖ，Ｅ） 是 阶 至 少 为 ２的连 通
图 的染 色 理论 是 图论 中有重要 理论 意义 和实 践
图， 是正整数 ， 是从 （ ）ｕ （ ） ｛ ， ， ， ｋ ， Ｇ Ｇ 到 １２ … ｋ 的 一 个 映 射 。对 Ｖ 仨 Ｖ Ｇ ｝ Ｈ （ ），称 Ｓ ） ＝ （ ｛ ） ｝ｕ ｛ 删）Ｉ１ ∈Ｅ Ｇ ｝ ， １ １ ３ （ ） 为点 的色集合 。 若， 是图 Ｇ的正 常全染色 ，且 当 Ⅱ ∈ （ ）０ ＜ ， Ｇ，
Ｌ Ｕ —ｑ ｎ Ｉ Ｌｉ ｕ ， ＣＨＥＮＧ ａ ｇ—ｅ Ｘｉｎ ｎ
（ ． ｏ ｅｅｏ ｎ ｒ ａｉ ｎ ｔｅ ａｉ ，Ｙ ｎ ｔ ｎ ｅ ｉ ，Ｊ ｇｈ ｕ ３０ ３ ｈｎ ； １ Ｃ ｌｇ ｆ ｍ ｔ ｎａ ｄＭａｈｍ ｔｓ ａ ｇｚ Ｕ ｉ ｒ ｔ ｉ ｚｏ ，４ ４ ２ ，Ｃ ｉ ｌ ｆＩ ｏ ｏ ｃ ｅ ｖ ｓｙ ｎ ａ ２ Ｃ ｌｇ ． ｏ ｅｅｏ ｌ ｆＭａｈｍ ｔｓａ ｆ ｒ ａｉ ｃ ｎｅ ｏｔｗ ｓ Ｎ ｒ ａ ｎ ｅ ｉ ，Ｌ ｎｈ ｕ７ ０ ７ ，Ｃ ｉａ ｔｅ ａｉ ｎ Ｉ ｏｍ ｔ ｎＳｉ ｃ ，Ｎ ｒ ｅ ｏｍ ｌ ￣ ｒｔ ａ ｚｏ ３ ０ ９ ｈｎ ） ｃ ｄ ｎ ｏ ｅ ｈ ｔ Ｕ ｓｙ Ａ ｓ ａ ｔ ｅ Ｇ ｂ ｉ ｐｅｇａ ｈ ｒｐ ｒ ｏ ｌ ｏ ｒ ｇｏ ａ ｅ ／ ｂ ｔ ｃ ：Ｌ ｔ ｅａｓ ｌ ｒｐ ，Ａ ｐ ｅ ｔ ｌ ｎ ｆ ｉ ｃｌ ｄａ ３ ｒ ｍ ｏ ｔａ ｃ ｏ ｉ Ｇ ｓ ｌ Ｄ（ ）一ｖｒ ｘｄｓｎ ｕｓｉｇＶ Ｅ— ｅｔ ｉ ｉｇｉ ｎ Ｉ ｅ ｔ ｈ ｔ ａ ｃ ｌ ｎ ｆ ｙｔｏｄｓ ｎｔ ｅｔ ｅ ｕ ｔ∈ （ ）０ ＜ｄ ｕ ｔ ｏ ｌ ｏ ｒ ｇｉ ｏ ａ ｉｉｃ ｖｒｃｓ ， Ｇ ， ｔ ｏ ｉ ｆ ｒｎ ｗ ｔ ｉ ， （ ，）≤ｊ ｝ Ｂ，ｗ ａｅｓ “ ｅ ｖ Ｊ ）≠ ． ｔ ｈ （ ｓ， （ ），ｗ ｅｅ （ ， ｈ ｒ ｄ ｕ ）ｄｎ ｔｓｈ ｉ ａ ｃ ｅ ｅｎ ａｄ口ｏ ｎ ， （ ）， （ ）ｉ ｃｌ ｅ ｏ ｅｖｒ ｘ ｅｏｅ ｅｄｓ ｎ ｅｂｔ ｅ ｎ ｆｒ ｙ Ｅ Ｖ Ｇ Ｓ Ⅱ ｓ ｏ ｒ ｔ ｆｈ ｅｔ ｕ．Ｔ ｅ ／）一ｖｒ ｘ ｔ ｔ ｗ ｕ ａ ｏ ｓ ｔ ｅ ｈ Ｄ（ ３ ｅｔ ｅ
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ｃ“＝ｆ Ｉ Ｅ Ｇ ｌ 若满足ｌ — ｌ （√ １２…，）其中Ｖ ∈ 。 ｅ＝（ ，， ｋ ， 是图Ｇ的点可 （）ｉ ）删∈ （ ） （ 。 ｌ Ｉ ≤１ ＝ ，， ｋ ， ＥＩ Ｉ Ｅ， ） ２ …，）称， ｅ １
区别 均 匀 边 染 色 。讨 论 了若 干 图 的 Ｍｙｉ ｓｉ 的点 可 区 别 均匀 边 染 色 。 ｃｅ ｋ 图 ｌ 关 键 词 ：圈 ； ； ｃ ｌ ｉ ； 可 区 别 均 匀边 染 色 ； 可 区别 均 匀边 色数 星 Ｍｙｉｓ 图 点 ｅｋ 点 中 图 分类 号 ： ５ ． ０１７ ５
Ｖ０．７ １ Ｎｏ １ ２ ．
Ｍａ ． ２ ０ ｒ ０１
若干图的 Ｍｙｉ ｓｉ ｃ ｌ 图的点可区别 ｅｋ 均匀边色数
安 常胜 ，冯旭 霞 ，罗 亮 ，崔俊 峰
（ 兰州 交 通 大 学 数 理 与 软 件工 程 学 院 ， 肃 兰 州 ７ ０ ７ ） 甘 ３０ ０
摘 要 ：简 单 图 Ｇ 的 正 常 边 染 色 ， 若 对 于 Ｙｕ 口∈Ｖ（ ， Ｃ ｕ ≠Ｃ（ ）称 ，是 图 Ｇ 的 点 可 区 别 边 染 色 ， 中 ， ， Ｇ）有 （ ） ， 其
记 ｎ ｌ阶轮 为 ＋
（ ｌ ０ １…，｝ Ｅ Ｗ ）扣 ｉ １２ …，｝ ｖ Ｉ １２ … ，－ ｝Ｊ ｌ Ｗ ） ｉ ，， ｎ ， （ ｌ ， ， ｒｕ｛ｖｌ ，， ｎ １Ｌ｛ ） ＝ ＝ ＝ ｇ ； Ｖ
［ 稿 日期】 ０ ８ ０－ ３ 收 ２ ０ － ４ ２
【 金 项 目】 基 国家 自然科 学 基 金 资 助 项 目（０ ７ ０ １ １７ １ ９ ）
（ ＝ ｌ ０ １ … ，） Ｅ（ ＝＂ Ｉ １２ … ，） Ｓ） ， ， ｒ ， ）｛ ｉ ， ， ｎ ｉ ＝ ｔ ＝
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文 献 标识 码 ： Ａ
ＭＲ（０ ｏ Ｓ ｂｅｔ ａｓ ｃ ｔ ｎ ０ Ｃ ５ ２ｏ ） ｕ ｊｃ ｓｉ ａｉ ： ５ １ Ｃｌ ｆ ｏ ｉ
文章 编 号 ：１ ７ 一 ６ ７ ２ ｌ ） １ ０ ２ － ５ ６２ Ｏ ８ （０ Ｏ ０ — ０ １０
图论在 自然科学 与应用科 学 中都 起 着重要 作用 ， 的染 色 问题是 图论 研 究的 主要 内容 之一 ， 图 具有 很强 的 理论 和现 实意义 。 目前 ， 国内外 众多 学者对 该 问题作 了大量 工作 ， 中包 括确 定具 有某种属 性 的特殊 图 的色 其
ｋ， ）则称 是图 Ｇ的点可区别均匀边染色 ， 简记为 ｋ Ｖ Ｅ Ｃｏ 且称 （ ）ｍ ｎ ｌ－ Ｄ Ｅ ） Ｇ － Ｄ Ｅ ｆＧ， Ｇ ＝ ｉ ｋ ｋ Ｖ Ｅ Ｃｏ 为 ｛ ｆＧ
的点可 区别 均匀边 色数 。 定 义 ２１ 对 简 单 图 Ｇ， 示 具 有 度 为 ｉ 【 叫 １表 ７ ， 的点 数 ，、 ６ △分 别 表 示 图 Ｇ 的 最 小 度 与最 大 度 ， ／（ ＝ 称 ｚ Ｇ）
ｆ ｎ３ ４ ＝ 定理 １ 设 Ｐｎ为 ｎ （） 阶路（≥２ ， （ ） ｛ ｎ２４ ） 则有 Ｍ（ ） ５ ＝ ， 。 ＝
数 的研 究 。笔者 得到 了圈 、 的 Ｍｙ ｉ ｓｉ 星 ｃ ｌ 图的点可 区别均 匀边 色数 。 ｅｋ
定 义 ｌ切 对 简 单 图 Ｇ 的正 常 边 染 色 ． 任 意 Ｉ 【 ｌ 厂 ， ｌ ， ∈Ｖ（ ， Ｃ（） Ｇ）若 ≠Ｃ（） 其 中 Ｃ（） ｛（ｖ Ｊ ∈ ， “ ＝ｆ／ ） ２
Ｅ（ Ｇ）＝ （ ｕＩ ｌ Ｍ（ ）Ｅ Ｇ） 删 Ｍ∈Ｖ Ｇ） ∈Ｖ ，１∈Ｅ Ｇ）Ｕ｛ ＇ ∈Ｖ） （ ， １ １ ， （ ） 删 ｌ ） １ ３
其中 Ｖ＝ ｆ Ｖ Ｇ Ｊ ） ｖ ｃ １Ｖ ） 。 移∈ （ ）， ｎ（ （ ） ＝ ３
在 以下讨 论 中 ， ｎ ｌ阶星 为 记 ＋
第２ ７卷 第 １ 期
２１ ０ ０年 ３月
苏 州 科 技 学 院 学 报 （ 然 科 学 版） 自
Ｊｕ ｎ ｌｏ ｕ ｈ ｕ Ｕｎｖ ｒｉ ｆＳ ｉｎ ｅａ ｄ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ （ ｔｒ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ａ ｆＳ ｚｏ ｉｅｓｔ ｏ ｃｅ ｃ ｎ ｅ ｈ ｏｏｙ Ｎａｕａ Ｓ ｉｎ ｅ ｙ ｌ
Ｅ Ｇ 】则称 是图 Ｇ的点可区别边染色 ， （ ）， 简记为 ｋ Ｖ Ｅ ， － Ｄ Ｃｏ 且称 （ ）ｍ ｎ － Ｄ Ｃｏ ） Ｇ的点 ｆＧ Ｇ ＝ ｉｋｋＶ Ｅ ｛Ｉ ｆＧ为
可 区别 边色 数 。
若厂 是图 Ｇ的点可区别边染色 ， 且满足 ｝ Ｉ历 （ ＝ ，， ｋ ， Ｉ— Ｉ ｆ Ｉ ｌ２ …，）其中任意 ｅ Ｅ， Ｐ ＝（ １２ … ， ≤１ √ ∈ ｉ ） ＝ ， ，
［ 者 简 介］ 常胜 （９ ３ ）男 ， 肃 榆 中 人 ， 士 研 究生 ， 究 方 向 ： 合 与 网 络 优 化 的 研究 。 作 安 １８ 一 ， 甘 硕 研 组
苏州科技 学 院学报 （ 自然科 学版 ）
２１ 生 ０ ０．
文 中未加 说 明的符号 或标 记可见参 考文献 ［ ， ， ］ ２８９ 。
，ｌ 、
ｍ ｘｍｎＡ Ｊ ≤ ≤ ｝ Ｇ的组合度。 ａ｛ ｉ Ｉ ≥ｎ △ 为图 ｛
猜 想 １ ・ 对 Ｉ Ｇ） （ Ｉ ≥３的简 单连 通 图 Ｇ， 有 （ ） ‰ Ｇ） 则 Ｇ （ ≤ （ ＋ 。 Ｇ） １ 猜想 ２ ・ 对 Ｊ（ １ ３的简单 连 通 图 Ｇ， 有 Ｖ Ｇ） ＞ ／ 则 （ －￣ （ 。 Ｇ） ｄ Ｇ） Ｘ 定 义 ３ 对 图 Ｇ（ Ｅ ， Ｇ） 为 Ｇ的 Ｍｙ ｉ ｓｉ ， ， ）肘（ 称 ｃｅ ｋ 图 如果 Ｖ（ Ｇ）＝ Ｇ） ｕ｛ｌ ｌ Ｍ（ ） （ ｕ Ｗ；