边染色7_临界图边数的新下界

文章编号 : 167129352 ( 2010) 0820036204
边染色 72临界图边数的新下界
田大东 ,苗连英 ,李梅
(中国矿业大学理学院 , 江苏 徐州 221116)
摘要 :运用差值转移规则研究了 72临界图的边数下界 ,改进了已有的结果 。 关键词 :临界图 ; 边数 ; 下界 ; 度 中图分类号 : O 15715 文献标志码 : A
38
山 东 大 学 学 报 (理 学 版 )
第 45卷
向
x转移差值
1 5
×1 。其中 , k,
j
j分别表示
x所邻接度数为
3, 4, 5的顶点个数之和 。
下面按照顶点的度数分别进行讨论 。文中 c ( x) = d ( x) - 259, c′( x)为经过差值转移后所得新值 。 ( 1) 对 d ( x) = 2的点 设 x是一个 2度点 , x邻接 2个 7度顶点 ,设为 u, v。由引理 2, u至少邻接 5个不同于 v的 7度顶点 , v 同样如此 ,根据规则 1,则有
3,
c′( x) ≥c ( x) + 6 ×2 + 3 = 1 > 0。
5
55
( 3) 对 d ( x) = 4的点
设
x是一个
4度点
, 如果
δ 1
(
x)
= 5,则由引理
2和规则
3知 ,
c′( x) ≥c ( x) + 6 ×1 ×3 = 0。 52
若
δ 1
(
x)
= 6,此时
x要么邻接
1个
6度点 ,要么邻接
移差值
1 5
, V1 的邻点
(除
x, V2 , V3 )向
x转移差值
6 5
×1 ; 7
V2 , V3 向
x转移差值
6。 5
规则
3 d ( x)
= 3 (δ1 ( x)
= 7) , d ( x)
= 4, d ( x)
= 5的点 , x的
7度邻点
y向
x转移差值
6 5
×1 , 6度邻点
k
z
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
x的其它邻点均为
7度点 ,且由引理
2知与
x距离为
2的点的
度数均 ≥6,由规则
1,
x只向它的
2度邻点转移
6 5
,
此时
c′( x)
≥0。
如果
δ 1
(
临界图边数下界的研究现状 : ( 1) 2007年 , D oug las R. W ooda ll证明了 [ 2 ] :
「 Δ≥2,当 t = Δ 时 , m ≥ 1 qn,其中 , q = t (Δ + t - 1) 。
2
2
2t - 1
( 2) 2004年 Zhao Yue给出了当 6≤Δ≤11时的一个结果 [ 3 ] :
2个
6度点 。对于第一种情况 ,
x的
3个
7邻点中 ,
如果有一个邻接 3个 ( ≤5)度点 ,由引理 4 ( 2)知 x的其它 3个邻点只邻接一个 ( ≤5)度点 ,则
c′( x) ≥c ( x)
+
6 5
×2 +
6 5
×1 3
+
1 5
=
6 5
> 0。
否则 x的所有邻点 ,至多邻接 2个 ( ≤5)度点 ,则
54
10
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
第 8期
田大东 ,等 :边染色 72临界图边数的新下界
39
如果
δ 1
(
x)
1 预备知识
本文讨论的图都是有限 、无向的简单图 ,未说明的定义或符号均参考文献 [ 1 ]。 定义 1 设 G 是一个图 ,用 d ( v) 、V ( G ) 、E (G ) 、Δ( G ) 、δ(G ) 、δ1 ( x) 、m 及 q分别表示 G 的顶点的度数 、 顶点集 、边集 、最大度 、最小度 、x相邻顶点的最小度数 、边数及平均度 。 定义 2 若对图 G 的任何边 e,令 G ′= G - e,如果 χ′( G ′) <χ′(G ) ,则称 G 是临界的 。若 G 是临界的且 Δ(G ) =Δ,则称 G 是 Δ2临界图 。其中 χ′( G )表示图 G 的边色数 。
c′( x) ≥c ( x) + 6 ×2 + 2 ×5 ×6 ×1 = 11 > 0。
5
5 7 35
( 2) 对 d ( x) = 3的点
如果
δ 1
(
x)
= 6,设
x的
3个邻点为
V1 , V2 , V3 , 且
d (V1 )
= 6,则由引理
2, V2 , V3 邻点度数
(除
x外 )均 ≥6
且 V1 至少有 3个不同于 x, V2 , V3 的 7度邻点 ,由规则 2知
= 6, 则由规则
3, x的
7 度邻点至少向
x转移差值
6 5
×1 4
,
x的
6 度邻点至少向
x转移差值
1 ×1 。 53
根据引理 1,我们分以下三种情形证明 。 情形 1 x仅与一个 6度点相邻 ,此时
c′( x) ≥c ( x)
+
6 5
×1 4
×4 +
1 5
×1 3
=
7 15
>
0。
情形 2 x与两个 6度点相邻 ,此时
×1 4
,
此时
c′( x) ≥c ( x)
+
6 5
×1 4
×5 = 7 > 0。 10
( 5) 对 d ( x) = 6的点 ,通过规则 3,我们可以看出 x转移的差值至多为 1 ,即 c′( x) ≥0。 5
( 6) 对 d ( x) = 7的点
如果
δ 1
(
x)
= 2,则根据 V iz ing邻接引理知
(异于
x)向
x转移差值
6 5
×1 7
,
如果有一个顶点
,
它既是
u的邻点 ,同时又是
v的邻点 , 那么它向
x转移差值
6 ×2 。 57
规则 2 对 d ( x) = 3 (δ1 ( x) = 6)的点 , 设 x的三个邻点分别为 V1 , V2 , V3 , 且 d (V1 ) = 6, 此时 V1 向 x转
第 8期
田大东 ,等 :边染色 72临界图边数的新下界
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5, Δ = 6,
5
+
2 3
,
Δ
= 7,
f (Δ) 2
=
6 + 1 , Δ = 8, 4
6 + 4 , Δ = 9,
5
7 + 2 , Δ = 10, 5
8, Δ = 11。
( 3) 2008年 , D oug las R. W ooda ll证明了 [ 4 ] : m ≥ 1 qn。当 Δ≥2时 q≥ 2 (Δ + 1) ; 当 Δ≥8时 , q≥ 2Δ +
The new low er bound for the size of edge chrom atic critical graphs w ith m axim um degree 7
T IAN D a2dong, M IAO L ian2y ing, L I M e i
( C o llege of S ciences, C h ina U n ive rs ity of M in ing and Techno logy, X uzhou 221116, J iangsu, C h ina)
3个
7度点只邻接一个
( ≤5)度
点 ,由规则 3知 :
c′( x) = c ( x) + 6 ×3 + 1 ×1 = 11 > 0。
5
535
否则 x的所有 7度点至多邻接 2个 ( ≤Δ - 2)度点 ,由规则 3知 :
c′( x) ≥c ( x)
+
6 5
×1 2
×4 =
3 5
> 0。
( 4) 对 d ( x) = 5的点
第 45卷 第 8期 V o l. 45 N o. 8
山 东 大 学 学 报 (理 学 版 )
J ou rna l of S handong U n ive rs ity (N a tu ra l S c ience)
2010年 8月 A ug. 2010
3 主要结果
定理 1 对于 72临界图 ,有 m ≥29n。 10
证明 将运用 D ischa rg ing方法 ,按照下面的差值转移规则 (这些差值规则都是根据临界图的性质得到 的 )对相邻的顶点之间进行差值转移 ,使得最终所有顶点的值都能满足我们的要求 。
规则 1 对 d ( x) = 2的点 , x邻接两个 7度顶点 ,设为 u, v。此时 u, v向 x转移差值 6 ,并且 u, v的邻点 5
c′( x) ≥c ( x) + 6 ×1 ×3 + 1 ×1 ×2 = 7 > 0。
54
53
30
情形 3 x与三个 6度点相邻 ,此时
c′( x) ≥c ( x)
+
6 5
×1 4
×2 +
1 5
×1 3
×3 = 0。
如果
δ 1
(
x)
= 7,则由引理
1和规则
3, x的每一个
7度邻点至少向
x转移差值
6 5
c′( x) ≥c ( x) + 6 ×2 + 1 + 6 ×1 ×3 = 11 > 0。
5
557
35
如果
δ 1
(
x)
= 7,则由引理
3,
x邻接的
3个
7度顶点中至少有
2个其邻点
(除
x外 )度数均为
7, 这两个
7
度点均向
x转移差值
6 5
,
x的另一个邻点至少向
x转移差值
6 5
×1 2
=
3 5
, 所以由规则
c′( x) ≥c ( x) + 6 ×1 ×3 + 1 ×1 = 1 > 0。
52
5 2 10
对于第二种情况 ,由引理 4 ( 3)知 :
c′( x) ≥c ( x)
+
6 5
×2 +
1 5
×1 2
×2 =
4 5
> 0。
若
δ 1
(
x)
= 7,则由引理
4 ( 2) ,若其中一个邻接
3个
( ≤5)度点 , 则其余
2
3
3
1; 当
Δ≥15时
,
q≥
2 3
(Δ + 2) ; 对于比较大的 Δ,有
q≥
1 2
(Δ +
2Δ) 。
2 所用引理
引理 1[ 5 ] 设 G 是 Δ2临界图 , xy∈E ( G ) , d ( x) = k,则 y至少有 Δ - d ( x) + 1个 Δ度邻点 。 引理 2[ 2 ] 设 G 是 Δ2临界图 , xy∈E ( G ) ,且 d ( x) + d ( y) =Δ + 2,则有 : ( 1) x, y的所有邻点 (除去 x, y)均为 Δ度点 ; ( 2) 与 x, y距离为 2的顶点的度至少为 Δ - 1; ( 3) 当 d ( x) , d ( y) <Δ时 ,与 x, y距离为 2的顶点的度为 Δ。 引理 3[ 2 ] 设 G 是 Δ2临界图 ,Δ≥5, d ( x) = 3,则 x至少有两个 Δ度邻点 , 设为 u, v, 且 u, v的邻点中除 了 x外其余的点的度都大于等于 Δ - 1。 引理 4[ 6 ]设 G 是 Δ2临界图 , d ( x) = 4,若 Δ≥6,则有 : ( 1) 若 x邻接一个 (Δ - 2)度点 ,则 x的其它邻点均为 Δ度顶点 ; ( 2) 若 x的邻点全是 ( ≥Δ - 1)度点 , 并且其中一个邻接 3个 ( ≤Δ - 2)度顶点 , 则 x的其它 3个邻点只 邻接一个 ( ≤Δ - 2)度点 ; ( 3) 若 x邻接两个 (Δ - 1)度点 ,则 x的两个 Δ度邻点只邻接一个 ( ≤Δ - 2)度点 。
Abstract: B y app ly ing a d ischa rg ing m e thod, a new low e r bound fo r the s ide w ithBaidu Nhomakorabea = 7 is g iven. Key words: critica l g rap hs; the s ize of edge; the low e r s ize; deg rees
如果
δ 1
(
x)
= 4,则由引理
2,
x的其它
4个邻点均为
7度点 ,且每一个
7 度点至少与
5个
7度点相邻 , 根
据规则 3,
c′( x) ≥c ( x) + 6 ×1 ×4 = 8 > 0。
52
5
如果
δ 1
(
x)
= 5,则由引理
1,
x至少与
3个
7度点相邻 ,因此
c′( x) ≥c ( x) + 6 ×1 ×3 = 1 > 0。
若图
G 是 Δ2临界图 ,则
m
≥f
(Δ) 2
n (m,
n分别表示图
G 的边数及顶点数 ) ,其中 ,
收稿日期 : 2009209224 作者简介 :田大东 ( 19832 ) , 男 ,硕士 ,研究方向为图论及其应用. Em ail: dadonglm 1123@ sina. com
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