图论图的着色
chap12 图的着色
点着色的应用
课程安排问题 某大学数学系要为这个夏季安排课程表。所要开设 的课程为：图论(GT), 统计学(S),线性代数(LA), 高等 微积分(AC), 几何学(G)和近世代数(MA)。现有10名 学生(如下所示)需要选修这些课程。根据这些信息， 确定开设这些课程所需要的最少时间段数，使得学 生选课不会发生冲突。(学生用Ai表示）
5
K可着色的图例
v1
1
v2
G
v3 v4
v5
2 3
S
:V(G) →S,满射 是正常3着色，G是3可着色的。
6
K色图
定义12.1.2 图G的正常k着色中最小的k称为G的色
数，记为(G)，即(G)=min{k|G存在正常k着色}。
若(G) =k，则称G是k色图。 显然，含环的图不存在正常着色，而多重边与一条 边对正常着色是等价的。以后总设G为简单图。 问题：已知一个图G(p,q)，如何求色数(G)？
又因k＞0， 所以与(G)定义矛盾。结论成立。 注意此定理与定理12.1.2的区别。 定理12.1.2 若G是一个临界图，则(G) ≤(G)+1
21
Brooks 定理
定理12.1.5 若连通图G既不是奇回路，也不是完全 图，则(G) (G) . 例如，对Petersen图应用Brooks定理，可得： (G) (G) =3 . 此定理说明只有奇回路 或完全图这两类图的色 数才是(G) +1。
第一步：建图。 把每门课程做为图G的顶点，两顶点连线当且仅当 有某个学生同时选了这两门课程。
色给同一时 段的课程顶点染色，那么，问 题转化为在状态图中求点色数 问题。
MA
S
G
AC 选课状态图
LA
四色定理-
四色定理四色定理是数学领域的一道经典难题，也是著名的图论问题之一。
该问题能够被描述为：如果一幅地图被分为若干个不重叠的区域，且相邻的区域颜色必须不同，那么至多需要使用四种颜色才能使所有区域都被正确着色。
简言之，该问题需要解决的就是如何用最少的颜色来着色地图，而不发生相邻区域颜色相同的情况。
四色定理的历史可以追溯到18世纪，当时的欧洲地图繁多、国界复杂，着色问题引起了人们的兴趣。
1786年，欧洲地图着色问题第一次在数学界被提出。
自那时以来，许多数学家花费了大量的时间和精力来尝试解决它。
在数学家们的长期探索中，有两种主要的方法被使用：一种是通过手工着色，即一张一张地着色来探索它的规律；另一种是通过建模并使用计算机进行仿真模拟来验证其正确性。
如今，这两种方法已经发展到了一定的成熟程度，成为了研究四色定理的多种手段。
在20世纪初期，四色定理开始受到广泛的关注。
当时的一些数学家就开始思考这个问题，并通过手工着色和自动推断发现了许多有趣的规律。
例如，发现了不同类型的地图样式可以用同样的着色方法来解决问题：方格状地图只需要四种颜色，而其他的复杂地图则需要更多的颜色。
这一发现为解决四色定理提供了重要线索。
然而，在后来的研究过程中，四色定理的复杂性逐渐表现出来。
当时，数学家们尝试使用多种方法来证明其正确性，但不论是哪种方式，都需要很高的数学造诣和极度复杂的计算，使得这个问题变得异常艰深。
在20世纪40年代，数学家们开始逐渐发展出一种全新的数学研究方法：计算机模拟。
由于计算机的出现，许多数学问题的解决变得越来越容易。
此时，数学家们尝试了用计算机模拟方法来验证四色定理，他们用计算机对地图进行极其复杂的分割，最终发现所有的复杂分割都可以用最多四种颜色来着色。
这就是四色定理的重要结论：世界上任何一张地图都可以用最多四种颜色来着色。
四色定理是数学领域的一项里程碑式的成就，它不仅是数学史上重要的一个难题，也对计算机科学和其他领域产生了深远的影响。
图的平面性与图的着色问题
图的平面性与图的着色问题在图论中，图的平面性与图的着色问题是两个重要的研究方向。
图的平面性指的是一种特殊的图的布局方式，使得图的边不相交。
而图的着色问题是指如何给图的顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不相同。
本文将分别介绍图的平面性和图的着色问题，并对其进行详细讨论。
一、图的平面性（Planarity of Graphs）图的平面性是图论中一个经典的问题，研究的是如何将一个图画在平面上，使得图的边不相交。
具体而言，如果一个图可以被画在平面上，且不同边的交点只有顶点，那么我们称该图是一个平面图。
而对于不能在平面上画出来的图，则被称为非平面图。
定理1：一个图是平面图，当且仅当它不包含任何的子图同构于以下两种图之一：K5（五个没有共同边的顶点）或K3,3（六个节点，其中任意两个节点之间都有边相连但不交叉）。
这个定理被称为Kuratowski定理，它为我们判断一个图是否是平面图提供了一个有效的方法。
根据Kuratowski定理，我们可以使用该定理的逆否命题，即如果一个图中包含K5或K3,3，则该图一定是非平面图。
除了Kuratowski定理之外，还有一种判断图的平面性的方法，称为Euler公式。
Euler公式表达了平面图的顶点数、边数和面数之间的关系：V - E + F = 2其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。
根据Euler公式，对于简单连接图（无环，无孤立点），如果它的顶点数大于等于3且边数大于等于3，且满足Euler公式，则该图是一个平面图。
二、图的着色问题（Graph Coloring）图的着色问题是指如何给一个图的顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不相同。
这里的相邻指的是有边相连的顶点。
在图论中，颜色通常表示为正整数，颜色数则表示为给定图所需的最小颜色数。
对于任意图G，G的最小颜色数被称为G的色数。
如果图G的色数为k，则称图G是可k着色的。
求解一个图的最小色数是一个复杂的问题，称为顶点着色问题（Vertex Coloring Problem），它是一个NP 完全问题。
第8节图论应用实例_图着色问题
第8节图论应用实例_图着色问题预备知识_回溯法回溯法:在实际生活中，有些问题是不能用数学公式去解决的，它需要通过一个过程，此过程要经过若干个步骤才能完成，每一个步骤又分为若干种可能;同时，为了完成任务，还必须遵守一些规则，但这些规则无法用数学公式表示，对于这样一类问题，一般采用搜索的方法来解决，回溯法就是搜索算法(广度优先、深度优先等)中的一种控制策略，它能够解决许多搜索中问题。
回溯法基本思想:试探法，撞了南墙就回头。
(一般采用深度优先搜索策略) 搜索策略:深度优先(不撞南墙不回头)。
在搜索过程中，如果求解失败，则返回搜索步骤中的上一点，去寻找新的路径，以求得答案。
要返回搜索，前进中的某些状态必须保存，才能使得退回到某种状态后能继续向前。
白话搜索:如果用数组存放搜索信息，i表示数组下标(当前状态)， ++i表示往前走(下一个状态)，--i表示回溯(往回退，返回上一次状态)。
第8节图论应用实例_图着色(graph coloring)问题数学定义:给定一个无向图G=(V, E)，其中V为顶点集合，E为边集合，图着色问题即为将V分为k个颜色组(k为颜色数)，每个组形成一个独立集，即其中没有相邻的顶点。
其优化版本是希望获得最小的k值。
典型应用:地图的着色、调度问题等。
k-着色判定问题:给定无向连通图G和k种不同的颜色。
用这些颜色为图G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色，是否有一种着色法使G中任意相邻的2个顶点着不同颜色,例四色问题。
设有如图1的地图，每个区域代表一个省，区域中的数字表示省的编号，现在要求给每个省涂上红、蓝、黄、白四种颜色之一，同时使相邻的省份以不同的颜色区分。
课外拓展:搜索“四色问题”，了解四色问题相关知识。
5674231图1问题分析:(1)属于图的搜索问题。
将问题简化:将每个省抽象为一个点，省之间的联系看为一条边，可以得到图2。
16751432图2(2)用邻接矩阵表示各省之间的相邻关系，二维数组实现:1 表示省i与省j相邻, ,,ri,j,,0 表示省i与省j不相邻,由图2可以得到如下矩阵:(对称矩阵)1 2 3 4 5 6 71 0 1 0 0 0 0 12 1 0 1 1 1 1 13 0 1 0 1 0 0 04 0 1 1 0 1 0 05 0 1 0 1 0 1 06 0 1 0 0 1 0 17 1 1 0 0 0 1 0 为一对称矩阵。
图论 图的着色
X(G(V1,V2))=
X(G)=2 G为二部图
Th5.1：如果图G的顶点次数≤ρ，则G是ρ+1可着色的。
Th5.2：如果G是一个简单连通的非完全图，如果它的最大顶点次 数为ρ(ρ≥3)，则称G为ρ可着色的。
下面的讨论的图为平面图：
Th5.3：每个平面图都是6可着色的。 Th5.4：每个平面图都是5可着色的。 Th5.5：每个平面图都是4可着色的。
ρ ≤ X’(G)≤ ρ+1
对任意图判断X’(G)= ρ 或X’(G)= ρ+1没有解决，但对于一些特殊图， 答案是清楚的。
对于n个点圈图： 2 or 3
.13：对于n(n>1)的完全图，
X’(kn)=n (n为奇数）X’(kn)=n-1(n为偶数) Th5.15：如G为具有最大顶点次数ρ的二部图，则X’(G)= ρ。
Corollary 5.9：地图4色定理 平面图的4色定理。 Th5.10：设G为一张每个顶点都是3次的地图，则 G为3可面着色G的每个面皆被偶数条边所围 Th5.11：如果每个3正规的地图是4可面着色的，则4色定理成立。
5.3 边的着色
G是k可边着色的：如果图G的所有的边皆可用k种颜色着色，使得 任何两条相邻的边均具有不同的颜色，则称G是k边着色的。 k为G的边色数：如果G为k可边着色的，但不是k-1可边着色的，则 称k为G的边色数，记为：X’(G)。 Th5.12：如果G为简单图且它的最大顶点次数为ρ
第五章 图的着色
5.1 色数 5.2 地图的着色 5.3 边的着色
5.1 色数
G为k可着色的：设G是一个无自环图，如果对它的每个顶点可以用 k种颜色之一着色，使得没有两个相邻的顶点有相同的颜色，则称G 是k可着色的。
《图论》第6章-图的着色
6.1 色数
[定理6-1-1] k-临界图 G=(V, E), =min{deg(vi)|viV}, 则
k-1。
[证明]反证法：设 G 是一个 k-临界图且 <k-1。又设v0V， deg(v0)= 。由 k-临界图的定义，Gv0 是 (k1)可着色的， 在一种 k1着色方案下，Gv0 的顶点可按照颜色划分 成 V1,V2, …, Vk-1 共 k1块，块 Vi 中的顶点被涂以颜色 ci。由于deg(v0)< k1，v0 至少与其中一块 Vj 不邻接即与 Vj 中的任何顶点不邻接。此时可将 v0 涂以颜色 cj，
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第十二页，编辑于星期六：八点 一分。
6.1 色数
[五色定理] (1890, Heaword) 任何简单平面图都是 5-可着色的。 [证明]设简单平面图 G=(V, E)，对 n=|V| 作归纳。
n 5时容易讨论结论成立。
设 n = k1时，结论成立。 当 n = k 时，由[定理5-1-8]简单平面图 G 至少有一个顶点的度 小于6。故可设 v0V，deg(v0) 5。设 G=Gv0，由归纳假设
何顶点的度不小于 k-1。又 G 为 k 色图，其中至少有 k 个顶点。
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第九页，编辑于ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ期六：八点 一分。
6.1 色数
[推论2] 对 G=(V, E)， =max{deg(vi)|viV}，有 (G) +1。
[证明] 设 (G)=k，由推论1，有 vV，使得 deg(v) k-1
又： deg(v) 故： k-1 或 (G)-1 即： (G) +1
图所示。
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第十三页，编辑于星期六：八点 一分。
图论讲义第6章-图的着色问题
| c1 (ν ) | = 1 ，其中 ci (υ ) 表示 υ 阶第 i 类图的集合。这 v →∞ | c (ν ) ∪ c (ν ) | 1 2
vk
… v3 v2
i4 i3 i2
u
… H2
ik i0
…
im ik
i1
vm
v1
v
但是，因 vk 在 H 1 中的度为 2（恰与一条 i0 色边和一条 ik 色边相关联） ，故它在 H 2 中的 。这与 H 2 是奇圈矛盾。 （注意 vk 必在分支 H 2 中，因它与 度为 1（仅与一条 i0 色边相关联） 。由此可知反证法假设不能成立。证毕。 vk－1 有 i0、ik 交错路（ H 1 的一段）相连） 对于有重边的图 G，设 μ (G ) 表示 G 中边的最大重数，Vizing 实际上证明了一个更一般 的结论： Δ (G ) ≤
（其中 v0 点的关联边有可能是同一种色） 。按这 样可得 G*的一个边 2-染色 c = ( E1 , E 2 ) ， 种办法给 G*的边染色后，去掉 v0 及其关联的边，便得到 G 的一个边 2-染色。对于 G 中偶 度点，它关联的边及其颜色与 G*中相同；对 G 的任何奇度点 v，在 G 中比在 G*中少关联一 条边，但只要 d G ( v ) > 1 , 便有 d G ( v ) ≥ 3 , 故由染色的方法知，与 v 点关联的边中两种颜色 的都有。这说明 G 的边 2-染色 c = ( E1 ∩ E (G ), E 2 ∩ E (G )) 即为所求的边 2-染色。证毕。
… H1 vk-1
ikik i0
( Δ + 1) 边染色。由引理 6.1.2， G[ Ei′0 ∪ Ei′k ] 中含有 u 的那个分支 H 1 是个奇圈。
图论课件第七章图的着色
平面图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是在满足相邻顶点颜色不同 的条件下，使用最少的颜色对平面图的顶点进行着色。
详细描述
平面图的着色问题可以使用欧拉公式和Kuratowski定理进行判断和求解。此外 ，也可以使用贪心算法、分治策略等算法进行求解。
树图的着色问题
总结词
树图的着色问题是一个经典的图论问 题，其目标是使用最少的颜色对树图 的顶点进行着色，使得任意两个相邻 的顶点颜色不同。
分支限界算法
总结词
分支限界算法是一种在搜索树中通过剪枝和 优先搜索来找到最优解的算法。
详细描述
在图的着色问题中，分支限界算法会构建一 个搜索树，每个节点代表一种可能的着色方 案。算法通过优先搜索那些更有可能产生最 优解的节点来加速搜索过程，同时通过剪枝 来排除那些不可能产生最优解的节点。分支 限界算法可以在较短的时间内找到最优解，
尤其适用于大规模图的着色问题。
03
图的着色问题的复 杂度
计算复杂度
确定图着色问题的计算复杂度为NP-完全，意味着该问题在多项式时间 内无法得到确定解，只能通过近似算法或启发式算法来寻找近似最优解 。
图着色问题具有指数时间复杂度，因为对于n个顶点的图，其可能的颜色 组合数量为n^k，其中k为每个顶点可用的颜色数。
02
图的着色算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选 择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
详细描述
贪心算法在图的着色问题中的应用是通过逐个对顶点进行着色，每次选择当前未 被着色的顶点中颜色数最少的颜色进行着色，直到所有顶点都被着色为止。这种 算法可以保证最小化使用的颜色数量，但并不保证得到最优解。
离散数学中的图着色与图分割
离散数学中的图着色与图分割离散数学是数学的一个分支，它研究的是离散的结构和对象。
在离散数学中，图论是一个非常重要的领域。
而图着色与图分割是图论中的两个基本概念。
一、图着色图着色是指给定一个图的每个顶点分配一种颜色，并且要求相邻的顶点不能有相同的颜色。
这个问题可以看作是一种涂色问题，我们希望用最少的颜色来对图的顶点进行着色。
1.1 色数与染色多项式图的色数是指给定一个图所需的最少颜色数。
一个图的色数通常用符号χ(G)表示。
图的染色多项式是对于给定的图G，它与对应的染色问题有关。
1.2 四色问题四色问题是图论中一个经典的问题，它说的是任何平面地图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的地图区域颜色互不相同。
这个问题虽然在1976年得到了解决，但它的证明过程非常复杂，需要运用大量的数学定理和方法。
二、图分割图分割是指将一个图分割成多个不相交的子图。
图分割在图论和组合优化中具有广泛的应用。
2.1 最小割最小割是指可以将图分割成两个不相交的子图，并且两个子图之间的边的权重之和最小。
最小割问题可以通过最大流最小割定理来解决。
2.2 图分割算法图分割算法是指用于将图分割成多个子图的算法。
常用的图分割算法包括谱图分割算法、k-means算法等。
这些算法可以根据图的特点和需求来选择合适的方法。
三、图着色与图分割的应用3.1 地图着色图着色在地图着色中有着广泛的应用。
通过给地图的每个区域进行着色，可以实现不同区域之间的边界清晰，便于观察和分析。
3.2 电路布线在电路布线中，图着色可以用于解决信号线的冲突问题，保证信号线之间不会相互干扰。
3.3 图像分割图分割在图像处理中有着重要的应用。
通过将图像分割成多个子图，可以实现目标检测、边缘提取等算法的实现。
四、总结离散数学中的图着色与图分割是图论中的两个重要概念。
图着色是将图的顶点着色的过程，目标是用尽量少的颜色进行着色。
图分割是将图分割成多个子图的过程，通过选择合适的算法可以得到满足要求的子图。
图的着色与染色问题
图的着色与染色问题图的着色与染色问题是图论中的一个经典问题，旨在寻找一种给图中的每个顶点染上不同颜色的方法，使得相邻的顶点具有不同颜色。
本文将介绍图的着色和染色问题的基本概念，讨论几种常见的着色算法，并探讨该问题在实际应用中的一些应用场景。
一、基本概念在介绍图的着色与染色问题之前，首先需要了解一些基本概念。
图是由一组顶点和一组边组成的数据结构，表示了顶点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图，其中无向图的边没有方向性，有向图的边具有方向性。
对于图中的每个顶点，可以对其进行染色，也就是给顶点赋予一个颜色值。
染色是为了满足一个重要的条件：相邻的顶点不能具有相同的颜色。
相邻顶点是指在图中由一条边连接的两个顶点。
二、着色算法在解决图的着色问题时，常用的算法有贪心算法、回溯算法和深度优先搜索算法。
下面将分别介绍这三种算法的基本思想和应用场景。
1. 贪心算法贪心算法是一种简单而高效的着色算法。
该算法会选择一个顶点，为其染上一个颜色，然后遍历与该顶点相邻的顶点，为其染色。
不断重复该过程，直到所有顶点都被染色。
贪心算法的应用场景包括地图着色问题和课程表问题。
在地图着色问题中，顶点表示不同的地区，边表示不同地区之间的邻接关系。
要求相邻的地区颜色不同，使用贪心算法可以高效地解决这个问题。
在课程表问题中，顶点表示不同的课程，边表示课程之间的先修关系。
贪心算法可以帮助安排合理的课程表。
2. 回溯算法回溯算法是一种递归的算法，它通过尝试所有可能的颜色组合，直到找到满足条件的染色方案为止。
如果在尝试的过程中发现无法满足条件，则会回溯到上一个状态，重新选择颜色。
回溯算法常用于解决复杂的着色问题，例如地图染色问题和调度问题。
在地图染色问题中，回溯算法可以找到一种合理的地图着色方案。
在调度问题中，回溯算法可以帮助制定一种合理的调度方案，例如安排会议或任务的时间表。
3. 深度优先搜索算法深度优先搜索算法是一种遍历算法，通过从起始顶点开始，沿着一条路径一直搜索到底，然后回溯到上一个顶点，继续搜索其他路径，直到所有顶点都被访问。
数学中的图的着色问题与四色定理
数学中的图的着色问题与四色定理数学中的图论是一门研究图及其性质的学科，其中一个重要的问题就是图的着色问题。
图的着色问题是指如何用有限种颜色给图的顶点或边进行染色，使得相邻的顶点或边不具有相同的颜色。
这个问题在实际应用中有着广泛的应用，比如地图着色、时间表的安排等。
在图的着色问题中，最著名的就是四色定理。
四色定理是指任何平面图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域不具有相同的颜色。
这个定理在1852年被英国数学家弗朗西斯·格思·韦尔斯顿和威廉·哈姆顿·伯奇证明，被认为是图论中的一个里程碑。
证明四色定理的过程非常复杂，需要运用大量的数学知识和技巧。
其中一个重要的思想就是通过对图进行适当的分割，将大问题转化为小问题，然后逐步解决。
这种分割的方法被称为“规约法”，即将一个复杂的问题规约为一系列简单的子问题。
通过这种方法，韦尔斯顿和伯奇最终证明了四色定理的正确性。
四色定理的证明引起了广泛的关注和讨论。
人们对于这个问题的兴趣不仅在于它的应用价值，更在于它背后的数学原理和思维方式。
四色定理的证明过程中，涉及到了众多的数学概念和定理，如图的平面性、图的连通性、图的染色等。
这些概念和定理的研究不仅推动了图论的发展，也对其他领域的数学研究产生了重要影响。
除了四色定理，图的着色问题还有其他一些重要的结果。
比如，五色定理指出任何平面图都可以用五种颜色进行着色，六色定理指出任何平面图都可以用六种颜色进行着色。
这些定理的证明过程和四色定理类似，都需要运用复杂的数学技巧和方法。
图的着色问题不仅在理论上有着重要的意义，也在实际应用中发挥着重要的作用。
比如，在地图着色中，我们可以用不同的颜色表示不同的国家或地区，以便更好地区分它们。
在时间表的安排中，我们可以用不同的颜色表示不同的活动或任务，以便更好地组织和管理。
这些应用都离不开图的着色问题的研究和应用。
总之，图的着色问题是数学中一个重要且有趣的问题。
图论中的图的着色与染色问题
图论中的图的着色与染色问题图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图的应用。
在图论中，图的着色与染色问题是一个经典且重要的研究课题。
图的着色问题是指如何用有限的颜色对图的顶点或边进行染色，使得相邻的顶点或边具有不同的颜色。
本文将介绍图的着色与染色问题的基本概念和应用。
一、图的基本概念1. 无向图和有向图无向图由一些顶点和连接这些顶点的边组成，边没有方向性。
而有向图中，边是有方向性的，连接两个顶点的边有始点和终点之分。
2. 邻接矩阵和邻接表邻接矩阵是一种表示图的方法，用一个矩阵表示图中各个顶点之间的连接关系。
邻接表是另一种表示图的方法，用链表的形式表示图中各个顶点之间的连接关系。
二、图的着色问题图的着色问题是指如何用有限的颜色对图的顶点或边进行染色，使得相邻的顶点或边具有不同的颜色。
图的着色问题有以下两种情况：1. 顶点着色对于无向图或有向图的顶点，通过对每个顶点进行染色，使得图中任何相邻的顶点具有不同的颜色。
这里的相邻顶点指的是通过一条边相连的顶点。
2. 边着色对于无向图或有向图的边，通过对每条边进行染色，使得图中任何相邻的边具有不同的颜色。
这里的相邻边指的是有共同始点或终点的边。
三、图的染色算法对于图的着色问题，有不同的染色算法可以解决。
在这里我们介绍两种常用的染色算法：贪心算法和回溯算法。
1. 贪心算法贪心算法是一种基于局部最优策略的算法。
对于图的顶点着色问题，贪心算法的策略是从一个未染色的顶点开始，将其染上一个可用的颜色，并将该颜色标记为已占用，然后继续处理下一个未染色的顶点。
如果当前顶点没有可用的颜色可染，则需要增加一个新的颜色。
2. 回溯算法回溯算法是一种穷举所有可能性的算法。
对于图的着色问题，回溯算法的策略是从一个未染色的顶点开始，尝试不同的颜色进行染色，如果发现染色后与相邻顶点冲突，就回溯到上一个顶点重新尝试其他颜色，直到所有顶点都被染色。
四、图的着色问题的应用图的着色问题在实际中有广泛的应用。
图论图着色
v4
v5
(b)去掉v0后结点v1与v3处在 同一个连通分支中,v1 与v3有一通路，其中点的颜色红黄交替出现，它与 v0构成一回路C(同一个连通分支)，也就是约当曲线， 这时结点v2处在曲线的内部而结点v5则处在线的外 部，v2与v5的任何连线必与曲线C相交，与平面图的 条件矛盾。因此约当曲线C必然将黑白集中的结点分 成两个连通分支，使v2与v5分别处于两个连通分支中 （也就是v2与v5不连通）， v 于是问题回到(a)，可将v2 v v (或v5)所在的分支中的黑 v 白色对换，于是与v0邻接 v v 的5个结点也只着了4种颜 色， v0就可着第5种颜色。
独立集特点 (1)图G的每一个结点构成一个独立集。 (2)极大独立集不是唯一的，它的基数不一定 是最大的，但它的元素数目已达到极限， 即不可能再加入其他结点而不破坏它的独 立性。 (3)最大独立集必然也是极大独立集而且元素 数目是最多的。 (4)任一完全图Kn的独立数I(Kn)＝1 (5)偶图G只有两个极大独立集，即是它的两 个互补结点子集V1和V2
v1 e1 c1 e3 c3 v3 v0 e2 c2 v2
定理6.4 若G是偶图，则 ψ e (G ) = Δ (最大结点次数) 证：设G的两个互补结点子集为Vl和V2，若|V1|<|V2|，则 在V1中增加一些结点成为V1’使|V1’|=|V2|， 对xi∈V1’及yj∈V2，若G中无边(xi，yj)，则增加一条 边(xi,yj)，通过以上的增添，图G=(V，E)成为图GΔ＝ (V’，E1’)， GΔ 是 Δ次正则偶图，（ 由定理5.4的推论可知）它 有一完美匹配M1，令E2’＝E1’一M1，得到图 G Δ-1＝ (V’，E2’)，则 G Δ-1是(Δ一1)次正则偶图，它也有一 完美匹配M2， 如此继续下去可以得到M1，M2,..., MΔ 个完美匹 配，每一个完美匹配可着一种颜色，使得到G的边 着 色，即 ψ e (G ) = Δ
图论五色问题四色问题
的不同面中来证明这个结论。 我们在 D 中分别取 s2 和 s4 的内点 x2 和 x4 ，那么在 D \ ( s1 s3 ) R 2 \ C 中，每个点 都可以通过一条多边弧连接到 x2 和 x4 。 这说明 x2 和 x4（因此 v2 和 v4 也是一样的） 在 C 的不同面中；否则， D 只与 C 的两个面中的一个相交，这与 v 属于这两个面 的边界这一事实矛盾。 给定 i, j {1, ,5} 设 H i , j 是由着色 i 和 j 的顶点所导出的 H 的子图， 我们可以假设
所以可以得到的结论是：用 m 种颜色给顶点数为 n ，边数不超过 (m 1)(n m / 2) 的连通图顶点着色， 不管边怎么分布， 都能保证相邻的顶点颜色不同。 当 m 4 时， 对边数不超过 3n 6 的图的顶点着色可以保证相邻顶点颜色不同。 对于平面连通图，根据推论 1.4 可知当 n 3 时，边数一定不超过 3n 6 ，所以用 4 种颜色去给平面连通图着色，一定可以保证相邻的顶点颜色不同。
复计算两次， 所以实际上边的总数是 E n(n 1) / 2 。由于图中任意两个顶点都相 邻，如果相邻的顶点用不同的颜色，则图中 n 个顶点都必须要用不同的颜色去着 色，所以总共需要 n 中颜色。如果任意去掉一条边，那么原来这条边所连接的两 个顶点可以同色，所以去掉一条边可以少用一种颜色。此时如果再去掉一条边， 就不一定会又减少一种颜色了，比如第一次去掉的边是 e1, 2 ，第二次去掉的边是
H1,3 中包含 v1 的分支 C1 也包含 v3 。 如果把 C1 中所有着色 1 和 3 的顶点交换颜色的
话，我们就得到了 H 的另一个 5-着色；如果 v3 C1 ，那么在这个新着色中，v1 和
v3 都着色 3，这时我们可以给 v 着色 1。因此， H1,3 中包含一条 v1 v3 路 P 。上面
图论中的图的着色与染色问题
图论中的图的着色与染色问题在图论中，图的着色与染色问题是一类经典的问题。
图的着色是指给图的每个顶点赋予一个颜色，要求相邻的顶点不能有相同的颜色；而图的染色是指给图的边赋予一个颜色，要求相邻的边不能有相同的颜色。
一、图的顶点着色图的顶点着色问题是图论中的经典问题之一。
给定一个无向图，要求为每个顶点分配一个颜色，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。
这个问题的本质是将相邻的顶点划分到不同的颜色集合中。
解决图的顶点着色问题有多种算法，其中较为简单和常用的是贪心算法。
贪心算法按照某种规则为图的顶点逐个着色，每次着色时选择当前可用颜色的最小编号。
贪心算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n 为图的顶点数。
二、图的边染色图的边染色问题是另一个经典的图论问题。
给定一个无向图，要求给每条边分配一个颜色，使得任意两条相邻的边颜色不同。
这个问题的目标是将相邻的边划分到不同的颜色集合中。
解决图的边染色问题的算法有多种，其中常用的是基于回溯法和深度优先搜索的算法。
回溯法通过递归地尝试为每条边分配颜色，并根据约束条件进行回溯，直到找到可行的解或者穷尽所有可能。
深度优先搜索则通过遍历图的边，逐个给边染色，当发现某条边与相邻边颜色相同时，回溯到前一条边重新选择颜色。
三、特殊图的着色与染色问题除了一般的图的着色与染色问题，还存在一些特殊类型的图，对应着特殊的着色与染色问题。
1. 树的着色与染色：在树中，任意两个顶点之间都只有一条路径，因此树的着色与染色问题可以简化为树的边染色问题。
树的边染色问题可以使用贪心算法解决，每次为某条边选择一个未使用的颜色，直到所有边都被染色。
2. 平面图的着色与染色：平面图是指可以画在平面上，且任意两条边最多只有一个公共顶点的图。
平面图的着色与染色问题是在满足平面图约束条件下对图进行着色或染色。
对于平面图的着色与染色问题，使用四色定理可以得到解，即任何平面图最多只需要四种颜色来着色或染色。
四、应用领域图的着色与染色问题在实际应用中具有广泛的应用。
4色的原理
4色原理
四色定理是图论中的一个定理，它指出任何平面图都可以用最多四种颜色来进行着色，使得任意相邻的区域具有不同的颜色。
这个定理的证明相当复杂，但可以简化为以下几个步骤：
1. 首先，我们可以将平面图进行简化，移除所有的重复或相交的边。
这样可以保证我们在着色时不会有任何冲突。
2. 接下来，我们可以选择一个任意的区域，并将其标记为第一种颜色。
然后，我们可以依次考虑其他的区域，并根据它们与已经着色的区域的关系来确定它们的颜色。
3. 当我们考虑一个新的区域时，我们需要检查它与已经着色的区域的关系。
如果这个新区域与已经标记为第一种颜色的区域相邻，那么我们可以将新区域标记为第二种颜色。
类似地，如果新区域与第二种颜色的区域相邻，我们可以将其标记为第三种颜色，以此类推。
4. 如果在着色的过程中，我们找不到一种颜色来标记一个新的区域，那么意味着我们需要引入一种新的颜色。
由于我们最多只能使用四种颜色，所以这个定理得到了证明。
需要注意的是，这个定理只适用于平面图，即在一个平面上可以画出来的图形。
如果图形是在三维空间中或者具有其他特殊的拓扑结构，四色定理可能不再适用。
第9章平面图和图的着色
集合与图论 平面图的内部面与外部面
f3
f2 v
f1
u
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定义9.1.2 平面图把平面分成了若干个区域，这 些区域都是单连通的，称之为G的面，其中无界的那 个连通区域称为G的外部面，其余的单连通区域称为 G的内部面。
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集合与图论
f3
f2 v
f1
u
f4
平面图的每个内部面都是G的某个圈围成的单连
v
u
最大(极大)平面图的主要性质： 定理 最大(极大)平面图是连通的.
定理 n(n3)阶最大(极大)平面图中不可能有割点 和桥.
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集合与图论
推论9.1.2 设G是一个有p个顶点q条边的最大可平 面图，则G的每个面都是三角形，q=3p-6，p≥3。
v2 v1
v3
...
v4 证 若G的一个面不是三角形, 1、假如有两点不相邻，则在此面中把不相邻的两 顶点连接起来，不影响平面性。
定义9.3.1 设x=uv是图G=(V,E)的一条边，w不是G 的顶点，则当用边uw和wv代替边x时，就称x被细分。
如果G的某些边被细分，产生的图称为G的细分图。
u
x
v
图G
u
w
v
G的细分图
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集合与图论
图与图之间同胚
定义9.3.2 两个图称为同胚的，如果它们都可以 从同一个图通过一系列的边细分得到。
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集合与图论
库拉托斯基定理
定理9.3.1（库拉托斯基,1930）一个图是可平面 的充分必要条件是它没有同胚于K5和K3,3的子图。
例9.3.1 证明左下图不是可平面图。
因为它含有与K5同胚的子图。
图论中的图着色问题算法
图论中的图着色问题算法图着色问题是图论中的一个重要研究课题，它的目标是给定一个无向图，为每个顶点分配一个颜色，使得相邻的顶点拥有不同的颜色。
这个问题有着广泛的应用，例如地图着色、课程时间表安排以及调度等领域。
本文将介绍几种常见的图着色算法。
一、贪心算法贪心算法是解决图着色问题最直接且简便的方法之一。
其基本思想是从图的某个顶点开始，依次为每个顶点选择一个未被使用的最小颜色号。
该算法的具体步骤如下：1. 选择一个起始顶点v，并为其分配一个颜色c。
2. 对于v的所有相邻顶点u，如果u未着色，则为u选择一个未被使用的最小颜色号，并标记u为已着色。
3. 重复步骤2，直到所有顶点都被着色。
贪心算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为顶点数。
该算法的缺点是可能得到的着色方案不是最优解。
二、回溯算法回溯算法是另一种常见的用于解决图着色问题的算法。
其基本思想是通过不断尝试不同的着色方案，直到找到一个满足条件的解。
该算法的具体步骤如下：1. 选择一个起始顶点v，并为其分配一个颜色c。
2. 对于v的所有相邻顶点u，如果u未着色，则为u选择一个未被使用的颜色号，并标记u为已着色。
3. 选择下一个未着色的顶点作为新的起始顶点，重复步骤2。
4. 如果无法为任何顶点着色，则回溯到上一步，修改之前的着色方案，为当前顶点选择一个新的颜色。
5. 重复步骤3和步骤4，直到所有顶点都被着色。
回溯算法的时间复杂度取决于图的结构和颜色数目，一般情况下是指数级的。
该算法可以得到最优解，但在处理大规模问题时效率较低。
三、基于现有算法的改进除了贪心算法和回溯算法外，还存在一些基于这两种算法的改进方法，以提高图着色问题的求解效率。
例如，使用启发式算法、剪枝技术以及约束求解等方法。
启发式算法是一种非确定性的搜索算法，通过引入启发函数来指导搜索过程，以期望更快地找到一个不错的解。
典型的启发式算法包括Tabu搜索、模拟退火算法等。
剪枝技术是在搜索过程中通过判断某些分支的无效性，从而减少搜索空间，提高算法效率。
图论中的图的着色与染色问题
图论中的图的着色与染色问题图是图论中的基本概念之一，是由顶点和边构成的数学结构。
在图的理论中，图的着色与染色问题是一个非常重要且有趣的研究领域。
本文将介绍图的着色与染色问题的基本概念、定理和算法，希望能够为读者深入了解图论领域提供一些帮助。
一、基本概念在图的理论中，图的着色与染色问题是指将图的顶点或边用不同颜色标记的过程。
着色是指给图的顶点或边分配颜色，使得相邻的顶点或边颜色不相同；而染色是指给图的顶点或边分配颜色，使得相邻的顶点或边颜色可以相同。
定理1：图的顶点着色问题对于一个简单图，顶点着色问题是指如何用最少的颜色将图的所有顶点着色，使得相邻的顶点颜色不同。
根据四色定理，任何一个平面图都可以只用四种颜色进行顶点着色。
定理2：图的边着色问题对于一个简单图，边着色问题是指如何用最少的颜色将图的所有边着色，使得任意两条依附于同一顶点的边颜色不同。
根据维茨定理，任何简单无向图都可以用最大度数加一种颜色进行边着色。
二、算法与实践在解决图的着色与染色问题时，常用的算法包括贪心算法、回溯算法、图染色算法等。
其中，Welsh-Powell算法是用来解决无向图的顶点着色问题的一种有效算法，其基本思想是优先考虑度数最大的顶点进行着色。
而在解决边着色问题时，常用的算法包括Vizing定理、边染色算法等。
三、应用与拓展图的着色与染色问题在实际生活中有着广泛的应用，如地图着色、时间表着色、调度问题等。
同时，在拓展领域中，图的着色与染色问题也与其他数学领域有着密切的联系，如组合数学、离散数学等，在各个领域都有着深入的研究与应用。
总结：图的着色与染色问题是图论领域中的一个重要研究方向，具有丰富的理论内涵和实际应用。
通过本文对图的着色与染色问题的介绍，希望读者能够对该领域有一个初步的了解，进一步深入研究与探讨。
愿本文能够为读者在图论领域的学习与研究提供一些帮助与启发。
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在对G正常边着色时，着相同颜色的边集称为该正常 着色的一个色组。
(二)、几类特殊图的边色数
1、偶图的边色数
定理1 (Km,n )
证明：设 X x0, x1,..., xm1 Y y0, y1,..., yn1
又设Δ=n。设颜色集合设为｛0，1，2，…，n-1｝, п是 Km,n的一种n着色方案，满足：
进一步地，我们可以说明，上面的路P不含点u。
因为，如果P含有点u, 那么P必然是一条长度为偶数的 路，这样，P+uv是G中的奇圈，这与G是偶图矛盾！
既然P不含点u, 所以我们可以交换P中着色，而不破坏 G1的正常边着色。但交换着色后，u与v均缺色i, 于是由 情形1,可以得到G的Δ正常边着色，即证明：(G)
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图论及其应用
应用数学学院
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第七章 图的着色
主要内容
一、图的边着色 二、图的顶点着色 三、与色数有关的几类图和完美图 四、色多项式
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2、简单图的边色数
引理：设G是简单图，x与y1是G中不相邻的两个顶点，п 是G的一个正常k边着色。若对该着色п，x,y1以及与x相邻 点均至少缺少一种颜色，则G+xy1是k边可着色的。
x 缺色 y1 缺色
x1 缺色 x2
五、List着色与全着色
10学时讲授本章
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本次课主要内容
图的边着色 (一)、相关概念 (二)、几类特殊图的边色数 (三)、边着色的应用
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情形2 如果u缺色i, 而v缺色j，但不缺色i。
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设H (i, j) 表示G1中由i色边与j色边导出的子图。显然， 该图每个分支是i色边和j色边交替出现的路或圈。
对于H(i, j)中含点v的分支来说，因v缺色j, 但不缺色i, 所以，在H(i, j)中,点v的度数为1。这说明，H(i ,j)中含v 的分支是一条路P。
则：i+ j ( mod n)=i +k ( mod n),得到j=k，矛盾！ 所以，上面着色是正常作色。所以：
(Km,n ) n
又显然 (Km,n ) n ，所以，(Km,n )
例1 用最少的颜色数对K3,4正常边着色。
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于是，问题转化为如何在G中将边集E划分为互不相交 的p个匹配，且使得p最小。
如果每个匹配中的边用同一种颜色染色，不同匹配中 的边用不同颜色染色，则问题转化为在G中给每条边染 色，相邻边染不同色，至少需要的颜色数。
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xi y j E(Km,n ), (xi y j ) (i j)(mod n)
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我们证明：上面的着色是正常边着色。
对K m, n中任意的两条邻接边xiyj和xiyk。若
(xi y j ) (xi yk )
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x0
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y0
y1
y2
y3
定义3 设п是G的一种正常边着色，若点u关联的边的 着色没有用到色i，则称点u缺i色。
定理2 (哥尼，1916)若G是偶图，则 (G) 证明：我们对G的边数m作数学归纳。
当m=1时，Δ=1，有 (G) 1
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(一)、相关概念
现实生活中很多问题，可以模型为所谓的边着色问题 来处理。例如排课表问题。
排课表问题：设有m位教师，n个班级，其中教师xi要 给班级yj上pij节课。求如何在最少节次排完所有课。
建模：令X=｛x1,x2,…,xm｝, Y=｛y1,y2,…,yn｝,xi与yj间 连pij条边，得偶图G=(X, Y).
缺色
xk 缺色
正常k边着色图G
x y1
x1
x2
xk
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定理3 (维津定理，1964) 若G是单图，则：
(G) 或(G) +1
证明：只需要证明 (G) +1 即可。
采用对G的边数m作数学归纳证明。 当m=1时，Δ=1， (G)=1<+1 设当边数少于m时，结论成立。下面考虑边数为m≥2的 单图G。 设xy ∈E(G)，令G1=G-xy。由归纳假设有：
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(G) 3
注：对图的正常边着色，实际上是对G的边集合的一 种划分，使得每个划分块是G的一个边独立集(无环时是 匹配);图的边色数对应的是图的最小独立集划分数。
因此，图的边着色，本质上是对应实际问题中的“划 分”问题或“分类”问题。
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这就需要我们研究所谓的边着色问题。
定义1 设G是图，对G的边进行染色，若相邻边染不同 颜色，则称对G进行正常边着色；
如果能用k中颜色对图G进行正常边着色，称G是k边 可着色的。
正常边着色
定义2 设G是图，对G进行正常边着色需要的最少颜色 数，称为G的边色数，记为：(G)
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设对于小于m条边的偶图来说命题成立。
设G是具有m条边的偶图。
取uv∈ E(G), 考虑G1=G-uv,由归纳假设有：
(G1) (G1) (G)
这说明，G1存在一种Δ(G)边着色方案п。对于该着 色方案，因为uv未着色，所以点u与v均至少缺少一种色。
情形1 如果u与v均缺同一种色i, 则在G1+uv中给uv着色 i, 而G1其它边，按п方案着色。这样得到G的Δ着色方案， 所以： (G)