第8节图论应用实例_图着色问题

第8节图论应用实例_图着色问题
预备知识_回溯法
回溯法:在实际生活中，有些问题是不能用数学公式去解决的，它需要通过一个过程，此过程要经过若干个步骤才能完成，每一个步骤又分为若干种可能;同时，为了完成任务，还必须遵守一些规则，但这些规则无法用数学公式表示，对于这样一类问题，一般采用搜索的方法来解决，回溯法就是搜索算法(广度优先、深度优先等)中的一种控制策略，它能够解决许多搜索中问题。

回溯法基本思想:试探法，撞了南墙就回头。

(一般采用深度优先搜索策略) 搜索策略:深度优先(不撞南墙不回头)。

在搜索过程中，如果求解失败，则返回搜索步骤中的上一点，去寻找新的路径，以求得答案。

要返回搜索，前进中的某些状态必须保存，才能使得退回到某种状态后能继续向前。

白话搜索:如果用数组存放搜索信息，i表示数组下标(当前状态)， ++i表示往前走(下一个状态)，--i表示回溯(往回退，返回上一次状态)。

第8节图论应用实例_图着色(graph coloring)问题数学定义:给定一个无向图G=(V, E)，其中V为顶点集合，E为边集合，图着色问题即为将V分为k个颜色组(k为颜色数)，每个组形成一个独立集，即其中没有相邻的顶点。

其优化版本是希望获得最小的k值。

典型应用:地图的着色、调度问题等。

k-着色判定问题:给定无向连通图G和k种不同的颜色。

用这些颜色为图G的各顶点着色，每个顶点着一种颜色，是否有一种着色法使G中任意相邻的2个顶点着不同颜色,
例四色问题。

设有如图1的地图，每个区域代表一个省，区域中的数字表示省的编号，现在要求给每个省涂上红、蓝、黄、白四种颜色之一，同时使相邻的省份以不同的颜色区分。

课外拓展:搜索“四色问题”，了解四色问题相关知识。

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图1
问题分析:
(1)属于图的搜索问题。

将问题简化:将每个省抽象为一个点，省之间的联系看为一条边，可以得到图2。

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图2
(2)用邻接矩阵表示各省之间的相邻关系，二维数组实现:
1 表示省i与省j相邻, ,,ri,j,,0 表示省i与省j不相邻,
由图2可以得到如下矩阵:(对称矩阵)
1 2 3 4 5 6 7
1 0 1 0 0 0 0 1
2 1 0 1 1 1 1 1
3 0 1 0 1 0 0 0
4 0 1 1 0 1 0 0
5 0 1 0 1 0 1 0
6 0 1 0 0 1 0 1
7 1 1 0 0 0 1 0 为一对称矩阵。

(3)从编号为1的省开始按四种颜色顺序填色，当第1个省颜色与相邻省颜色不同时，就可以确定第1个省的颜色，然后，再依次对第2、第3，……，进行处理，直到所有省份颜色都涂上为止。

(4)问题关键在于填色过程中，如果即将填的颜色与相邻省的颜色相同，而且四种颜色都试探过，均不能满足要求，则需要回溯到上一个点(即前一个省)，修改上一个省的颜色，重新试探下一个省的颜色。

参考代码:(学生版本)
//回溯法:地图四色问题
// 大致思路:从第1个节点开始扫描，第1个节点颜色为1，第i个节点欲试探的颜色为color(color从1开始)，
//循环判断i与已着色的前i-1个节点是否相邻，如果相邻且颜色也相同，那么颜色color则不合适，立刻跳出循环，
//下一个试探的颜色为++color，并且重新开始循环判断,试探下一个颜色是否合适。

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//如果i与前i-1个节点循环判断后没有既相邻又同颜色的，那么第i个节点颜色为当前的color。

// 但是如果color到4都没有符合条件，那么我们就需要重新对i-1节点重新着色(回溯)，它的颜色应该+1，并且继续循环判断i-1节点。

#include<iostream>
#include<fstream>
using namespace std;
const int MAX=100;
void mapcolor(int x[],int r[][MAX],int n);//x数组:各节点着色结果;r 数组:节点关系邻接矩阵;n:节点数 int main()
{
int r[MAX][MAX],x[MAX];
int n,i,j;
ifstream cin("map.txt");
cin>>n;
for(i=0;i<n;++i) //邻接矩阵初始化
for(j=0;j<n;++j)
r[i][j]=-1;
for(i=0;i<n;++i) //输入节点邻接矩阵
for(j=0;j<n;++j)
cin>>r[i][j];
mapcolor(x,r,n);//节点着色
for(i=0;i<n;++i) //输出解
cout<<"color of node "<<i+1<<" : "<<x[i]<<endl;
return 0;
}
void mapcolor(int x[],int r[][MAX],int n) {
int i,color,j;//i:欲着色的当前节点，j:已着色的节点
x[0]=1;//第1个节点颜色为1
i=1;//节点计数
color=1;//颜色，从1开始
while(i<n)//以节点为扫描对象，从第2个节点开始，通过判断和前面已着色的i-1个节点是否冲突，为节点i试探合适的颜色
while(color<=4 && i<n)//对于每一个节点i，从值为color的颜色开始扫描可用的颜色(试探)
{
for(j = 0; j <i; j++) //判断和前i-1个已着色的节点是否存在着色冲突{
if(r[i][j] == 1 && x[j] ==color) //相邻节点，且颜色相同，则跳出循环break;
}
if(j < i)
++color;//下一个欲试探的颜色
else
3
{
x[i]=color;//欲着的颜色和前i-1个已着色的节点不冲突，当前节点着色为color颜色
++i;//准备试探下一个节点
color=1;//颜色重新赋值
}
if(color>4)//没有可用颜色，回溯到上一个节点{
--i;
color=x[i]+1;//倒退后，当前节点下一个试探的颜色}
}
}
输入:
7
0 1 0 0 0 0 1
1 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 0
0 1 1 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 0 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0
输出:
验证:上述运行结果图形化结果如下图所示。

颜色号及对应颜色:1:红色;2:绿色;3:淡紫;4:浅蓝色4。