图论讲义第6章-图的着色问题

ik-1
… v3 v2
i3
…
ik
u
…
im
i2 i1 i1
vm
v1
v
因 d ( v1 ) < Δ + 1 ，故必有某种色 i 2 不在 v1 处出现。这样 i 2 必然在 u 处出现（否则，可 。因此存在一条 用 i 2 给 uv1 重新染色，得到一个改进的 Δ＋1 边染色，与 c 是最佳染色矛盾） 边 uv2 染有色 i 2 。 。 又因 d ( v 2 ) < Δ + 1 ，必有某种色 i 3 不在 v2 处出现。 i 3 必然在 u 处出现 （理由同上） 因此存在一边 uv3 染有色 i 3 。 继续这个过程，可找出一个顶点序列 v1 , v 2 , 染有颜色 ij，且色 ij+1 不在点 vj 处出现， （ j = 1,2, , 以及一个颜色序列 i1 , i2 , , 使得边 uvj ） 。而且，因 c(u ) < d (u ) 且 d (u ) 是有
1 2 1 2 1 2 1
u
(2) 设 G 不是 Euler 图。此时给 G 增添一个新顶点 v0，将 v0 与 G 的每个奇度顶点连一条 边 ， 得 到 一 个 新 图 G* 。 显 然 G* 的 所 有 顶 点 都 是 偶 数 度 的 ， 因 而 是 Euler 图 。 设
v0 e1v1e2
* eε ( G *) v0 是 G*的一个 Euler 闭迹，令 E1* = {ei i 为奇数}, E 2 = {ei i 为偶数}，这 * * *
χ ′(G ) > Δ(G ) + 1 ， 令 c = ( E1 , E 2 ,
, E Δ +1 ) 是 G 的 最 佳 Δ + 1 边 染 色 。 因
χ ′ > Δ + 1 ，故 c 必不是正常染色。设 u 是使 c(u ) < d (u ) 的顶点。则必存在色 i0，i0 不在 u
处出现（因 d (u ) < Δ＋1 ） ，同时也存在色 i1，i1 至少在 u 处出现两次。设 uv 和 uv1 染有颜 vk-1 色 i1（如图） 。 vk
′′, E 2 ′′, 个( Δ＋1 )边染色 c ′′ = ( E1
′′+1 ) 。同理有 c ′′( v ) ≥ c( v ) 对所有 v ∈ V 成立。故由引理 , EΔ
′ ∪ Ei′k′ Biblioteka Baidu 中含有 u 的分支 H 2 是个奇圈。 6.1.2， G[ Ei′0
vk-1
iki0 ik＋1 ik
vk
… v3 v2
i4 i3 i2
u
… H2
ik i0
…
im ik
i1
vm
v1
v
但是，因 vk 在 H 1 中的度为 2（恰与一条 i0 色边和一条 ik 色边相关联） ，故它在 H 2 中的 。这与 H 2 是奇圈矛盾。 （注意 vk 必在分支 H 2 中，因它与 度为 1（仅与一条 i0 色边相关联） 。由此可知反证法假设不能成立。证毕。 vk－1 有 i0、ik 交错路（ H 1 的一段）相连） 对于有重边的图 G，设 μ (G ) 表示 G 中边的最大重数，Vizing 实际上证明了一个更一般 的结论： Δ (G ) ≤
（其中 v0 点的关联边有可能是同一种色） 。按这 样可得 G*的一个边 2-染色 c = ( E1 , E 2 ) ， 种办法给 G*的边染色后，去掉 v0 及其关联的边，便得到 G 的一个边 2-染色。对于 G 中偶 度点，它关联的边及其颜色与 G*中相同；对 G 的任何奇度点 v，在 G 中比在 G*中少关联一 条边，但只要 d G ( v ) > 1 , 便有 d G ( v ) ≥ 3 , 故由染色的方法知，与 v 点关联的边中两种颜色 的都有。这说明 G 的边 2-染色 c = ( E1 ∩ E (G ), E 2 ∩ E (G )) 即为所求的边 2-染色。证毕。
第六章 染色理论
许多实际问题可以归结为求图的匹配或者独立集。 此外， 在许多应用中， 人们希望知道： 一个给定的图， 它的边集至少能划分成多少个边不交的匹配？或它的顶点集至少能划分成多 少个点不交的独立集？这便是图的边染色和顶点染色问题。
§6.1 边染色
，， 2 ,k 定义 6.1.1 非空无环图 G 的边正常 k 染色 （proper edge k- colouring） 是指 k 种颜色 1
对 E(G)中元素的一种分配，使得相邻两条边所染颜色不同。换句话说，G 中边正常 k 染色 是映射
c : E (G ) → {1,2,
使得对每个 i ( i = 1,2,
−1
, k} ，
, k ), c −1 (i ) 是匹配或者空集。
, k ) ，则 G 的一个边正常 k 染色可看
注： 若令 E i = c (i ) = {e ∈ E (G ) c( e ) = i}, (i = 1,2, 成是边集的一种划分 c = ( E1 , E 2 ,
, E k ) ，其中每个 Ei 是匹配或空集。
例如，下面给出了 5-圈的一种边正常 3 染色和 Petersen 图的一种边正常 4 染色。
1 2 2 3 2 1 3 2 4 3 1 4 3 2 2 1 1
3 2
1
定义 6.1.2 若存在 G 的一种边正常 k 染色，则称 G 是边 k 色可染的（edge k-colourable） 。 注： （1）每个无环非空图的边必 ε 色可染。 （2）若 G 是边 k 色可染的，则对 ∀l ≥ k , G 也是 l 色可染的。 定义 6.1.3 正整数 χ ′(G ) = min{k G 是边 k 色可染的}称为 G 的边色数 (edge chromatic number)。 注： （1）若 χ ′(G )＝k ，则 G 中边的任何 k 染色 c = ( E1 , E 2 , 匹配。 （2）G 的边色数 χ ′(G ) 是 G 中边不交匹配的最小数目。 （3） χ ′( K 2 n ) = 2n − 1 = Δ ( K 2 n ) （因完全图 K2n 有 2n-1 个边不交的匹配） （设 d ( v ) = Δ (G ) ，则与 v 关联的 Δ (G ) 条边至少需 Δ(G ) 种色才 （4） χ ′(G ) ≥ Δ (G ) 。 能正常染色） 。 引理 6.1.1. 设 G 是非空无环的连通图，且不是奇圈，则存在 G 的边 2-染色，使得所用的两 种色在每个度 ≥ 2 的顶点处都出现。 证明： （1）设 G 是 Euler 图，则 G 中无奇度点。 若 G 本身是一个偶长度圈，则命题显然。若 G 不是一个偶长度圈，则 G 至少有一个顶 点 v0 满足 d ( v0 ) ≥ 4 (否则，G 中所有顶点都是 2 度的，由于 G 连通，从而 G 是圈，由引理 条件，G 不是奇圈，故为偶圈，矛盾)。
G 是二部图矛盾。证毕。 注：也可按推论 3.3.3，二部图的边集可分解为 Δ (G ) 个边不交的匹配，故 χ ′(G ) = Δ (G ) 。 定理 6.1.4 (Vizing 定理，1964) 设 G 是无环非空简单图，则
Δ(G ) ≤ χ ′(G ) ≤ Δ(G ) + 1 。
证明：首先， χ ′(G ) ≥ Δ (G ) (定义 6.1.3 的注（4）)。下证 χ ′(G ) ≤ Δ (G ) + 1 (用反证法)。 假如
χ ′(G ) ≤ Δ(G ) + μ (G ) 。 χ ′(G ) = Δ(G ) 的 简 单图称 为 第 一类图 ， 使
Vizing 定理提 出 了 一个分 类 问 题：使
χ ′(G ) = Δ(G ) + 1 的简单图 G 称为第二类图。确定一个图属于第一类还是第二类是很困难
的，目前仅对少量的图类判明了它们所属的类。路、树、二部图、偶数阶完全图、轮图都是 第一类图（轮图 W1,n 是由一个点与长为 n 的圈上所有顶点相连形成的图） ，奇圈、奇数阶完 全图都是第二类图(见有关定理和习题)。一般情况下判别一个图属于第几类图，尚没有好的 充分必要判别条件，一些充分性判别条件见习题。 第二类图相对较稀少。在 υ ≤ 6 的 143 个连通简单图中仅有 8 个属于第二类；而 Erdös 和 Wilson(1977)已证明： lim
′ ) ，其中 i, j , Ek
两色都在 u 处出现，故 c ′(u ) = c(u ) + 1 ,而对 u 之外的其它顶点 v，都有 c′( v ) ≥ c( v ) 。于是
v∈V ( G )
∑ c′(v) > ∑ c(v ) 。这与 c 是最佳边 k-染色矛盾。证毕。
v∈V ( G )
定理 6.1.1（König[1], 1916）设 G 是二部图，则 χ ′(G ) = Δ(G ) 。 [1] D. König, Über Graphen und ihre Anwendung auf Determinantentheorie und mengenlehre, Math. Ann., 77(1916), 453-465. 证明（反证法） ：假设 χ ′(G ) ≠ Δ (G ) 。则由定义 6.1.3 的注（ 4 ） ， χ ′(G ) > Δ (G ) 。设
* *
定义 6.1.4 对于 G 的一个边 k-染色 c， c(v)表示顶点 v 处出现的不同颜色的数目。 设 c 与 c′ 都是 G 的边 k-染色（未必是正常染色） 。若相应的 c(v)与 c ′( v ) 满足：
v∈V ( G )
∑ c′(v ) > ∑ c(v ) ,
v∈V ( G )
则称 c ′ 是对 c 的一个改进。不能改进的边 k 染色称为最佳边 k 染色。 引理 6.1.2 设 c = ( E1 , E 2 , 必是奇圈。 证明：设 G1 是 G[ Ei ∪ E j ] 中含 u 的连通分支。若 G1 不是奇圈，则由引理 6.1.1，G1 有一个 边-2 染色，其两种色在 G1 中度 ≥ 2 的每个顶点处都出现。按这种染色办法用色 i 和 j 给
| c1 (ν ) | = 1 ，其中 ci (υ ) 表示 υ 阶第 i 类图的集合。这 v →∞ | c (ν ) ∪ c (ν ) | 1 2
1
, E k ) 中每个 Ei 都是非空的
设 v0 e1v1e2
eε v0 是 G 的一条 Euler 闭迹。 令 E1 = {ei i 为奇数}，E 2 = {ei i 为偶数}。
于是 c = (E1, E2) 即为所求的边 2-染色。 需要说明的是，Euler 闭迹从度≥4 的顶点出发是必需的。例如在下图中，若从 2 度顶 点 u 处出发沿 Euler 闭迹交替地对边进行 2 染色，则 u 点可能仅能获得一种色（如图，1、2 表示两种颜色） 。
… H1 vk-1
ikik i0
( Δ + 1) 边染色。由引理 6.1.2， G[ Ei′0 ∪ Ei′k ] 中含有 u 的那个分支 H 1 是个奇圈。
ik i0 ik
vk …
im
… v3 v2
i4 i3 i2
u
i1
vm
v1
v
3
而对 k ≤ j ≤ m − 1 ，用颜色 ij+1 给 uvj 重新染色，而用颜色 ik 给 uvm 重新染色，得到一
, E k ) 是 G 的一个最佳边 k 染色， 且存在一个顶点 u 及两种颜色
i 和 j, 色 i 不在 u 处出现，而色 j 在 u 处出现了至少两次，则 G[ Ei ∪ E j ] 中含 u 的连通分支
′, Ei ∪ E j 中的边重新染色后，得到 G 的一个新的边 k-染色 c′ = ( E1′, E 2
c = ( E1 , E 2 ,
, E Δ ) 是 G 的一个最佳边 Δ 染色，则 c 必定不是正常染色。故存在顶点 u 满
足 c(u ) < d (u ) ， 因而必有某两条在 u 点相邻的边染了同一种色。 而且， 因 d ( u ) ≤ Δ (G ) , 故
2
Δ 种色中必有某种色不在 u 上出现。显然 u 满足引理 6.1.2 的条件，因此 G 中有奇圈。这与
限数，故存在一个最小整数 m，使得对某个 k < m，有 im+1 = ik。 现在，对 1 ≤ j ≤ k − 1 , 用颜色 ij+1 给边 uvj 重新染色。这样产生一个新的( Δ＋1 )边染色
′, C ′ = ( E1′, E 2
′ +1 ) 。显然对所有 v ∈ V , c′(v ) ≥ c(v ) 。因此 c ′ 也是 G 的一个最佳 , EΔ