图论课件--着色的计数与色多项式
图论课件第七章图的着色
全着色：给每个顶点和每条边都 分配一个颜色，使得相邻顶点、 边都不同色
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
边着色：给每条边分配一个颜色， 使得相邻边不同色
部分着色：只给部分顶点和边分 配颜色，部分顶点和边不参与着 色
图的着色应用
图的着色概述
图的着色应用
旅行商问题
定义：旅行商问题是一个经典的组合优化问题，指的是给定一组城市和每 对城市之间的距离，要求找到访问每个城市一次并返回到原点的最短路径。
应用场景：旅行商问题在许多领域都有应用，如物流、运输、电路设计等。
图的着色在旅行商问题中的应用：通过给城市着色，可以将问题转化为图 的着色问题，从而利用图的着色算法来求解旅行商问题。
图的着色的应用案
06
例
地图着色问题
定义：地图着色问题是一个经典的组合优化问题，旨在为地图上的 国家或地区着色，使得相邻的国家或地区没有相同的颜色。
背景：地图着色问题在计算机科学、数学和地理学等领域都有广泛 的应用。
应用案例：地图着色问题可以应用于许多实际场景，如地图制作、 交通规划、网络设计等。
图的着色在排课问题中的应用：通过将排课问题转化为图的着色问题，可以运用图的着色算 法进行求解，从而得到最优的排课方案
图的着色算法在排课问题中的优势：通过将排课问题转化为图的着色问题，可以运用图的 着色算法进行求解，从而得到最优的排课方案，避免了传统排课方法的繁琐和主观性
图的着色在排课问题中的实际应用案例：以某高校为例，通过运用图的着色算法进行排课， 成功解决了该校的排课问题，提高了排课效率和教学质量
贪心策略：在图的着色问题中，贪心策略是选择与当前未着色顶点相邻的未使用颜色进行着色。
图论(Graph Theory)
第一章 图形理论图形理论有明确的起始点，由瑞士数学家尤拉(Leonhard Euler, 1707-1783)于1736年发表的论文开始。
其研究的主要论点，乃在于解决当时的热门问题，即有名K önigsgerg 的七桥问题。
1.1 定义与例题定义1.1：令 V 为非空集合，且E V V ⊆⨯. 序对(),V E 称为(V 上)有向图(directedgraph or digraph)，其中 V 为顶点(vertex)或节点(node)的集合，E 为边(edge)的集合。
我们记(),G V E =表示此图形。
图1.1为{}, , , , V a b c d e =上有向图的例子，其中()()()(){}, , , , , , , E a a a b a d b c =。
边的方向由边上的有向箭头表示，如图所示对任意边，如(), b c ，我们说此边接合(incident)顶点, b c ；称b 邻接至(adjacent to) c ；或c 邻接自(adjacent from) b 。
此外， b 称为边的原点(origin)或源点(source)， c 称为终点(terminus or terminating vertex)。
边(), a a 为一个循环(loop)， 且顶点e 不与任何边接合，称为孤立点(isolated)。
若不考虑边的方向，此图称为无向图(undirected)。
定义1.2：令, x y 为无向图(), G V E =的顶点(不一定相异)。
G 中的X Y -路(x y -walk)是指选自G 的顶点及边的有限交错序列。
01122311,,,,,,...,,,,n n n n x x e x e x e e x e x y --==其中由顶点 1x 开始，终止于顶点y ，n 个边{}1,,1i i i e x x i n -=≤≤路的长度(length)是指该条路的边数n 。
《图论》图的着色(课堂PPT)
19
6.2 色数多项式
a
a
a
b
cb
cb
c
a
a
a
b
cb
cb
c
PK3(3)=6
20
6.2 色数多项式
➢ 若干特殊图的 PG(k) 1) 零图： G=(V, E) ，n=|V|，|E|=0，PG(k)=kn 2) 树：根节点在 k 种颜色中任取，非根节点选取 与其父亲节点不同的颜色。 PG(k)=k(k-1)n-1 3) 完全图： PG(k)=k(k-1)(k-2)…(k-n+1) 4) 非连通图：设图G由不连通的G1和G2构成，则 由乘法原理：PG(k)=PG1(k)PG2(k)
6
6.1 色数
[临界图] G=(V, E)，若对G的任一真子图H均有
(H)<(G)，则称G为一个临界图。
➢ k 色临界图称为 k-临界图。
[性质]
① 任何 k 色图通过对边的反复删减测试最后可以得
到其 k-临界子图。
② 临界图是连通图。
证：设G1、G2为临界图G的两个连通分支，则
(G)=max{(G1), (G2)}。不妨设 (G)=(G1)，而
① 在图G中任取一边 e； ② 在图G中去掉 e，得新图G1；
在图G中收缩 e 的两端点，得新图G2，由上述有 PG(k) = PG1(k) - PG2(k)
③ 继续分解G1和G2，直到最后全部为零图。 ④ 利用 n 阶零图的 P(k)=kn 构造图G的色数多项式。
① 若 n=2，则G为 K2，PG(k)=k(k1)=k2k。
② 若 n>2，则G除一个 K2 外其它为孤立点：
PG(k)=k(k1)kn-2=knkn-1。
图论讲义第6章-图的着色问题
| c1 (ν ) | = 1 ，其中 ci (υ ) 表示 υ 阶第 i 类图的集合。这 v →∞ | c (ν ) ∪ c (ν ) | 1 2
vk
… v3 v2
i4 i3 i2
u
… H2
ik i0
…
im ik
i1
vm
v1
v
但是，因 vk 在 H 1 中的度为 2（恰与一条 i0 色边和一条 ik 色边相关联） ，故它在 H 2 中的 。这与 H 2 是奇圈矛盾。 （注意 vk 必在分支 H 2 中，因它与 度为 1（仅与一条 i0 色边相关联） 。由此可知反证法假设不能成立。证毕。 vk－1 有 i0、ik 交错路（ H 1 的一段）相连） 对于有重边的图 G，设 μ (G ) 表示 G 中边的最大重数，Vizing 实际上证明了一个更一般 的结论： Δ (G ) ≤
（其中 v0 点的关联边有可能是同一种色） 。按这 样可得 G*的一个边 2-染色 c = ( E1 , E 2 ) ， 种办法给 G*的边染色后，去掉 v0 及其关联的边，便得到 G 的一个边 2-染色。对于 G 中偶 度点，它关联的边及其颜色与 G*中相同；对 G 的任何奇度点 v，在 G 中比在 G*中少关联一 条边，但只要 d G ( v ) > 1 , 便有 d G ( v ) ≥ 3 , 故由染色的方法知，与 v 点关联的边中两种颜色 的都有。这说明 G 的边 2-染色 c = ( E1 ∩ E (G ), E 2 ∩ E (G )) 即为所求的边 2-染色。证毕。
… H1 vk-1
ikik i0
( Δ + 1) 边染色。由引理 6.1.2， G[ Ei′0 ∪ Ei′k ] 中含有 u 的那个分支 H 1 是个奇圈。
图论课件第七章图的着色
平面图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是在满足相邻顶点颜色不同 的条件下，使用最少的颜色对平面图的顶点进行着色。
详细描述
平面图的着色问题可以使用欧拉公式和Kuratowski定理进行判断和求解。此外 ，也可以使用贪心算法、分治策略等算法进行求解。
树图的着色问题
总结词
树图的着色问题是一个经典的图论问 题，其目标是使用最少的颜色对树图 的顶点进行着色，使得任意两个相邻 的顶点颜色不同。
分支限界算法
总结词
分支限界算法是一种在搜索树中通过剪枝和 优先搜索来找到最优解的算法。
详细描述
在图的着色问题中，分支限界算法会构建一 个搜索树，每个节点代表一种可能的着色方 案。算法通过优先搜索那些更有可能产生最 优解的节点来加速搜索过程，同时通过剪枝 来排除那些不可能产生最优解的节点。分支 限界算法可以在较短的时间内找到最优解，
尤其适用于大规模图的着色问题。
03
图的着色问题的复 杂度
计算复杂度
确定图着色问题的计算复杂度为NP-完全，意味着该问题在多项式时间 内无法得到确定解，只能通过近似算法或启发式算法来寻找近似最优解 。
图着色问题具有指数时间复杂度，因为对于n个顶点的图，其可能的颜色 组合数量为n^k，其中k为每个顶点可用的颜色数。
02
图的着色算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选 择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
详细描述
贪心算法在图的着色问题中的应用是通过逐个对顶点进行着色，每次选择当前未 被着色的顶点中颜色数最少的颜色进行着色，直到所有顶点都被着色为止。这种 算法可以保证最小化使用的颜色数量，但并不保证得到最优解。
数学建模之着色
x1
x2
x3
x4
红线：第1节 兰线：第2节 绿线：第3节 黑线：第4节
y1
y2
y3
y4
y5
安排4个节课， 11 11 [ ] 2, { } 3. 4 4
可安排4个教室4个节课的课表。
x1
x2
x3
x4
红线：第1节 兰线：第2节 绿线：第3节 黑线：第4节 5 6
y1
y2
y3
y4
y5
1 x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4
着色理论
1.图的边着色 定义：将简单图的边集E划分成m个非空子集，即
E (G) Ei
i 1
m
, Ei E j
, i j, Ei ,
i, j 1,2,, m. 将Ei中的边用第i种颜色上色，则
称对G的边进行了一个m边着色，记成 C=(E1,E2, …,Em).若每个Ei(i=1,2, …,3)皆是G的一个 匹配，则称C是G的m边正常着色。当G可以m边正 常着色而不能m-1边正常着色，称m为G的边色数，
假设n=2k时问题有解。
证明n=2(k+1)时成立.
若与顶点v关联的某边染有颜色i，则称颜色i在顶 点v上表现。 引理1 设G不是奇圈的连通图，则G存在一个二边 着色，使两种颜色在每个度数不小于2的顶点上表 现。 证明 假设G是非平凡图。
G是Euler图时。若G是偶圈，则G的正常2 边着色具有所要求的性质。否则，G必有一 个度数至少为4的点v0. 设v0e1v1e2…env0是G的 Euler环游，并且设
E1={ei∣i是奇数}， E2={ei∣i是偶数}
则G的二边着色(E1，E2)具有所要求的性质，因为G 的每个顶点都是v0e1v1e2…env0的内点。
图论第四章 平面图及着色
使 G~' 的每条边都是直线. (b)考和虑图(Gc~)')中.这边样P得z1到和的Pz图2,将G~它就分是裂G成的两平个面三表角示形,而(图 且每条边都是直线段.定理得证.
z3
z3
z3
z1
z2
x
x
y
(a)
y z1
(b)
p
z2
z1
z2
(c)
凸多面体
推论3 设G是带v个顶点，e条边，r个面的平面图， 则 v- e+ r=1+w。其中w为G的连通分支数。
证明:由欧拉公式有: vi- ei+ ri=2(i=1,2,…,w) 从而有 vi- ei+ ri =2w 又 vi=v, ei=e, ri =r+(w-1)(外部面被重复计算了
w-1次.).所以有:
例2 对哪些n,存在n条棱的凸多面体？
解:以多面体的顶点为图的顶点,以多面体的棱为图的边, 得到一个平面图G,若p(G),q(G),f(G)分别表示G的顶点数, 边数和面数,则p(G)4, f(G) 4,且每个面的度数是3,由 Euler公式易得q(G) 6,即没有棱小于6的凸多面体.四面 体是棱数为6的凸多面体.若有7条棱的凸多面体,则存在 满足上述条件, q(G) =7的平面图,由Euler公式p(G) +f(G)= q(G)+2=9,但G的每个面的度数至少是3,故 2q(G)=G(m) 3f(G)(m为G的面),
第四章 平面图
第一节 平面图
定义1 如果图G能画在曲面S上且使得它的边仅在端 点处相交，则称G可嵌入曲面S。如果G可嵌入平面 上，则称G是可平面图，已经嵌入平面上的图 G% 称为G的平面表示。
图论第7章
§7.2 顶点着色
定义1 给定图G =(V, E)，称映射
π：V → {1,2,…, k} 为G的一个k-点着色，简称着色，称 {1,2,…, k} 为色集。若对 G中任意两个相邻顶点u和v均满足π(u)≠π(v)，则称该着色是 正常的。图G 的正常k-着色的最小k值称为G的色数，记为
(G)，简记为 。
’ (G )≤k = Δ(G )+1。
推论1 设G是Δ(G )>0的简单图。若G中恰有一个度为Δ(G )的点， 或G中恰有两个度为Δ(G )的点并且这两个点相邻，则
’ (G ) = Δ(G )。
证明 设G中恰有的两个度数等于Δ(G )的点为x 与 y, 且x 与 y相 邻。 令 G’ = G-xy，显然Δ(G’ ) = Δ(G )-1，由定理2，得
第七章 图的着色
§7.1 图的边着色
设A, B是两个集合，t 是A到B的一个映射，记为t ：A→B， 对 A A, B B, 令 t ( A’) = {t (a) | a∈A’}，t -1( B’) = {x |t (x)∈B’} 特别地当 B’＝{b} 时，t -1( B’) 也记为t -1(b)。
图论中的图的着色与染色问题
图论中的图的着色与染色问题在图论中，图的着色与染色问题是一类经典的问题。
图的着色是指给图的每个顶点赋予一个颜色，要求相邻的顶点不能有相同的颜色；而图的染色是指给图的边赋予一个颜色，要求相邻的边不能有相同的颜色。
一、图的顶点着色图的顶点着色问题是图论中的经典问题之一。
给定一个无向图，要求为每个顶点分配一个颜色，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。
这个问题的本质是将相邻的顶点划分到不同的颜色集合中。
解决图的顶点着色问题有多种算法，其中较为简单和常用的是贪心算法。
贪心算法按照某种规则为图的顶点逐个着色，每次着色时选择当前可用颜色的最小编号。
贪心算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n 为图的顶点数。
二、图的边染色图的边染色问题是另一个经典的图论问题。
给定一个无向图，要求给每条边分配一个颜色，使得任意两条相邻的边颜色不同。
这个问题的目标是将相邻的边划分到不同的颜色集合中。
解决图的边染色问题的算法有多种，其中常用的是基于回溯法和深度优先搜索的算法。
回溯法通过递归地尝试为每条边分配颜色，并根据约束条件进行回溯，直到找到可行的解或者穷尽所有可能。
深度优先搜索则通过遍历图的边，逐个给边染色，当发现某条边与相邻边颜色相同时，回溯到前一条边重新选择颜色。
三、特殊图的着色与染色问题除了一般的图的着色与染色问题，还存在一些特殊类型的图，对应着特殊的着色与染色问题。
1. 树的着色与染色：在树中，任意两个顶点之间都只有一条路径，因此树的着色与染色问题可以简化为树的边染色问题。
树的边染色问题可以使用贪心算法解决，每次为某条边选择一个未使用的颜色，直到所有边都被染色。
2. 平面图的着色与染色：平面图是指可以画在平面上，且任意两条边最多只有一个公共顶点的图。
平面图的着色与染色问题是在满足平面图约束条件下对图进行着色或染色。
对于平面图的着色与染色问题，使用四色定理可以得到解，即任何平面图最多只需要四种颜色来着色或染色。
四、应用领域图的着色与染色问题在实际应用中具有广泛的应用。
图论讲义第6章-染色应用
§6.5 染色应用举例—求图的边色数及色数的算法一、排课表问题—求二部图的正常)(G χ′边染色1. 问题： 有m 位教师m x x x ,,,21 ，n 个班级n y y y ,,,21 。
教师x i 每周需要给班级y j 上p ij 次（节）课。
要求制订一张周课时尽可能少的课程表。
2. 图论模型：构造二部图),(Y X G =，其中X ＝{m x x x ,,,21 }，Y ＝{n y y y ,,,21 }，顶点i x 与j y 之间连ij p 条边。
一个课时的安排方案对应于二部图G 的一个匹配。
排课表问题等价于：将E (G )划分成一些匹配，使得匹配的数目尽可能地少。
按)(G χ′的定义，这个最小的数目便是)(G χ′。
由定理6.2.1，()()G G χ′=Δ。
因此，排课表问题等价于：求二部图G 的边正常)(G Δ染色。
如§6.1中所述，虽然求简单图的正常（1+Δ）边染色存在多项式时间算法，但求简单图G 的边色数)(G χ′及其相应的正常边染色是一个NPC 问题[28]。
尽管如此，求二部图的边正常Δ染色却有多项式时间算法。
求图的边色数的近似算法可参考文献[29]~[51]。
[28] I. Holyer, The NP-completeness of edge-coloring, SIAM J. Computing , 10: 4(1981), 718-720.[29] E. Petrank, The hardness of approximation: gap location, Computational Complexity , 4 (1994), 133-157.[30] D. Leven and Z. Galil, NP completeness of finding the chromatic index of regular graphs, J. Algorithms , 4(1983) 35-44.[31] P. Crescenzi, V . Kann, R. Silvestri, and L. Trevisan, Structure in approximation classes, SIAM J. Comp., 28 (1999), 1759-1782.[32] J. Misra and D. Gries, A constructive proof of Vizing's theorem. Inform. Process. Lett. 41 (1992), 131-133.[33] O. Terada, and T. Nishizeki, Approximate algorithms for the edge-coloring of graphs, Trans. Inst. Eletron. Commun. Engr. Japan J65-D , 11(1982), 1382-1389.[34] M. Chrobak, and T. Nishizeki, Improved edge-coloring algorithms for planar graphs, J. Algorithms , 11(1990), 102-116.[35] I. Caragiannis, A. Ferreira, C. Kaklamanis, S. Perennes, P. Persiano and H. Rivano, Approximate constrained bipartite edge coloring, Discrete Applied Mathematics , 143(2004), 54-61[36] M. R. Salavatipour, A polynomial time algorithm for strong edge coloring of partial k -trees, Discrete Applied Mathematics , 143(2004), 285-291.[37] D.A. Grable, A. Panconesi, Nearly optimal distributed edge coloring in O (log log n ) rounds, Proceedings of the Eighth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms, January, (1997), 278–285.[38] Yijie Han, Weifa Liang and Xiaojun Shen, Very fast parallel algorithms for approximate edge coloring, Discrete Applied Mathematics, 108(2001), 227-238.[39] M. Fürer and B. Raghavachari, Parallel edge coloring approximation, Parallel Process. Lett. , 6 (1996), 321–329.[40] H.J. Karloff and D.B. Shmoys, Efficient parallel algorithms for edge coloring problems. J. Algorithms 8 (1987), 39–52.[41] W. Liang, Fast parallel algorithms for the approximate edge-coloring problem. Inform. Process. Lett. 56 (1995), 333–338.[42] W. Liang, X. Shen and Q. Hu, Parallel algorithms for the edge-coloring and edge-coloring update problems. J. Parallel Distrib. Comput. 32 (1996), 66-73.[43] R. Motwani, J. Naor and M. Naor, The probabilistic method yields deterministic parallel algorithms. J. Comput. System Sci. 49 (1994), 478-516.[44] D. Bertsimas, C-P. Teo, and R. V ohra, On dependent randomized rounding algorithms, Proc. 5th Int. Conf. on Integer Prog. and Combinatorial Optimization , Lecture Notes in Comput. Sci. 1084, Springer-Verlag, (1996), 330-344.[45] M.K. Goldberg, Edge-colorings of multigraphs: recoloring technique, J. Graph Theory , 8(1984), 123-127.[46] D.S. Hochbaum, T. Nishizeki and D.B. Shmoys, Better than “Best Possible” algorithm to edge color multi graphs, Journal of Algorithms , 7(1986), 79-104[47] T. Nishizeki and K. Kashiwagi, On the 1.1 edge-coloring of multigraphs, SIAM J. Disc. Math. , 3(1990), 391-410.[48] J. Kahn, Asymptotics of the chromatic index for multigraphs, Journal of Combinatorial Theory (Ser. B ), 68(1996), 233-254.[49] X. Zhou H. Susuki, and T. Nishizeki, A linear algorithm for edge-coloring series-parallel multigraphs, J. Algorithms , 20(1996), 174-201.[50] X. Zhou H. Susuki, and T. Nishizeki, An NC parallel algorithm for edge-coloring series-parallel multigraphs, J. Algorithms , 23(1997), 359-374.[51] B. Berger and J. Rompel, Simulating (log c n )-wise independence in NC. J. ACM 38 (1991), 1026–1046.3. 求二部图),(Y X G =的边正常)(G Δ染色的算法z 算法思想：给G 添加必要的顶点使得||||Y X =，再添加必要的边使得G 成为)(G Δ正则二部图，所得图记为*G ，然后反复运用匈牙利算法求*G 的完美匹配。
图着色问题 ppt课件
例子 ：
图着色问题
邻接矩阵：B
1
0
1
1
1
C 1 1 0 0 1
D
0
1
0
0
1
E 0 1 1 1 0
色，要求每个顶点着一种颜色，并使相邻两顶点之间有着不同 的颜色，这个问题称为图的顶点着色问题。
边着色:给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中的每条边着色，
要求每条边着一种颜色，并使相邻两条边有着不同的颜色，这 个问题称为图的边着色问题。
图着色问题
顶点着色问题的基本概念
m可着色：若一个图最少需要m种颜色才能使图中每条边连接的两个顶 点着不同的颜色，则称m为该图的色数。
图的着色问题
主讲人：XXX
图着色问题
内容
问题来源 基本概念 常用算法 回溯法 程序演示
图着色问题
问题来源——四色问题
• 图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用m种颜色为地 图着色，使得地图上的每一个区域着一种颜色，且相邻区域颜 色不同。
• 四色问题：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界 的国家着上不同的颜色。”
求m的问题称为图的m可着色优化问题。
独立集：对图G=(V,E)，设S是V的一个子集，其中任意两个顶点在G中 均不相邻，则称S为G的一个独立集。 最大独立集：如果G不包含适合|S'|＞|S|的独立集S'，则称S为G的最
大独立集。
极大覆盖：设K是G的一个独立集，并且对于V-K的任一顶点v，K+v都 不是G的独立集，则称K是G的一个极大覆盖。 极小覆盖：极大独立集的补集称为极小覆盖。
图着色问题
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点，把相邻两个区域用一 条边相连接，就可以把一个区域图抽象为一个平面图。 例：图（a）所示的区域图可抽象为图（b）所表示的平面图。区域用 城市名表示，颜色用数字表示，则图中表示了不同区域的不同着色问 题。
chap12 图的着色
C(v)=2+2+2+2=8 C(v)=1+2+1+2=6 故优于，易知， 是最优2边着色。
2016/12/5 离散数学 22
缺色又重色的顶点在奇回路上
引理12.2.2：设是图G的最优k边着色，若G中 有顶点u , 其上不出现颜色i，却出现颜色j至少 两次，令Ei和Ej为G中以i和j着色的边集合，则 G[Ei∪Ej]中含u的分支B是奇数长度的回路。 证明：若引理不成立，则由引理12.2.1知B有一 个2边着色，使的两种颜色在B中度不小于2 的顶点上都出现，设的色集为{i , j}。于是， 将B的边按照着色，G的其它边仍按着色， 得到G的新的k边着色。 对于顶点u，有 C(u)=C(u)+1，但对v≠u，Cr(v) C(v)，即优 于，此与最优的假设矛盾。故引理成立。
2016/12/5 离散数学 23
边色数之上下界
定理12.2.1(Vizing 1964)：对于任何简单图G， (G) (G) (G) +1 . 证明：只须证明右边的不等式。 假设对某个简单图G，有 (G)＞(G)+1。 令是G的最优((G)+1)边着色。 ？ 由假设G中必有一点u，有C(u)＜d(u)。因此 有颜色 u 上至少出现两次。又 ＜ (G)+1 若对 ui有 C (u)=d(u)，则是正常d(u) k边着色， 。 1在 故有颜色 i0在 u上不出现。设 (uv)= (uv1)=i 是 ((G)+1) 边着色，这与 (G) ＞ (G)+1 矛盾。 1。
Ak1 Ak 2 Akk
2016/12/5
离散数学
15
(G)2q/p2+1
[理学]图论第四章 平面图及着色
![[理学]图论第四章 平面图及着色](https://img.taocdn.com/s3/m/3a2b5724f12d2af90342e605.png)
例2 指出下图所示平面图的面、面的边界及 面的度数。
3 e10 2 f2 e1 f1 f5
e7
f 3 e6 e8 7
e4
4 5 e2 e3
1
e9
f4 e5
6
解:面f1,其边界1e15e24e43e72e101,d(f1)=5. 面f2,其边界1e102e87e91,d(f2)=3. 面f3,其边界2e73e67e82,d(f3)=3. 面f4,其边界3e44e57e63,d(f4)=3. 外部面f5, 其边界1e15e24e36e34 e57e91,d(f5)=6.
~ ~ 有平面表示 G ',使 G ' 的每条边都是直线. ~ 考虑 G ' 中边Pz1和Pz2,将它分裂成两个三角形(图(b) ~ 就是G的平面表示,而且每条 和图(c)).这样得到的图 G
边都是直线段.定理得证.
z3
z3 z2 z1 y x
z3
z1
p z2 z1 (c) z2
x (a)
y
(b)
推论2 设G是带v个顶点，e条边的连通的平面简单图，其 中v3且没有长度为3的圈，则e2v-4。
证明:因为图G中没有长度为3的圈,从而G的每个面的度数 至少为4.因此有2e=d(f)4r (1) 其中r为G的面数.由欧拉公式 v-e+r=2 所以r=2-v+e,代入(1)中有: 2e4(2-v+e) 即e2v-4。 例3 K5和K3.3都是非平面图。
(b)H
e
i
h
(a)
(c)K3,3
说明:库拉图斯基给出了平面图的充要条件,但用它并不能 判别一个图是否是平面图的有效算法. 定义2 设G是阶大于等于3的简单可平面图，若在任意两 个不相邻的结点vi,vj之间加入边{vi,vj}，就会破坏图的 平面性，则称G是极大平面图。极大平面图的平面表示称 为三角剖分平面图. 定理2. 极大平面图的判别定理:v阶简单平面图G是极大平 面图的充要条件是: （1）G中每个面的度数都是3
图论课件--着色的计数与色多项式
23
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
t
ni n j 1
一方面：
t
h(Hi , x)
t
ni
aij x j
i 1
i1 j 1
该多项式中 xk 旳系数rk为：
rk
a a 1i1 2i2
atit
i1 i2 it k
另一方面：设Mj是Hj中具有ij个分支旳Hj旳理想子图。 当i1+i2+…+it=k时，M1∪ M2 ∪… ∪Mt必是G旳具有k个 分支旳理想子图。
例2 求N4(G), N5(G)。
G 10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
解：经过观察枚举求Nr(G)
G
1) N4(G):
G
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
N4(G)=6
2) N5(G):
例1 求出下面各图旳色多项式。
G1
G2
G3
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1)
G1
Pk (G1) k(k 1)(k 2) k(k 1) k3 2k 2 k
也可由推论： (k 1)Pk (K2 ) k3 2k 2 k
G1
离散数学(72).
《集合论与图论》第25讲
14
边着色
边色数: χ’(G) 定理12.17(Vizing): G是简单图,则
Δ(G) ≤ χ’(G) ≤ Δ(G)+1. # G=<V1,V2,E>是二部图, 则χ’(G)=Δ(G) n>1时, χ’(Kn)= n, n为奇数
n-1, n为偶数
《集合论与图论》第25讲
定理12.14: 连通无环平面图G可k-面着色 ⇔ 对偶图G*可k-着色. #
研究平面图面着色⇔研究平面图点着色
《集合论与图论》第25讲
10
平面图着色
定理12.15: 任何平面图都可6-着色 证明: (归纳法) (1) n≤7: 结论为真.
(2) 设n=k(≥7)时结论为真. n=k+1时, ∃v∈V(G), d(v)≤5. 令G1=G-v, 对G1用归 纳假设, G1可6-着色. 模仿G1对G着色, 与 v相邻的点不超过5个, 至少剩1种颜色给v 着色,所以G可6-着色. #
(着色导出的划分是同构的)
《集合论与图论》第25讲
8
地图
地图: 连通无桥平面图的平面嵌入及其所 有的面称为(平面)地图
国家: 平面地图的面 相邻: 两个国家的公共边界至少有一条公
共边 k-面着色, k-色地图, 面色数χ*(G)
《集合论与图论》第25讲
9
面着色与对偶图点着色
定理12.13: 地图G可k-面着色 ⇔ 对偶图 G*可k-着色. #
《集合论与图论》第25讲
4
点色数性质
χ(G)=1 ⇔ G是零图
χ(Kn)=n χ(G)=2 ⇔ G是非零图二部图
G可2-着色 ⇔ G是二部图 ⇔ G无奇圈
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
r
因为Vi∩Vj=Φ(i≠j),所以
G[Vi ] 是
i 1
G 的理想子图。
这说明：G的任一r色划分必然对应 G 的一个理想子图。 容易知道，这种对应是唯一的；
13
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
另一方面，对于 G 的任一具有r个分支的理想子图， 显然它唯一对应G中一个r色组。
由色多项式递推公式得：
所以，我们得到：qr (G) Nr (G).....(1 r V )
(2) 色多项式求法----理想子图法
上面定理2实际上给我们提供了色多项式的求法：用k种颜 色对单图G正常着色，可以这样来计算着色方式数：色组为1 的方式数+色组为2的方式数+…+色则为n的方式数。即有如下 计数公式：
n
Pk (G) Ni (G)[k]i ,其中，[k]i k(k 1)(k 2)...(k i 1) i 1
2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、色多项式概念
所谓色计数，就是给定标定图G和颜色数k,求出正常 顶点着色的方式数。方式数用Pk(G)表示。
可以证明：Pk(G)是k的多项式，称为图G的色多项式。 知道图的色多项式，就可以求出色数为k时的着色方式数。
14
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定义2 ：设G是单图，令Ni(G)=ri , [k]i=xi 。称
n
h(G, x) ri xi i 1
为图G的伴随多项式。 于是，求Pk(G)就是要求出 G 的伴随多项式。 用理想子图法求Pk(G)的步骤如下： (1) 画出G的补图 G
(2) 求出关于补图的 ri Ni (G), (1 i n)
(3)
写出关于补图的伴随多项式
h(G, x)
n
ri xi
i 1
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(4) 将
xi [k ]i 代入伴随多项式中得到Pk(G)。
例3 求下图G的色多项式Pk(G)。
kPk (G u) Pk (G u) (k-1)Pk (G u)
注：对递推公式的使用分析：
5
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1) 当图G的边数较少时，使用减边递推法：
Pk (G) Pk (G e) Pk (G e)
(2) 当图G的边数较多时，使用加边递推法： Pk (G e) Pk (G) Pk (G e)
Nk (G)
Ni1 (H1)Ni2 (H2 ) Nit (Ht )
i1 i2 it k
a a 1i1 2i2
atit
i1 i2 it k
所以得：
h(G,
x)
t
h(Hi
,
x)
i 1
25
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(三)、色多项式的性质
例2 求N4(G), N5(G)。
G 10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
解：通过观察枚举求Nr(G)
G
1) N4(G):
G
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
N4(G)=6
2) N5(G):
4
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
推论：设G是单图，e=uv是G的一条边，且d(u)=1,则：
Pk (G) (k-1)Pk (G u)
证明：因为G是单图，e=uv, d(u)=1,所以G·e = G-u。 另一方面，Pk(G-e)=kPk(G-u) 所以， Pk (G) Pk (G e) Pk (G e)
23
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
t
ni n j 1
一方面：
t
h(Hi , x)
i 1
t ni
aij x j
i1 j 1
该多项式中 xk 的系数rk为：
rk
a a 1i1 2i2
atit
i1 i2 it k
另一方面：设Mj是Hj中具有ij个分支的Hj的理想子图。 当i1+i2+…+it=k时，M1∪ M2 ∪… ∪Mt必是G的具有k个 分支的理想子图。
0.6 0.4 x 0.2
(3)
G3
—
—
Pk (G3) k(k 1)(k3 5k 2 10k 7)
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
注：递推计数法的计算复杂度是指数型的。
2、理想子图计数法
(1) 预备知识 定义1：设H是图G的生成子图。若H的每个分支均为 完全图，则称H是G的一个理想子图。用Nr(G)表示G的具 有r个分支的理想子图的个数。
由点色数 (G) 和色多项式Pk(G)的定义可得：
(1) 若 k (G) ，则Pk(G)=0 ; (G) mink Pk (G) 1
(2) 若G为空图，则Pk(G)=kn。 (3) Pk(Kn)=k(k-1)…(k-n+1)。
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
t
h(G, x) h(Hi , x) i 1
该定理说明，在求 G 的伴随多项式时，可以分别求 出它的每个分支的伴随多项式，然后将它们作乘积。
例4 求下图G的色多项式Pk(G)。
20
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
1
5
2
4
3
G
1
5 H3
H1 4
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
r4 N4 (G) 6
4) r = 3
G
r3 N3 (G) 2
5) r =2 r2 N2 (G) 0
6) r =1 r1 N1(G) 0 (3) 写出关于补图的伴随多项式
n
h(G, x) ri xi i 1
2x3 6x4 5x5 x6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
图论及其应用
应用数学学院
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
本次课主要内容
着色的计数与色多项式 (一)、色多项式概念 (二)、色多项式的两种求法 (三)、色多项式的性质
定理4 n阶单图G的色多项式Pk(G)是常数项为0的首1 整系数多项式，且各项系数符号正负相间。
证明：对G的边数进行数学归纳证明。 当m=0时，Pk(G)=kn, 命题结论成立。 设m=k时，命题结论成立。 考虑m=k+1的单图G。(m≥1)
取单图G的任意一条边e, 考虑G-e与G·e。
对于G-e来说，由归纳假设，可设其色多项式为：
求出了色多项式，可以由多项式推出点色数。但是， 求色多项式的计算量是很大的。递推方法是指数类计算 量，而理想子图法中主要计算量是找出所有理想子图， 这也不是多项式时间算法。
22
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
下面，我们对定理3作证明。
定理3 若G有t个分支H1,H2,…Ht,且Hi的伴随多项式为 h (Hi, x), i=1,2,…,t, 则：
24
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
在给定的i1,i2,…,it且i1+i2+…+it=k情形下，对应的G的 具有k个分支的理想子图个数为：
Ni1 (H1 ) Ni2 (H 2 ) Nit (Ht )
所以，G的具有k个分支的理想子图的总个数为：
例1 求出下面各图的色多项式。
G1
G2
G3
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1)
G1
Pk (G1) k(k 1)(k 2) k(k 1) k3 2k 2 k