图的染色

i =1
χ
χห้องสมุดไป่ตู้
所以， χ≥p2/(p2-2q)
练习
2、证明：若G的任意两个长度为奇数的圈都有一个公共 顶点，则χ≤5 证：若χ≥6，且假定在G上已有χ种颜色着色。令G1是G 中着1,2,3色的顶点在G中的导出子图， G2是G中着4,5,色 的顶点在G中的导出子图。显然χ(G1)=3，χ(G2)=χ-3≥3， 由于二分图的色数均为2，故G1、G2均不是二分图，所 以在G1、G2中均含有奇圈且它们互不相交。这和假设矛 盾。故χ≤5
习题
2、找一个适当的边染色以证明χ’(Km,n )=∆(Km,n) 证 设m≥n，于是∆(Km,n)=m，令X={x1,x2, …,xm}， Y={y1,y2, …,yn}。设0,1, …,m-1是m种颜色，我们在xiyj边 上着以(i+j)mod(m)色，显然这种m-边着色是正常的，从 而我们有χ’(Km,n ) ≤∆(Km,n) 。另一方面，对任意G恒有 χ’(G) ≥∆(G)，故χ’(Km,n )=∆(Km,n)
练习
1、证明： χ’(K2n-1)=χ’(K2n)=2n-1 证明：将K2n中2n-1个点安排在一个正2n-1边形顶点上， v0位于这正多边形的中心。对任一i，取v0vi边，以及vikvi+k，其中顶点的足标理解成模2n-1的同余。显然这些 边构成K2n的一个完美匹配Fi，且i≠j时， Fi与Fj的边不相 交， K2n= F1∪ F2∪…∪ F2n-1 对每一个完美匹配着以不同的颜色，按定义这种着色是 正常的，故χ’(K2n) ≤2n-1，又χ’(K2n) ≥ ∆(K2n)=2n-1，所以 χ’(K2n)=2n-1
最优k边染色
给定图G的一个k边染色α之后，我们用Cα(v) 表出在染色α下点v所出现的不同颜色的数目， 显然有Cα(v) ≤ dG(v) ，并且等号对所有顶点成 立当且仅当α是正常k边染色。 设图G有两个k边染色α和β，若有
v∈V ( G )
∑ Cα (v ) > ∑ C β (v )
v∈V ( G )
vk-1
ik-1
ik u il
vk
i2 i v2 1 i1 v1 v
vl
B vk-1 ik ik u il vl vk
i3 i v2 2 i1 v1 v
又定义G的另一个(∆(G)+1)边着色γ:γ (u,vt)=vt+1(t=1,2,…,l)，对 其它e∈E(G), γ(e)=α(e)。显然，对于任何v∈V(G)有Cγ(v)＞ Cα(v) ，因此γ也是一个最优(∆(G)+1)边染色，令E’i0={e| γ(e)= i0, e∈E(G)}，E’ik={e|γ(e)= ik, e∈E(G)}。则G[E’i0∪E’ik]中包含 u的分支B’是一个长度为奇数的回路。 比较回路B中各边在与下的染色，只有(u,vk)改变了颜色，因此 vk在G[E’i0∪E’ik]中的度数为1，这与B’是奇回路矛盾，因此推 知定理成立。
定理6.3 对于任何简单图G有∆(G) ≤χ’(G) ≤∆(G)+1 证 假设对于简单图G，有χ’(G) ＞∆(G)+1，令α是一个最优 (∆(G)+1)边染色，必有顶点u适合Cα(u) ＜ dG(u) ，又dG(u) ＜ ∆(G)+1，因此按照α染色必有颜色i0在u不出现，而i1在u至 少出现两次。设α(u,v)=i1 ，α(u,v1)=i1 ，因为dG(v1) =∆(G)+1， 所以有颜色i2在v1不出现，但i2必定出现。否则就可以把(u, v2)改用颜色i2 ，得到一个新的∆(G)+1边染色优于α 。这与 对α的假设矛盾。 α 又设α(u,v2)=i2 ，同上理由，有颜色i3在v2不出现而在u必出 现，否则可以把(u,v1)改用i2染色，把(u, v2)改用i3染色，于 是得到另一个∆(G)+1边染色优于α，引出矛盾。 继续这个过程，构造出一个顶点序列v1, v2, …和一个颜色 序列i1, i2, …， vi均与u邻接，使得vt均与u邻接，α(u,vt)=it， it+1不在vt出现(t=1,2, …,i)。由于dG(u)有限，因此有最小整 数l，使得存在k<l，有il+1=ik
定理6.13 若连通图G既不是奇回路，又不是 完全图，则χ(G) ≤∆(G)
对Petersen图应用上述结果，得到χ(G)≤3
定理6.14 对于(p,q)图G，有χ(G)≥[2q/p2]+1 证 设图G是k点可染的，那么V(G)可划分成k个色组V1, V2, …Vk，每组内的顶点互不相邻。因此适当选择顶点 编号后，G的邻接矩阵A(G)可写成如下的分块形式 A11 A12 L A1k A21 A22 L A2 k A(G ) = L L L L A Ak 2 L Akk k1 其中所有Aii均为零矩阵。 k 2 设|Vi|=pi，则A(G)中至少有 ∑ p i个元素为零。又因G有
例子
v1 e2 v2 v6 e9 e3 e1 e8 e7 e10 e6 v3 e4 v4 e5 v5
若图G是k边可染的，而l＞k，则G也是l边可染的。 使图G具有正常边染色的最小颜色数，称为G的边色 数，记作χ’(G)。 χ’(G) ≥∆(G)
引理6.1 设连通图G不是长度为奇数的回路，则G有一个 2边染色，它的两种颜色在度至少为2的每个顶点都出现。 证 首先假设连通图G是Euler图。如果G的所有顶点度数 均为2，那么G是回路。故G是长度为偶数的回路，此时 定理显然成立。 如果G的顶点度数不全是2，那么必有一个度数至少为4 的顶点v。设e1e2 …eq是G的Euler环游。令E1={ei|i是奇数}， E2={ei|i是偶数}。因为G的每个顶点都是环游的内部顶 点，所以G的2边染色(E1, E2)具有所要求的性质。 其次，假设G不是Euler图，那么添加一个新的顶点w， 并把它和G的每一个奇顶点都连接起来，这样构成的图 G*显然是Euler图。we1e2…eqw是G*的Euler环游，同上面 一样定义E1, E2 。则(E1∩E, E2∩E)具有所要求的性质。
点染色
类似的，把G的顶点集V(G)划分成k个子集Vi (i=1,2,…,k)， Vi称为第i个色组，其中的点被认为染 上了第i种颜色，称为i色点。也可以说，由点集V(G) 到颜色集S={1,2,…,k}建立了一个映射β, Vi =β-1(i)。 如果在某个k点染色β中，任何两个同色点都不相邻， 即每个Vi都是点独立集，那么这个β就称为正常k-点 染色。若图G有正常k点染色，则称G为k点可染的， 简称为k可染色。
B vk-1 ik ik u il vl vk
vk-1 ik
B' ik+1 vk u ik vl
i3 i v2 2 i1 v1 v
i3 i v2 2 i1 v1 v
定理6.4 二分图属于第一类图，即χ’(G )=∆(G) 证 G为二分图，假定χ’(G )=∆(G) +1，设α是一个 最优边染色，必有顶点u适合Cα(u) ＜ dG(u) 。u 显然满足引理6.2的条件，所以G包含一个长度为 奇数的回路。因而不是二分图，导出矛盾。故 χ’(G )=∆(G) +1，χ’(G )=∆(G) 定理6.5 若图G中任一对顶点之间的边的重数最 多为n，则∆(G) ≤χ’(G) ≤∆(G)+n
现给出G的一个新的染色β：令 β(u,vt)=vt+1(t=1,2,…,k-1)，对其 它e∈E(G), β(e)=α(e)。显然， 对于任何v∈V(G)有Cβ(v) ≥Cα(v) ，因此β也是一个最优 (∆(G)+1)边染色，令Ei0={e| β(e)= i0, e∈E(G)}，Eik={e| β(e)= ik, e∈E(G)}。 由引理6.2，G[Ei0∪Eik]中包含 u的分支B是一个长度为奇数的 回路。由此可知对于边染色α， vk恰与G[Ei0∪Eik]的两条边关 联，即vk在此导出子图中度为2。
图的染色
四川师范大学数学与软件科学学院
周思波
边染色
给定(p,q)图，考虑用k种颜色对G的q条边进行染色。 这就是，把G的边集E(G)划分为k个子集Ei， Ei称为 第i个色组，其中的边被认为染上了第i种颜色。 实际上就是由G的边集E(G)到色集S={1,2, …,k}建立 一个映射α。如果对于G的任何两条相邻的边ei, ej， 都有α(ei) ≠ α(ej)，换句话说，对每个i， Ei都是图G 的边无关集，那么α就称为G的一个正常k边染色。 若图G有正常的k边染色，则称G为k边可染的。
对Petersen图应用上述 结果，得到χ(G)≥2
练习
1、若G是简单图，则χ≥p2/(p2-2q) 证明：V(G)可以分划成χ个独立集。设第i个独立集的元 素个数记为ni，则
∑n
χ
i =1
i =1
χ
i
=p
χ
2
2q ≤ ∑ ni ( p − ni ) = p − ∑ ni2
i =1
p p 2 − 2q ≥ ∑ ni2 ≥ χ ( ) 2
例子
v1 e2 v2 v6 e9 e3 e1 e8 e7 e10 e6 v3 e4 v4 e5 v5
使G具有正常点染色的最小颜色数，称为G的点色数， 记作χ(G ) 。若χ(G ) =k，则把G称为k色图。 显然，G是p阶完全图当且仅当χ(G ) =p，G是二分图 当且仅当χ(G ) =2。
定理6.6 对于任何p阶图G，χ(G ) +α(G) ≤p+1， χ(G )·α(G) ≥p 证明 设S是G的一个最大点独立集，|S|=α(G) ，令 S中的点染第1色，V(G)中其余p-α(G) 个点分别染 第2,3,…,p-α(G) +1色，这样得到G的一个正常pα(G) +1点染色，于是χ(G ) +α(G) ≤p+1 设χ(G ) =k，则V(G)可以划分成k个色组 V1,V2, …,Vk，由于每个色组均为点独立集，所以 |Vi |≤α(G) ，故p=Σ| Vi|≤kα(G) =χ(G )·α(G)
y1 y2 y3
x1 x2 x3 x4
习题
3、证明petersen图的边色数为4。
练习
4、证明：若G是奇数阶的正则简单图，且q>0，则 χ’(G )=∆(G) +1 证明：因为p为奇数，故G的任一正常的边着色的每一色 类最多是(p-1)/2条边，从而χ’(G )(p-1)/2≥q 又G为正则图，从而q=∆(G)p/2 故χ’(G )>∆(G) 由Vizing定理χ’(G ) ≤∆(G) +1 故χ’(G )=∆(G) +1
i =1
q条边，所以A(G)中零元素为(p2-2q)个，故有
p 2 − 2q ≥ ∑ pi2
i =1
k
对k维向量(p1, p2,…,pk)和(1,1, …,1)应用柯西不等式 2 k k 得 2 2
k ∑ pi ≥ ∑ pi = p i =1 i =1 p2 p 2 − 2q ≥ 故 k 2q 解得 k ≥ 2 + 1 p 2q 所以 χ (G ) ≥ 2 + 1 p
则称k边染色α优于β，如果不存在优于α的k边 染色，就说α是最优的k边染色。
引理6.2 设α是图G的一个最优的k边染色。若 存在G中的一个顶点u及两种颜色i和j，使得i 不在u出现，而j至少在u出现两次。令Ei和Ej 分别为G中以i和j着色的边的集合，则G[Ei ∪Ej]中含有u的分支B是长度为奇数的回路。
临界图
如果对于图G的每个真子图H都有χ(H )＜χ(G ) ，则 G就称为临界图。显然临界图是连通的。 定理6.7 任何图G都含有临界的导出子图H，使 χ(H )=χ(G ) 。 定理6.8 若G是k色的临界图，则k≤δ(G)+1 推论6.9 每个k色图G至少有k个度不上于k-1的顶点。 推论6.10 对任意图G，有χ(G) ≤∆(G)+1 推论6.11 临界图的顶点割不是团。 推论6.12 每个临界图都是块。
把上图中的中心点及关联边去掉，则我们得到一个图， 且从原来在中的正常的2n-1-边着色得到中的一个正常的 2n-1-边着色。故χ’(K2n-1) ≤2n-1， 另一方面由于中共有2n-1个顶点，故它的任一个正常的 边着色的每一色类至多含n-1条边，而共有(2n-1)(n-1)条 边，从而χ’(K2n-1)≥2n-1 所以χ’(K2n-1)=2n-1