最大度是5的可平面图的边染色
五色定理的证明
五色定理的证明一、地图的染色性质地图的染色性质是图论中的基本概念之一，它描述了地图上顶点的颜色分配问题。
在一个地图中，任意两个相邻的顶点都应该被染上不同的颜色，以保证它们在图形中的唯一性。
二、五色定理的表述五色定理是指任何一个平面图都可以用最多五种不同的颜色进行染色，使得任意两个相邻的顶点都有不同的颜色。
三、图的顶点染色方法图的顶点染色方法可以采用递归染色法，也可以采用贪心染色法。
在递归染色法中，先将一个顶点染上颜色，然后递归地染其他顶点；在贪心染色法中，先尽可能地选择颜色最少的顶点染上颜色，然后尽可能地选择颜色最少的顶点染上颜色，直到所有的顶点都被染上颜色为止。
四、染色方法的应用染色方法的应用十分广泛，可以用于解决诸如图的最大色数、图的最优染色方案等优化问题。
在五色定理中，我们可以用贪心染色法来解决图的顶点染色问题，得到一个最优的染色方案。
五、反证法证明五色定理可以通过反证法来证明。
假设存在一个平面图G，其顶点数大于5，且无法用五种不同的颜色进行染色。
那么我们可以从G 中选取一个顶点数最少的子图H，使得H的顶点数大于5且无法用五种不同的颜色进行染色。
但是，我们可以将H进行适当的拆分和合并，得到一个与H同构的图，且该图的顶点数小于等于5，从而得到矛盾。
因此，假设不成立，五色定理成立。
六、计算顶点染色方案计算顶点的染色方案可以采用贪心算法或动态规划算法。
在贪心算法中，我们先按照颜色种类递增的顺序将所有的顶点染上颜色，如果某个顶点的颜色与它相邻的顶点的颜色相同，则重新选择一种颜色。
在动态规划算法中，我们先将所有的子问题按照大小进行排序，然后从最小的问题开始解决，直到解决所有问题为止。
具体实现方式可以根据问题的具体情况进行调整。
七、结论和总结通过以上证明和计算，我们可以得出结论：任何一个平面图都可以用最多五种不同的颜色进行染色。
这个结论对于解决图的优化问题具有重要的意义。
同时，通过反证法和贪心算法等数学工具的应用，我们可以得到一个最优的染色方案。
图论中的平面图与染色问题
图论中的平面图与染色问题图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
在图论中，平面图与染色问题是重要的研究方向。
一、平面图平面图是指可以在平面上画出的图，其中任意两条边都不相交，任意两个顶点之间都只有一条边相连。
平面图可以用来描述许多实际问题，如地图、电路等。
在平面图中，有一个重要的定理，即欧拉定理。
欧拉定理是数学家欧拉在1736年提出并证明的，它给出了平面图中顶点数、边数和面数的关系。
根据欧拉定理，对于连通的平面图，满足公式：V - E + F = 2，其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。
二、染色问题染色问题是图论中的一个经典问题，即给定一个图，如何用有限种颜色对图的各个顶点进行染色，使得相邻的顶点之间的颜色不相同。
这是一种常见的应用问题，如地图着色、课程表安排等。
在染色问题中，有一个重要的定理，即四色定理。
四色定理是染色问题中的一个著名定理，它指出任何平面图都可以用至多四种颜色对其顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不同。
三、平面图与染色问题的关系平面图与染色问题之间有着紧密的联系。
通过合理的染色方案，可以将一个平面图的顶点进行染色，满足相邻顶点颜色不同的要求。
同时，染色问题的解法与平面图的结构和性质也有关系。
在研究平面图与染色问题时，可以通过绘制平面图的平面嵌入图来分析和求解染色问题。
平面嵌入图是平面图在平面上的一种表示形式，可以把平面图的顶点和边绘制在平面上，形成一种更加直观的图形。
在解决染色问题时，可以借助平面嵌入图的结构和特性，通过一定的算法进行染色。
例如，可以利用贪心算法对顶点进行依次染色，确保相邻顶点染不同的颜色。
四、应用举例平面图与染色问题在实际中有广泛的应用。
一个典型的例子是地图着色问题。
在地图上，每个国家或地区可以用一个顶点表示，国家或地区之间的边表示它们的相邻关系。
通过对地图进行染色，可以实现相邻国家或地区的颜色不同，从而更加方便地辨认。
另一个例子是课程表安排问题。
有关图的染色问题的研究
nj j 1
.
引理 3[2 ] 设 G 为阶为 v ,边数为 e 的Δ2 临界图. (1) 若 3 ,则 e (5v 1) / 4 ; (2) 若Δ = 4 ,则 e 5v / 3 ; (3) 若 5 ,则 e 2v 1 ; (4) 若 6 ,则 e (9v 1) / 4 ;
同的颜色， 所以对任意图 G 的边色数有 ' G ， 其中 指图 G 的最大度。 1964 年，苏联数学家 V.G.Vizing 给出了关于图边染色的一个突破性结论，他指出了 简单图 G 的边色数与度之间的关系。 Vizing 定理： 任意(简单， 无向) 图 G 的边着色数 (edge chromatic number)
在将近半个世纪的漫长岁月里， 人们一直在为解决简单图的分类问题做着不 懈的努力。解决一般图的分类问题相当困难，因此人们关心平面图等特殊图的分 类问题。对于简单平面图，1965 年，Vizing 自己证明了，如果 8 则是第一类 的。而对于 2,3, 4,5 的情况则同时有第一类和第二类的图存在。比如，把正多 面体的其中一边截成两条，即可得到 3, 4,5 的平面图，都有 G C 2 ；而任何长 度是奇数的圈 ( 比如三角形 ) 就是 2 的第二类图。并对剩余的两种情况， Vizing 也提出了猜想。 平面图 Vizing 猜想：任何简单平面图如果 6 7, e(G) v (G) ，则是 第一类的。 对于 7 的情况，在 2001 年 Sanders & Zhao 给出了肯定的结果：G C1 。 而对于 6 的情况，至今尚未解决。 2.3 一些结论 首先介绍几个常用的引理. 引理 1 (Vizing 邻接引理) 设 G 为 临界图,且 uv E (G), d (v) k , 则有 (1) 若 k , u 至少相邻于 G 的 k 1 个度数为 的顶点; (2) 若 k , u 至少相邻于 G 的两个度数为 的顶点. 引理 2[2 ] 若 G 为 临界图( ≥3) ,则 n 2
平面图的无圈边染色
３４ ９
淮阴师范学院学报 （ 自然科学 ）
第ｌ Ｏ卷
性质 ｌ 如果 图 Ｇ是平 面图并且 它 的 围长 为 ｇ， Ｍａ（ ）＜ 则 ｄＧ
． 文 ［］ 见 ８．
引理 ２ 如 果 图 Ｇ的 Ｍａ（ ）＜４且 （ ｄＧ ， Ｇ）≥ ２ 则 图 Ｇ至少包 含下 面几 种情况 之一 ． ，
的颜色 ， 以及 图 Ｇ中不含 有 ２色 圈 ， ． 换句 话说 即图 Ｇ 中任何 染 两种 颜 色 的边 的 导 出子 图是 一 棵 森林 ． 关键 词 ： 圈染 色 ；平面 图；围长 ；最 大平 均度 无
中图分类 号 ： １７５ Ｏ ５ ． 文献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ：６ １ ８ ６ ２ １ ）５０ ９ ．６ １７ ． ７ （ ０ １０ ．３ ３０ ６
０ｃ ．２ １ ｔ ０１
平面图的无圈边染色
段娟娟 ，丁 伟
（ 中国矿业大学 理学院 ， 江苏 徐州 ２ １１） ２ １６
摘 要 ： 用差 值转 移的方 法证 明 了， 利 如果 ｇ（ ） ４则有 Ｘ， ＧＩ ＞ ≤△（ ＋４ 图 Ｇ＝（ ， 是 简 Ｇ） ． Ｅ）
单图， 映射 Ｃ Ｅ ［ ］被称作是图 Ｇ的一个无 圈ｋ ：一 ｋ ， 边染色． 如果任意相邻的两个边染有不同
情况 ６ 一个 ６ 度点至少邻接邻接 ５ ３ 个 度点 ， 和一个度数小于等于 △ Ｇ 一１ （） ； 情况 ７ 一个 ７度 点邻接 ７个 ３ 点 ； 度
情况 ８ 一个 点 当ｄ ） （ ≥６ ， 时 点 至少邻接 ｄ 一３ ２ （ ） 个 度点其 中的一个可以是 ３ 度点 ．
情况 １ 一个 ２ 度点至少邻接一个度数小于等于 ４ 的点 ； 情况 ２ 一个 ３度点 至少 邻接 一个小 于等 于 ４度 的点和 一个 ５ 的点 ； 度
图论探索之挑战奥数中的图论问题
图论探索之挑战奥数中的图论问题图论探索之挑战奥数中的图论问题图论是数学的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
在奥数竞赛中，图论问题常常被用来考察学生的逻辑推理和问题解决能力。
本文将介绍一些挑战奥数中常见的图论问题，并通过具体案例来解析。
1. 马踏棋盘问题马踏棋盘问题是一个经典的图论问题，要求马在棋盘上按照规定的移动方式遍历所有格子，且每个格子仅经过一次。
这个问题可以使用图的深度优先搜索来解决。
以8×8的棋盘为例，我们可以将每个格子看作图中的一个顶点，把马的移动看作图中的边。
通过搜索算法，可以找到一条路径，使得马可以遍历所有的格子。
2. 平面图的染色问题染色问题是图论中一个经典的问题，常被用来考察学生对图的颜色分配和连通性的理解。
平面图的染色问题要求给定的平面图在没有相邻顶点之间有相同颜色的情况下，尽可能使用最少的颜色进行染色。
通过贪心算法，可以解决平面图的染色问题。
贪心算法的基本思想是从一个初始解开始，每次选择可行的局部最优解，最终得到全局最优解。
对于平面图的染色问题，我们可以从一个顶点开始，按顺序给相邻的顶点染色，直到所有的顶点都被染色。
3. 电厂选址问题电厂选址问题是一个实际的应用问题，也可以用图论的方法来解决。
在电厂选址问题中，需要确定电厂的位置，使得电厂到各个需求点的距离和最短。
将电厂和需求点看作图中的顶点，电厂和需求点之间的距离看作边的权重。
通过最短路径算法，可以求解电厂选址问题。
常用的最短路径算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法，它们可以帮助我们找到电厂的最佳位置，以实现最优的供电方案。
4. 旅行商问题旅行商问题是图论中的一个经典问题，要求寻找一条路径，使得旅行商可以经过每个城市一次，并返回起点城市，且总路径长度最短。
旅行商问题是一个NP难问题，目前还没有高效的解法。
常用的解决方法是使用近似算法，例如最邻近算法和最小生成树算法。
这些算法可以找到一个接近最优解的解决方案。
最大度是4的可平面图的边染色
其 中 Ｅ （ Ｇ） Ｌ Ｇ）， （ ＪＦ（ 用 ）表 示 点 的 度 数 为 的 邻 点 的 个 数 ， （ ｄ ＋ ）表 示 点 的 度 数 不 小 于 的 邻 点 的 个 数 ．度 数 为 的 点 （ 面 ）称 为 一 点 （ 后 一 面 ）， 数 不 小 于 尼 或 或 度 的 点 （ 面 ）称 为 一 点 （ 后 或 或 一 面 ） 若 存 在 映 射 ： Ｇ）一 ｛ ２， ｝ 使 得 Ｇ 中 任 意 ． Ｅ（ １， … ，
（ ｄ（ ３） ） ＋ ｄ（ｕ） ≥ Ａ ＋ ２．
引 理 １ ２” ．
２， ５ 习ｌ 么
设 Ｇ 是 一 个 △ 一 临 界 图 ， ≥ ３ ｘ ∈ （Ｇ） 满 足 ｄ（ ） ＋ （ Ａ ．ｙ Ｙ） ＝ Ａ ＋
（ １）每 个 ∈ Ⅳ（｛ ，－ ） ＼｛ ， ｙ｝ Ｙ｝是 Ａ 一 点 ； （ ２）每 个 宦 Ⅳ（ （｛ Ｙ｝ Ⅳ ｘ， ）） ＼｛ ， Ｙ｝， 足 ｄ（ 满 ） ≥ △ 一 １；
（ 面 ）关 联 于 同 一 个 顶 点 ， 这 两 个 圈 （ 面 ） 相 交 ． 或 称 或
Ｖｉｉ ｇ ［ ｚｎ ２］给 出 了 Ａ ∈ ｛ ３， ５｝的 简 单 平 面 图 存 在 第 二 类 的 例 子 ． 近 ， 献 ［ ２， ４， 最 文 ７］ 证 明 了 一 个 围 长 为 ｇ 的 简 单 平 面 图 Ｇ满 足 △ ≥ ４且 ｇ ≥ ５， Ｇ是 第 一 类 的 ． 献 ［ 则 文 ８］证 明 了 ： ＝ ４ 的 简 单 平 面 图 Ｇ， 不 含 长 度 为 ｉ的 圈 ， 中 ４ ≤ ｉ≤ １ 则 Ｇ 是 第 一 类 图 ； △ 若 其 ４， 若
最大度等于5的图的强边色数
（ ｌ ｇ ｆＭ ａ ｈ ｍａ ｉ ｓａ ｄ Ｉ ｆ ｒ ｔｏ ｃｅ ｃ ， Ｎｏ ｔ ｗｅ ｔＮｏ ｍａ ｉ ｅ ｓｔ ， Ｌａ ｚ ｏ ３ ０ ０，Ｇａ ｓ Ｃｏ ｌ ｅ ｏ ｔ ｅ ｔｃ ｎ ｎ ｏ ｍａ ｉ ｎ Ｓ ｉｎ ｅ ｅ ｒ ｈ ｓ ｒ ｌ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｎｈ ｕ７０ ７ ｎ ｕ，Ｃｈ ｎ ） ｉａ
维普资讯
西
１ ６
北
师
范
大
学
学
报 （ 自然 科 学 版 ）
第 ４ ３卷 ２ ０ 年 第 ２ ０７ 期
Ｖ ｏ１４３ ２ ０７ Ｎ ｏ ． ０ ．２
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＮｏ ｔ ｗｅ ｔＮｏ ｍａ ｉｅｓｔ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｒｈ ｓ ｒ ｌ ｏ Ｕｎｖ ｒｉ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ） ｙ
１ 引 言
本 文仅 考 虑有 限 、无 向 、无 环 、但可 以有 重边
的连通 图． 图 Ｇ 的 一 个 匹 配 Ｍ 称 为是 导 出 匹 配 ， 如果 Ｍ 中 的任 意 两 条 边 在 Ｇ 中 的 距 离 至 少 是 ２ ，
如果 这个 猜 想 成 立 ，则 是 最 好 的． 在 任何 情 形 下 ， 这个 猜想 看来 很难 证 明．我 们 容易看 到 当 △（ ≤２ Ｇ） 时猜 想是 成立 的． 当 △（ 一 ３时 ，这个 猜 想 分 别 Ｇ）
１
ｆ ｅ ｆ ｆ ｅ ｆ ４ ．这 意 味 着 如 果 用 ４ ）≤ ） ≤ ｏ Ｆ（ Ｎ（ １种 颜
色 对 图 Ｇ进 行 强 边 着 色 ，则 可 以用 任 一 种 贪 婪 的 方 式去 实现 ：只需 按 任 意 顺 序 对 图 Ｇ 的边 一 条 接 着 一条 去着 色 ，对 于 即将 着 色 的边总存 在一 种 可用
围长至少为5的平面图的线性染色
图 Ｇ的一个 正 常染色 是从 顶点集 合 Ｖ Ｇ）到颜 色集合 ｛ ，， ，｝的一个 映 射 ， 得 任意 两个 相 邻 的顶 （ １２ … ． ｊ ｝ 使 点 染不 同 的颜 色． Ｇ的一 个线 性 ｋ一染 色是一 个正 常染 色 ， 得染 任意 两种 颜色 的顶点 集合 导 出的子 图是 图 使
５
２ｌ Ｏ０年
菏 泽 学 院 学 报
第 ２期
对 于一个平 面 图 Ｇ， 我们 用 Ｆ ｃ 表示 它 的面集 合． （） 面的度 是指 它的边界 上 边 的条 数 ， 中割 边被计 算 两 其 次． 于任 意 的 ∈ （ ）Ｕ Ｆ（ ， ｄ （ 对 Ｇ Ｇ）用 Ｇ ）表示 Ｇ中的 的度． 在不 产生混 淆 的情 况下 ， 以用 简单 的用 可
一
些点 不交 的路 的并． Ｇ的线性 色数 ｌ（ ） 义 为 Ｇ的所 有线 性 ｋ一染色 中最 小 的 ｋ值． 图 ｃＧ 定 Ｙ ｓｅ… 首先研 究 了 图的线性 染色 ， 明 了任 意 图 Ｇ的线 性色 数满 足 ｌ（ ｕｔ ｒ 证 ｃ Ｇ）： ０（ △Ｔ）且 构 造 出了 ，
一
类 图使得 ｌ（ ）＝ （ ｃ ｃ △亨）事 实上 ， ． 这个概 念是 图的无 圈染色 的一 种特 殊情 况． Ｇ的一个 无 圈染色 Ｇ的 图 个 正 常染色 ， 得染 任 意 两种 颜色 的顶 点集 合 导 出的子 图是 一个 森林 ． 圈染 色 的概 念是 由 Ｇ ｆ ｂｕ 使 无 ｒｎ ａ ｍ ｉ 最 近 ，ｓｅｅ 等 把线 性染 色 的概念 推广 到线性 选 择 上来 ． 们 研究 了树 ， 子 图 ， 全 二 部 图 ， 面 Ｅ ｐｒｔ 他 格 完 平
图论图着色
v4
v5
(b)去掉v0后结点v1与v3处在 同一个连通分支中,v1 与v3有一通路，其中点的颜色红黄交替出现，它与 v0构成一回路C(同一个连通分支)，也就是约当曲线， 这时结点v2处在曲线的内部而结点v5则处在线的外 部，v2与v5的任何连线必与曲线C相交，与平面图的 条件矛盾。因此约当曲线C必然将黑白集中的结点分 成两个连通分支，使v2与v5分别处于两个连通分支中 （也就是v2与v5不连通）， v 于是问题回到(a)，可将v2 v v (或v5)所在的分支中的黑 v 白色对换，于是与v0邻接 v v 的5个结点也只着了4种颜 色， v0就可着第5种颜色。
独立集特点 (1)图G的每一个结点构成一个独立集。 (2)极大独立集不是唯一的，它的基数不一定 是最大的，但它的元素数目已达到极限， 即不可能再加入其他结点而不破坏它的独 立性。 (3)最大独立集必然也是极大独立集而且元素 数目是最多的。 (4)任一完全图Kn的独立数I(Kn)＝1 (5)偶图G只有两个极大独立集，即是它的两 个互补结点子集V1和V2
v1 e1 c1 e3 c3 v3 v0 e2 c2 v2
定理6.4 若G是偶图，则 ψ e (G ) = Δ (最大结点次数) 证：设G的两个互补结点子集为Vl和V2，若|V1|<|V2|，则 在V1中增加一些结点成为V1’使|V1’|=|V2|， 对xi∈V1’及yj∈V2，若G中无边(xi，yj)，则增加一条 边(xi,yj)，通过以上的增添，图G=(V，E)成为图GΔ＝ (V’，E1’)， GΔ 是 Δ次正则偶图，（ 由定理5.4的推论可知）它 有一完美匹配M1，令E2’＝E1’一M1，得到图 G Δ-1＝ (V’，E2’)，则 G Δ-1是(Δ一1)次正则偶图，它也有一 完美匹配M2， 如此继续下去可以得到M1，M2,..., MΔ 个完美匹 配，每一个完美匹配可着一种颜色，使得到G的边 着 色，即 ψ e (G ) = Δ
地图四色问题
地图四色问题《人民日报》发表了一篇中国著名科学家钱学森所撰写的文章：《现代科学技术》。
这是一篇出色的文稿，对于了解中国科学技术现代化会往什么方向前进，该文作了不少的披露。
数学爱好者都会注意到钱学森在文章中所提的一件事：“去年数学界哄动一时的一件事，是用电子计算机证明了数学上的四色定理。
画地图要求相邻两国不用同一色，一幅地图只需要四种颜色。
要证明这个定理很难，数学家经过上百年的努力，证明不了。
去年美国数学家用电子计算机证明了。
他们看到这个问题要证明并不是不可能，而是证明的步骤、程序很复杂，人一辈子的时间也证不完。
他们把程序编好，交给高速的电子计算机去干。
高速电子计算机也用了一千多个小时才证出来。
美国数学家认为，他们的主要贡献不是在证明了四色定理，而在运用电子计算机完成了这件人没有能够完成的事。
”“地图四色问题”在钱学森的文章里已经清楚地解释了。
你大概会很惊奇，这甚至连懂得拿起彩笔涂鸦的小孩都会发觉到的问题，确是一个数学问题吗？是的，这是一个数学上著名的难题，许多大数学家曾经尝试想去解决它而不成功，可是这个问题看来又是那么容易明白，好像谁都可以很快解决它似的。
我在这里要介绍这个问题的来源，以及美国数学家解决它的经过。
害怕数学的读者不必顾虑，我的解释都很浅白，相信你是会看懂的。
问题的来源在1852年，英国有一个年青人叫法兰西斯·古特里，他在画英国地图涂颜色时发现：如果相邻两国用不同颜色涂上，地图只需要四种颜色就够了。
他把这发现告诉他念数学的哥哥费特里，并且画了一个图给他看。
这个图最少要四种颜色，才能把相邻的两部分分辨，颜色的数目再不能减少。
他的哥哥相信弟弟的发现是对的，但是却不能用数学方法加以证明，也解释不出其中的道理。
这年10月23日，费特里拿这个问题向伦敦大学的数学教授奥古斯都·德·摩根请教。
德·摩根是当时英国著名的数学家，他也不能马上解释。
他于当天写一封信给在三一学院的好朋友威廉·哈密尔顿。
平面图的各种染色综述
摘 要：文章首先介绍平面图的一些结构和性质，给出了关于点（边，全）方面的染色概念，并综述了一些染色 在平面图方面的结果．主要的染色有图的正常点染色、点荫度、线性点荫度、均匀染色、均匀点荫度、无圈点染 色、正常边染色、无圈边染色、强边染色、（ｐ，ｑ）－边标号、邻点（和）可区别边（全）染色，荫度、线性荫度、线性 ｋ－荫度，全染色以及这些染色的列表情况等． 关键词：平面图；染色；列表染色 中图分类号：Ｏ１５７５ 文献标志码：Ａ
本文考 虑 的 是 简 单 无 向 图．有 关 概 念 和 术 语 可以参考 文 献 ［１－２］，染 色 方 面 的 书 籍 有 文 献 ［３－６］，一篇关 于 平 面 图 染 色 的 英 文 综 述 见 文 献 ［７］．图一般由它的点集和边集组成．首先第 １节 介绍平面图的概念及其结构性质，介绍几个特殊 的平面图；第 ２节介绍只染点方面的染色概念并 综述部分染色在平面图方面的结果；第 ３节介绍 只染边方面 的 染 色，并 综 述 一 些 染 色 在 平 面 图 方 面的结果；第 ４节介绍图的全染色，列表全染色， 邻点（和）可区别的全染色，无圈全染色等概念并 叙述平面图相关的结果；第 ５、６节首先介绍一些 前面没有提到的染色，罗列一些主要结果，并提供 一些可以继续研究的问题．
等．把左边括 号 内 的 值 分 别 定 义 为 点 或 面 的 初 值
ｃｈ．由于右边是个负数，点和边中肯定有元素的初
值是负的．这 个 变 形 在 研 究 平 面 图 的 染 色 问 题 时
非常有用，因为如果某个染色结果不成立，可以通
过从初 值 为 正 的 元 素 传 一 些 值 给 初 值 为 负 的 元
基金项目：国家自然科学基金重点资助项目（１１６３１０１４）；国家自然科学基金面上资助项目（１１９７１２７０）；山东省自然科学基金资助项 目（ＺＲ２０１８ＭＡ００１）
南京师大学报(自然科学版)第34卷(2011年)总目次
分数次多线性交换子在齐型 Ｈ ｒ Ｍ ｒ ｙ空间中的有界性 ｅ －ｏ ｅ ｚ ｒ
……………………… 葛仁福 ， 徐国华 （ ，１ ４２ ）
一
Ｉ 一
亚纯 函数 的 Ｐｃｒ 外集 … …… …… ……… ……… …… ……… …… ……… …… 王品玲 ， ｉ ｄ例 ａ 王立 庆 （ ２ ） ４，６ 二 阶多个体 系统 控制受 限下 的无碰 撞速 度一致 性 问题 … ……… …… …… 史玉石 ， 朱建栋 ， 陈 腾 （ ３） ４，３
南京师大学报 （ 自然科学版 ） 第３ ４卷 （０ １ ） 目次 ２１ 年 总
（ 者后括 号 内逗 号前 为期号 ， 号后 为 页码 ） 作 逗
逼近空 间 的拓扑方 法 …… …… …… …… ……… …… …… ……… …… …… …… …… 李伯 权 ， 贺
ＢＳ推广模 型 的亚式期 权定 价 … …… ……… …… …… ……… …… …… … 刘 国祥 ， － 陈 波 ， 翁
含 杂质一 维原 子链热 导 Ｍｏ ｔ Ｃ ｒ 模拟 … …… ……… 杨 ｎｅ ａ ｏ ｌ 理， 潘 亮 ， 朱佳利 ， 杨
巍， 唐建 国 （ ，８ １４ ） 程 ， 寅林 （ ，２ 徐 １５ ）
瑞 ， 秀轻 （ ，） 周 ３７ 伟 （ ，３ ３ １）
平 面 图 ３可着 色 的充分条 件 ……… …… …… …… ……… …… …… ……… …… … 赵春 红 ， 董
最 大度 是 ６且 不含 有弦 的小 圈 的可 平 面图 的边染色 …… ……… …… …… …… ……… …… 倪 伟平 （ ，９ ３ ｌ）
一
带 有极 大值项 的中立 型差分 方程非 振 动解 的渐近性 … ……… …… ……… …… … 谭福锦 ， 邓艳平 （ ，５ ２ ｌ） 排 列 中相 邻 两项 的最大公 因子 …… …… ……… …… …… ……… …… …… …… …… ……… 姬 成双 （ １） ２，８ 具 有乘积 纯正 断 面的正 则半群 …… …… …… ……… …… …… …… ……… …… … 郭 晓永 ， 秀海 （ ２ ） 费 ２，３
图论中的图的着色与染色问题
图论中的图的着色与染色问题在图论中，图的着色与染色问题是一类经典的问题。
图的着色是指给图的每个顶点赋予一个颜色，要求相邻的顶点不能有相同的颜色；而图的染色是指给图的边赋予一个颜色，要求相邻的边不能有相同的颜色。
一、图的顶点着色图的顶点着色问题是图论中的经典问题之一。
给定一个无向图，要求为每个顶点分配一个颜色，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。
这个问题的本质是将相邻的顶点划分到不同的颜色集合中。
解决图的顶点着色问题有多种算法，其中较为简单和常用的是贪心算法。
贪心算法按照某种规则为图的顶点逐个着色，每次着色时选择当前可用颜色的最小编号。
贪心算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n 为图的顶点数。
二、图的边染色图的边染色问题是另一个经典的图论问题。
给定一个无向图，要求给每条边分配一个颜色，使得任意两条相邻的边颜色不同。
这个问题的目标是将相邻的边划分到不同的颜色集合中。
解决图的边染色问题的算法有多种，其中常用的是基于回溯法和深度优先搜索的算法。
回溯法通过递归地尝试为每条边分配颜色，并根据约束条件进行回溯，直到找到可行的解或者穷尽所有可能。
深度优先搜索则通过遍历图的边，逐个给边染色，当发现某条边与相邻边颜色相同时，回溯到前一条边重新选择颜色。
三、特殊图的着色与染色问题除了一般的图的着色与染色问题，还存在一些特殊类型的图，对应着特殊的着色与染色问题。
1. 树的着色与染色：在树中，任意两个顶点之间都只有一条路径，因此树的着色与染色问题可以简化为树的边染色问题。
树的边染色问题可以使用贪心算法解决，每次为某条边选择一个未使用的颜色，直到所有边都被染色。
2. 平面图的着色与染色：平面图是指可以画在平面上，且任意两条边最多只有一个公共顶点的图。
平面图的着色与染色问题是在满足平面图约束条件下对图进行着色或染色。
对于平面图的着色与染色问题，使用四色定理可以得到解，即任何平面图最多只需要四种颜色来着色或染色。
四、应用领域图的着色与染色问题在实际应用中具有广泛的应用。
离散数学中的染色问题
离散数学中的染色问题在离散数学领域中，染色问题是一类十分具有挑战性的问题，它涉及到对图的结点或边进行染色的方式与规则。
本文将介绍染色问题的基本概念、常见模型以及算法应用等内容。
1. 染色问题简介染色问题是指在给定的图中对结点或边进行染色，使得相邻结点或边之间的颜色不相同。
染色问题在图论和计算机科学等领域具有重要意义，它可以应用于时间表排列、任务分配、频率分配等实际问题。
2. 图的染色模型在染色问题中，最常用的模型是顶点染色和边染色。
2.1 顶点染色顶点染色指的是对图的每个结点进行染色，使得相邻结点的颜色不相同。
常用的顶点染色问题有着名的四色定理，即任何平面图都可以用四种颜色进行染色，使得相邻结点的颜色不同。
四色定理的证明借助了大量计算机运算，并被认为是计算机科学中的重大突破。
2.2 边染色边染色是指对图的每条边进行染色，使得相邻边之间的颜色不相同。
边染色问题的一个经典例子是地图染色问题，即在给定的地图上对相邻地区进行染色，要求相邻地区的颜色不同。
地图染色问题具有广泛的应用，例如电信领域的频率分配，确保相邻基站的频率不相同。
3. 染色算法为了解决染色问题，研究人员开发了多种求解算法，其中一些方法在特定条件下能够找到最优解。
3.1 贪婪算法贪婪算法是一种简单而高效的求解染色问题的方法。
该算法从某个结点开始，逐个给每个结点染色，每次选择一个尚未被使用的颜色并保证其与相邻结点不冲突。
贪婪算法的局限性在于可能得到的染色方案并非最优解，但它的运行时间较短，适用于大规模图的染色问题。
3.2 回溯算法回溯算法是在求解染色问题中常用的深度优先搜索方法。
该算法从某个结点开始，递归地对相邻结点进行染色，并在染色冲突时进行回溯。
回溯算法能够确保找到一种可行的染色方案，但其时间复杂度较高，不适用于大规模图的染色问题。
3.3 混合算法混合算法结合了贪婪算法和回溯算法的优点，既能够获得较好的染色方案，又能够保证较短的运行时间。
最大度是5的可平面图的边染色
Ｅｄ ｅ ｃ ｌ ｒ ｎ ｓ ｏ ａ ｒ ｇ ａ ｈｓ ｗｉｈ ｍ ａ ｉ ｕｍ ｇ ｅ ｖ ｇ ｏ ｏ ｉ ｇ ｆｐｌ ｎａ ｒ ｐ ｔ ｘ ｍ ｄｅ ｒ ｅ ｆ ｅ ｉ
ＮＩＷ ｅ － ｎ ｉｐｉ ｇ
（Ｄ ｐ ｒ ｅｔ ｆ ａｈｍ ｔ ｓ ｎ ｎｏ ｔ ｎＳｉ ｃ ， ａｚｕｎ ｎ ｅｓｙ Ｚ ｏｈ ａｇ ２７ ６ Ｃ ｉａ ｅ ａ ｍ ｎ ｏ ｔｅ ａ ｃ ｄＩｆ ｍａｏ ｃ ｎｅ ＺｏｈａｇＵ ｉ ｒｔ， ａｚｕｎ ７ １０， ｈｎ ） ｔ Ｍ ｉ ａ ｒ ｉ ｅ ｖ ｉ
文 中考虑 的 图都 是简 单 、 向有 限 图． 图 Ｇ可 以表示 在平 面 上 ， 且任 意两 条边 仅在 其端 点处 才 无 若 并 可能 相交 ， 则称 Ｇ是 可平 面 图 ， Ｇ的这种 平面 上的表 示法称 为 Ｇ的一 个平 面嵌入 ， 图 或称 为平 面图． 分别 用 （ 、 （ ） Ｆ Ｇ 、 Ｇ） 简 记为 △） Ｇ） Ｅ Ｇ 、 （ ） △（ （ 表示 Ｇ的顶点集 合 、 集合 、 边 面集 合 、 大度． ｄ ） 最 用 （ 表示 在 Ｇ中 的度数 ， ∈ （ ）ｕ Ｆ（ ） 用 ｄ （ Ｇ Ｇ． ）表示点 的度数 为 ｋ的邻点 的个数 ， （ ）表示 点 的度 数不 ｄ＋ 小 于 ｋ的邻点 的个 数． 数为 ｋ的点 （ 面 ） 为 一点 （ ｋ一面 ） 度数 不小 于 ｋ 度 或 称 或 ， 的点 （ 或面 ） 为 ｋ 称 一 点（ ｋ 或 一面 ） 若 一个 ３一面， ． 关联 ３ 个度 数分 别为 ｉ ， 的顶点 ， 中 ， ≤ ，ｋ 其 ｉ ≤ ｋ 则称厂 （√，）一面． ， 为 ｉ 设 Ｃ是 Ｇ中长度 为 ｋ的圈 ， 如果 ｘ ｙ∈Ｅ（ ） Ｅ Ｃ ， 中 ， Ｙ∈ Ｖ Ｃ ， ｙ为 Ｃ的一条 弦 ， Ｇ ＼ （ ） 其 ， （ ） 称 ｃ为有 弦的
极大外平面图的星边染色
作 ｘ （ ） 文 ［ 中用概率方法证明了， Ａ（ ） ７时， Ｇ ［６ａ ｃ 一１ ］进而得到， Ｇ ． ３ ］ 当 Ｃ ） （ ） １（ （ ） ） ， （ 当 Ｇ是最大度不小于 １ ２的线图时， （ ） ｆ Ａ（ ；， Ｇ １ Ｇ）］ 从而部分的改进了文 ［ 的结果． ６ ２ ］ 近
本文 的第二部分将把此上界改进 为 ｎ一１ 并说明其 最优性 ． ， 下面提到 的图 Ｇ 的两边之 间的距 离是指 Ｇ 的线 图中对应 两顶点之问距离． 它未提 及符 其
号和术语参见文 ［ ． ８ ］
§ 主要 结论及 证 明 ２
运用文 ［ 中给出的构造方法， ７ ］ 可以得到所有非同构的 ４个 ７阶极大外平面图 Ｇ （ ； ：
图 Ｇ １在其外部 面上添加一个 顶点 Ｗ 和两条边 Ｗ？ Ｗ 一 Ｚ Ｖ得到， 中， ， ， 其 Ｕ Ｖ在 Ｇ １外部面边 一
界 （ 哈密尔顿圈 ） 上相邻．
引理 １２ 设 Ｇ 是一个 ｎ阶极大外平面图 ，则 （ ） ． ．【 】 Ｇ６ ＝６
引理 １３ ｌ 设 是一个 ｎ阶扇形图，则 ）（ ５ ：６） （ ） ， ．［ ４ （ Ｆ ） ； （ ：ｎ ｎ＝３４６７） （ ） ，，，； （ ＝
高校应用数学学报 ２ １ ， ６４： ８ —９ ０ １ ２ （） ４ ９４ ４
极大外平面 图的星边染色
邓 凯， 双亮
（ 西北民族 大学 数 学与计算机科 学学院， 甘肃兰州 ７ ０２） ３ １４
摘
要：如 果 图 Ｇ 的一个正 常边 染色使得 Ｇ 中没有长为 ４的路或 ４ 一圈是 ２ 边 染色 一
图论中的图的着色与染色问题
图论中的图的着色与染色问题图是图论中的基本概念之一，是由顶点和边构成的数学结构。
在图的理论中，图的着色与染色问题是一个非常重要且有趣的研究领域。
本文将介绍图的着色与染色问题的基本概念、定理和算法，希望能够为读者深入了解图论领域提供一些帮助。
一、基本概念在图的理论中，图的着色与染色问题是指将图的顶点或边用不同颜色标记的过程。
着色是指给图的顶点或边分配颜色，使得相邻的顶点或边颜色不相同；而染色是指给图的顶点或边分配颜色，使得相邻的顶点或边颜色可以相同。
定理1：图的顶点着色问题对于一个简单图，顶点着色问题是指如何用最少的颜色将图的所有顶点着色，使得相邻的顶点颜色不同。
根据四色定理，任何一个平面图都可以只用四种颜色进行顶点着色。
定理2：图的边着色问题对于一个简单图，边着色问题是指如何用最少的颜色将图的所有边着色，使得任意两条依附于同一顶点的边颜色不同。
根据维茨定理，任何简单无向图都可以用最大度数加一种颜色进行边着色。
二、算法与实践在解决图的着色与染色问题时，常用的算法包括贪心算法、回溯算法、图染色算法等。
其中，Welsh-Powell算法是用来解决无向图的顶点着色问题的一种有效算法，其基本思想是优先考虑度数最大的顶点进行着色。
而在解决边着色问题时，常用的算法包括Vizing定理、边染色算法等。
三、应用与拓展图的着色与染色问题在实际生活中有着广泛的应用，如地图着色、时间表着色、调度问题等。
同时，在拓展领域中，图的着色与染色问题也与其他数学领域有着密切的联系，如组合数学、离散数学等，在各个领域都有着深入的研究与应用。
总结：图的着色与染色问题是图论领域中的一个重要研究方向，具有丰富的理论内涵和实际应用。
通过本文对图的着色与染色问题的介绍，希望读者能够对该领域有一个初步的了解，进一步深入研究与探讨。
愿本文能够为读者在图论领域的学习与研究提供一些帮助与启发。
围长至少为5的平面图的injective染色
围长至少为5的平面图的injective染色卜月华;叶飘飘【摘要】通过构造一个(△+3)-临界图G,运用权转移的方法证明了该图G不存在.同时,用反证法证明了:对于围长至少为5的平面图G,若△(G)≥30,则xi(G)≤△+3.这个结论改进了现有的一个结果.%Let G be a plane graph with g(G) ≥5 and xi(G) be the injective chromatic number of G.It was improved some known results by proving thatxi (G) ≤△ + 3 when △ (G) ≥30.The result was obtained by contradiction:Let G be a (△ + 3)-critical graph,a discharging procedure was applied to the proof by showing that G could not exist.【期刊名称】《浙江师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(040)001【总页数】8页(P1-8)【关键词】平面图;围长;injective染色;面【作者】卜月华;叶飘飘【作者单位】浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华321004;浙江师范大学行知学院,浙江金华321004;浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江金华321004【正文语种】中文【中图分类】O157.5本文仅考虑有限简单图.对于一个平面图G,把它的顶点集、边集、面集、最大度、最小度、围长及图G中u,v间的距离分别记作V(G),E(G),F(G),Δ(G),δ(G),g(G)和dG(u,v).对于图G的一个顶点v,若d(v)=k(或d(v)≥k,或d(v)≤k),则称v为一个k-点(或 k+-点,或k--点).对平面图的面也可以类似定义.∀f∈F(G),记 B(f)为面 f的边界迹.若u1u2…un在B(f)上按顺时针排列,则面 f记为f=[u1u2…un].围长g(G)表示图G中最短圈的长度.图G的正常顶点染色是指对图G的每个顶点分配一种颜色,使得相邻的2个顶点染不同色,其所需的最少颜色数称为图G的色数,记为χ(G).图G的injective k-染色是指映射c:V(G)→{1,2,…,k},使得有公共邻点的2个顶点u,v满足c(u)≠c(v).若图G 有一个injective k-染色,则称图G是injective k-可染的,并称χi(G)=min{k | G是injective k-可染的}为图G的injective色数.Injective染色是由Hahn等[1]提出,并且证明了对任意的平面图G都有Δ(G)≤χi(G)≤(Δ(G))2-Δ(G)+1.随后,人们对平面图的injective染色问题展开了一系列的研究.Doyon等 [2]证明了:对任意围长为g(G)且最大度为Δ的平面图G,有:若g(G)≥7,则χi(G)≤Δ+3;若g(G)≥6,则χi(G)≤Δ+4;若g(G)≥5,则χi(G)≤Δ+8.文献[2-5]研究了稀疏图和平面图的injective色数的上界问题.文献[6]证明了:对于围长g(G)≥6的平面图G,χi(G)≤Δ+3;若Δ≥9,则χi(G)≤Δ+2;若Δ≥17,则χi(G)≤Δ+1.文献[7]证明了:对于围长为g(G)≥5的平面图G,χi(G)≤Δ+6;若Δ≥35,则χi(G)≤Δ+3.问题1 是否存在一个整数M,使得g(G)≥5且Δ≥M的平面图G是injective(Δ+1)-可染的？本文研究围长为g(G)≥5的平面图G的injective染色,证明了下面这个定理:定理1 若图G是g(G)≥5,Δ(G)≥30的平面图,则χi(G)≤Δ(G)+3.若图G不是injective k-可染,但是它的任意真子图都是injective k-可染,则称这样的图G为k-临界图.接下来将研究k-临界图的一些性质.设ni(v)表示与v相邻i-点的个数.若v是图G中的k-点,则记N(v)且{v}).设图G是(Δ+t)-临界图(t≥1),若v是图G中的2-点且D(v)≤Δ+t+1,则称v为轻2-点.否则,称v为重2-点.和分别表示与顶点v相邻的轻2-点个数和与顶点v相邻的重2-点个数.对于顶点v和任意的整数k,d,若k-点v相邻d个2-点,则称v是k(d)-点.称仅与9--点相邻的3(0)-点为轻3(0)-点.设c是图G的injective染色,顶点v所染的颜色记作c(v),对G的一个顶点子集S,所染的颜色集记作c(S)={c(v) | v∈S}.以下是k-临界图G(k≥Δ+1)的一些性质,其证明可见文献[6].性质1 设图G是k-临界图,其中k≥Δ+1,uv∈E(G).若D(u)≤k-1+d(u),则D(v)≥k+d(v).性质2 设图G是(Δ+t)-临界图,其中t≥1,则G不包含相邻2-点且δ(G)≥2.性质3 设图G是(Δ+t)-临界图,其中t≥1,v是2-点,记N(v)={v1,v2}.若D(v)≤Δ+t+1,则∀i∈{1,2},D(vi)≥Δ+t+d(vi).性质4 设图G是(Δ+t)-临界图,其中t≥1,v是3-点,记N(v)={v1,v2,v3}.若D(v)≤Δ+t+2,则∀i∈{1,2,3},D(vi)≥Δ+t+d(vi).由性质4可知,轻3(0)-点与轻3(0)-点不相邻.下面用反证法证明定理1.若定理1的结论不成立,则存在平面图G′,使g(G′)≥5,Δ(G′)≥30,但χ(G′)>Δ(G′)+3.令图G是一个满足Δ(G)≤Δ(G′)=Δ,g(G)≥5,χ(G)>Δ+3且|E(G)|+|V(G)|最小的平面图,则图G是(Δ+3)-临界图.显然,图G是连通图且δ(G)≥2.记ε=1/5.用权转移方法证明G是不存在的.对任意x∈V∪F,构造一个权函数w(x),其中当v∈V时,w(v),当f∈F时,w(f)=d(f)-5.根据连通平面图的Euler公式|V|+|F|-|E|=2及度和公式,有下面根据G的结构性质,在保持总权和不变的情况下,对G中的点和面的权按一定规则进行转移,得到一个新的权函数w*(x).下面将证明:对任意x∈V∪F,都有w*(x)≥0,从而得出如下矛盾:这个矛盾说明G不存在,从而定理1是成立的.权转移分2步进行.第1步:对∀x∈V∪F,设置初始权为w(x).运用一些转权规则,将证明除一些5-点、6-点外的任意顶点和面得到的新权w′(x)≥0.第 2 步:将对于这些权小于零的顶点定义新的转权规则,得到的新权记为w*(x)，并将证明w*(x)≥0.定义以下权转移规则:R1:3≤d(v)≤9的点v给相邻的轻2-点转权1;R2:5≤d(v)≤9的点v给相邻的重2-点转权R3:若4≤d(v)≤9,则v给相邻的3(1)-点转权ε;R4:若3≤d(v)≤9,则v给相邻的轻3(0)-点转权R5:每个10+-点v给相邻的9--点转权.注意到:若d(v)≥Δ-5≥25,则v给相邻的9--点至少转权若d(v)≥10,则v向9--点至少转权1.运用第1步转权规则之后,将对∀x∈V(G)∪F(G)的新权记为w′(x).记 f是G的k-面.因为k≥5,所以对∀f∈F(G),w′(f)=d(f)-5≥0.对于顶点v,设d(v)=k,则由性质2知k≥2.1)k=2,w(v)=-2.记N(v)={x,y},不妨设d(x)≤d(y).若v是轻2-点,则由R1,R5知,w′(v)≥-2+1+1=0.否则,v是重2-点,即d(x)+d(y)≥Δ+5.当d(x)≥10时,由R5知,w′(v)≥-2+1+1=0;当5≤d(x)≤9时,d(y)≥Δ-4,由R2,R5知,w′(v).记N(v)={x,y,z},不妨设d(x)≤d(y)≤d(z).若d(x)=2,则D(x)≤Δ+3.所以,x是轻2-点.由性质3知,D(v)≥Δ+3+d(v)=Δ+6.又因为d(x)=2,所以d(y)+d(z)≥Δ+4.因此,或有d(y)≥10且d(z)≥10,由R1,R5知,w′(v)或有4≤d(y)≤9且d(z)≥Δ-5,由R1,R3,R5知,w′(v).否则,d(x)≥3.当d(z)≥10时,由R3,R5知,w′(v)当max{d(x),d(y),d(z)}≤9时,v是轻3(0)-点,由性质4知,x,y,z都不是轻3(0)-点.由R4知,w′(v).3)k=4,w(v)=1.因为d(v)=4,所以与v相邻的每个2-点都是轻2-点.若n2(v)=0,则由R3,R4知,w′(v)≥1-4×ε≥0.若n2(v)≥1,则由性质3知,D(v)≥Δ+7,所以.当且n3(v)=0时,v至少相邻1个10+-点,由R1,R5知,w′(v)≥1-2×1+1=0;当且n3(v)=1时,v相邻1个Δ-点,由R1,R3～R5知,w′(v)当时,易知v至少相邻1个10+-点,由R1,R3～R5知,w′(v)≥1-1-2×ε+1>0..①.当时,由R2 知,当时,由R2～R4知,当时,由R2～R4知,.②(v)≥1.由性质3知,D(v)≥Δ+8,所以n2(v)≤4.当2≤n2(v)≤3时,v至少相邻1个10+-点,由R1,R3～R5知,.当n2(v)=4 时,v相邻1个Δ-点,当时,由R1～R2,R5知,当时,由R1,R5知,ε.当时,由R1,R3,R5知,.5)k=6,w(v)=4.若,则由R2～R4知,ε.否则,(v)≥1,由性质3知,D(v)≥Δ+9,所以n2(v)≤5.当n2(v)=5时,v至少相邻1个(Δ-1)+-点,由R1～R2,R5知,当n2(v)=4时,v至少相邻1个10+-点,由R1～R5知,w′(v)≥4-4×1-ε+1>0;当n2(v)≤3时,v 至少相邻1个8+-点,由R1～R5知,w′(v)≥4-3×1-2ε>0..若,则由R2～R4知,.否则,(v)≥1.由性质3知,D(v)≥Δ+10,所以n2(v)≤6.当n2(v)=6时,v至少相邻1个(Δ-2)+-点,由R1～R2,R5知,当n2(v)≤5时,由R1～R4知,w′(v).7)k=8,w(v)=7.若,则由R2～R4知,.否则,(v)≥1.由性质3知,D(v)≥Δ+11,所以n2(v)≤7.当n2(v)=7时,v至少相邻1个(Δ-3)+-点,由R1～R2,R5知,当n2(v)≤6时,由R1～R4知,w′(v)≥7-6×1-2ε>0..若,则由R2～R4知,.否则,(v)≥1,由性质3知,D(v)≥Δ+12,所以n2(v)≤8.因此,由R1～R4知,w′(v).9)k≥10,由R5知,.在运用第1次权转移规则后,对∀x∈V(G)∪F(G),除了一些5-点和6-点外,其余的顶点和面都有非负的权值.称这些权值可能为负的5-点和6-点为坏5-点和坏6-点;称权值非负的顶点为好点.综上讨论,存在4种可能的坏5-点和坏6-点.对uv∈E(G),若d(u)≥10,d(v)≥10,则称uv为特殊边.第2次权转移规则R6～R8:R6:每个10+-点v通过特殊边给关联面 f转权;R7:每个2≤k≤9的k-点v将多余的权值平均转给每个关联面;R8:通过R6,R7转权后,每个5+-面 f将多余的权值平均转给面 f上可能的坏5-点和坏6-点.运用第2次转权规则之后,把∀x∈V(G)∪F(G)的新权记为w*(x).断言1 设v是(v)=4的坏5-点,记N(v)={x,y,z,u,w},其中x,y,z,u,w按逆时针排列.记d(w)=d(x)=d(y)=d(z)=2,w1,x1,y1,z1为w,x,y,z的不同于v的另一个邻点.设v恰好关联5个 5-面,记 f=[uvww1u1],其中u1∈N(u)∩N(w1).若4≤d(w1)≤5,则d(u1)≥3.证明因为v关联5个5-面,所以{w1x1,x1y1,y1z1,z1u2,u1w1}⊆E(G),其中u1,u2∈N(u).记 f=[uvww1u1].因为(v)=4,所以x为轻2-点.由轻2-点的定义知,D(x)≤Δ+4.又因为d(v)=5,所以x1 为(Δ-1)--点.同样,y1,z1,w1均为(Δ-1)--点.由性质3 知,d(u)=Δ,再由性质2知,min{d(w1),d(x1),d(y1),d(z1)}≥3.反证法若4≤d(w1)≤5,则可设d(u1)=2.由G的极小性知,G-vw有一个(Δ+3)-injective染色c.先擦去v和w的颜色.若|c(N2(v))|≤Δ+2,则可以把c延拓到整个图G.因为w的禁用色至多是8,所以w可以被正常染好.否则,设|c(N2(v))|≥Δ+3.因为|N2(v)|=Δ+3,所以|c(N2(v))|=Δ+3.考虑 u1,易知擦去v和w的颜色之后,|c(N2(u1))|≤Δ+1,可以用c(u1)染v,再把u1染好,最后染w.这样,c就成为G的一个(Δ+3)-injective染色.与假设矛盾.断言1证毕.下面分4种情形讨论坏5-点和坏6-点最终的权.1)设v是(v)=4且相邻一个Δ-点的坏5-点,通过第1次转权后,w′(v)≥-ε.记N(v)={x,y,z,u,w},其中x,y,z,u,w按逆时针排列.不妨设d(w)=d(x)=d(y)=d(z)=2,且d(u)=Δ,与断言1的证明类似,有max{d(w1),d(x1),d(y1),d(z1)}≤Δ-1且min{d(w1),d(x1),d(y1),d(z1)}≥3.若v关联6+-面,且记 f是其中的一个 6+-面,则面 f中必定有2个点属于{x,y,z,u,w},且这2个点必定不是坏5-点和坏6-点.所以,面f中至多有d(f)-2个坏5-点和坏6-点,由R8知, f至少可以给v转权.所以,w*.若v不关联6+-面,则v恰好关联5个5-面.有{w1x1,x1y1,y1z1,z1u2,u1w1}⊆E(G),其中u1,u2∈N(u).记f1=[uvww1u1],f2=[zvuu2z1],f3=[yvzz1y1],f4=[xvyy1x1].若d(u1)≥10,则uu1是特殊边,由R6 知,面 f1至少可以从u,u1获得权1.因为v是面 f1中唯一的坏5-点或坏6-点, 所以由 R8 知, v从面 f1 获得权 1.因此,w*(v)≥w′(v)+1>0.类似地,若d(u2)≥10,则w*(v)≥0.下面仅考虑d(u1)≤9,d(u2)≤9.①w1和z1都是10+-点.当d(w1)≥10时,因为d(u1)≥2,所以在第1步权转移之后ε.由R7知,u1给每个关联的面转权,所以u1至少给每个关联面转权.由于面 f1中只有v是坏5-点或坏6-点,因此由 R8知,v从面 f1中获得权.同样,当d(z1)≥10时,顶点u2给面 f2至少转权,而面 f2中只有v是坏 5-点或坏6-点,所以由R8知,v从面f2中获得权.因此,w*.②w1和z1中至少有1个为9--点,不妨设3≤d(z1)≤9.因为z是轻2-点,所以由性质3知,D(z1)≥Δ+3+d(z1).若d(z1)=9,则D(z1)≥Δ+12,从而n2(z1)+n3(z1)≤8.由断言1知,3≤d(y1)≤Δ-1.计算z1在第1次转权之后的权w′(z1):当n2(z1)=8时,当n2(z1)=7且n3(z1)=0时,z1相邻1个10+-点,当n2(z1)=7且n3(z1)=1时,z1相邻1个(Δ-5)+-点,当n2(z1)≤6时,.综上,第1次转权结束后,.由R7知,z1至少给每个关联面转权,所以z1至少给面 f2 转权.因为面 f2上只有v是坏5-点或坏6-点,所以由R8知,顶点v从面 f2中获得权.因此,w*.若d(z1)=8,则D(z1)≥Δ+11,从而n2(z1)+n3(z1)≤7.由断言1知,3≤d(y1)≤Δ-1.计算z1在第1次转权之后的权w′(z1):当n2(z1)=7时,当n2(z1)=6且n3(z1)=0时,z1相邻1个10+-点,w′(z1)≥7-6×1+1=2;当n2(z1)=6且n3(z1)=1时,z1相邻1个(Δ-4)+-点,当n2(z1)≤5 时,.综上,第1次转权结束后,.由R7知,z1至少给每个关联面转权.因此,z1分别给面 f2和 f3转权.因为面 f2和 f3中只有v是坏 5-点或坏6-点,所以由R8知,顶点v分别从面 f2和 f3中获得权.因此,w*.若d(z1)=7,则D(z1)≥Δ+10,从而n2(z1)+n3(z1)≤6.由断言1知,3≤d(y1)≤Δ-1.计算z1在第1次转权之后的权w′(z1):当n2(z1)=6时,当n2(z1)=5且n3(z1)=0时,z1相邻1个10+-点,当n2(z1)=5且n3(z1)=1时,z1相邻1个(Δ-3)+-点,当n2(z1)≤4 时,.综上,第1次转权结束后,.由R7知,z1至少给每个关联面转权.由于v 恰好关联5个5-面且d(z)=2,易知z1关联的面中有2个面恰好是与v关联的5-面,所以z1分别给面 f2和 f3转权.因为面 f2和 f3中只有v是坏5-点或坏6- 点,所以由R8知,顶点v分别从面 f2和 f3中获得权.因此,w*.若d(z1)=6,则D(z1)≥Δ+9,从而n2(z1)+n3(z1)≤5.由断言1知,3≤d(y1)≤Δ-1.若n2(z1)=5,则d(y1)=Δ-1.通过第1次权转移后,,由R7知,y至少给每个关联面转权.所以,y至少给面 f3和 f4分别转权.因为面 f3和 f4上只有v是坏5-点或坏6-点,所以由R8知,顶点v从面 f3和 f4中分别获得权.因此,w*.否则,n2(z1)≤4.计算z1在第1次转权之后的权w′(z1):当n2(z1)=4且n3(z1)=0时,z1相邻1个10+-点,w′(z1)≥4-4+1=1;当n2(z1)=4且n3(z1)=1时,z1相邻1个(Δ-2)+-点,当n2(z1)=3且n3(z1)=0时,w′(z1)≥4-3×1=1;当n2(z1)=3且n3(z1)≥1时,z1至少相邻1个10+-点,当n2(z1)≤2时,.综上,第1次转权结束后,w′(z1)≥1.由R7知,z1至少给每个关联面转权.因此,z1分别给面 f2和 f3转权.因为面 f2和 f3中只有v是坏5-点或坏6- 点,所以由R8知,顶点v分别从面 f2和 f3中获得权.因此,w*.若d(z1)=k(k∈{4,5}),则D(z1)≥Δ+3+k,从而n2(z1)+n3(z1)≤k-1.由断言1和对称性知,d(u2)≥3.因为3≤d(y1)≤Δ-1,所以n2(z1)≤k-2.若n2(z1)=k-2,从而d(y1)+d(u2)≥Δ+7-k.由于3≤d(u2)≤9,所以d(y1)≥Δ-2-k>10.通过第1次权转移后,,由R7知,y至少给每个关联面转权.所以,y至少给面 f3,f4分别转权.因为面 f3和f4上只有v是坏5-点或坏6-点,所以由R8知,顶点v从面 f3,f4中分别获得权.因此,.若 n2(z1)=k-3,则z1至少相邻1个10+-点,.由R7知,z1至少给每个关联面转权,所以z1分别给面 f2和 f3转权.因为面 f2和 f3上只有v是坏5-点或坏6- 点,所以由R8知,顶点v从面 f2和 f3中分别获得权.因此,w*.若n2(z1)=k-4,则只需考虑 k=5,即n2(z1)=1.当n3(z1)=0时,当1≤n3(z1)≤3 时,z1至少相邻1个10+-点,.由R7知,z1至少给每个关联面转权,所以z1至少给面 f2转权.因为面 f2上只有v 是坏5-点或坏6-点,所以由R8知,顶点v从面 f2中获得权.因此，w*.若d(z1)=3,则D(z1)≥Δ+6,从而d(y1)+d(u2)≥Δ+4.由于d(u2)≤9,所以d(y1)≥Δ-5.通过第1次权转移后,,由R7知,y至少给每个关联面转权.所以,y 分别给面 f3和f4转权.因为面 f3和 f4上只有v是坏5-点或坏6-点,所以由R8知,顶点v从面 f3和 f4中分别获得权.因此,w*2)设v是(v)=5的坏5-点,通过第1次转权后,w′(v)≥-5ε.记N(v)={x,y,z,u,w},其中x,y,z,u,w按逆时针排列,w1,x1,y1,z1,u1为w,x,y,z,u不同于v的另一个邻点.w,x,y,z,u为2-点,根据重2-点的性质得w1,x1,y1,z1,u1均为Δ-点.记f1=[uvww1…u1], f2=[wvxx1…w1], f3=[xvyy1…x1],f4=[yvzz1…y1],f5=[zvuu1…z1].若v至少关联1 个5-面,则w1x1,x1y1,y1z1,z1u1,u1w1中至少有1条边属于E(G),易知这条边是特殊边.不妨设 f1是5-面,u1w1是f1=[wvuu1w1]上的特殊边,由R6知,面 f1可以从u1,w1中至少获得的权是.因为面 f1中只有v是坏 5-点或坏6-点,所以由R8知,顶点v从面 f1中获得权.因此,w*.否则,v不关联5-面,即 f1,f2,f3,f4,f5都是6+-面.因为w,x,y,z,u为2-点且w1,x1,y1,z1,u1均为Δ-点,所以x,y,z,u,w,x1,y1,z1,u1,w1都是好点.又因为 f1, f2,f3, f4, f5中的每个面上至少有4个好点,所以面fi(i∈{1,2,…,5})上至多有d(fi)-4个坏点.由R8知,每个面 fi至少可以给v转权.因此,.3)设v是且相邻1个3-点的坏5-点,通过第1次转权后,ε.N(v)={x,y,z,u,w},其中x,y,z,u,w按逆时针排列,w1,x1,y1,z1,u1为w,x,y,z,u不同于v的另一个邻点.不妨设w,x,y,z为2-点,根据重2-点的性质得w1,x1,y1,z1均为Δ-点.记f1=[vxx1…w1w], f2=[xvyy1…x1],f3=[zvyy1…z1].若 f1, f2, f3中至少有1个5-面,则w1x1,x1y1,y1z1中至少有1条边属于E(G),易知这条边是特殊边.不妨设w1x1是 f1=[vxx1w1w]上的特殊边,由R6知,面 f1至少可以从z1,w1中获得权.因为面f1上只有v是坏5-点或坏6-点,所以由R8知,顶点v从面f1中获得权.因此，w*.否则, f1, f2, f3都不是5-面,即它们都是6+-面,但 f1, f2, f3上至少有4个好点.由R8知, f1, f2, f3分别向v转权.因此,w*.4)设v是(v)=6的坏6-点,通过第1次转权后,w′(v)≥-ε.N(v)={x,y,z,u,w,p},其中x,y,z,u,w,p按逆时针排列,w1,x1,y1,z1,u1,p1 为w,x,y,z,u,p不同于v的另一个邻点.w,x,y,z,u,p为2-点,根据重2-点的性质得w1,x1,y1,z1,u1,p1均为(Δ-1)+-点.若v至少关联1个5-面,不妨设 f=[uvww1u1]是一个5-面,则w1u1是特殊边.由R6知,面 f至少可从u1,w1中获得权.因为面 f中只有v是坏5-点或坏6-点,所以由R8知,顶点v至少从面 f中获得权.因此,w*.否则,v不关联5-面,即v关联6个6+-面.记f ′=[uvww1…u1]是一个6+-面.因为面f ′上w,w1,u,u1是好点,所以面f ′上至多有d(f)-4个坏点.由R8知,面f ′至少可以给v转权.因此,w*.最后,对于特殊边e=uv中的顶点u,根据R5,u不给v转权,即相对于顶点u剩余权,而根据R6,u通过边e分别给与边e相邻的2个面转权,因此顶点u最终仍有w*(u)≥0.通过2次权转移就检验了对任意x∈V(G)∪F(G),都有w*(x)≥0,从而得到矛盾.定理1证毕.本文讨论了围长至少为5的平面图的injective染色问题,证明了:若图G是g(G)≥5,Δ(G)≥30的平面图,则χi(G)≤Δ(G)+3.根据文献[7]的结论和本文结果,下面这个问题是有意义的,即:对于g(G)≥5的平面图G,探讨最小的正整数Δ0,使得当Δ(G)≥Δ0时,有χi(G)≤Δ(G)+3.【相关文献】[1]Hahn G,Kratochvíl J,Sirá J,et al.On the injective chromatic number of graphs[J].Discrete Math,2002,256(1/2):179-192.[2]Doyon A,Hahn G,Raspaud A.Some bounds on the injective chromatic number of graphs[J].Discrete Math,2012,310(3):585-590.[3]Cranston D,Kim S,Yu G.Injective colorings of graphs with low averagedegree[J].Algorithmica,2010,60(3):553-568.[4]Cranston D,Kim S,Yu G.Injective colorings of sparse graphs[J].DiscreteMath,2010,310(21):2965-2973.[5]Bu Y,Chen D,Raspaud A,et al.Injective coloring of planar graphs[J].Discrete Appl Math,2009,157(4):663-672.[6]Dong W,Lin W.Injective coloring of planar graphs with girth 6[J].DiscreteMath,2013,313(12):1302-1311.[7]Dong W,Lin W.Injective coloring of plane graphs with girth 5[J].DiscreteMath,2014,315/316(12):120-127.。
最大度是5的可平面图的边染色
最大度是5的可平面图的边染色
倪伟平
【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(034)003
【摘要】对于最大度是Δ的可平面图G,如果χ′(G)=Δ,称G为第一类图;如果χ′(G)=Δ+1,称G为第二类图.χ′(G)表示G的边染色数.1965年,Vizing举例说明Δ=5的可平面图中既有第一类图,也有第二类图.作者运用Discharge方法证明最大度是5且不包含有弦的4-圈和有弦的5-圈,或不包含有弦的4-圈和有弦的6-圈的可平面图是第一类图.
【总页数】6页(P18-23)
【作者】倪伟平
【作者单位】枣庄学院,数学与信息科学系,山东,枣庄,277160
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.最大度是5的可平面图的边染色 [J], 倪伟平
2.最大度为5不含6-圈的可平面图的边染色 [J], 丁伟;段娟娟;王徐民
3.最大度是6且不含有弦的小圈的可平面图的边染色 [J], 倪伟平
4.关于最大度是4的平面图的18-强边染色 [J], 李明;张霞
5.最大度为3的2-连通外平面图的星边染色 [J], 邓凯
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最大度是5的可平面图的边染色倪伟平(枣庄学院数学与信息科学系,山东枣庄 277160)摘 要:对于最大度是Δ的可平面图G,如果χ′(G )=Δ,称G 为第一类图;如果χ′(G )=Δ+1,称G 为第二类图.χ′(G )表示G 的边染色数.1965年,V izing 举例说明Δ=5的可平面图中既有第一类图,也有第二类图.作者运用D ischarge 方法证明最大度是5且不包含有弦的4-圈和有弦的5-圈,或不包含有弦的4-圈和有弦的6-圈的可平面图是第一类图.关键词:平面图;边染色;最大度;圈中图分类号:O157.5 文献标识码:A 文章编号:1000-2162(2010)03-0018-06Edge color i n gs of pl anar graphs w ith max i m u m degree f i veN IW ei 2p ing(Depart m ent of M athematics and I nfor mati on Science,Zaozhuang University,Zaozhuang 277160,China )Abstract:Let G be a p lanar graph of maxi m u m degree Δ,G was said t o be class 1if χ′(G )=Δand class 2if χ′(G )=Δ+1,where χ′(G )denoted the chr omatic index of G .I n 1965,V izing p r oved that p lanar graphs of class 1and class 2were exist f or Δ=5.By app lying a discharging method,the author p r oved that every si m p le p lanar graph G with Δ=5was of class 1,if G had no chordal -4-cycles and chordal -5-cycles,or no chordal -4-cycles and chordal -6-cycles .Key words:p lanar graph;edge col oring;maxi m um degree;cycle文中考虑的图都是简单、无向有限图.若图G 可以表示在平面上,并且任意两条边仅在其端点处才可能相交,则称G 是可平面图,图G 的这种平面上的表示法称为G 的一个平面嵌入,或称为平面图.分别用V (G )、E (G )、F (G )、Δ(G )(简记为Δ)表示G 的顶点集合、边集合、面集合、最大度.用d (x )表示x 在G 中的度数,x ∈V (G )∪F (G ).用d k (v )表示点v 的度数为k 的邻点的个数,d k +(v )表示点v 的度数不小于k 的邻点的个数.度数为k 的点(或面)称为k -点(或k -面),度数不小于k 的点(或面)称为k +-点(或k +-面).若一个3-面f 关联3个度数分别为i,j ,k 的顶点,其中,i ≤j ≤k,则称f 为(i,j ,k )-面.设C 是G 中长度为k 的圈,如果xy ∈E (G )\E (C ),其中,x,y ∈V (C ),称xy 为C 的一条弦,C 为有弦的k -圈.若存在一个映射φ:E (G )→{1,2,…,k},对G 中任意两条相邻接的边e 1和e 2,有φ(e 1)≠φ(e 2),则称G 是k -边可染色的,使得图G 具有k -边可染色的最小的正整数k 定义为G 的边色数,记作χ′(G ).若图G 满足χ′(G )=Δ(G ),称G 为第一类图,若χ′(G )=Δ(G )+1,称G 为第二类图.若图G 是连通的第二类图,并且去掉任意边e ∈G 后,G -e 是第一类图,则称G 是一个临界图.最大度为Δ的临界图简称收稿日期:2009-10-24基金项目:山东省教育厅科研计划基金资助项目(J08L I 66)作者简介:倪伟平(1965—),女,山东枣庄人,枣庄学院副教授,硕士.引文格式:倪伟平.最大度是5的可平面图的边染色[J ].安徽大学学报:自然科学版,2010,34(3):18-23.2010年5月第34卷第3期安徽大学学报(自然科学版)Journal of Anhui University (Natural Science Editi on )May 2010Vol .34No .3Δ-临界图.显然,每个Δ-临界图(Δ≥2)是2-连通的.文献[2]证明了每个Δ≥8的简单平面图是第一类图,同时猜想这个结论对Δ≥6的简单平面图也是成立的,给出了Δ∈{2,3,…,5}的简单平面图存在第二类的例子.文献[3]、[4]独立证明了Δ=7时文献猜想成立.文献[5]、[6]给出了Δ=6的可平面图是第一类图的充分条件.对于Δ=5的可平面图,文献[7]证明了Δ=5且围长不小于4的可平面图是第一类图;文献[9]给出了Δ=5且不含4-圈或不含5-圈的可平面图是第一类图;文献[10]证明了Δ=5且没有相交三角形的简单平面图是第一类图.下面将运用D ischarge 方法及临界图的重要性质证明:最大度是5且不包含有弦的4-圈和有弦的5-圈,或不包含有弦的4-圈和有弦的6-圈的可平面图是第一类图.1 临界图的性质引理1 设G 是一个Δ-临界图,u,v ∈V (G )且u,v 相邻接,d (v )=k,那么(1)若k <Δ,则u 至少邻接于Δ-k +1个度为Δ的顶点;(2)若k =Δ,则u 至少邻接于两个度为Δ的顶点;(3)d (v )+d (u )≥Δ+2.引理2 设G 是一个Δ-临界图,xy ∈E (G ),使得d (x )+d (y )=Δ+2,那么(1)每个v ∈N ({x,y})/{x,y}是Δ-点;(2)每个v ∈N (N ({x,y}))/{x,y}满足d (v )≥Δ-1;(3)如果d (x )<Δ,d (y )<Δ,则每个v ∈N (N ({x,y}))/{x,y}是Δ-点.引理3 如果图G 存在3个不同的顶点x,y,z 满足下列两个条件:(1)xy ∈E (G ),xz ∈E (G ),d (z )<2Δ-d (x )-d (y )+2;(2)xz 包含在至少d (x )+d (y )-Δ-2个不包含顶点y 的三角形中.则G 不是Δ-临界图.2 主要结论及证明引理4 设G 是5-临界图,s 是v ∈V (G )所关联的3-面的个数.若G 不含有弦的4-圈和有弦的5-圈,则(1)G 中每个3-点v 至多关联1个3-面.s =1时,v 还关联2个5+-面.(2)G 中每个4-点v 至多关联2个3-面.s ≥1时,v 还关联2个5+-面.(3)G 中每个5-点v 至多关联2个3-面.若v 不与2-点邻接,当s =2时,v 还关联3个5+-面;当s =1时,v 还关联2个5+-面.若v 与2-点邻接,当s =2时,如果v 关联(2,5,5)-面及(5,5,5)-面,则v 还关联2个5+-面和1个6+-面;如果v 关联2个(5,5,5)-面,则v 还关联3个5+-面.当s =1时,如果v 关联(2,5,5)-面,则v 至少关联1个5+-面和1个6+-面;如果v 关联(5,5,5)-面,则v 至少还关联2个5+-面.引理5 设G 是5-临界图,s 是v ∈V (G )所关联的3-面的个数.若G 不含有弦的4-圈和有弦的6-圈,则(1)G 中每个3-点v 至多关联1个3-面.s =1时,v 至少关联1个6+-面.(2)G 中每个4-点v 至多关联2个3-面.s =2时,v 关联2个6+-面;s =1时,v 至少关联1个5+-面.(3)G 中每个5-点v 至多关联2个3-面.若v 不与2-点邻接,当s =2时,则v 至少关联2个6+-面;当s =1时,则v 至少关联2个5+-面.若v 与2-点邻接,当s =2时,v 关联2个6+-面.当s =1时,若v 关联(2,5,5)-面,则2-点关联的另一面f 为5-面或为7+-面.如果f 为5-面,则v 还关联1个5+-面和1个6+-面.如果f 为7+-面,则v 至少还关联1个5+-面.若v 关联(5,5,5)-面,则v 至少还关联1个5+-面.定理1 设G 是最大度为5的可平面图.若G 中不含有弦的4-圈和有弦的5-圈,或不含有弦的91第3期倪伟平:最大度是5的可平面图的边染色4-圈和有弦的6-圈,则G 是第一类图.证明 假设定理1不成立,即G 是第二类图.不失一般性,可以假设G 是5-临界图,那么G 是2-连通的.因此,G 的每个面的边界是一个圈,且每条边位于2个不同面的边界上.将Euler 公式|V (G )|-|E (G )|+|F (G )|=2∑v ∈V (G )d (v )=∑f ∈F (G )d (f )=2|E (G )|变形可得∑x ∈V (d (x )-4)+∑x ∈F (d (x )-4)=-8. 对任意x ∈V (G )∪F (G ),定义初值ch (x )为ch (x )=d (x )-4. 根据给出的交换规则(D ischarging rules ),对每一个x ∈V (G )∪F (G )的ch (x )进行调整,从而得到新的值ch ′(x ).因为所作的调整始终保证不影响其和式的值,所以有∑x ∈V ∪F ch (x )=∑x ∈V ∪F ch ′(x )=-8. 如果可以证明对于每一个x ∈V (G )∪F (G ),都有ch ′(x )≥0,则与上式矛盾,从而定理得证.情况1 若G 中不含有弦的4-圈和有弦的5-圈.定义规则如下:R 1对每个5-点v,v 分值如下:(1)v 分值1给其邻接的2-点,分值12给其邻接的每个3-点,分值215给其邻接的每个4-点;(2)若v 邻接5-点u,u 与2-点x 邻接,而v 与x 不邻接,则v 分值130给u .R 2对每个3-点v,v 分值25给其关联的每个3-面.R 3对每个4-点v,v 分值13给其关联的每个3-面.R 4对每个度为3的面f,设x 、y 、z 是f 的3个不同顶点,且d (x )≤d (y )≤d (z ).(1)若f 是(2,5,5)-面,则y 、z 分别分值12给f;(2)若f 是(3,4,5)-面,则x 分值25、y 分值13、z 分值415给f;(3)若f 是(3,5,5)-面,则x 分值25、y 分值310、z 分值310给f;(4)若f 的顶点的度至少为4,则x 、y 、z 分别分值13给f .R 5设f 是度至少为5的面,则f 分值d (f )-4d (f )给与其关联的每个顶点.假设f ∈F (G ),则d (f )≥3.如果d (f )=4,则ch (f )=0,取ch ′(f )=0.如果d (f )≥5,则ch (f )=d (f )-4≥1.由R 5,有ch ′(f )=d (f )-4-d (f )-4d (f )×d (f )=0.如果d (f )=3,则ch (f )=-1.由于Δ=5,由引理1～3知,f 必为下列3-面之一:(2+,5,5)-面,(3,4,5)-面,(4,4,4)-面,(4,4,5)-面,(5,5,5)-面,由R 4,有ch ′(f )=-1+1=0.对于每个v ∈V (G ),有d (v )≥2.(1)设d (v )=2,则ch (v )=-2.由引理1,v 与2个5-点邻接.由R 1(1),有ch ′(v )=ch ′(v )=-2+1×2=0.(2)设d (v )=3,则ch (v )=-1.由引理1,v 至少邻接2个5-点,由R 1(1),v 至少得12×2.若02安徽大学学报(自然科学版)第34卷s=1,由引理4(1)及R5,v至少得值15×2,再由R2,有ch′(v)≥-1+12×2+15×2-25=0;若s=0,有ch′(v)≥-1+12×2=0.(3)设d(v)=4,则ch(v)=0.由引理1,v至少邻接两个5-点,由R1(1),v至少得值215×2.由引理4(2),有s≤2.若s≥1,由引理4(2)及R5,v至少得值15×2,由R3,v至多分值13×2给其关联的3-面,所以,ch′(v)≥215×2+15×2-13×2=0;若s=0,则有ch′(v)≥215×2>0.(4)设d(v)=5,则ch(v)=1.由引理1,m in{d(u)|u∈N(v)}≥2且至多有一个2-点,至少有2个5-点与v邻接.由引理4(3),有s≤2.当d2(v)=1时,由引理2,有d5(v)=4.如果s=2且v关联(2,5,5)-面和(5,5,5)-面,由引理4(3)及R5,v至少得值15×2+13,由R1(2),v得值130×3,由R1(1)、R4(1)、R4(4),v至多分出值1+1 2+13,所以,ch′(v)≥1+15×2+13+130×3-(1+12+13)=0.如果s=2且v关联2个(5,5,5)-面,由引理4(3)及R5,v至少得值15×3,由R1(2),v至少得值130×3,由R1(1)及R4(4)知,v至多分值1+13×2,所以,有ch′(v)≥1+15×3+130×3-1+13×2>0.如果s=1且v关联(2,5,5)-面,由引理4(3)及R5,v至少得值15+13,由R1(1)、R4(1),有ch′(v)≥1+15+13-1+12>0.如果s=1且v关联(5,5,5)-面,由引理4(3)及R5知,v至少得值15×2,再根据R1(1)、R4(4),有ch′(v)≥1+15×2-1+13>0.如果s=0,则有ch′(v)=1-1=0.当m in{d(u)|u∈N(v)}=3时,由引理1,v至多与2个3-点、至少与3个5-点邻接.假如d3(v)=2,由引理3,v至多关联1个3-面,为(5,5,5)-面.当s=1时,由引理4(3)及R5,v至少得值15×2,再由R1(1)、R4(4),有ch′(v)≥1+15×2-12×2+13>0.当s=0时,由R1(1),有ch′(v)=1-12×2=0.假如d3(v)=1且d4(v)=1,由R1(1),v分值12+215给其邻接的3-点和4-点,由R4(2)、R4(3)、R4(4),v至多分值13×2给其关联的2个3-面.由引理4(3)及R5,当s=2时,v至少得值15×3,s=1时,v至少得值15×2.所以,s=2时,有ch′(v)≥1+15×3-12+215+13×2>0;s=1时,有ch′(v)≥1+15×2-12+215+13>0;s=0时,有ch′(v)=1-12+215>0.假如d3(v)=1且d5(v)=4,由R1(1)、R4(3)、R4(4),v至多分值12+13×2.当s≥1时,由引理4(3)及R5,v至少得值1 5×2,所以,有ch′(v)≥1+15×2-12+13×2>0;当s=0时,则有ch′(v)=1-12>0.当m in{d(u)|u∈N(v)}≥4时,由引理1,有d5(v)≥2,d4(v)≤3.由R1(1),v至多分值215×312第3期倪伟平:最大度是5的可平面图的边染色给其邻接的4-点,由R1(2),v至多分值130×5给其邻接的5-点,由R4(4),v至多分值13×2给与其关联的3-面.当s≥1时,由引理4(3)及R5,v至少得值15×2,所以,ch′(v)≥1+15×2-2 15×3+13×2+130×5>0;当s=0时,有ch′(v)≥1-215×3+130×5>0.情况1得证.情况2 若G中不含有弦的4-圈和有弦的6-圈.定义规则如下:R1对每个5-点v,v分值如下:(1)v分值1给其邻接的2-点,分值12给其邻接的每个3-点,分值115给其邻接的每个4-点;(2)若v邻接5-点u,u与2-点x邻接,而v与x不邻接,则v分值118给u.R2每个3-点、4-点分值13给其关联的每个3-面.R3对每个度为3的面f,设x、y、z是f的3个不同顶点,且d(x)≤d(y)≤d(z).(1)若f是(2,5,5)-面,则y、z分别分值12给f;(2)若f的顶点的度至少为3,则x、y、z分别分值13给f.R4设f是度至少为5的面,则f分值d(f)-4d(f)给与其关联的每个顶点.假设f∈F(G),则d(f)≥3.如果d(f)=4,则ch(f)=0,取ch′(f)=0.如果d(f)≥5,则ch(f)=d(f)-4≥1,由R4,ch′(f)=d(f)-4-d(f)-4d(f)×d(f)=0.如果d(f)=3,则ch(f)=-1.由于Δ=5,根据引理1～3,f必为下列3-面之一:(2+,5,5)-面,(3,4,5)-面,(4,4,4)-面,(4,4,5)-面,(5, 5,5)-面.由R3(1)、R3(2),有ch′(f)=-1+1=0.对每个v∈V(G),有d(v)≥2.(1)设d(v)=2,则ch(v)=-2.由引理1,v与2个5-点相邻接.由R1(1),有ch′(v)=-2+1×2=0.(2)设d(v)=3,那么ch(v)=-1.由引理5(1),s≤1.由引理1,v至少邻接2个5-点,由R1(1),v至少得值12×2.当s=1时,由引理5(1)及R4,v至少得值13,再由R2,有ch′(v)≥-1+12×2+13-1 3=0;当s=0时,有ch′(v)≥-1+12×2=0.(3)设d(v)=4,则ch(v)=0.由引理5(2),有s≤2.由引理1,v至多与1个3-点、至少与2个5-点邻接,由R1(1),v至少得值115×2.所以,当s=0时,有ch′(v)≥115×2>0;当s=1时,由引理5(2)及R4,v至少得值15,再由R2,有ch′(v)≥115×2+15-13=0;当s=2时,由引理5(2)及R4,v至少得值13×2,再由R2,有ch′(v)≥115×2+13×2-13×2>0.(4)设d(v)=5,则ch(v)=1.由引理1,m in{d(u)|u∈N(v)}≥2且至多有1个2-点、至少有2个5-点与v邻接.由引理5(3),有s≤2.当d2(v)=1时,根据引理2,有d5(v)=4.若s=2,则由引理5(3)及R4,v至少得值13×2,由R1(2),v至少得值118×3,由R1(1)、R3(1)、R3(2),v至多分值1+12+13给其邻接的2-点及其关联22安徽大学学报(自然科学版)第34卷的3-面,所以,ch ′(v )≥1+13×2+118×3-(1+12+13)=0.若s =1,并且v 关联(2,5,5)-面,则由引理5(3)及R 4,v 至少得值37+15,由R 1(1)、R 3(1),有ch ′(v )≥1+37+15-1+12>0;若s =1,并且v 关联(5,5,5)-面,则由引理5(3)及R 4,v 至少得值15,由R 1(2),v 得值118×4,再由R 1(1)、R 3(2),有ch ′(v )≥1+15+118×4-1+13>0.若s =0,有ch ′(v )=1-1=0.当m in {d (u )|u ∈N (v )}=3时,由引理1,v 至多与2个3-点,至少与3个5-点邻接.假如d 3(v )=2,由引理3,v 至多关联1个3-面,为(5,5,5)-面.s =1时,由引理5(3)及R 4,v 至少得值15×2,由R 1(1)、R 3(2),有ch ′(v )≥1+15×2-12×2+13>0;s =0时,由R 1(1),有ch ′(v )=1-12×2=0.假如d 3(v )=1,由R 1(1),v 至多分值12+115给其邻接的3-点和4-点.当s =2时,由引理5(3)及R 4,v 至少得值13×2,由R 3(2),有ch ′(v )≥1+13×2-12+115+13×2>0;s =1时,由引理5(3)及R 4,v 至少得值15×2,再由R 3(2),有ch ′(v )≥1+15×2-12+115+13>0;s =0时,有ch ′(v )=1-12+115>0.当m in {d (u )|u ∈N (v )}≥4时,由引理1,有d 5(v )≥2,d 4(v )≤3.若s =2,则由引理5(3)及R 4,v 至少得值13×2,由R 1(1)、R 1(2)、R 3(2),v 至多分值115×3+118×2+13×2给其邻接的4-点、邻接的5-点及其关联的3-面,所以,ch ′(v )≥1+13×2-115×3+13×2+118×2>0;若s =1,则由引理5(3)及R 4,v 至少得值15×2,再根据R 1(1)、R 1(2)、R 3(2),有ch ′(v )≥1+15×2-115×3+13+118×2>0;若s =0,则由R 1(1)、R 1(2),有ch ′(v )≥1-115×3+118×2>0.情况2得证.由情况1、2的证明可知,定理1成立.参考文献:[1] V izing V G .On an esti m ate of the chr omatic index of a p 2graph[J ].D iskret A naliz,1964,3(1):25-30.[2] V izing V G .Critical graphs with given chr omatic class[J ].D iskret A naliz,1965,5(1):9-17.[3] Sanders D P,Zhao Y .Planar graphs of maxi m um degree seven are class 1[J ].J Co m bin Theory SerB ,2001,83(2):201-212.[4] Zhang L.Every p lanar with maxi m u m degree 7is of class 1[J ].Graphs Co m bin,2000,16(4):467-495.[5] Zhou G .A note on graphs of class 1[J ].D iscrete M ath,2003,262(1/3):339-345.[6] Bu Y,W ang W.Some sufficient conditi ons f or a p lanar graph of maxi m u m degree six t o be class 1[J ].D iscreteM ath,2006,306(13):1440-1445.[7] L i X,Luo R.Edge col oring of embedded graphs with large girth[J ].Graphs Co m bin,2003,19(3):393-401.[8] La m P,L iu J,Shu W ,et al .Some sufficient conditi ons for a p lanar graph t o be of class1[J ].Congr N um er ,1999,136(1):201-205.[9] 吴玉文.关于平面图的边剖分的若干结果[D ].山东大学数学学院,2007.[10] 陈永珠,王维凡.第一类平面图的一个充分条件[J ].浙江师范大学学报:自然科学版,2007,30(4):416-420.(责任编校 朱夜明)32第3期倪伟平:最大度是5的可平面图的边染色。