中考复习之 解直角三角形及其应用

第24讲┃ 考点聚焦
定义
指北或指南方向线与目标方向线所成的小 于90°的水平角叫做方向角
方向角 (或方位 角)
图例
第24讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 利用直角三角形解决和高度(或宽度)有关的问题
命题角度： 1. 计算某些建筑物的高度(或宽度)； 2. 将实际问题转化为直角三角形问题．
第24讲┃ 归类示例
解：设过点A的水平线与CD交于点E，由题意得 ∠AEC＝∠AED＝90°，∠CAE＝60°，∠DAE＝45°， AE＝BD＝30 m， ∴CD＝CE＋DE＝AE· tan60°＋AE· tan45° ＝(30 3＋30)(m)． 答：铁塔CD的高度为(30 3＋30)m.
第24讲┃ 归类示例
在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构 造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题．常见的 构造的基本图形有如下几种： ①不同地点看同一点(如图24－2)； ②同一地点看不同点(如图24－3)；
第24讲┃ 归类示例 ► 类型之三 利用直角三角形解决坡度问题
命题角度： 1. 利用直角三角形解决坡度问题； 2. 将实际问题转化为直角三角形问题．
[2012· 衡阳] 如图24－6，一段河坝的横断面为梯形 ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD.(i＝CE 单位：m) ∶ED，
图24－6
第24讲┃ 归类示例
[解析] 作BF⊥AD于点F，在直角△ABF中利用勾股定理即 可求得AF的长，在直角△CED中，利用坡比的定义即可求得ED 的长度，进而即可求得AD的长．
第24讲┃ 归类示例
解：如图所示，过点B作BF⊥AD，可得矩形BCEF.
∴EF＝BC＝4；BF＝CE＝4. 在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，AB＝5，BF＝4， 由勾股定理可得：AF＝ 52－42＝3. CE 1 又∵Rt△CED中，i＝ ＝ ， ED 2 ∴ED＝2CE＝2×4＝8. ∴AD＝AF＋FE＋ED＝3＋4＋8＝15(m)．
第24讲┃解直角三角形及其应用
第24讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点 解直角三角形的应用常用知识
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上 方的叫仰角，视线在水平线下方的叫俯角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡 h∶l 度(或坡比)，记作i＝____ 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.i＝tan α ，坡度越大，α角越大，坡面 越陡 __________________ 仰角和 仰角 俯角 俯角 坡度 坡度和 坡角 坡角
图24－8 (2)根据勾股定理得 PA 4 OP＝ OA ＋PA ＝ 3 ＋4 ＝5，所以sinα ＝ ＝ . OP 5
2 2 2 2
第24讲┃ 回归教材
中考变式
[2012· 贵港] 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，1)和 点B(3，0)，则sin∠AOB的值等于 (A ) 5 5 3 1 A. B. C. D. 5 2 2 2
第24讲┃ 回归教材
回归教材
直角坐标系中的锐角三角函数
教材母题 华东师大版九上P102T9 如图24－7，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其 4 坐标是(3，y)，且OP与x轴的正半轴的夹角α 的正切值是 ，求： 3 (1)y的值； (2)角α的正弦值．
图24－7
第24讲┃ 回归教材
解：(1)如图24－8，过P点作PA⊥x轴， PA y 4 则tanα＝ ，所以 ＝ ，所以y＝4. OA 3 3
第24讲┃ 归类示例
[2013· 连云港] 图 24－1①为平地上一幢建筑物与 铁塔图，图②为其示意图．建筑物 AB 与铁塔 CD 都垂直于地 面，BD＝30 m，在 A 点测得 D 点的俯角为 45°，测得 C 点 的仰角为 60°.求铁塔 CD 的高度．
图 24－1
第24讲┃ 归类示例
[解析] 设过点A的水平线与CD交于点E，分别在两个直 角三角形中利用三角函数求解．
图24－2 ③利用反射构造相似(如图24－4)
图24－3
图24－4
第24讲┃ 归类示例 ► 类型之二 利用直角三角形解决航海问题
命题角度： 1. 利用直角三角形解决方位角问题； 2. 将实际问题转化为直角三角形问题．
第24讲┃ Biblioteka Baidu类示例
[2012· 常德] 如图24－5，一天，我国一渔政船航行到A 处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12 海里/小时的速度向西北方向航行. 我渔政船立即沿北偏东60°方 向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船．问我渔 政船的航行路程是多少海里？(结果保留根号)
第24讲┃ 归类示例
[解析] 画出如图示意图，延长BC交DA于E.设AE的长 为x米，在Rt△ACE中，求得CE＝AE，然后在Rt△ABE中 求得BE，利用BE－CE＝BC，解得AE，则AD＝AE＋DE.
第24讲┃ 归类示例
解：如图所示，延长BC交DA于E.
设AE的长为x米，在Rt△ACE中， ∠ACE＝45°，∠AEB＝90°， 则∠CAE＝45°， ∴AE＝CE＝x米；
[2012· 凉山州] 某校学生去春游，在风景区看到一 棵汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段 对话： 小明：我站在此处看树顶仰角为45°. 小华：我站在此处看树顶仰角为30°. 小明：我们的身高都是1.6 m. 小华：我们相距20 m. 请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高 度．(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732，结果保留三个有效 数字)
图24－5
第24讲┃ 归类示例
解：作CD⊥AB于点D. 在Rt△BDC中， 因为BC＝12×1.5＝18(海里)，∠CBD＝90°－45°＝45°， 所以CD＝18· sin45°＝9 2(海里)． 在Rt△ADC中， 因为∠CAD＝90°－60°＝30°， 所以AC＝2CD＝18 2(海里)． 答：我渔政船的航行路程是18 2海里．
第24讲┃ 归类示例
在Rt△ABE中，∠B＝30°，AE＝x， AE ∴tanB＝ ， BE x 即tan30°＝ ， BE ∴BE＝ 3x. ∵BE－CE＝BC，BC＝20米， ∴ 3x－x＝20， 解得x＝10 3＋10. ∴AD＝AE＋DE＝10＋10 3＋1.6≈28.9(米)． 答：这棵汉柏树的高度约为28.9米．