第七章-粘弹塑性模型的基本概念.doc
chapter7粘弹性
静态的粘弹性
力学松弛
应力松弛
滞后现象 动态粘弹性 力学损耗(内耗)
4
第7章 聚合物的粘弹性
本章的主要内容 内部尺度－－弹性和粘性结合 粘 弹 性
外观表现－－4个力学松弛现象 时温等效原理－－实用意义， 主曲线，WLF方程
为了加深对聚合物粘弹性的理解和掌握 力学模型 描述
5
第7章 聚合物的粘弹性
二、静态粘弹性
塑料的玻璃化温度在动态条件下,比静态来的高,就是 说在动态条件下工作的塑料零件要比静态时更耐热,因此 不能依据静态下的实验数据来估计聚合物制品在动态条件 下的性能.
25
第7章 聚合物的粘弹性
60Km/h 0 2
~300Hz t
图10
26
t
第7章 聚合物的粘弹性
t 0 sin t t 0 sin t - 0 某处所受的最大应力 外力变化的角频率 在受到正弦力的作用时应变落后于应力的相位差
第7章 聚合物的粘弹性
一、粘弹性的基本概念
1.理想弹性固体：受到外力作用形变很小，符合胡克定 律 ＝E1=D1,E1普弹模量, D1普弹柔量.
特点:受外力作用平衡瞬时达到,除去外力应变立即恢复. 2.理想的粘性液体：符合牛顿流体的流动定律的流体,＝ 特点:应力与切变速率呈线性关系,受外力时应变随时间线 性发展,除去外力应变不能恢复.
（t）
t
0
E1
0 应力
t1
t2
t
E1 普弹形变模量
图1 理想弹性体（瞬时蠕变）普弹形变
9
第7章 聚合物的粘弹性
（t）
（t）
t (t)=
0 (t<t1)
粘弹性和滞弹性
滞弹性------与时间有关旳弹性，即E(t) 。
对于蠕变，应力和应变有 Ec(t)=0/(t)
对于弛豫，应力和应变有
Er(t)= (t)/ 0
也即弹性模量随时间而变化，并不是一种常数。
未弛豫模量------测量时间不不小于松弛时间，随时 间旳形变还没有机会发生时旳弹性模量；
弛豫模量------测量旳时间不小于松弛时间，随时间 旳形变已发生旳弹性模量。
（/E1)(E1+E2)/ E2 + = (/E1)/ E2 +/ E2
设： = /E1 ， = (E1+E2)/ E2 = (E1+E2)/ E2 E1
则有
E2( +)=+
定义： ------ 恒定应变下旳应力弛豫时间；
------ 恒定应力下旳应变蠕变时间。
（2）应力松弛与应变松弛
蠕变或徐变：固体材料在恒定荷载下，变形随时间延续 而缓慢增长旳不平衡过程，或材料受力后内部原子由不 平衡到平衡旳过程。当外力除去后，徐变变形不能立即 消失。
P
P
dv/dy
变
形
虎克型
牛顿型 流动曲线
t 圣维南型
（2） 组合模型
将基本模型元件串联或并联起来，进行多种串并联组 合，模拟多种物体旳力学构造。常用旳组合模型如下：
宾汉体 马克斯韦尔液体（液态粘弹性物体） 开尔文固体（固态粘弹性物体）
A. 宾汉体
在承受较小外力时物体产生弹性形变，当外力超出屈 服应力 t时，按牛顿液体旳规律产生粘性流动。
---速度梯度，相当于形变； ---粘度（粘性系数）
圣维南塑性固体模型：一种静置桌面上旳重物，与桌 面间存在摩擦力，看成用力稍不小于静摩擦力时，重物 即以匀速移动（应力不超出某一限定值此前，物体为刚 性，一旦超出限定值，则会迅速流动变形）。
粘弹性基本力学模型
粘弹性基本力学模型粘性:在外力作用下，分子与分子之间发生位移，材料的变形和应力随时间变化的变种特性称为粘性。
理想的粘性流体其流动形变可用牛顿定律来描述:应力与应变速率成正比。
因此，材料的本构关系的数学表达式应是反映应力-应变-时间-温度关系的方程。
粘弹性:塑料对应力的响应兼有弹性固体和粘性流体的双重特性称粘弹性。
材料既有弹性，又有粘性。
粘弹性依赖于温度和外力作用的时间。
其力学性能随时间的变化，称为力学松弛，包括应力松弛、蠕变等。
其力学行为介于理想弹性体和理想粘性体之间。
理想弹性体的形变与时间无关，形变瞬时达到，瞬时恢复。
理想粘性体的形变随时间线性发展。
粘弹性体介于这两者之间，其形变的发展具有时间依赖性，也就是说不仅具有弹性而且有粘性。
这种力学性质随时间变化的现象称为力学松弛现象或粘弹性现象。
橡胶对形变同时具有粘性响应和弹性响应。
粘性响应与形变速率成正比，而弹性响应与形变程度成正比。
粘性响应通常以阻尼延迟器为模型，而弹性响应则以金属弹簧为模型。
采用如下两种基本力学元件，即理想弹簧和理想粘壶。
理想弹簧用于模拟普弹形变，其力学性质符合虎克(Hooke)定律，应变达到平衡的时间很短，可以认为应力与应变和时间无关:σ=Eε其中σ为应力;E为弹簧的模量。
理想粘壶用于模拟粘性形变，其应变对应于充满粘度为η的液体的圆筒同活塞的相对运动，可用牛顿流动定律描述其应力应变关系:将弹簧和粘壶串联或并联起来可以表征粘弹体的应力松弛或蠕变过程。
应力松弛:就是在固定的温度和形变下，聚合物内部的应力随时间增加而逐渐衰减的现象。
这种现象也在日常生活中能观察到，例如橡胶松紧带开始使用时感觉比较紧，用过一段时间后越来越松。
也就是说，实现同样的形变量，所需的力越来越少。
未交联的橡胶应力松弛较快，而且应力能完全松弛到零，但交联的橡胶，不能完全松弛到零。
应力松弛同样也有重要的实际意义。
成型过程中总离不开应力，在固化成制品的过程中应力来不及完全松弛，或多或少会被冻结在制品内。
7 粘弹性
t
18
第7章 聚合物的黏弹性
2、应力松弛 Stress Relaxation
• 在恒定温度和形变下，维持此形变所需的应力随时间增加而逐渐衰减
0e
0
t
松弛时间 交联高分子 应力衰减至某一平衡值
Crosslinked polymer
Linear polymer
0
t
未交联高分子 应力最终衰减至零
4
第7章 聚合物的黏弹性
5. 力学松弛 聚合物的力学性质随时间变化的现象，叫力学松弛。 包括蠕变及其回复，应力松弛和动态力学实验等。 蠕变 静态的黏弹性 力学松弛 动态黏弹性 力学损耗(内耗)
5
应力松弛 滞后现象
第7章 聚合物的黏弹性
二、静态黏弹性 应力或应变恒定，不同时间时，聚合物材料所表现出来 的黏弹现象。
恒值 (t>t2)
＝
t1
t2
t
3-----本体粘度
分子间滑移，不可恢复
11
图3 理想粘性流动蠕变
第7章 聚合物的黏弹性
当聚合物受力时，以上三种形变同时发生，聚合物的总形变 方程:
2+3 1
1 2 3
t
( t ) 1 2 3 -t
(1 e ) t E1 E2 3
32
tanδ由小到大的顺序：
第7章 聚合物的黏弹性
内耗受温度影响较大
Tg以下，高聚物受外力作用后形变很小， 仅键长、键角变化，速度快，几乎跟得上 应力变化，内耗小
Tg Tf
T Tan
温度升高，高分子向高弹态过渡。链段开始运动，而体系粘度还很大， 链段运动时受到摩擦阻力比较大，高弹形变显著落后于应力的变化，内 耗也大 温度进一步升高，链段运动比较自由，内耗变小 因此，在玻璃化转变区域出现内耗峰 温度继续升高，高分子向粘流态过渡。由于分之间互相滑移，内耗急剧 增加
粘弹性介绍全解
小结： 静态粘弹性现象：
蠕变：在一定的温度和恒定应力的作用下，观察 试样的应变随时间增加而增大的现象。
ε
③
②
①
t
静态粘弹性现象：
应力松弛：在一定的温度和恒定应变的作用下， 观察试样的应力随时间增加而衰减的现象。 0 交联聚合物 线形聚合物
t
线性粘弹性模型： Maxwell模型
由一个弹簧与一个粘壶串联组成
Maxwell 模型
一个弹簧与一个粘壶串联组成
E η F
t=0 t=∞
7.3.1 Maxwell 模型
7.3.1 Maxwell 模型
7.3.1 Maxwell 模型
Maxwell 模型: 可模拟线形聚合物的应力松驰行为。
7.3.1
Maxwell 模型
理论分析：
E η
∵两元件串联 ∴σ = σE = σV ε = εE + εV
牛顿流体定律的比例常数为粘度η
y
d d x 1 dx ( ) dt dt y y dt
应变速率为速度梯度
x
∴粘度η等于单位速度梯度时的剪切应力，反映了分 子间由于相互作用而产生的流动阻力，即内摩擦力的 大小，单位为Pa·S
弹性
(1)储能：能量储为应变能 (2)可逆：记忆形状 (3)瞬时：不依赖时间 E＝E（σ, ε, T） 虎克固体
)
Temperature dependence
分子运动的温度依赖性
Arrhenius Equation 阿累尼乌斯方程
0e
T
E / RT
E - 松弛所需的活化能 activation energy
T
7.2 Creeping and Relaxation 蠕变和应力松弛
材料力学中的非线性本构模型
材料力学中的非线性本构模型材料力学是许多工程领域的基础，它研究材料受力后的力学行为，包括力的大小、方向、分布和变形等问题。
不同材料的力学行为需要采用不同的本构模型来描述，常见的材料本构模型有线性弹性模型、非线性本构模型等。
本文将重点介绍材料力学中的非线性本构模型。
一、非线性本构模型的概念在材料力学中，当受力材料的变形与施加的力之间呈非线性关系时，就需要采用非线性本构模型来描述其力学行为。
非线性本构模型可以分为弹塑性模型、粘弹塑性模型、本质非线性模型等不同类型，其中弹塑性模型在实际应用中被广泛采用。
二、弹塑性模型弹塑性模型又称弹塑性本构模型，它是一种介于线性弹性模型和塑性本构模型之间的模型。
弹塑性模型假设材料的力学行为在一定范围内是线性弹性的，但在超出一定应力范围后就会出现不可逆变形，这种不可逆变形称为塑性变形。
弹塑性模型可分为单轴应力状态下的本构模型和多轴应力状态下的本构模型。
其中单轴应力状态下的本构模型包括拉伸本构模型、压缩本构模型等，多轴应力状态下的本构模型包括Mises本构模型、Drucker-Prager本构模型等。
三、拉伸本构模型拉伸本构模型是弹塑性模型中最简单的模型之一，它假设材料的力学行为在拉伸状态下是线性弹性的，且材料的强度随着应力增大而增大。
在达到材料的屈服点后，材料的强度就不再随应力增大而增大了，这时材料开始出现塑性变形。
拉伸本构模型将材料的应力-应变曲线分为弹性阶段和塑性阶段来描述材料的力学行为。
四、Mises本构模型Mises本构模型也称为圆锥形模型，它是多轴应力状态下最常用的弹塑性模型之一。
该模型假设材料的塑性行为是由等效应力和应力状态判据决定的，等效应力可以通过应力张量得到，应力状态判据则基于材料力学的实验性质，通过外部应力来得到。
Mises本构模型能够较为准确地描述材料在多轴应力状态下的力学行为，并在应用中获得广泛的应用。
五、Drucker-Prager本构模型Drucker-Prager本构模型是一种常用的粘塑性模型，它假设材料有两种塑性机制：一种是塑性流动，另一种是摩擦滑移。
粘弹性模型
土体动本构模型的研究现状土体实际动本构关系是极其复杂的,它在不同的荷载条件、土性条件及排水条件下表现出极不相同的动本构特性. 要建立一个能适用于各种不同条件的动本构模型的普遍形式是不切实际的,其切实的方法是对于不同的工程问题,应该根据土体的不同要求和具体条件,有选择地舍弃部分次要因素,保留所有主要因素,建立一个能反映实际情况的动本构模型. 目前,具体建立的动本构模型已达数十个,大致可分为两大类,即粘弹性模型和弹塑性模型.曲线模型,均属于等效线性模型[2 ] 。
Masing 类模型以曲线Hardin Drnevich 或Ram2berg Osgood 曲线等为骨干,改用瞬时剪切模量代替前面的平均剪切模量。
为使这类动本构模型更接近实测的动应力应变曲线,很多学者做了大量的工作,以使其能够描述不规则循环荷载作用下土的动本构关系[3 ] 。
Iwan 用一系列具有不同屈服水平的理想弹塑性元件来描述土的动本构关系,它分串联型和并联型2 种构成方式。
串联型和并联型的伊万模型所描述的动应力应变特性基本上一致,只是前者以应变为自变量,后者以应力为自变量[4 ] 。
郑大同在伊万模型的基础上,提出了一个新物理模型,该模型的骨架曲线可为加工硬化状,也可为加工软化状,骨架曲线与滞回曲线的2 个分支既可相同,也可不同[5 ] 。
一般的粘弹性模型不能计算永久变形(残余变形) ,在主要为弹性变形的情况下比较合适。
但实际上,土在往复荷载作用下还会因土粒相互滑移,形成新的排列而产生不可恢复的永久变形。
为此,Mar2tin 等人根据等应变反复单剪试验结果,提出了循环荷载作用下永久体积应变的增量公式[6 ] 。
后来,日本学者八木、大冈和石桥等分别由等应力动单剪试验及扭剪试验各自提出了计算永久体积应变增量的经验公式。
国内的姜朴、徐亦敏、娄炎根据动三轴试验应变与破坏振次的关系式。
沈珠江[7 ] 对等价粘弹性模型进行了较全面的研究,认为一个完整的粘弹性模型应该包含4 个经验公式: (1) 平均剪切模量; (2) 阻尼比; (3) 永久体积应变增量和永久剪切应变增量; (4) 当饱和土体处于完全不排水或部分排水条件下,还需给出孔隙水压力增长和消散模型。
粘弹性体的基本理论及应用
粘弹性体的基本理论及应用粘弹性体是一种特殊的材料，具有比普通材料更强的黏附性和弹性，其独特的物理特性使其在工业和生活中有着广泛的应用。
本文将探讨粘弹性体的基本理论和应用。
一、什么是粘弹性体粘弹性体是一种具有粘性和弹性的聚合材料，其弹性随应力变化而产生略微颠簸的行为。
它是由高分子聚合物和半固态物料（如黏土）混合制成的。
这种材料在受力时会有一定程度的弹性，但又具有一定的黏性，可以粘附在其他材料上。
二、粘弹性体的基本理论1. 初始弹性模量初始弹性模量是指在弹性阶段粘弹性体的初始刚度。
粘弹性体在受力时，由于其黏性存在，不会立即表现出完全的弹性。
因此，初始弹性模量是弹性阶段中材料最小的刚度。
2. 最大弹性模量最大弹性模量是在粘弹性体的流变点前所达到的弹性模量的最大值。
当粘弹性体受力达到一定程度时，其开始表现出塑性变形。
此时，粘弹性体的弹性模量会变小，达到一个最小值，即最大弹性模量。
3. 流动点当粘弹性体受力超过最大弹性模量后，就会开始表现出流动性质，此时的受力称为流动点。
粘弹性体在流动点后不再具有弹性，不能恢复到初始状态。
4. 粘度粘度是指粘弹性体在流动时所需要的力量，它是材料流动一个单位长度所需要的应力大小。
粘度决定了粘弹性体的流动性质，不同粘度的粘弹性体具有不同的流动速度。
三、粘弹性体的应用1. 隔振垫粘弹性体可以用于隔振减震。
比如，在机器振动传递到地面时，会产生噪声和振动，影响到人们的生活和健康。
因此，可以使用粘弹性体作为隔振垫来减少这种影响。
粘弹性体的特性可以有效地吸收振动和减少噪声的传播。
2. 医疗材料粘弹性体还可以用于医疗材料。
比如，可以制作出粘弹性体的人工心脏瓣膜，或是用于人工肢体制作的弹性组件。
粘弹性体具有良好的弹性和黏附性能，可以替代传统材料，使植入物更加适合人体。
3. 汽车制造汽车行业中也有粘弹性体的应用，可以用于汽车减震器、座椅和车门等零部件的生产中。
特别是在汽车制造中，粘弹性体可以用于模具制造，以便更好地制造出更具密度的汽车部件。
第七章 粘弹性-高分子物理
The Viscoelasticity of Polymers
1
一、粘弹性的基本概念 1.理想弹性固体：受到外力作用形变很小，符合胡克定 律 ＝E1=D1,E1普弹模量, D1普弹柔量. 特点:受外力作用平衡瞬时达到,除去外力应变立即恢复. 2.理想的粘性液体：符合牛顿流体的流动定律的流体,＝
t2 )
3-----本体粘度
12
当聚合物受力时，以上三种形变同时发生聚合物的
总形变方程:
2+3 1
1 2 3
(t) 1 2 3
(1
-t
e
)
t
E1 E2
3
t
图4 线形非晶态聚合物的蠕变及回复曲线
13
蠕变Creep
•加力瞬间，键长、键角立即产生形变，形变直线上升 •通过链段运动，构象变化，使形变增大 •分子链之间发生质心位移
2.频率很高,链段运动完全跟 不上外力的变化,内耗小,高聚 物呈刚性,玻璃态的力学性质.
3.链段运动跟上、但又不能完 全跟上外力的变化,分子运动 将外力做功部分转化为热能， 将在某一频率出现最大值, 表 现出粘弹性
40
内耗主要存在于交变场中的橡胶制品中，塑料处Tg、Tm以下，损耗小
41
力学松弛——总结 聚合物的力学性质随时间变化的现象，叫力学松弛。 力学性质受到，T, t，的影响， 在不同条件下，可以观察到不同类型的粘弹现象。
42
具体表现： 静态的粘弹性
蠕变:固定和T, 随t增加而逐渐 增大
应力松弛:固定和T, 随t增加而逐 渐衰减
力学松弛 动态粘弹性
滞后现象:在一定温度和和交变应 力下,应变滞后于应力变化.
力学损耗(内耗): 的变化落后于的 变化,发生滞后现象,则每一个循环都 要消耗功,称为.
高分子物理-第七章
和蠕变一样，交联是克服应力松弛的重要措施。
影响应力松弛的主要因素
7.1.3 滞后和内耗
1）概述
在实际使用中，高分子材料往往受到交变应力的 作用，即外力是周期性地随时间变化 （=0sinwt），例如滚动的轮胎、传动的皮带、 吸收震动的消音器等，研究这种交变应力下的力 学行为称为动态力学行为。
a.普弹形变：当高分子材料受到应力作用时，分 子内的键角和键长会瞬时发生改变。这种形变量很 小，称为普弹形变。
b.高弹形变
2
0
E2
1 et /t'
1 et /t'
当外力作用时间和链段运动所需的松弛时间有相
当数量级时，链段的热运动和链段间的相对滑移，
使蜷曲的分子链逐步伸展开来，此时形变成为高 弹形变，用2表示。 2较大，除去外力后， 2逐 步恢复。
E ' 0 sin wt E '' 0 cos wt
此时，模量表达式正好符合数学上复数形式
E* E ' iE ''
E* (t) ：复数模量，它包括两部分①实数模量或储能模量
(t)
E ' ，反映了材料形变时能量储存的大小即回弹力；②虚数模量
或损耗模量 E '' ，反映材料形变时能量损耗大小。
W
2
d
0
2 0
0
sin
wtd
0
sinwt
0 0 sin
拉伸回缩中最大储存能量 Wst
1 2
0
0
cos
弹塑性力学第七章屈服条件
其他领域中的屈服条件应用
生物医学
在生物医学领域，如人体骨骼、牙齿等组织 的力学性能分析中，需要考虑材料的屈服条 件。
能源工程
在核能、太阳能等能源工程领域，相关设备的材料 选择和设计需要考虑其屈服条件。
环境工程
在环境工程领域，如土压力、岩石压力等问 题的分析中，需要利用屈服条件来评估结构 的稳定性和安全性。
20世纪初，德国科学家R.Von Mises 提出Von Mises屈服条件，成为弹塑 性力学中最为广泛应用的屈服条件之 一。
现代屈服条件的进展
随着计算机技术和数值计算方法的不 断发展，现代屈服条件的研究更加深 入和广泛。
目前，研究者们正在探索更加精确和 实用的屈服条件，以适应各种复杂材 料和工程应用的需求。
弹塑性力学的重要性在于，许多工程结构和材料在承受外力 时，其变形行为既不是完全弹性也不是完全塑性，而是介于 两者之间。因此，理解弹塑性行为对于准确预测结构的响应 和保证工程安全至关重要。
屈服条件的概述
屈服条件是弹塑性力学中的一个基本概念，它描述了材料在应力达到某一特定值时开始发生屈服（即 塑性变形）的条件。
07 总结与展望
总结
屈服条件的定义与分类
总结了屈服条件的定义，以及按不同标准分类的屈服条件类型， 如按材料性质、应力状态等。
屈服条件的物理意义
解释了屈服条件在材料力学行为中的物理意义，包括材料内部的微 观结构变化、应力分布等。
屈服条件的应用场景
列举了屈服条件在不同工程领域中的应用，如结构稳定性分析、材 料强度设计等。
混合阶段中，应力-应变关系表现为非线性，材料同时具有弹性和 塑性行为。
加载和卸载路径的影响
在混合阶段，材料的响应不仅取决于当前的应力状态，还受到之前 加载和卸载路径的影响。
第七章 粘弹塑性模型的基本概念
第七章 粘弹塑性模型的基本概念7 . 1 引言为了描述土体应力一应变关系受时间的影响，需要采用与时间有关的类模型（如粘弹胜模酬、粘塑性模型，粘弹塑隆模型）来描述土的性状。
弹性、塑性和粘性是连续介质的三种基本性质，各在定条件F 独自反映材料本构关系的一个方面的特性。
理想弹性模型、理想塑胜模型（或称刚塑性模型）和理想粘性模型是反映这三种性质的理想模型，通常称为简单模型。
实际工程材料的本构关系可以用这些简单模型的各种组合来构成。
理想弹性模型又称虎克弹性模型，通常用理想弹簧表示（图7-1( a )）。
其本构方程为虎克定律。
一维条件下，如单轴压缩和纯剪清况下，表达式分别为： E σε= （7.1.1）G τγ= （7.1.2）式中E —— 弹性模量、G ——剪切模量。
剪切模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：()21E G ν=+ （7.1.3） 式中 ν ——泊松比。
三维条件下本构方程可表示为下述形式：m K νσε= （7.1.4）式中 K ——体积弹性模量。
（a ） （b ）图7-1 理想弹性模型体积弹性模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：()312E K ν=- （7.1.6） 理想粘性模型又称牛顿粘滞体模型。
通常用一粘壶（或称阻尼器）表示（图7-2 ( a ) ）。
粘壶内充满粘滞液体和一个可移动的活塞。
活塞在粘滞液体中的移动速度与所受阻力成正比关系，反映了粘性介质内一点的应力与该点处应变速率成正比例关系的性质。
一维条件如单轴压缩或纯剪情况下，表达式分别为： σϕε= （7.1.7） τηγ= （7.1.8）式中 ϕ、η ——粘滞系数。
由上两式可以看出，从数学表达的形式上与理想弹性体单轴压缩和纯剪时的本构方程相类似。
与理想弹性体的方程相对应，类似式7.1.3，存在下述关系：()*21ϕην=+ （7.1.9）式中 *ν ——粘性应变速率的横向比值。
（a ） （b ）图7-2 理想粘性模型 理想粘性体的体积变化与形状变化速率无关，即不具有体积粘性。
一般力学与力学基础的弹塑性分析方法
一般力学与力学基础的弹塑性分析方法弹塑性分析方法是一般力学和力学基础中重要的研究领域之一。
本文将介绍弹塑性分析方法的基本概念、应用领域以及常用的数学模型和计算方法。
一、弹塑性分析方法的基本概念弹塑性分析方法是一种综合运用弹性力学和塑性力学理论的方法，用于描述材料在外力作用下的弹性变形和塑性变形过程。
在弹塑性分析中，材料会先发生弹性变形，当应力达到一定临界值时，开始发生塑性变形。
弹塑性分析方法可以更准确地预测材料的变形和破坏行为。
二、弹塑性分析方法的应用领域弹塑性分析方法广泛应用于工程结构、土力学、岩石力学等领域。
例如，在工程结构的设计中，使用弹塑性分析方法可以预测结构在外载荷作用下的变形和破坏行为，从而确定结构的合理尺寸和材料强度要求。
在土力学和岩石力学中，弹塑性分析方法可以用于预测土体和岩石的变形和破坏特性，为工程施工和地质灾害的预测提供依据。
三、弹塑性分析的数学模型弹塑性分析方法使用了多种数学模型来描述材料的力学行为。
其中常用的模型包括线性弹性模型、单一参数塑性模型和本构模型等。
1. 线性弹性模型：线性弹性模型假设材料的应力与应变之间呈线性关系，常用于描述小应变范围内的材料行为。
2. 单一参数塑性模型：单一参数塑性模型假设材料的塑性行为由一个参数来描述，常用于描述中等应变范围内的材料行为。
3. 本构模型：本构模型是更为复杂的数学模型，可用于描述广泛的材料行为。
常见的本构模型包括弹塑性本构模型、弹塑性本构模型、弹粘塑性本构模型等。
四、弹塑性分析的计算方法弹塑性分析方法使用了多种计算方法来求解材料的变形和应力分布。
其中常用的计算方法包括有限元法、边界元法和等。
这些方法可以将实际结构离散成有限个子区域，通过求解子区域的变形和应力，得到整个结构的变形和应力分布。
这些计算方法具有高精度和较强的通用性，广泛应用于工程和科学研究领域。
综上所述，弹塑性分析方法是一般力学和力学基础中重要的研究领域，用于描述材料在外力作用下的弹性变形和塑性变形过程。
第七章_粘弹性概述
（4）结构 主链钢性：分子运动性差，外力作用下，蠕变小
ε（%）
2.0 1.5 1.0 0.5
聚砜
ABS（耐热级）
聚苯醚
聚甲醛
聚碳酸酯 尼龙
改性聚苯醚 ABS
1000 2000 3000
其应变速率： d d1 d2
dt dt dt
弹簧： d1 1 d1
dt E dt
粘壶：
d2 2 dt
d 1 d1 2 dt E dt
Maxwell 运动方程
模拟应力松弛：
d 根据定义：ε=常数（恒应变下）， / dt 0
1 d1 2 0 E dt
(t) (1 t / ) t
e 1
2
3
E E 1
2
3
2、应力松弛
所谓应力松弛，就是在恒定温度和形变保持不变的情况下，高 聚物内部的应力随时间增加而逐渐衰减的现象。
一个问题的两个方面， 都反映高分子内部分子的三种运动情况 不平衡构象到平衡构象
根据模型：
1 2
1 d 0 E dt
分离变量：
d E dt
当t=0 ，σ=σ0 时积分：
(t) d E
t
dt
0
0
(t) E
ln t
0
(t)
Et
e
0
Et
(t) 0e
令τ=η/E
σ (t) ε(t)
σ0
(t) 0 sin wt (t) 0 sin(wt )
2 3 wt
对弹性材料：（ t） 0 sin wt形变与时间t无关，与应力同相位
一个软土的弹粘塑性模型及其有限元应用
{% "
为了确定比例因子 * ， 假定在各向等压的应力条件下瞬时弹性体积应变#. /) 用所谓的瞬时时间线表示， 表示各向等压的应力条件 这里， 下标 “ )”
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土的性质 ! 淤泥质粘土 " 粘土 # 粘土 路堤填土 # 6） &1 （ !) ! # $( ! ’ !$ ! ) !# ! ) (1 # 20, $( ! # %!% ") ! ) ") ! )
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土体邓肯 张的 !" ! 模型参数
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随着土力学理论的进一步发展， 越来越多的国内外学者研究软土的流变性质 ( 早期人们研究土体的流变 特性多用由理想弹性、 塑性、 粘性元件所组合而成的流变模型， 如麦钦特模型、 薛夫曼模型、 广义马克斯威尔
［#］ 模型 不少研究人员提出了一些能够考虑土体流变性质的弹粘塑性模型， 诸如， ( 最近 !" 多年来， /0102304 的 ［!］ ［&］ 边界面模型 ， 等等 ( 由理想元件组成的粘弹性流变模型通常不能全面地反映 56780 和 90:0;0<830< 的模型 ［%］ 认为， 弹粘塑性模型优越于粘弹性流变模型 ( 正因为如此， 越来越 土体的弹性、 塑性和粘性性质 ( .=0>?3 等
第 !? 卷第 ’ 期
8第7章聚合物的黏弹性
7.1.2 材料的粘、弹基本概念
材料对外界作用力 的不同响应情况 恒定力或形变------静态 变化力或形变------动态
典 型
小分子固体 – 弹性 小分子液体 – 粘性
7.1.3 理想弹性体（Ideal elastic solid）
虎克定律（ Hooke’s law）
σ σ0
σ
η
0
t1
t2
t
ε
ε2
γ&
0
t1
t2
t
外 力 除 去 后 完 全 不 回 复
形 变 与 时 间 有 关
弹性与粘性比较
弹性 能量储存 形变回复 虎克固体 粘性 能量耗散 永久形变 牛顿流体
σ = ηγ& = η
dε dt
σ = Eε
E(σ,ε,T) 模量与时间无关
E(σ,ε,T,t) 模量与时间有关
ε2 =
σ0 ⎛
⎜1 − e E2 ⎝
− t
τ'
⎞ 推迟时间 ⎟ ⎠
高弹模量 聚合物受力时，高分子链通 过链段运动产生的形变，形 变量比普弹形变大得多，但 不是瞬间完成，形变与时间 相关。当外力除去后，高弹 形变逐渐回复。
C. 塑性形变（粘性流动ε3）
σ0 ε3 = t η0
本体粘度
受力时发生分子链的相对位 移，外力除去后粘性流动不 能回复，是不可逆形变。
7.3.2滞后
在交变力的作用下，形变落后于应力变化的现象
σ (t ) = σ 0 sin ωt
ε (t ) = ε 0 sin(ωt − δ )
外力变化的 角频率 形变落后于应 力的相位差
机理
之所以应变落后于应力的变化，是由于链段运动时要 受到内摩擦阻力的作用，也就是链段运动有一个时间 过程。当外力变化时，链段运动跟不上外力的变化， 所以形变落后于应力，存在一个相位差δ。
材料力学中的弹塑性本构模型建立
材料力学中的弹塑性本构模型建立在工程和力学实践中，弹塑性是一种非常重要的材料本构模型。
它能够对许多材料的力学性能进行准确预测，因此在设计和分析中得到广泛应用。
本文将介绍弹塑性本构模型的基本概念和建立方法。
一、弹塑性基本概念弹塑性是一种材料可能表现出的力学特性，它包括两个不同的行为：弹性和塑性。
弹性是指材料恢复原来形状和大小的能力，这是由于分子等微观结构的作用而产生的。
而在材料接受持续变形时，会发生形变不可逆的情况。
这种现象被称为塑性。
当材料被施加应力时，如果应力不超过一定范围，材料会发生弹性形变；一旦应力超过一定界限，材料就会发生塑性变形。
材料的弹塑性是由其微观结构决定的，因此不同的材料会表现出不同的弹塑性特性。
二、弹塑性本构模型的基本原理弹塑性本构模型是描述材料弹塑性问题的一类物理模型。
它基于能量守恒原理，建立材料固体在应力和应变作用下的不同状态之间的关系。
本构模型的目的是把材料行为和材料力学特性建立起来，便于进行物理和工程分析。
所以在材料力学中，弹塑性本构模型是一个非常重要的基本理论。
材料弹塑性本构模型的建立过程包含以下三个步骤。
1. 实验数据获取该步骤是建立弹塑性本构模型的基础。
通过物理实验，可以得到材料的应力-应变曲线，即通过外力施加不同载荷，测量材料在相应的应力状态下的应变表现。
从这些实验数据中可以得到材料的力学特性。
2. 建立本构关系本构关系是弹塑性本构模型中最基本的方程。
它建立材料中的形变应力与形变大小和方向之间的关系。
大多数情况下，本构关系并不只是一个公式，而是一系列方程的集合，不同的方程适用于不同的材料。
在建立本构关系时，通常需要将材料划分为一定数量或限制条件下的应力状态，并在这些状态下建立相应的方程形式。
然后，通过插值或其它数值方法可以精确地计算出材料弹塑性的行为。
3. 参数确定弹塑性本构模型的参数是过程中最难确定的部分。
参数在本构模型中的作用类似于提供具体材料的物理性质或形状。
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第七章 粘弹塑性模型的基本概念
7 . 1 引言
为了描述土体应力一应变关系受时间的影响 ,需要采用与时间有关的类模型（如粘弹胜模酬、粘塑性模型 ,粘弹塑隆模型）来描述土的性状。
弹性、塑性和粘性是连续介质的三种基本性质 ,各在定条件F 独自反映材料本构关系的一个方面的特性。
理想弹性模型、理想塑胜模型（或称刚塑性模型）和理想粘性模型是反映这三种性质的理想模型 ,通常称为简单模型。
实际工程材料的本构关系可以用这些简单模型的各种组合来构成。
理想弹性模型又称虎克弹性模型 ,通常用理想弹簧表示（图7-1( a )）。
其本构方程为虎克定律。
一维条件下 ,如单轴压缩和纯剪清况下 ,表达式分别为：
E σε= （7.1.1）
G τγ= （7.1.2）
式中E —— 弹性模量、
G ——剪切模量。
剪切模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：
()
21E G ν=+ （7.1.3） 式中 ν ——泊松比。
三维条件下本构方程可表示为下述形式：
m K νσε= （7.1.4）
式中 K ——体积弹性模量。
（a ） （b ）
图7-1 理想弹性模型
体积弹性模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：
()
312E K ν=- （7.1.6） 理想粘性模型又称牛顿粘滞体模型。
通常用一粘壶（或称阻尼器）表示（图7-2 ( a ) ）。
粘壶内充满粘滞液体和一个可移动的活塞。
活塞在粘滞液体中的移动速度与所受阻力成正比关系 ,反映了粘性介质内一点的应力与该点处应变速率成正比例关系的性质。
一维条件如单轴压缩或纯剪情况下 ,表达式分别为： σϕε= （7.1.7）
τηγ= （7.1.8）
式中 ϕ、η ——粘滞系数。
由上两式可以看出 ,从数学表达的形式上与理想弹性体单轴压缩和纯剪时的本构方程相类似。
与理想弹性体的方程相对应 ,类似式7.1.3 ,存在下述关系：
()*21ϕ
ην=+ （7.1.9）
式中 *ν ——粘性应变速率的横向比值。
（a ） （b ）
图7-2 理想粘性模型 理想粘性体的体积变化与形状变化速率无关 ,即不具有体积粘性。
因此 ,*ν应等于0.5 。
于是式7.1.9成为：
3ϕη= （7.1.10）
这与弹性不可压缩时的E=3G 相对应。
在三维条件下理想粘性体本构方程可表示为：
2ij ij S e η= （7.1.11）
理想塑性模型又称Saint-Venant 塑性模型 ,或称刚塑性模型。
通常采用两块接触的粗糙面表示（图7-3 （a ））。
面上存在有一称晰脚擦阻力 ,与作用在面上的法向压力无关 ,是一常数。
若外作用力心婚此起始摩擦阻力 ,物体不发生变形。
一维条件如单轴压缩或此钾扮况 ,当轴向应力或剪应力小于某一数值时 ,物体不发生变形．当软祠应力或剪应力等于某数值时 ,物体产生流动 ,变形无限制增长．理想塑性模刮的体积应变等于零 ,即体积不发生改变。
在三维条件
下理想塑性体的本构方程可表示为：
（a ） （b ）
图 7-3 理想塑性体模型
当 ij ij S H <时 ,0ij e = 当 ij ij S H =时 ,2ij ij S e λ= （7.1.12）
式中 ij H ——起始摩擦阻力 ,或称塑性条件；
λ——比例常数。
式7.1.12表明 ,理想塑性体的塑性应变偏量的变化率与应力偏量成正比。
由理想弹性模型、理想粘性模型和理想塑性模型等简单模型可以组合成许多复杂模型。
由理想弹性模型和理想塑性模型可以组合成理想弹塑性模型。
由弹性模型和粘性模型可以组合成各种粘弹性模型。
由粘性模型和塑性模型可以组合成各种粘塑性模型。
由弹性模型、粘性模型和塑性模型可以组合成各种粘弹塑性模型。
理想弹塑性模型已在第六章作了介绍。
在以下几节将对几种由简单模型组成的粘弹性模型、粘塑性模型和粘弹塑胜模型作简单介绍。
利用简单模型可以组合成各种复杂模型 ,从而可以建立各种材料的本构方程。
但是进一步的研究发现 ,许多材料的实际性状并不能满意地用简单的组合模型来描述 ,而目采用复杂的组合模型又常遇到数学上的困难。
因此 ,常常在试验的基础上 ,通过假设一实验一理论的方法建立材料的本构力程。
在本章的最后一节将简要介绍描述材料蠕变现象的蠕变力程。
7 . 2 粘弹性模型
既具有弹性又具有粘性的性质称为粘弹性。
蠕变和应力松弛现象是人们熟悉的也是特别受重视的粘弹性胜质粘弹性性质的特点是在本构方程中除了有应力和应变项外 ,还包括有它们对时间导数的项。
对线性粘弹胜材料 ,其本构方程的一般表达式为：
()()
0101m n m n a a a b b b σσσεεε+++=+++ （7.2.1） 式中 ,i i a b ——与材料性质有关的参数。
下面首先介绍几种简单的粘弹性模型 ,然后再介绍较复杂的情况。
7.2.1Maxwell 模型
Maxwell 模型又称松弛模型。
它是由线性弹簧和牛顿枯壶串联组成 ,如图7 -4 (a ）所示。
在串联条件下 ,作用在两元件上的应力相同 ,而总的应变应为两个元件应变的和 ,即
εεε'''=+ （7.2.2）
或
εεε'''=+ （7.2.3）
式中 ,εε'''——分别为线性弹簧和粘壶的应变；
,εε'''——分别为线性弹簧和粘壶的应变率。
考虑到线性弹簧有/E εσ'=和牛顿粘壶有/εσϕ''= ,则式7.2.3可改写成： E σσεϕ=+
（7.2.4）
（a ） （b ） （c ）
图7-4 Maxwoll 模型 写成如式7.2.1的标准形式 ,上式可改写为：
n σσϕε+=（7.2.5）
式中 n ——松驰时间 ,n E ϕ
= ,量纲为时间。
式7.2.5称为Maxwell 方程。
若物体获得初始应变0ε以后总应变保持不变（图7-4b) ,即0ε= ,式7.2.5成为：
0n σσ+=
（7.2.6） 积分上式 ,得
/t n Ce σ-= （7.2.7)
式中 C ——积分常数。
应用初始条件 ,0t = ,0σσ=代人式7.2.7解出C ,再代人式7.2.7 , 得 /0t n e σσ-= (7.2.8 ) 式7.2.8表示 ,Maxwell 模型在保持总应变不变的条件下 ,发生应力随时间衰减的松弛现象 ,如图7-4c 所示。
若物体获得初始应力0σ以后 ,保持应力不变 ,即0σ= ,则式7.2.5成为：
0σϕε= （7.2.9 )
式7.2.9表示材料应变率为常数 ,即应变随时间成比例地增长 ,因此变形随时间无限地发展。
下面讨论松弛试验的情况。
在松弛试验中 ,首先对试件施加应变0ε ,然后保。