《概率论与数理统计》习题及答案 第六章

《概率论与数理统计》习题及答案
第 六 章
1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为λ的泊松分布，从产品中抽一个容量为n 的样本12,,,n X X X L ，求样本的分布.
解 样本12(,,,)n X X X L 的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为
11221
(,,,)()n
n n i
i i P X k X k X k P X
k =====
=∏L 1
!
i
k
n
i i e k λλ-==∏
112!!!
n
i i n k n e k k k λ
λ=-∑=
L 0,1,i k =L ，1,2,,,i n =L 2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/λ的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n 件零件构成一个容量为n 的样本，求样本分布。

解 零件的加工时间为总体X ，则~()X E λ，其概率密度为
,0,
()0,0.x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩
于是样本12(,,,)n X X X L 的密度为
1121,0(,,,)0,.n
i
i i
x n
n
x i n i e x f x x x e λλλλ=--=⎧∑⎪>=
=⎨⎪⎩
∏K 其它 1,2,,i n =L 3．一批产品中有成品L 个，次品M 个，总计N L M =+个。

今从中取容
量为2的样本（非简单样本），求样本分布，并验证：当,/N M N p →∞→时样本分布为（6.1）式中2n =的情况。

解 总体~(01)X -，即(0),(1)L M
P X P X N N
==== 于是样本12(,)X X 的分布如下 121(0,0)1L L P X X N N -===
⋅
-，12(0,1)1
L M P X X N N ===⋅-
12(1,0)1M L P X X N N ===⋅-，121
(1,1)1
M M P X X N N -===⋅
- 若N →∞时M p N →，则1L
p N
→-，所以
20020
12(0,0)(1)(1)P X X p p p +-==→-=-
0121
12(0,1)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-
1021
12(1,0)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-
21122
12(1,1)(1)P X X p p p +-==→=-
以上恰好是（6.1）式中2n =的情况.
4．设总体X 的容量为100的样本观察值如下：
15 20 15 20 25 25 30 15 30 25 15 30 25 35 30 35 20 35 30 25 20 30 20 25 35 30 25 20 30 25 35 25 15 25 35 25 25 30 35 25 35 20 30 30 15 30 40 30 40 15 25 40 20 25 20 15 20 25 25 40 25 25 40 35 25 30 20 35 20 15 35 25 25 30 25 30 25 30 43 25 43 22 20 23 20 25 15 25 20 25 30
43
35
45
30
45
30
45
45
35
作总体X 的直方图
解 样本值的最小值为15，最大值为45取14.5a =，45.5b =，为保证每个小区间内都包含若干个观察值，将区间[14.5,45.5]分成8个相等的区间。

用唱票法数出落在每个区间上的样本值的个数i n ，列表如下：
以组距4为底，以i 为高作矩形即得X 的直方图
5．某射手独立重复地进行20次打靶试验，击中靶子的环数如下：
用X 表示此射手对靶射击一次所命中的环数，求X 的经验分布函数，并画出其图像。

解 设X 的经验分布函数为()n F x 则
0,4,2,45,202,56,206,67,
20
()15,78,2015,89,2018,910,201,
10.
n x x x x F x x x x x ⎧<⎪⎪≤<⎪⎪⎪≤<⎪⎪≤<⎪⎪=⎨
⎪≤<⎪⎪⎪≤
<⎪⎪≤<⎪⎪⎪≥⎩
6．设12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本，已知
(1,2,3,4)k
k EX k α==证明当n 充分大时，随机变量2
1
1n n i i Z X n ==∑近似服从正
态分布，并指出其分布参数.
证 因12,,,n X X X L 独立同分布，所以所以222
12,,,n X X X L 独立同分布，22i EX α=，24222
42()i i i DX EX EX αα=-=-，由独立同分布下的中心极限定
理（列维一林德贝格定理），当n 充分大时
22
2
22211n n
n i i
i n X X n X ααα⎡⎤---⎢⎥==∑∑∑ 近似服从标准正态分布，所以当n 充分大时，近似地有
2
242
1211~(,
)n i X N n n
ααα=-∑ 7．设12,,,n X X X L 是来自总体X 的一个样本，X 服从参数为λ的指数
分布，证明21
2~(2)n
i
i X
n λ
χ=∑.
[证] 12,,,n X X X L 独立同分布，~()i X E λ，今先证
22~(2),1,2,,i X i n λχ=L . 设2i Y X λ=的分布函数为()Y F y 则
()()(2)()2Y i i y F y P Y y P X y P X λλ=≤=≤=≤21,00,0
y e y y λλ-⎧⎪
->=⎨⎪≤⎩
所以Y 的密度为
221
,0,,
0,()22
0,0;
0,0.y y Y e y e y f y y y λλλλ--⎧⎧>>⎪⎪==⎨⎨⎪⎪≤≤⎩⎩
注意到(1)1Γ=，则Y 的概率密度为
21222
21,0
2
()2()
20,
0.
y
Y y e y f y y --⎧>⎪⎪=Γ⎨⎪⎪≤⎩
可见2
2~(2)i X λχ.
由2
χ分布的可加性立即得到 21
2~(2).n
i
i X
n λ
χ=∑
8．由附表查下列各值：22
0.050.950.010.05(20),(20),(10),(12,15)t F χχ,
0.950.1(15,12),F u
解 20.05(20)31.410χ=，2
0.95(20)10.851χ=，0.01(10) 2.7638t =，
0.05(12,15) 2.48F =，0.050.0511
(15,12)0.4037(12,15) 2.48
F F ===，
0.1 1.2800u =.
9．证明若2
~()X n χ，则,2.EX n DX n == 证 因2
~()X n χ，所以X 可表示为21
n
i
i X X
==∑，其中12,,,n X X X L 相
互独立，且均服从(0,1)N ，于是 22
1
1
1
[()]1n
n n
i
i i i i i EX EX
DX EX n =====+==∑∑∑
2
24224
2
11
1
[()][1]x n
n n
i
i i i i i DX DX
EX EX x dx -+∞-∞
=====-=-∑∑∑⎰
1
(31)2.n i n ==
-=∑
10．已知~()X t n ，求证2
~(1,).X F n 证 ~()X t n ，则X
可表示为X =，其中2
~(0,1),~()Z N Y n χ且,Z Y 相互独立，于是
2
2
~(1,)/Z X F n Y n
=
. 11．设1234,,,X X X X 是来自正态总体2
(0,2)N 的简单随机样本，
221234(2)(34)X a X X b X X =-+-，求常数,a b ，使得2~(2)X χ.
解
2212121
2~(0,20),
~(0,1),(2)~(1),20X X N N X X χ--
2
2234343434134~(0,10),
~(0,1),(34)~(1),10100
X X X X N N X X χ--- 所以当11,20100
a b ==时 2221234(2)(34)~(2)X a X X b X X χ=-+-
12．设11,,,,,n n n m X X X X ++L L 是分布2
(0,)N σ的容量为n m +的样本，
试求下列统计量的概率分布：
（1
）1n
i
X Y =
； （2）21221n
i i n m
i
i n m X Y n X
=+=+=
∑∑
解 2
1
~(0,)n
i i X N n σ=∑
1~(0,1),n
i i X N = 2~(0,)i X N σ，22
2~(1)i X χσ，2221
1~()n m i i n X m χσ
+=+∑，
所以
（1
）1~();n
n
i
X Y t m =
=
（2）222
1122
22
1
1
1/~(,).1
/n
n
i
i n i n m
n m
i i
i n i n m X
X
n
Y F n m n X X
m
σ
σ
==++=+=+=
=
∑∑∑∑ 13．设11,,,n n X X X +L 是来自总体2
(,)N μσ的样本，1
1n
i i X X n ==∑，
*2211()n i i S X X n ==-∑
，试求统计量T = 解 2
11~(0,)n n X X N n
σ++-，*222~(1)nS n χσ-
于是
~(0,1)N
~(1)X
T t n =
=-. 14．设样本1
1,,n X X L 和2
1,,n Y Y L 分别来自相互独立的总体2
11(,)N μσ和
2
22(,)N μσ，已知12σσ=,α和β是两个实数，求随机变量
X Y
的分布 解 22
111
()~(0,
)X N n ασαμ-，22
2
22
()~(0,
)Y N n βσβμ-，又12σσ=
所以 2
2
221
2
()()~(0,(
))X Y N n n αβαμβμσ-+-+
~(0,1)X Y N
而
22
21122
122
(1)(1)~(2)n S n S n n χσ-+-+-
所以
X Y
12~(2)t n n =
+-.
15．从正态总体2
(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应多大？
解
110.95(1.4 5.4)n i i P X n =≤<<=Φ-Φ∑
213
=Φ- 即
0.9753Φ≥
，查正态分表得 1.963
≥即34.57n ≥. 故样本容量至少应为35。

16．设总体2
~(80,20)X N ，从总体X 中抽取一个容量为100的样本，
问样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率是多少？
解 设样本均值为X ，则2
2
2020~(80,
)80~(0,)100
100
X N X N -
33
(|80|3)1(|80|3)1()()22
P X P X ->=--≤=-Φ+Φ-
22(1.5)2293320.1336=-Φ=-⨯=.
17．求总体(20,3)N 的容量分别为10，15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。

解 设1X 和2X 为两个独立样本的均值，则13~(20,
)10
X N ，23~(20,
)15X N 于是1215~(0,)30X X N -即121~(0,)2
X X N - 1212(||0.3)1(||0.3)P X X P X X ->=--≤
1
=-Φ+Φ 22(0.42)220.66280.6744=-Φ=-⨯=.
18．设在总体2(,)N μσ中抽取一个容量为16的样本，这里2
,μσ均为未知， （1）求2
2
(/ 2.0385)P S σ≤； （2）求2.DS
解 （1）2
2
2
215(/ 2.0358){30.537}S P S P σσ
≤=≤
因为
2
22
15~(15)S χσ
，查2χ分布表知
2
2
2
215(/ 2.0358)1{30.537}S P S P σσ
≤=->
0.99=.
（2）2215()21530S D σ
=⨯=，24
22530DS σ=，2
4215DS σ∴=.。