离散数学(Ch7函数)
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11
图7.8示例
X Y X Y X Y X Y
(a) 是单射 不是满射
书上Y中 少画一点
(b) 是满射 不是单射
(c) 双射
(d) 不是单射 也不满射
12
例7.17 ⑴ f: {1,2} {0}
必是满射、不可能单射
⑵ f: {a,b} {2,4,6}
⑶ f: NN f(x)=2x
可单射、不可能满射
单射、不是满射
⑷ f: II
f(x)=x+1 双射
⑸ f: [0,1][a,b] f(x)=(b-a)x+a 双射(ab)
函数f: XY, 如果X和Y均为有穷集合，则 f是单射 #X≤#Y f是满射 #X≥#Y f是双射 #X = #Y
13
常值函数 定义7.9 函数f: XY, 如果对于每一个xX, 都有 f(x)=a, 则称 f 为常值函数。
例7.8
设 f: RR 为 f(x)=x2, 则 f | N = {<0,0>, <1,1>, <2,4>, <3,9>,…}
4
象 7.4 定义
设函数 f: XY，X’X，则 f(X’) = { f(x) | xX’ } 称为X’在 f 下的象。f(X)则称为f的象。
“象”隐含了另一个函数 : f
18
3. 双射函数的性质 设FX表示所有XX的双射函数的集合，则 ⑴ 任取f,gFX, 则 f ◦gFX, g◦f FX. 闭包性 ⑵ 任取f,g,hFX, 则 f ◦(g◦h)=(f ◦g)◦h. 可 结合性 ⑶ 任取f FX, 则 f ◦IX = IX◦f = f IX单位元 ⑷ 任取f FX, 有f -1FX且f ◦ f -1=f -1◦f=IX. f 可逆 例7.22 设X={1,2,3}, 则#FX=321=3!=6 f1={<1,1>, <2,2>, <3,3>} f1-1=f1 f2={<1,1>, <2,3>, <3,2>} f2-1=f2 f3={<1,2>, <2,1>, <3,3>} f3-1=f3 f4={<1,2>, <2,3>, <3,1>} f4-1=f5 f5={<1,3>, <2,1>, <3,2>} f5-1=f4 f6={<1,3>, <2,2>, <3,1>} f6-1=f6
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§7.3 特殊性质的函数
1. 性质 定义7.8 设函数f: XY, ⑴ 满射：对于每个yY, 都有xX使得y=f(x). --- ran(f) = Y ⑵ 单射：如果f(x1)=f(x2), 则x1=x2. --- 如果x1x2, 则f(x1)f(x2).
⑶ 双射：单射 + 满射.
函数的基本要求(定义的全域性、值的唯一性)是针 对集合X的，而函数的三种性质是针对集合Y的。
16
反函数的性质 定理7.5 如果函数f: XY可逆, 则 f -1◦ f = IX, f ◦ f -1 = IY. 证： 任取xX, 有y=f(x), 则 x = f -1(y) = f -1(f(x)) 即<x,x>f -1◦f. 又f -1◦f 是函数的合成, 仍是函数; 所以 f -1◦f = IX. 同理， f ◦ f -1 = IY. 定理7.6 证： 设函数f: XY, g: YX, g = f -1 当且仅当 g◦f =IX, f◦g =IY. 可由定理7.5得出 g = IX◦g = (f -1◦ f )◦g = f -1◦(f ◦g) = f -1◦IY = f -1
显然，f(X) = {a}.
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2. 反函数 定义7.10 设f: XY是双射函数, 则 f 的逆关系 f -1 称为 f 的反函数。
满射 --- 保证了 f -1 的定义全域性; 双射 单射 --- 保证了 f -1 的值唯一性。
定理7.6 设f: XY是双射函数, 则其反函数也是 双射函数。
⑵ f(x) = 1/x
是RR的偏函数； (因为x=0时无定义)
f: XY是偏函数的两种可能： 在X－X‘里无定义 --- 不满足“定义的全域性” 在X－X‘里有重复 --- 不满足“值的唯一性”
6
函数的个数 XY的关系是XY的子集， #Y个不同的二元关系。 可有2#X·
用YX表示所有XY函数构成的集合： 则#YX = (#Y)#X (每一个x都可有#Y种定义)
X
Y x◦ ◦y f(X’) (Y)
例7.10 设f: {0,1,2,3} {a,b,c}
0◦ 1◦ 2◦ 3◦
◦a
◦b
X’
(X)
◦c
F
f() = f({0}) = {b} f({1,2,3}) = {a,b,c} …
5
偏函数 定义7.5 例7.12 设关系f: XY, X’X, 如果f: X’Y是函 数(全函数)，则称f: XY是偏函数。 ⑴ f(x) = sqrt(x) 是RR的偏函数； (因为x<0时无定义)
20
例7.25 A(BC) = (AB)(AC) 证： A(BC)(x) = A ·BC = A ·( B+C－BC ) = AB + AC－ ABC = AB + AC－ AB AC = (AB)(AC)(x)
(AA=A)
§7.2 函数的复合
定义7.6 设f: XY, g: YZ的函数， g◦f = {<x,z> | y(y=f(x) z=g(y)) } 称为 f 和g 的复合，写成g(f(x))。
写法次序与关系复合不同，与g(f(x))接近。 定理7.1 函数的复合 g◦f 是一个函数。
证： 因 g◦f 是复合关系，仍是XZ的关系。 只需证 ⑴ 定义的全域性； ⑵ 值的唯一性。
17
定理7.7
设函数f: XY, g: YZ都是双射, 则 (g◦f )-1= f -1◦g-1.
证： ⑴ g◦f 也是双射 因为 f 是满射, 故ran(f )=Y=dom(g)， 而g也是满射，所以g◦f 是满射； 任取x1,x2X且x1x2, 记y1=f(x1), y2=f(x2), z1=g(y1)=g◦f(x1), z2=g(y2)=g◦f(x2), 由于f 是单射，故y1y2, 而g也是单射，故z1z2, 所以g◦f 是单射。(双射函数g◦f 可逆) ⑵ 由关系合成和逆关系的性质, 可得 (g◦f )-1= f -1◦g-1.
8
复合运算的性质 定理7.2 定理7.3 IX和IY是恒等函数，函数f: XY, 则 f ◦ IX = f = I Y ◦ f 设函数f: XY, g: YZ, h: ZW, 则 h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f 即函数复合满足可结合性。 (幂) 设函数f: XX, 则 f0(a) = IX(a) f(n+1)(a) = f(fn(a))
第七章 函数
基本概念 函数的复合 特殊性质的函数 集合的特征函数
1
§7.1 基本概念
定义7.1 设f是X到Y的关系，如果对于每个xX, 存在唯一的yY, 使<x,y>f，则称f为X 到Y的函数。
关系到函数的要求： 处处有定义 (定义的全域性) 单值 (值的唯一性) 定义7.2
#f = #X
21
首先：f -1已是YX的函数； 其次：因ran(f -1)=dom(f )=X, 故f -1是满射， 又因f 是单射，故f -1也是单射。 所以f -1是双射。
15
例 7.18 设X={1,2,3}, Y={p,q,r}, f: XY, f ={<1,p>, <2,q>, <3,q>} 因f 不是单射、也不是满射，所以 f –1 = {<p,1>, <q,2>, <q,3>} 不是函数. 例7.20 设f: RR, f(x)=x+2, 是双射， 其逆关系 f -1(x)=x–2也是RR的双射函数. 例7.21 设X={0,1}, Y={p,q,r,s} f = {<0,p>, <1,q>} 是单射，则 f -1= {<p,0>, <q,1>} 只是YX的偏函数.
定义7.7
9
例7.14 设 X = {1,2,3}, f = {<1,2>, <2,3>, <3,1>} g = {<1,2>, <2,1>, <3,3>} h = {<1,1>, <2,2>, <3,1>}
则
f◦g = {<1,3>, <2,2>, <3,1>} g◦f = {<1,1>, <2,3>, <3,2>} f◦g f◦h◦g = {<1,3>, <2,2>, <3,2>} ……
例7.3
数
Βιβλιοθήκη Baidu
全集U， : (U)(U) (U) “并”运算是函 : (U)(U) (U) “交”运算是函
数 例7.4
S: NN定义为S(n)=n+1，称为后继函数 ~: (U) (U) “补”运算是函
3
数
受制、开拓 定义7.3 设函数f: XY, 又AX. f |A = {<x,y> | <x,y>f xA} 称为 f 受制于A，反之称f是f |A的开拓。
例7.13 设X={a,b,c}, Y={0,1} 不同关系有26个 函数 f0 = {<a,0>, <b,0>, <c,0>} f1 = {<a,0>, <b,0>, <c,1>} f2 = {<a,0>, <b,1>, <c,0>} f3 = {<a,0>, <b,1>, <c,1>} … f7 = {<a,1>, <b,1>, <c,1>} 7
函数f: XY, 如果<x,y>f, 则称x为自变 量, y是函数f在x处的值, 常用y=f(x)表示.
定义域dom(f)=X, 值域ran(f)Y.
函数的别称：变换、映射、对应、运算…
2
例7.1
1 f(x) = x/2
x为奇数 x为偶数
例7.2
f = {<x, x2> | xR } 平方函数 g = {<x2, x> | xR } 不满足单值性
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§7.4 集合的特征函数
定义7.11 设U是全集, AU, A的特征函数A: U{0,1}, 1, 若xA A(x) = 0, 若xA
性质： ⑴ A(x)≡0 A= ⑵ A(x)≡1 A=U ⑶ A(x)≤B(x) AB ⑷ A(x)=B(x) A=B ⑸ AB(x) = A(x) ·B(x) ⑹ AB(x) = A(x) + B(x) － A(x) ·B(x) ⑺ ~A(x) = 1 － A(x)
图7.8示例
X Y X Y X Y X Y
(a) 是单射 不是满射
书上Y中 少画一点
(b) 是满射 不是单射
(c) 双射
(d) 不是单射 也不满射
12
例7.17 ⑴ f: {1,2} {0}
必是满射、不可能单射
⑵ f: {a,b} {2,4,6}
⑶ f: NN f(x)=2x
可单射、不可能满射
单射、不是满射
⑷ f: II
f(x)=x+1 双射
⑸ f: [0,1][a,b] f(x)=(b-a)x+a 双射(ab)
函数f: XY, 如果X和Y均为有穷集合，则 f是单射 #X≤#Y f是满射 #X≥#Y f是双射 #X = #Y
13
常值函数 定义7.9 函数f: XY, 如果对于每一个xX, 都有 f(x)=a, 则称 f 为常值函数。
例7.8
设 f: RR 为 f(x)=x2, 则 f | N = {<0,0>, <1,1>, <2,4>, <3,9>,…}
4
象 7.4 定义
设函数 f: XY，X’X，则 f(X’) = { f(x) | xX’ } 称为X’在 f 下的象。f(X)则称为f的象。
“象”隐含了另一个函数 : f
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3. 双射函数的性质 设FX表示所有XX的双射函数的集合，则 ⑴ 任取f,gFX, 则 f ◦gFX, g◦f FX. 闭包性 ⑵ 任取f,g,hFX, 则 f ◦(g◦h)=(f ◦g)◦h. 可 结合性 ⑶ 任取f FX, 则 f ◦IX = IX◦f = f IX单位元 ⑷ 任取f FX, 有f -1FX且f ◦ f -1=f -1◦f=IX. f 可逆 例7.22 设X={1,2,3}, 则#FX=321=3!=6 f1={<1,1>, <2,2>, <3,3>} f1-1=f1 f2={<1,1>, <2,3>, <3,2>} f2-1=f2 f3={<1,2>, <2,1>, <3,3>} f3-1=f3 f4={<1,2>, <2,3>, <3,1>} f4-1=f5 f5={<1,3>, <2,1>, <3,2>} f5-1=f4 f6={<1,3>, <2,2>, <3,1>} f6-1=f6
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§7.3 特殊性质的函数
1. 性质 定义7.8 设函数f: XY, ⑴ 满射：对于每个yY, 都有xX使得y=f(x). --- ran(f) = Y ⑵ 单射：如果f(x1)=f(x2), 则x1=x2. --- 如果x1x2, 则f(x1)f(x2).
⑶ 双射：单射 + 满射.
函数的基本要求(定义的全域性、值的唯一性)是针 对集合X的，而函数的三种性质是针对集合Y的。
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反函数的性质 定理7.5 如果函数f: XY可逆, 则 f -1◦ f = IX, f ◦ f -1 = IY. 证： 任取xX, 有y=f(x), 则 x = f -1(y) = f -1(f(x)) 即<x,x>f -1◦f. 又f -1◦f 是函数的合成, 仍是函数; 所以 f -1◦f = IX. 同理， f ◦ f -1 = IY. 定理7.6 证： 设函数f: XY, g: YX, g = f -1 当且仅当 g◦f =IX, f◦g =IY. 可由定理7.5得出 g = IX◦g = (f -1◦ f )◦g = f -1◦(f ◦g) = f -1◦IY = f -1
显然，f(X) = {a}.
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2. 反函数 定义7.10 设f: XY是双射函数, 则 f 的逆关系 f -1 称为 f 的反函数。
满射 --- 保证了 f -1 的定义全域性; 双射 单射 --- 保证了 f -1 的值唯一性。
定理7.6 设f: XY是双射函数, 则其反函数也是 双射函数。
⑵ f(x) = 1/x
是RR的偏函数； (因为x=0时无定义)
f: XY是偏函数的两种可能： 在X－X‘里无定义 --- 不满足“定义的全域性” 在X－X‘里有重复 --- 不满足“值的唯一性”
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函数的个数 XY的关系是XY的子集， #Y个不同的二元关系。 可有2#X·
用YX表示所有XY函数构成的集合： 则#YX = (#Y)#X (每一个x都可有#Y种定义)
X
Y x◦ ◦y f(X’) (Y)
例7.10 设f: {0,1,2,3} {a,b,c}
0◦ 1◦ 2◦ 3◦
◦a
◦b
X’
(X)
◦c
F
f() = f({0}) = {b} f({1,2,3}) = {a,b,c} …
5
偏函数 定义7.5 例7.12 设关系f: XY, X’X, 如果f: X’Y是函 数(全函数)，则称f: XY是偏函数。 ⑴ f(x) = sqrt(x) 是RR的偏函数； (因为x<0时无定义)
20
例7.25 A(BC) = (AB)(AC) 证： A(BC)(x) = A ·BC = A ·( B+C－BC ) = AB + AC－ ABC = AB + AC－ AB AC = (AB)(AC)(x)
(AA=A)
§7.2 函数的复合
定义7.6 设f: XY, g: YZ的函数， g◦f = {<x,z> | y(y=f(x) z=g(y)) } 称为 f 和g 的复合，写成g(f(x))。
写法次序与关系复合不同，与g(f(x))接近。 定理7.1 函数的复合 g◦f 是一个函数。
证： 因 g◦f 是复合关系，仍是XZ的关系。 只需证 ⑴ 定义的全域性； ⑵ 值的唯一性。
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定理7.7
设函数f: XY, g: YZ都是双射, 则 (g◦f )-1= f -1◦g-1.
证： ⑴ g◦f 也是双射 因为 f 是满射, 故ran(f )=Y=dom(g)， 而g也是满射，所以g◦f 是满射； 任取x1,x2X且x1x2, 记y1=f(x1), y2=f(x2), z1=g(y1)=g◦f(x1), z2=g(y2)=g◦f(x2), 由于f 是单射，故y1y2, 而g也是单射，故z1z2, 所以g◦f 是单射。(双射函数g◦f 可逆) ⑵ 由关系合成和逆关系的性质, 可得 (g◦f )-1= f -1◦g-1.
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复合运算的性质 定理7.2 定理7.3 IX和IY是恒等函数，函数f: XY, 则 f ◦ IX = f = I Y ◦ f 设函数f: XY, g: YZ, h: ZW, 则 h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f 即函数复合满足可结合性。 (幂) 设函数f: XX, 则 f0(a) = IX(a) f(n+1)(a) = f(fn(a))
第七章 函数
基本概念 函数的复合 特殊性质的函数 集合的特征函数
1
§7.1 基本概念
定义7.1 设f是X到Y的关系，如果对于每个xX, 存在唯一的yY, 使<x,y>f，则称f为X 到Y的函数。
关系到函数的要求： 处处有定义 (定义的全域性) 单值 (值的唯一性) 定义7.2
#f = #X
21
首先：f -1已是YX的函数； 其次：因ran(f -1)=dom(f )=X, 故f -1是满射， 又因f 是单射，故f -1也是单射。 所以f -1是双射。
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例 7.18 设X={1,2,3}, Y={p,q,r}, f: XY, f ={<1,p>, <2,q>, <3,q>} 因f 不是单射、也不是满射，所以 f –1 = {<p,1>, <q,2>, <q,3>} 不是函数. 例7.20 设f: RR, f(x)=x+2, 是双射， 其逆关系 f -1(x)=x–2也是RR的双射函数. 例7.21 设X={0,1}, Y={p,q,r,s} f = {<0,p>, <1,q>} 是单射，则 f -1= {<p,0>, <q,1>} 只是YX的偏函数.
定义7.7
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例7.14 设 X = {1,2,3}, f = {<1,2>, <2,3>, <3,1>} g = {<1,2>, <2,1>, <3,3>} h = {<1,1>, <2,2>, <3,1>}
则
f◦g = {<1,3>, <2,2>, <3,1>} g◦f = {<1,1>, <2,3>, <3,2>} f◦g f◦h◦g = {<1,3>, <2,2>, <3,2>} ……
例7.3
数
Βιβλιοθήκη Baidu
全集U， : (U)(U) (U) “并”运算是函 : (U)(U) (U) “交”运算是函
数 例7.4
S: NN定义为S(n)=n+1，称为后继函数 ~: (U) (U) “补”运算是函
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数
受制、开拓 定义7.3 设函数f: XY, 又AX. f |A = {<x,y> | <x,y>f xA} 称为 f 受制于A，反之称f是f |A的开拓。
例7.13 设X={a,b,c}, Y={0,1} 不同关系有26个 函数 f0 = {<a,0>, <b,0>, <c,0>} f1 = {<a,0>, <b,0>, <c,1>} f2 = {<a,0>, <b,1>, <c,0>} f3 = {<a,0>, <b,1>, <c,1>} … f7 = {<a,1>, <b,1>, <c,1>} 7
函数f: XY, 如果<x,y>f, 则称x为自变 量, y是函数f在x处的值, 常用y=f(x)表示.
定义域dom(f)=X, 值域ran(f)Y.
函数的别称：变换、映射、对应、运算…
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例7.1
1 f(x) = x/2
x为奇数 x为偶数
例7.2
f = {<x, x2> | xR } 平方函数 g = {<x2, x> | xR } 不满足单值性
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§7.4 集合的特征函数
定义7.11 设U是全集, AU, A的特征函数A: U{0,1}, 1, 若xA A(x) = 0, 若xA
性质： ⑴ A(x)≡0 A= ⑵ A(x)≡1 A=U ⑶ A(x)≤B(x) AB ⑷ A(x)=B(x) A=B ⑸ AB(x) = A(x) ·B(x) ⑹ AB(x) = A(x) + B(x) － A(x) ·B(x) ⑺ ~A(x) = 1 － A(x)