经典：离散数学(函数)课件
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<王五,英国>}
ranf {美国、俄罗斯、英国 B
函数与关系
函数的定义域是A, 而不是A 的 某个真子集；
一个 x 只能对应于唯一的 y ；
A B 的子集并不都能成为 A 到 B 的函数。
例
A={a,b,c}, B={0,1} AB={<a,0>,<b,0>,<c,0>,<a,1>,<b,1>,<c,1>}
共有 nf7m=(|B{<||aA|,1)>个,<不b,1同>,函<c数,1>.} BA
函数的定义
所有从A到B的函数的集合记作BA, 表示为 BA = { f | f：A→B }
|A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=nm
A=, 则BA=B={} A≠且B=, 则BA=A=
函数的定义
22
例
对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B
(2) A=[0,1], B=[1/4,1/2]
(1,1/2) f(x)=(x+1)/4
课堂练习
对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B A=[-1, 1), B=[2, 7) (1,7)
(-1,2)
例
对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B
例
x/2 若x为偶数
例 设 f：N→N, 且 f(x)x1 若x为奇数 令A={0,1}, B={2},
f(A) = f( {0,1}) = { f(0), f(1)}={0,2} f 1(B) = f 1({2})={1,4}
函数的定义
设 f：A→B, (1) 若 ranf=B, 则称 f:A→B是满射的 (2) 若 y∈ranf 都存在唯一的 x∈A 使得 f(x)=y, 则称 f:A→B是单射的 (3) 若 f:A→B 既是满射又是单射的, 则称 f:A→B是双射的
定理
令 A 和 B 是有限集，若 A 和 B 的元素个数相同，即| A| = | B|， 则 f: A B是单射的，当且仅当 它是一个满射。
此定理对无限集不一定成立。 例如：f: I I , f(x)=2x 整数映射到偶整数(单射、非满射)
例
对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B
(1) A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3} (2) A=[0,1], B=[1/4,1/2] (3) A=Z, B=N (4) A [π , 3π] , B=[1,1]
|P(AB)|=26, 但只有 23 个子集定义为 X 到 Y 的函数.
一般地f0，= |{A<|a=,m0>,,|<Bb|,=0n>,,由<c,A0>到} B 的任 意函数f1的= 定{<a义,0域>,<是b,A0>,在<c函,1>数} 中每个
恰n 个有元mf 2素=个中{序<的 a偶,0任>,又,何<任b一,1 何>个,<x作c,0为>A}它,可的以像有,故
第八章 函数
8.1 函数的定义与性质
4.1 函数的概念
❖ 函数定义
❖ 函数与关系
❖ 函数相等
❖ 特殊函数: 单射 满射 双射
函数的定义
设 F 为二元关系, 若x∈domF 都存在唯一 的y∈ranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数 对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为F 在 x 的值.
函数的定义
设A, B为集合, 如果 f 为函数, domf=A, ranfB,
则称 f 为从A到B的函数, 记作 f：A→B.
函数的定义
在<x,y> f 中,
定义域
domf A
例：d设omXf ={张A 三、李四、王五}， Y ={值法域国、(函美数国像、的俄集罗合斯)、英国} f ={<r张an三f ,美B国, ><李四,俄罗斯>
x1的素数y个2 数}
y1x 1
0
x2
0
1
0
2
1
3
2
4
2
5
3
6
3
函数的定义
设F, G 为函数, 则 F=G FG∧GF
如果两个函数F 和 G 相等, 一定满足下面两个 条件： (1) domF=domG
(2) x∈domF=domG 都有F(x)=G(x)
函数F(x)=(x21)/(x+1), G(x)=x1不相等, 因为 domFdomG.
(3) A=Z, B=N
(3) 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：
Z： 0 1 1 2 2 3 3 …
↓↓↓↓ ↓ ↓↓
N： 0 1 2 3 4 5 6 …
这种对应所表示的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数是：
f： Z N ,f(x) 2 2 x x1
0 x0
函数的定义
(1)设 f:A→B, 如果存在c∈B使得对所有 的 x∈A都有 f(x)=c, 则称 f:A→B是常函 数. (2对) 称所有A上的的x∈恒A等都关有系IAI(Ax为)=Ax.上的恒等函数, (3) 设<A, ≼>, <B, ≼>为偏序集，f:A→B， 如f对≺也(xf果任可(1x)≼2对意以),f任的定则(x2意义x称)1,,的单则fx2为调称∈x1严递,Af x,格为减2x∈1单单和≺A调x调严,2,x递递格就1≺增增单有x的2的调f,(就.x；递类1有)如减似果的的
x —自变元 y —在F 作用下 x 的像
判断下列关系哪个构成函数
1 a )f { x 1 ,x 2 x 1 ,x 2 N ,且 x 1 x 2 1}0 1 b )f { y 1 ,y 2 y 1 ,y 2 R y 1 y 2 2 }
1 c) f { x1, x2 x1, x2 N x2为不大于
x1x2 (x1, x2 A x1 x2 f (x1) f (x2 ))
例
x1
y1
x2
y2
x3
y3
映射（函数） y 4
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
满射
x1
y1
x2
y2
x3
y3
单 射 y4
x1
y1
x2
y2
x3
y3
双(单、满)射
例
判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的? (1) f:R→R, f(x) = x2+2x1 (2) f:Z+→R, f(x) = lnx, Z+为正整数集 (3) f:R→Z, f(x) = x (4) f:R→R, f(x)=2x+1 (5) f:R+→R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集.
设函数 f：A→B, A1A, B1B (1) A特1在别的f 下, f的(A像)称f为(A函1) 数= {的f(像x) | x∈A1} (2) Bf 1在1(Bf1)下={的x|x完∈全A原∧像f(x)∈B1} 注意： • 函数值与像的区别：函数值 f(x)∈B, 像 f(A1)B • 一般说来 f 1(f(A1))≠A1, 但是A1f 1(f(A1))
ranf {美国、俄罗斯、英国 B
函数与关系
函数的定义域是A, 而不是A 的 某个真子集；
一个 x 只能对应于唯一的 y ；
A B 的子集并不都能成为 A 到 B 的函数。
例
A={a,b,c}, B={0,1} AB={<a,0>,<b,0>,<c,0>,<a,1>,<b,1>,<c,1>}
共有 nf7m=(|B{<||aA|,1)>个,<不b,1同>,函<c数,1>.} BA
函数的定义
所有从A到B的函数的集合记作BA, 表示为 BA = { f | f：A→B }
|A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=nm
A=, 则BA=B={} A≠且B=, 则BA=A=
函数的定义
22
例
对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B
(2) A=[0,1], B=[1/4,1/2]
(1,1/2) f(x)=(x+1)/4
课堂练习
对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B A=[-1, 1), B=[2, 7) (1,7)
(-1,2)
例
对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B
例
x/2 若x为偶数
例 设 f：N→N, 且 f(x)x1 若x为奇数 令A={0,1}, B={2},
f(A) = f( {0,1}) = { f(0), f(1)}={0,2} f 1(B) = f 1({2})={1,4}
函数的定义
设 f：A→B, (1) 若 ranf=B, 则称 f:A→B是满射的 (2) 若 y∈ranf 都存在唯一的 x∈A 使得 f(x)=y, 则称 f:A→B是单射的 (3) 若 f:A→B 既是满射又是单射的, 则称 f:A→B是双射的
定理
令 A 和 B 是有限集，若 A 和 B 的元素个数相同，即| A| = | B|， 则 f: A B是单射的，当且仅当 它是一个满射。
此定理对无限集不一定成立。 例如：f: I I , f(x)=2x 整数映射到偶整数(单射、非满射)
例
对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B
(1) A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3} (2) A=[0,1], B=[1/4,1/2] (3) A=Z, B=N (4) A [π , 3π] , B=[1,1]
|P(AB)|=26, 但只有 23 个子集定义为 X 到 Y 的函数.
一般地f0，= |{A<|a=,m0>,,|<Bb|,=0n>,,由<c,A0>到} B 的任 意函数f1的= 定{<a义,0域>,<是b,A0>,在<c函,1>数} 中每个
恰n 个有元mf 2素=个中{序<的 a偶,0任>,又,何<任b一,1 何>个,<x作c,0为>A}它,可的以像有,故
第八章 函数
8.1 函数的定义与性质
4.1 函数的概念
❖ 函数定义
❖ 函数与关系
❖ 函数相等
❖ 特殊函数: 单射 满射 双射
函数的定义
设 F 为二元关系, 若x∈domF 都存在唯一 的y∈ranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数 对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为F 在 x 的值.
函数的定义
设A, B为集合, 如果 f 为函数, domf=A, ranfB,
则称 f 为从A到B的函数, 记作 f：A→B.
函数的定义
在<x,y> f 中,
定义域
domf A
例：d设omXf ={张A 三、李四、王五}， Y ={值法域国、(函美数国像、的俄集罗合斯)、英国} f ={<r张an三f ,美B国, ><李四,俄罗斯>
x1的素数y个2 数}
y1x 1
0
x2
0
1
0
2
1
3
2
4
2
5
3
6
3
函数的定义
设F, G 为函数, 则 F=G FG∧GF
如果两个函数F 和 G 相等, 一定满足下面两个 条件： (1) domF=domG
(2) x∈domF=domG 都有F(x)=G(x)
函数F(x)=(x21)/(x+1), G(x)=x1不相等, 因为 domFdomG.
(3) A=Z, B=N
(3) 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：
Z： 0 1 1 2 2 3 3 …
↓↓↓↓ ↓ ↓↓
N： 0 1 2 3 4 5 6 …
这种对应所表示的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数是：
f： Z N ,f(x) 2 2 x x1
0 x0
函数的定义
(1)设 f:A→B, 如果存在c∈B使得对所有 的 x∈A都有 f(x)=c, 则称 f:A→B是常函 数. (2对) 称所有A上的的x∈恒A等都关有系IAI(Ax为)=Ax.上的恒等函数, (3) 设<A, ≼>, <B, ≼>为偏序集，f:A→B， 如f对≺也(xf果任可(1x)≼2对意以),f任的定则(x2意义x称)1,,的单则fx2为调称∈x1严递,Af x,格为减2x∈1单单和≺A调x调严,2,x递递格就1≺增增单有x的2的调f,(就.x；递类1有)如减似果的的
x —自变元 y —在F 作用下 x 的像
判断下列关系哪个构成函数
1 a )f { x 1 ,x 2 x 1 ,x 2 N ,且 x 1 x 2 1}0 1 b )f { y 1 ,y 2 y 1 ,y 2 R y 1 y 2 2 }
1 c) f { x1, x2 x1, x2 N x2为不大于
x1x2 (x1, x2 A x1 x2 f (x1) f (x2 ))
例
x1
y1
x2
y2
x3
y3
映射（函数） y 4
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
满射
x1
y1
x2
y2
x3
y3
单 射 y4
x1
y1
x2
y2
x3
y3
双(单、满)射
例
判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的? (1) f:R→R, f(x) = x2+2x1 (2) f:Z+→R, f(x) = lnx, Z+为正整数集 (3) f:R→Z, f(x) = x (4) f:R→R, f(x)=2x+1 (5) f:R+→R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集.
设函数 f：A→B, A1A, B1B (1) A特1在别的f 下, f的(A像)称f为(A函1) 数= {的f(像x) | x∈A1} (2) Bf 1在1(Bf1)下={的x|x完∈全A原∧像f(x)∈B1} 注意： • 函数值与像的区别：函数值 f(x)∈B, 像 f(A1)B • 一般说来 f 1(f(A1))≠A1, 但是A1f 1(f(A1))