三角形最值问题典型题

P为边长等于1的正△ ABC内任意一点，设L=PA+PB+PC求L的最值

几何最值问题归结为以下三个定理

①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;

②两点间线段最短；

③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

分析：求最值则涉及最小值以及最大值•

先求最小值，如下

一、射影法

过点P分别作PD丄BC于D,PE丄AC于E,PF丄AB于F. 过点A作AD丄BC于D：过B作BE'丄AC 过C作CF'丄AB AP+PD>AD ①

BP+PE>BE ②

CP+PF>CF ③

①+②+③,得，

AP+BP+CP+PD+PE+PAD +BE ' + CF ' = —a

即AP+BP+CP+a —a ••• AP+BP+CP _a

旋转法

顺时针旋转△ BPC60,可得△ PBE为等边三角形.得要使PA+PB+PC=AP+PE+最小,只要AP,

PE EF在一条直线上，

即如上图：/ ABF'120°,可得最小L=. a；

面积法

作如图所示辅助线，则DEF的面积为

又•••-ED?PB

-FD?PC

-EF?PA

-?6a?(PA+PB+PC)

•••最小L=」」a

下面求其最大值，这要考虑到三角形的三边关系，如下图

D，F.

由于/ APD>Z AFP=Z ADP

推岀AD> AP ①

又••• BD+D> BP ②

和PF+FC> PC ③又••• DF=AF ④

由①②③④可得：最大L V 2;

相关知识链接：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。即

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