马尔科夫相关性质、马尔科夫随机场详解分解

马尔科夫随机场
马尔科夫随机场包含两层意思 马尔科夫性质 随机场
随机场

当给每一个位置中按照某种分布随机赋予相空间的一 个值之后，其全体就叫做随机场。其中有两个概念： 位置（site），相空间（phase space）。我们可以拿 种地来打个比方。“位置”好比是一亩亩农田；“相 空间”好比是要种的各种庄稼。我们可以给不同的地 种上不同的庄稼，这就好比给随机场的每个“位置”， 赋予相空间里不同的值。所以，随机场就好比是在哪 块地里种什么庄稼的事情。
马尔科夫预测


例如：A,B,C三个厂生产的电脑上公司在某地区市场上的 占有率分别为0.3， 0.2 ，0.5。根据市场调查得知、顾客 的流动情况如下： A B C A B C 0.4 0.6 0.6 0.3 0.3 0.1 0.3 0.1 0.3


市场的初始状态为S(0)=(0.3,0.2,0.5) 转移概率P为 0.4 0.3 0.3 P = [ 0.6 0.3 0.1 ] 0.6 0.1 0.3

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荷花池里有N张荷叶，在时刻Tn时，Xn为时刻Tn青蛙所处的状态。 P(Xn+1=j/Xn=i)=Pi,j , 其中，i,j=1,2,…N. 表示在Tn时刻青蛙在 第i张荷叶上。在下一个时刻Tn+1跳到第j张荷叶上的可能性，又 称为从状态i经一步转移到j的概率，简称为一步转移概率。 将这些 Pi,j依序排列起来，就构成一个矩阵，叫做转移概率矩阵 。 P11 P12 ... P1n P = [ P21 P22 ... P2n ] ... Pn1 Pn2 ... Pnn
= { 1 ,2 ， L } 表 示 状 态 空 间 ， 即 随 机 场 中 的 相 空 间
图像分割问题要求解的是满足最大后验概率准则的对每 个像素的分类标号，我们统一称为标号场，记为X。 X ( x s 1, x s 2 , ..., x s M * N )
S(1)=S(0)*P=(0.54, 0.20, 0.26),这个月A,B,C电脑 的市场占有率为54%,20%,26% S(2)=S(1)*p=S(0)*P^2=(0.492, 0.248, 0.26),下个 月A,B,C电脑的市场占有率为49.2%，24.8%，26%

隐马尔科夫过程


与马尔科夫相比，隐马尔科 夫模型则是双重随机过程， 不仅状态转移之间是个随机 事件，状态和输出之间也是 一个随机过程
0 n n 1 n
X n,n T为 马 尔 科 夫 过 程 ， 该 随 机 过 程 的 统 计 特 性
完全由条件概率所决定

例如：假定天气是马尔科夫的，其意思 就是我们假设今天的天气仅仅与昨天的 天气存在概率上的关联，而与前天及前 天以前的天气没有关系。其它如传染病 和谣言的传播规律，都是马尔科夫的。

该图上面那行是一个马尔科夫转移 过程，X1， X2,…… XT状态称为隐藏 状态，下面这一行则是输出，即我 们可以观察到的值，称为观察状态 ，观察状态的集合表示为 O={O1,O2,O3,…OM}。
隐马尔科夫也比马尔科夫多了一个 假设，即输出仅与当前状态有关， 可以用如下公式表示： P(O1,O2,…,Ot|S1,S2,…,St)=P(O1|S1 )*P(O2|S2)*...*P(Ot|St) O1,O2,…,Ot为从时刻1到时刻t的观 测状态序列，S1,S2,…,St则为隐藏 状态序列。
马尔科夫与图像处理
马尔科夫


马尔科夫随机过程就是，下一个时间点的状态只与当 前的状态有关系，而与以前的状态没有关系，即未来 的状态决定于现在而不决定于过去。 其未来由现在决定的程度，使得我们关于过去的知识 丝毫不影响这种决定性。这种在已知 “现在”的条件 下，“未来”与“过去”彼此独立的特性就被称为马 尔科夫性，具有这种性质的随机过程就叫做马尔科夫 过程






例如：我在不同天气状态下去做一些事情的概率不同，（观察状态）天 气状态集合为{下雨，阴天，晴天}，（隐藏状态）事情集合为{宅着，自 习，游玩}。假如我们已经有了转移概率和输出概率，即P(天气A|天气B) 和P(事情a|天气A)的概率都已知道，那么我们可以解决： 假如一周内的天气变化是 下雨->晴天->阴天->下雨->阴天->晴天->阴 天，那么我这一周 自习->宅着->游玩->自习->游玩->宅着->自习的概 率。 假如一周内的天气变化是 下雨->晴天->阴天->下雨->阴天->晴天->阴 天，那我们这一周最有可能的做事序列。 这些可以通过隐马尔科夫模型得到结果。
马尔科夫随机场
同样拿种地打比方，如果任何一块地里种的庄稼 的种类仅仅与它邻近的地里种的庄稼的种类有关，与 其它地方的庄稼的种类无关，那么这些地里种的庄稼 的集合，就是一个马尔可夫随机场。
马尔科夫随机场与图像的关系


一维马尔科夫随机过程很好的描述随机过程中 某点的状态只与该点之前的一个点的状态有关 系。 对于定义在二维空间上的图像，也可以将它看 为一个二维随机场。那么就存在二维马尔科夫 随机场,将时间上的马尔科夫性转换到空间上， 考虑空间的关系,二维MRF的平面网格结构可以 较好的表现图像中像素之间的空间相关性。
马尔科夫过程
设有随机过程 i 0 , i1 , P{ X 就称
n 1
X n,n T ,若 对 于 任 意 正 整 数 n T 和 任 意 的
i0 , ,X in } P { X in 1 | X in }
, in 1 I , 条 件 概 率 满 足 in 1 | X
马尔科夫图像模型

MRF 将图像模拟成一个随机变量组成的 网格，其中的每一个变量对明确的对其 自身之外的随机变量组成的邻近基团具 有依赖性。该模型考虑每个像元关于它 的邻近像元的条件分布，有效地描述图 像的局部统计特性。
基本定义
设 S { (i, j ) | 1 i M ,1 j N }表 示 M N 位 置 的 有 限 格 点 集 即随机场中的位置