线性规划的数学模型和基本性质

1．线性规划介绍
美国科学院院士DANTZIG（丹齐克），1948年在 研究美国空军资源的优化配置时提出线性规划及其通用 解法 “单纯形法”。被称为线性规划之父。
线性规划之父的Dantzig (丹齐克)。据说，一次上课，Dantzig迟到 了，仰头看去，黑板上留了几个几个题目，他就抄了一下，回家后埋头 苦做。几个星期之后，疲惫的去找老师说，这件事情真的对不起，作业 好像太难了，我所以现在才交，言下很是 惭愧。几天之后，他的老师 就把他召了过去，兴奋的告诉他说他太兴奋了。Dantzig很不解 , 后来 才知道原来黑板上的题目根本就不是什么家庭作业，而是老师说的本领 域的未解决的问题，他给出的那个解法也就是单纯形法。这个方法是上 个世纪前十位的算法。
s.t.
2．线性规划数学模型
线性规划问题应用 市场营销(广告预算和媒介选择，竞争性定价，新产品 开发，制定销售计划) 生产计划制定(合理下料，配料，“生产计划、库存、 劳力综合”) 库存管理(合理物资库存量，停车场大小，设备容量) 运输问题 财政、会计(预算，贷款，成本分析，投资，证券管理) 人事(人员分配，人才评价，工资和奖金的确定) 设备管理(维修计划，设备更新) 城市管理(供水，污水管理，服务系统设计、运用)
1．线性规划介绍
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
B
C D
x3B
2．线性规划数学模型
解：xik( i =1,2,…,5; k =A,B,C,D)为第i年初投资到第k个项 目的资金数。 x1A+x1D=10 x2A+x2C+x2D= 1.11 x1D x2C 3 x3A +x3B+x3D =1.15 x1A+ 1.11 x2D x3B 4 x4A +x4D =1.15 x2A+ 1.11 x3D x5D =1.15 x3A+ 1.11 x4D xik 0 MaxZ= 1.15x4A +1.40 x2C+1.25x3B+1.11x5D
线性规划及单纯形法
1．线性规划介绍 2．线性规划数学模型 3．线性规划标准形式 4．线性规划的图解法 5．线性规划基本概念 6．单纯形法 7．应用举例
1．线性规划介绍
历史悠久，理论成熟，应用广泛 运筹学的最基本的方法之一，网络规划、整 数规划、目标规划和多目标规划都是以线性规 划为基础的。 解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出
计算机
50约束
100变量 3000000变量
30000约束
1．线性规划介绍
从1964年诺贝尔奖设经济学奖后，到1992年28年间的32 名获奖者中有13人(40%)从事过与线性规划有关的研究工作， 其中著名的有Simon，Samullson，Leontief，Arrow，Miller等。
保罗-萨缪尔逊（PAUL A SAMUELSON ）, 他发展了数理和动态经 济理论，将经济科学提高到新的水平。他的研究涉及经济学的全部领域。 于1970年获得诺贝尔经济学奖。 华西里· 列昂惕夫（WASSILY LEONTIEF） ，美国人，他发展了投 入产出方法，该方法在许多重要的经济问题中得到运用。曾获1973年诺 贝尔经济科学奖。 肯尼斯-J-阿罗（KENNETH J. ARROW）,美国人，因与约翰-希克 斯（JOHN R. HICKS）共同深入研究了经济均衡理论和福利理论获得 1972年诺贝尔经济学奖。 牟顿-米勒（MERTON M. MILLER）,1923-2000, 美国人,由于他在 金融经济学方面做出了开创性工作，于1990年获得诺贝尔经济奖。
的费用最小或获得的收益最大。
1．线性规划介绍
线性规划理论的发展：
1939年前苏联康托洛维奇（KOHTOPOBUZ） 《生产组织与计划中的 数学方法》提出 “解乘数法”。
列奥尼德· 康托罗维奇，前苏联人，由于在1939年创立 了享誉全球的线形规划要点，对资源最优分配理论做 出了贡献，而获得诺贝尔经济学奖。
x1 ， x2 0
2．线性规划数学模型
练习2 混合配料问题 原料 A 1 2 3 4 6 1 B 1 1 7 Ｃ 0 2 1 每单位成本 2 5 6
4
每单位添
2
5
3
8
加剂中维生 12 素最低含量
14
8
求：最低成本的原料混合方案？
2．线性规划数学模型
解：设每单位添加剂中原料i的用量为xi(i =1,2,3,4) minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4 4x1 + 6x2 + x3+2x4 12 s.t. x1 + x2 +7x3+5x4 14 2x2 + x3+3x4 8
n个变量
价值系 数
… … …
am1x1+ am2x2+…+ amnxn (=, )bm xj 0(j=1,…,n)
技术系数或 工艺系数
第i 种资 源的拥有 量
19
2．线性规划数学模型
线性规划的简写式
max(min) z c j x j
j 1
n
aij x j bi (i 1,2, , m) st. j 1 x j 0( j 1,2, , n )
解：用变量x1和x2分别表示美佳公司制造家电I和II的数量。 max z 2 x1 x2 目标函数
5 x2 15 6 x 2 x 24 2 s.t. 1 x1 x2 5 x1 , x2 0
约束条件
2．线性规划数学模型
例2
月份 1 2 3 4
所需仓库面积 合同租借期限
x11 x12 x13 x14 15 x12 x13 x14 x21 x22 x23 10 s.t. x13 x14 x22 x23 x31 x32 20 x x x x 12 23 32 41 14 xij 0(i 1...4; j 1...4)
1．线性规划介绍
1960年，“最佳资源利用的经济计算” 康托洛维奇 和库伯曼斯(Koopmans) 。两人因对资源最优分配理论的 贡献而获1975年诺贝尔经济学奖
佳林· 库普曼斯，美国人，他将数理统计学成功运用 于经济计量学，对资源最优分配理论做出了贡献。
1．线性规划介绍
1961年，查恩斯与库伯提出了目标规划，艾吉利 提出了用优先因子来处理多目标问题。 20世纪70年代，斯．姆．李与杰斯开莱尼应用计 算机处理目标规划问题。
b1 b2 b b m
2．线性规划数学模型
线性规划的矩阵表示式
max(min) z CX
AX ( , )b st. X 0
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am 2
a1n ... a 2 n ... ... a mn ...
2．线性规划数学模型
练习1 生产计划问题 A B 备用资源
煤
劳动日 仓库 利润
1
3 0 40
2
2 2 50
30
60 24
求：最大利润的生产计划。
2．线性规划数学模型
解:设产品A, B产量分别为变量x1 ， x2 max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 30
s.t.
3x1 + 2x2 60 2x2 24
月份 1 2 3 4
所需仓库面积
合同租借期限 合同期内的租费
15
1个月 2800
10
2个月 4500
20
3个月 6000
12
4个月 7300
2．线性规划数学模型
用数学语言描述 例1
项目 设备A（h） 设备B（h） 调试工序（h） 利润（元） I 0 6 1 2 II 5 2 1 1 每天可用能力 15 24 5
xi 0 (i =1,…,4)
2．线性规划数学模型
线性规划模型特点 决策变量：向量(x1… xn)T 决策人要考虑和控制的因素。非负 约束条件：线性等式或不等式 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极大或极小
2．线性规划数学模型
关于线性的界定
如果规划问题的数学模型中，决策变量的取值可以
合同期内的租费
15 1个月
2800
10 2个月
4500
20 3个月
6000
12 4个月
7300
解：设变量xij表示捷运公司在第i(i＝1．…，4)个月初签订的租 借期为j〔j＝1，…，4)个月的仓库面积的合同(单位为100m2)。 目标函数 min z 2800( x11 x21 x31 x41) 4500( x12 x22 x32 ) 6000( x13 x23 ) 7300 x14 约束条件
仓库\工厂
1 2 3 需求
1
2 2 3 40
2
1 2 4 15
3
3 4 2 35
库存
50 30 10
2．线性规划数学模型
解：设xij为i 仓库运到 j工厂的原棉数量(i =1,2,3 j =1,2,3)
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 +x12+x13 x21+x22+x23 x31+x32+x33 50 30 10 40
n
2．线性规划数学模型
线性规划的向量表示式
max(min) z CX
n p j x j ( , )b st. j 1 X 0
C (c1 , c2 , ,..., cn )
x1 x2 X x n
a1 j a2 j Pj a mj
ห้องสมุดไป่ตู้
st.
x11 +x21+x31 =
x12 +x22+x32 =
x13 +x23+x33 = xij 0
15
35
2．线性规划数学模型
练习4 连续投资10万元 A：从第1年到第4年每年初投资，次年末回收本利1.15； B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25，最大投资4万元； C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40，最大投资3万元； D：每年初投资，每年末回收本利1.11。 求：使5年末总资本最大的投资方案。 分析： A 1 x1A 2 x2A x2C x1D x2D x3D x4D x5D 3 x3A 4 x4A 5
是连续的，目标函数是决策变量的线性函数，约束条件 是含决策变量的线性等式或不等式，则该类规划问题的
数学模型称为线性规划的数学模型。
实际问题中线性的含义：
一是严格的比例性 二是可叠加性
2．线性规划数学模型
线性规划的一般式
max(min)Z=c1x1+ c2x2+…+cnxn
a11x1+ a12x2+…+ a1nxn (=, )b1 a21x1+ a22x2+…+ a2nxn (=, )b2 s.t.
2．线性规划数学模型
隐含的假设
比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决 策变量改变量成正比；
可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独 立于其它变量； 连续性：每个决策变量取连续值； 确定性：线性规划中的参数aij , bi , ci为确定值。
2．线性规划数学模型
练习3 运输问题 工厂需要的原棉存放在三个仓库中，现将原棉运往工 厂以满足工厂生产的需求。已知原棉运到各个工厂的单位 运费如表所示。问使总运费最小的运输方案？
项目 I II 每天可用能力
设备A（h） 设备B（h） 调试工序（h）
利润（元）
0 6 1
2
5 2 1
1
15 24 5
2．线性规划数学模型
例2 捷运公司拟在下一年度的1-4月的4个月内需租用仓库堆 放物资。已知各月份所需仓库面积数列见下表。仓库租借费用随 合同期定，期限越长折扣越大，具体数字见下表。租借仓库的合 同每月初都可办理，每份台同具体现定租用面积数和期限。因此 该厂可根据需要，在任何一个月初办理租借台同。每次办理时可 签一份，也可签若干份租用面积和租借期限不同的合同，试确定 该公司签订租借合同的最优决策，目的是使所付租借费用最小。