实验29混沌现象研究
动力系统中的混沌现象研究
动力系统中的混沌现象研究动力系统是涉及物体或系统运动的力学领域，而混沌现象则是指在一些简单的动力系统中出现的看似随机、无序的行为。
混沌现象的研究对于我们理解自然界的复杂性以及应用于科学、工程等领域具有重要意义。
本文将对动力系统中的混沌现象进行研究和讨论。
一、混沌现象的背景和定义混沌现象最早在20世纪60年代由Edward Lorenz研究气象学时发现。
他的研究发现，即使是在一个简单的天气系统中，微小差异的初始条件也可能导致系统的完全不同行为，这就是“蝴蝶效应”的提出。
混沌现象被定义为一个动力系统在某种程度上高度敏感于初始条件的现象，即使微小变化也能产生巨大的影响，导致不可预测的结果。
这一现象使得长期的天气预测变得困难，并且在其他领域也具有深远的影响。
二、混沌现象的数学模型为了研究混沌现象，数学家引入了一系列的混沌模型，其中最著名和最广泛研究的是洛伦兹系统。
洛伦兹系统由一组非线性微分方程组成，描述了流体力学中的对流现象。
这个系统的特点是对于初始条件高度敏感，产生了混沌行为。
混沌现象的数学模型可以通过图像、时间序列和相图等方式进行分析。
图像是通过绘制系统动力学随时间的变化而得到的，可以展示系统的特殊性质和周期性行为。
时间序列则是将系统状态的演化按时间顺序排列而得到的，可以通过频域分析等方法获取系统的频谱特征。
相图则是将系统的状态用相空间中的点表示，展示了系统的相空间流动性质。
三、混沌现象在科学和工程中的应用混沌现象的研究不仅仅是理论学科和数学领域中的一项重要研究，还具有广泛的应用价值。
在科学研究中，混沌现象的理解有助于我们对自然界中复杂系统的认识。
例如，在气象学中，混沌现象的研究可以提高天气预测的准确性，有助于人们更好地了解气候变化。
在工程领域，混沌现象的应用也十分广泛。
例如，混沌现象可以用于增强通信系统的安全性和可靠性。
混沌加密技术利用了系统非线性和高度敏感的特性，使得加密通信更具保密性。
此外，混沌现象在信号处理、图像识别、电力系统和控制系统等领域也得到了广泛的应用。
混沌现象研究
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B
参考文献 [1] 吴景堂等，非线性电路原理，国防工业出版社（1990） 。 [2] T. Matsumoto et al.， The Double Scroll (Part I)，IEEE Transaction on Circuits and Systems，Vol. CAS-32（1985） ，798-804。 [3] 郝柏林，从抛物线谈起-混沌动力学引论，上海科教出版社（1993） ，1-35。 [4] Bilotta E, Pantano P, Stranges F. A gallery of Chua attractors : Part I，International Journal of Bifurcation and Chaos. 2007 .17(1):l-60. [5] 王珂,田真,陆申龙,非线性电路混沌现象实验装置的研究[J]. 实验室研究与探索 1999 年 04 期 [6] 曹惠贤，李蓉，普通物理实验教程，北京师范大学出版社，2007,p302-309
2
称为双漩结构（double scroll） 。具有双漩结构的吸引子称为双漩吸引子。本次实验研究蔡氏电路从 稳态进入混沌状态的过程，即从单周期振荡过度到双漩吸引子的过程。只要改变电路中的 G、L、 C 其中一个元件的参数，电路即可通过倍周期分岔等过程进入双漩吸引子的混沌态，它是蔡氏电 路进入混沌状态的主要判据。蔡氏电路的详细现象请看本实验的参考资料中列出的文章。 5.20.3 实验仪器与课件 1．双路稳压恒流电源（混沌电路中放大器电源）DH1718D-2，0-30V，0-2A 2．双踪示波器 3．非线性混沌电路板及元件，电路参数如下：L=22mH；C1=100nF；C2=10nF；1/G=1.5-2kΩ； RiL：0-220Ω，测量 iL 的采样电位器。 *4．信号发生器 DF1643，0-1MHz 5．实验室课件：①Chaos 资料；②混沌：抛物线映射和分岔；③混沌与非线性动力学 5.20.4 实验内容 1．练习使用稳压电源、示波器、数字表、插件版等仪器；学习实验室混沌课件，熟悉混沌的 相关知识。 2 ．非线性电阻伏安特性的测量（外接电源 mA 外接 双运放 ±15V 不能互换，否则会烧组件） 。用两块万用表分 双路 蔡氏电路 V 别测量电压和电流，电表量程根据实验数据自行确 电源 模块 定。绘电路图并标出测量时电表极性。自拟表格记 非线性电阻 RN 录实验参数，要求实验数据分布均匀合理。课后绘 制非线性电阻的伏安特性曲线，各段数据分别进行 图 5.20.5 测量伏安特性的电路图 直线拟合。 3． 实验电路按图 5.20.6 接线，RiL 调零后， 缓慢调节 G 电位器， 观察 v c1 - v c2 的相图和波形 （x-y 方式、 y-t 方式） ， 记录产生单周期 P、 2 倍周期 2P、 4 倍周期 4P……混沌……3 周期 3P……单漩…… 双漩时 G 的数值和简单波形图。 G 4*．研究采样电阻 RiL 对相图结构的影响。 C 5*．改变 L 的参数，也可产生双漩吸引子。由于单独改 变 L 比较困难， 可采用包含电感互感的混沌电路。 参见附录。
混沌原理实验报告
混沌原理实验报告混沌原理实验报告引言：在科学研究中，混沌理论是一门富有挑战性和创新性的领域。
混沌现象的出现使得传统的线性系统理论面临巨大的挑战，而混沌原理的研究则为我们揭示了一种新的系统行为模式。
本实验旨在通过实际操作验证混沌原理，并探索混沌系统的特性和应用。
实验步骤：1. 实验材料准备本实验所需材料包括一台计算机、混沌产生器软件、示波器和数据采集设备。
2. 混沌产生器的设置将计算机连接到示波器和数据采集设备，并打开混沌产生器软件。
根据实验需要，选择合适的混沌产生算法和参数设置。
3. 数据采集与分析通过数据采集设备记录混沌产生器输出的波形，并将数据导入计算机进行进一步分析。
使用适当的数学工具和软件，绘制混沌波形的相图和频谱图，并计算混沌系统的Lyapunov指数。
实验结果与讨论：通过实验数据的分析，我们观察到了混沌系统的典型特征。
首先，混沌波形呈现出无规律的起伏和快速的变化，与传统的周期性波形有明显的区别。
其次，混沌系统的相图呈现出复杂的结构，存在着多个轨迹交织和分叉的现象。
最后，通过计算Lyapunov指数，我们发现混沌系统具有高度的灵敏性和不可预测性。
混沌系统的这些特性使得其在许多领域都具有广泛的应用价值。
在信息安全领域，混沌加密算法可以提供更高的保密性和抗干扰能力，用于保护敏感信息的传输和存储。
在通信系统中，混沌调制技术可以增强信号的传输容量和抗干扰性能，提高通信质量。
此外，混沌系统还可以应用于天气预测、金融市场分析和生物医学工程等领域，为我们提供更准确的预测和分析手段。
然而，混沌系统的复杂性也给其应用带来了一定的挑战。
混沌系统的参数选择和控制是一个关键问题，不恰当的参数设置可能导致系统失去混沌特性或者陷入混沌的不稳定状态。
此外，混沌系统的分析和建模也是一个复杂且困难的任务，需要借助于先进的数学工具和计算机技术。
结论：通过本次实验，我们验证了混沌原理的存在和特性，并进一步探索了混沌系统的应用价值。
学生混沌原理实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解混沌现象的基本特征。
2. 掌握混沌系统的基本理论和方法。
3. 通过实验验证混沌现象的存在。
4. 培养学生的科学实验能力和分析问题能力。
二、实验原理混沌现象是自然界、人类社会和科学技术中普遍存在的一种复杂现象。
混沌系统具有以下基本特征：对初始条件的敏感依赖性、长期行为的不可预测性、分岔和混沌吸引子等。
本实验通过计算机模拟混沌现象，验证混沌系统的基本特征。
三、实验设备与材料1. 计算机2. 混沌原理实验软件3. 数据记录表格四、实验步骤1. 打开混沌原理实验软件，选择合适的混沌模型（如洛伦兹系统、双摆系统等）。
2. 设置初始参数，如初始速度、初始位置等。
3. 运行实验，观察混沌现象的表现。
4. 记录实验数据，包括时间、初始参数、混沌现象等。
5. 分析实验数据，验证混沌现象的基本特征。
五、实验结果与分析1. 实验结果显示，混沌现象在洛伦兹系统中表现得尤为明显。
当系统参数达到一定范围时，系统表现出混沌行为，如分岔和混沌吸引子等。
2. 通过对实验数据的分析，得出以下结论：（1）混沌现象对初始条件具有敏感依赖性。
在实验中，当初始参数发生微小变化时，系统行为会发生显著变化，从而验证了混沌现象的敏感性。
（2）混沌现象具有长期行为的不可预测性。
在实验中，尽管系统参数保持不变，但随着时间的推移，系统行为逐渐变得复杂，最终进入混沌状态，验证了混沌现象的不可预测性。
（3）混沌现象存在分岔现象。
在实验中，当系统参数逐渐变化时，系统状态会经历从有序到混沌的过程，验证了混沌现象的分岔特性。
（4）混沌现象具有混沌吸引子。
在实验中，系统最终会收敛到一个稳定的混沌吸引子，验证了混沌现象的吸引子特性。
六、实验结论1. 混沌现象是自然界、人类社会和科学技术中普遍存在的一种复杂现象，具有对初始条件的敏感依赖性、长期行为的不可预测性、分岔和混沌吸引子等基本特征。
2. 通过实验验证了混沌现象的存在，有助于我们更好地理解混沌现象的本质。
混沌波形的实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解混沌现象的基本概念和特性。
2. 掌握混沌波形的产生机制。
3. 通过实验观察和分析混沌波形的动力学行为。
4. 研究混沌波形在不同参数条件下的变化规律。
二、实验原理混沌现象是自然界和工程领域中普遍存在的一种非线性动力学现象。
它表现为系统在确定性条件下呈现出复杂的、不可预测的行为。
混沌波形的产生通常与非线性动力学方程有关，其中典型的混沌系统包括洛伦茨系统、蔡氏电路等。
本实验采用蔡氏电路作为混沌波形的产生模型。
蔡氏电路由三个非线性元件（电阻、电容和运算放大器）和一个线性元件（电阻）组成。
通过改变电路中的电阻和电容值，可以调节电路的参数，从而产生混沌波形。
三、实验仪器与设备1. 蔡氏电路实验板2. 数字示波器3. 函数信号发生器4. 万用表5. 计算机及数据采集软件四、实验步骤1. 搭建蔡氏电路：根据实验板上的电路图，将电阻、电容和运算放大器等元件按照电路图连接好。
2. 调节电路参数：使用万用表测量电路中各个元件的参数值，并记录下来。
3. 输入信号：使用函数信号发生器输出正弦波信号，作为蔡氏电路的输入信号。
4. 观察混沌波形：打开数字示波器，观察电路输出端的混沌波形。
调整电路参数，观察混沌波形的变化规律。
5. 数据采集：使用数据采集软件，记录混沌波形的时域和频域特性。
6. 分析结果：对采集到的数据进行处理和分析，研究混沌波形的动力学行为。
五、实验结果与分析1. 混沌波形的产生：当电路参数满足一定条件时，蔡氏电路可以产生混沌波形。
混沌波形具有以下特点：- 复杂性：混沌波形呈现出复杂的非线性结构，难以用简单的数学公式描述。
- 敏感性：混沌波形对初始条件和参数变化非常敏感，微小变化可能导致完全不同的波形。
- 自相似性：混沌波形具有自相似结构，局部结构类似于整体。
2. 混沌波形的参数调节：通过调节电路参数，可以改变混沌波形的特性。
例如，改变电容值可以改变混沌波形的周期和频率；改变电阻值可以改变混沌波形的幅度和形状。
经典力学中的混沌现象研究
经典力学中的混沌现象研究混沌现象是指在经典力学中的一类非线性动力学系统中展现出的高度敏感依赖于初始条件的现象。
它起初被误认为是系统运动的不可预测性，但随着对混沌现象的深入研究，科学家们逐渐认识到混沌是一种具有内在规律性的现象。
经典力学中的混沌现象研究对于科学的发展和理论的构建具有重要的意义。
一、混沌现象的起源混沌现象的起源可以追溯到1887年霍普夫提出的迭代逃逸现象。
他在研究一个简单的力学系统时发现，该系统在经过多次迭代后产生了无规则的运动。
这一发现引起了科学家们的兴趣，随后，洛伦兹在20世纪60年代提出了著名的洛伦兹方程，揭示了混沌现象的基本特征。
二、混沌现象的基本特征混沌现象的基本特征包括：敏感依赖于初始条件、确定性、自组织、非周期性等。
敏感依赖于初始条件是混沌现象最引人注目的特征，它意味着微小的初始条件变化会导致系统演化出完全不同的轨迹。
确定性表示混沌现象的演化过程是可以通过确定的数学方程描述和预测的。
三、混沌现象的数学模型混沌现象可以通过一系列的数学模型来描述。
其中最经典的混沌模型之一是洛伦兹方程。
洛伦兹方程是一个三维非线性系统，它描述了大气运动中的流体对流现象。
洛伦兹方程的解具有非常复杂的轨迹，即使微小的初始条件变化也会导致系统行为的剧烈改变。
四、混沌现象的应用混沌现象的研究在许多领域都有广泛的应用。
在天体力学中，混沌现象的研究可以用于描述行星轨道的演化和宇宙运动的复杂性。
在气候学中，混沌现象的研究可以用于分析气候系统的变化和周期性。
在信息加密中，混沌现象的应用可以用于生成随机数和保护数据安全。
五、混沌现象的研究挑战与展望尽管经典力学中的混沌现象已经取得了许多重要的研究成果，但仍然存在许多挑战和未解之谜。
例如，尚未找到一种通用的方法来确定混沌系统的初始条件，这限制了对混沌现象的深入研究。
此外，混沌现象在理论上的解释和数学模型的构建仍然需要更多的理论探索和实验验证。
总之，经典力学中的混沌现象是一门极富挑战性的研究领域。
混沌实验报告
混沌实验报告混沌实验报告引言：混沌，这个词充满了神秘和魅力，它是一种看似无序却又包含着某种规律的现象。
混沌理论的提出，为我们解开了一些自然界中看似混乱的现象背后隐藏的规律。
为了更好地了解混沌现象，我们进行了一系列混沌实验。
实验一：双摆实验我们首先进行了双摆实验，这是一种经典的混沌系统。
通过调整摆的初始条件，我们观察到了摆的运动呈现出了混沌现象。
在初始条件微小变化的情况下，摆的运动轨迹产生了巨大的差异。
这说明了混沌系统对初始条件的极端敏感性。
实验二：洛伦兹系统实验接下来，我们进行了洛伦兹系统实验。
洛伦兹系统是混沌理论的经典案例之一。
通过调整系统的参数，我们观察到了系统状态的变化。
当参数处于某个特定范围时，系统呈现出混沌状态。
这种混沌状态的特点是系统状态在相空间中呈现出复杂的轨迹，即“蝴蝶效应”。
实验三：分形实验分形是混沌理论的重要组成部分。
我们进行了一系列分形实验，包括分形图形的绘制和分形维度的计算。
通过这些实验，我们发现分形具有自相似性和无穷细节的特点。
无论是在自然界中的山脉、云朵，还是在人造的分形图形中，我们都能够看到这种无穷细节的美妙。
实验四：混沌与控制混沌现象的存在给控制系统设计带来了挑战，但同时也为我们提供了新的思路。
我们进行了一系列混沌与控制相关的实验，探索如何利用混沌现象来设计更有效的控制系统。
通过混沌系统的反馈和调节，我们成功地实现了对系统状态的控制。
结论：通过一系列混沌实验，我们深入了解了混沌现象的特点和规律。
混沌系统对初始条件的敏感性、复杂的轨迹和无穷细节的特点给我们带来了许多启示。
混沌现象不仅存在于自然界中，也可以在人工系统中得到应用。
混沌理论的研究对于我们认识世界的深入，以及在控制系统设计中的创新具有重要意义。
未来，我们将继续深入研究混沌现象，探索更多的应用领域，为科学和技术的发展做出贡献。
参考文献：1. Strogatz, S. H. (2014). Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering. CRC press.2. Ott, E., Grebogi, C., & Yorke, J. A. (1990). Controlling chaos. Physical review letters, 64(11), 1196-1199.3. Mandelbrot, B. B. (1982). The fractal geometry of nature. WH freeman.。
管理科学中的混沌现象研究
管理科学中的混沌现象研究一、引言混沌理论是20世纪60年代末期由美国数学家Edward Lorenz 提出的，在经过几十年的发展和研究，已成为一门发展完备的科学理论。
混沌现象已经应用到多个领域，包括天气预报、股票市场、流体力学等。
本文将会对混沌现象在管理科学中的应用进行探讨和分析。
二、混沌现象简述所谓混沌现象，指的是在某些非线性系统中，当初始条件发生微小变化时，系统的状态也发生了很大的改变，产生了不可预测的结果。
与此同时，混沌现象还包括一些普遍的特征，如无规律出现的震荡、出现奇异吸引子等。
三、混沌现象在管理科学中的应用在管理科学领域中，混沌现象主要被应用于预测和控制方面。
具体应用包括：1.金融市场预测由于股票、期货市场本身就具有非线性因素，所以混沌理论在金融市场预测中应用得非常广泛。
基于混沌理论的金融市场预测模型，可以根据历史股市数据预测未来市场的趋势和价格波动情况。
通过这种方法，投资者可以更好地把握市场节奏，提高盈利率和降低投资风险。
2.产品质量控制在产品量产后，混沌理论被应用于分析生产工艺。
通过对不同温度、压力等参数进行微调，可以防止系统进入混沌状态，保证产品质量的稳定性，提高生产效率和质量。
3.销售预测进入市场后，混沌理论也可以被应用于销售预测。
通过对客户交易数据的分析，可以预测客户的未来购买行为，从而帮助企业更准确地进行产品定价和库存管理，提高销售效率和盈利率。
4.组织管理在组织管理方面，混沌理论可以通过研究组织内部的交互关系和协作模式，优化组织结构，提升组织运营效率。
此外，混沌理论还可以被用于解决企业中的决策问题。
通过对决策者的行为和决策参数进行分析，可以确定最优决策方案，提高决策者的决策质量和效率。
四、结论在管理科学中，混沌理论的应用范围非常广泛，并且具有非常重要的价值。
通过混沌理论的应用，可以提高企业的管理效率和盈利能力。
因此，我们应该积极探索混沌理论在管理科学中的应用，以期更好地服务于企业和社会的发展。
混沌现象研究实验报告
混沌现象研究实验报告混沌现象是一种复杂的动力学现象，它展现了一种看似随机但又有序的行为。
混沌现象在物理学、数学、生物学等多个领域都得到了广泛的研究和应用。
在本实验中，我们将使用一个简单的混沌系统模型进行研究，探究混沌现象的基本特征和产生机制。
首先，我们介绍实验所使用的混沌系统模型，这是一个基于离散映射的模型。
模型的动力学方程如下：x(n+1) = r*x(n)*(1-x(n))其中，x(n)是系统在第n个时间步的状态变量，r是一个控制参数，决定了系统的行为。
该方程描述了一个种群数量的变化规律，可以用来研究种群的动态演化。
为了观察混沌现象，我们在模型中引入了一个初始条件x0。
我们会通过调节参数r和初始条件x0的值，观察系统的演化过程。
在实验中，我们将选择不同的参数r值和初始条件x0，观察系统的行为。
例如，我们可以选择r=2.5和x0=0.5作为初始条件。
我们将通过迭代计算x(n)的值，并绘制出x(n)随时间的变化图像。
实验结果显示，当r取不同的值时，系统的行为也会发生明显的变化。
当r小于3时，系统的行为相对简单，呈现出周期性和收敛性；当r大于3时，系统的行为变得复杂，呈现出混沌现象。
我们可以通过统计混沌系统产生的时间序列数据的特征，如Lyapunov指数、分岔图、功率谱等来定量描述混沌现象。
此外，我们还可以通过系统的相图来观察混沌现象。
相图描述了系统状态变量的轨迹，可以直观地展示系统的复杂行为。
我们将绘制x(n)和x(n+1)的关系图像，以及x(n+1)和x(n+2)的关系图像，通过观察图像的形状和分布情况，可以发现混沌现象的特征。
通过实验的观察和分析，我们可以得出以下结论：1. 混沌现象具有确定性，但是在初值和参数微小变化的情况下表现出不可预测的特点；2. 混沌系统的行为对参数和初值条件非常敏感，微小的变化可以导致完全不同的演化结果；3. 混沌系统的行为可以通过一些统计特征来描述，如Lyapunov指数、分岔图、功率谱等；4. 混沌现象具有普适性，可以在不同的领域中观察到。
混沌实验
f(x)=x2
0
吸引点
1
排斥点
如果f(u1)=u2, f(u2)=u3,…, f(uk)=u1,且uj≠u1,则称u1,u2,…,uk形 成一个k循环, 用u1u2,…,uk u1记之. u1称为一个周期点, u1,u2,…,uk称为一个周期轨道.
考虑函数f(x)=ax(1-x)的迭代
xk+1=f(xk)=axk(1-xk), k=0,1,2,…
参见源程序: 混沌实验1(源程序).NB
Feigenbaum图:
课后作业: 对于函数迭代: xn+1=4xn(1-xn), n=0,1,2,… 做如下练习:
Plot a x 1 x ^2 , x, 0, 1 , Epilog ;
Line t
我们可以看出, 当0 < x < 1时, 此迭代的收敛速度与a的值有关
因此,x=0是吸引不动点,另外,x=1是排斥不动点,原因如下:
所以,x=1是不动点,另外
所以是排斥不动点, 其它初值, 作为本次课后作业.
— 倍尔
本混沌实验研究如下内容:
● ●
函数的迭代，不动点和有关的作图 介绍浑沌，用数值迭代、蛛网迭代和密度
分布等方法来研究浑沌
●
浑沌的倍周期分叉、遍历性和某些
普适结构
周期点与周期轨道:
设f(x)是一个定义于实数域上的实值函数, 如果存在u使得 f(u)=u, 则称u是f(x)的不动点, 用uu表示. 如果所有附近的 点在迭代过程中都趋向于某个不动点,则称此不动点是吸引点, 并称此点是稳定点. 如果所有附近的点在迭代过程中都远离 它而去, 则称此不动点是排斥点, 并称此不动点是不稳定的. 例如:
混沌系统实验报告
一、实验目的1. 了解混沌现象的基本概念和特性。
2. 掌握混沌系统实验的基本方法和步骤。
3. 通过实验观察混沌现象，验证混沌系统的基本特性。
4. 理解混沌现象在实际应用中的意义。
二、实验原理混沌现象是自然界和人类社会普遍存在的一种复杂现象，具有以下基本特性：1. 敏感性：初始条件的微小差异会导致系统行为的巨大差异。
2. 无序性：混沌系统表现出复杂、不规则的行为，难以预测。
3. 非线性：混沌系统内部存在非线性相互作用，导致系统行为复杂。
4. 吸引子：混沌系统最终会收敛到一个或多个吸引子上，形成稳定的动态行为。
本实验主要研究一个典型的混沌系统——洛伦茨系统，其数学模型如下：\[\begin{cases}\frac{dx}{dt} = \sigma(y - x) \\\frac{dy}{dt} = x(\rho - z) - y \\\frac{dz}{dt} = xy - \beta z\end{cases}\]其中，\(x\)、\(y\)、\(z\) 分别代表洛伦茨系统的三个状态变量，\(\sigma\)、\(\rho\)、\(\beta\) 为系统参数。
三、实验仪器与设备1. 混沌系统实验仪2. 数字示波器3. 计算机及数据采集软件四、实验步骤1. 打开混沌系统实验仪，连接好实验仪器。
2. 设置洛伦茨系统的参数，包括 \(\sigma\)、\(\rho\)、\(\beta\)。
3. 通过实验仪观察洛伦茨系统的动态行为，并记录实验数据。
4. 使用数字示波器观察洛伦茨系统的相图和时序图。
5. 使用数据采集软件记录洛伦茨系统的状态变量随时间的变化曲线。
6. 分析实验数据，验证混沌系统的基本特性。
五、实验结果与分析1. 当 \(\sigma = 10\)、\(\rho = 28\)、\(\beta = 8/3\) 时，洛伦茨系统呈现出典型的混沌现象。
从时序图可以看出，系统状态变量 \(x\)、\(y\)、\(z\) 随时间的变化呈现出无规则、复杂的振荡行为。
大学物理实验混沌实验报告
大学物理实验混沌实验报告大学物理实验混沌实验报告引言：混沌理论是近几十年来在物理学领域中引起了广泛关注的一个重要研究方向。
混沌现象的出现使得我们对于自然界中的复杂系统的行为有了更深入的认识。
本次实验旨在通过具体实例，探索混沌现象的产生和特征，并通过数据分析和模型建立来解释混沌现象的本质。
实验目的：1. 了解混沌现象的基本概念和特征；2. 掌握混沌实验的基本方法和数据处理技巧；3. 通过实验数据分析和模型建立，探索混沌现象的本质。
实验装置和方法：实验装置主要由一个简单的双摆系统组成。
通过调整摆的初始条件和参数，观察双摆系统的运动状态，并记录相应的数据。
实验过程中，我们采用了以下方法：1. 调整初始条件：通过改变摆的初始角度和角速度，探索不同初始条件下双摆系统的运动情况；2. 调整参数：改变摆的长度、质量和重力加速度等参数，观察对双摆系统运动的影响；3. 数据记录：使用传感器记录摆的角度和角速度随时间的变化，并将数据保存下来。
实验结果与数据分析：通过实验观察和数据记录，我们得到了大量的实验数据。
首先，我们通过绘制摆的角度随时间的变化曲线，发现双摆系统呈现出复杂的非周期性运动。
进一步分析数据，我们发现摆的角度随时间的变化呈现出明显的不规则性，即混沌现象。
具体来说，摆的角度在一定范围内波动，但并不呈现出明确的周期性，而是呈现出一种看似无序的、随机的运动状态。
接下来，我们对实验数据进行了进一步的分析。
通过计算摆的角速度随时间的变化率，我们发现角速度也呈现出类似的混沌现象。
摆的角速度在一定范围内变化，但并没有明显的周期性规律，而是表现出一种看似无序的、随机的变化趋势。
模型建立与混沌现象解释：为了解释这种混沌现象，我们引入了混沌理论中的一个重要概念——“敏感依赖于初始条件”。
简单来说，这个概念指的是在某些复杂系统中，微小的初始条件变化可能会导致系统的演化结果产生巨大的差异。
在双摆系统中，由于摆的运动受到多个因素的影响，如摆的长度、质量、重力加速度等，微小的初始条件变化可能会导致摆的运动轨迹发生巨大的变化，从而呈现出混沌现象。
实验29混沌现象研究Word版
实验二十九混沌现象研究长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。
但是自然界在相当多情况下，非线性现象却起着很大的作用。
1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。
于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首次出现在科学文献中。
从此，非线性动力学迅速发展，并成为有丰富内容的研究领域。
该学科涉及非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。
混沌通常相应于不规则或非周期性，这是由非线性系统本质产生的。
本实验将引导学生自己建立一个非线性电路，该电路包括有源非线性负阻、LC振荡器和RC移相器三部分；采用物理实验方法研究LC振荡器产生的正弦波与经过RC移相器移相的正弦波合成的相图（李萨如图），观测振动周期发生的分岔及混沌现象；测量非线性单元电路的电流—电压特性，从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解；学会自己制作和测量一个实用带铁磁材料介质的电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。
【实验原理】1、非线性电路与非线性动力学实验电路如图30-1所示，图30-1中只有一个非线性元件R，它是一个有源非线性负阻器件。
电感器L和电容器C2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R0和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
本实验所用的非线性元件R是一个五段分段线性元件。
图30-2所示的是该电阻的伏安特性曲线，可以看出加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。
由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
图30-1电路的非线性动力学方程为：C 1dtdU C 1=G(U C2-U C1)-gU C1 C 2dt dU C 2=G(U C1-U C2)+i L （30-1） L dtdiL =-U C2 式中，U C1、U C2是C 1、、C 2上的电压，ｉL 是电感L 上的电流，G=1/R 0是电导，在图5中，ｇ为U 的函数，如果R 是线性的，g 是常数，电路就是一般的振荡电路，得到的解是正弦函数，电阻R 0的作用是调节C 1和、C 2的位相差，把C 1和C 2两端的电压分别输入到示波器的x ，y 轴，则显示的图形是椭圆。
物理学中的混沌现象研究与应用
物理学中的混沌现象研究与应用人们对于混沌现象的研究起源于20世纪六七十年代，物理学家们在研究非线性动力学系统时发现，一些看似随机的系统行为实际上是由于系统的物理特性而导致的。
混沌现象指的就是一个看似随机的且能重复出现的行为，而且这种行为是源于系统内在的非线性特性，而并非由于系统受到外部影响。
物理学中的混沌现象是一个具有非常广泛的应用前景的研究领域。
混沌现象有无限多种可能的行为，研究这一现象对于统一不同的物理学领域有着重要的意义，例如天体物理学、光学、地球物理学、生物学等。
本文将探讨物理学中混沌现象的研究及其应用。
1. 混沌现象的研究混沌现象是一个常见的自然现象，就像风成为了空气的混沌，而波动和涡旋成为了水的混沌。
物理学家把混沌现象的研究和应用，从一些随机或看起来非常复杂的事物中组织起来，并为它们建立了数学模型和实验技术。
随后，混沌成为了物理学和其它科学领域中一个非常重要的研究对象。
混沌现象有着很多不同的类型，利用数学方法和计算机模拟，物理学家寻找数学上的特殊模式，以便于这些模式可以帮助理解混沌行为。
2. 混沌现象的应用混沌现象不仅仅在物理学中有着重要的应用，在其他学科中也有着很高的应用价值。
如在信息传输、加密、系统优化、数据说服学等领域都有着广泛的应用。
2.1. 信息传输在信息传输领域中，混沌现象可以应用在保密技术中。
在这种情况下，混沌的数学公式被用来产生独特的加密密钥。
这个过程称为混沌加密，可以有效地防止人工破解加密信息。
2.2. 加密同样地，在无线通信领域中，利用混沌的方法进行加密非常重要。
混沌加密系统能够在通信过程中对传输的数据进行加密，而且它具有良好的保密性、抗干扰性等优点。
混沌同步方法是一种在无线电通信中实现频率和相位同步的信号处理技术。
2.3. 稳定性分析混沌现象还可以用于动力学和稳定性分析。
经典物理学定理中，大部分系统运动由于多方面的耦合和摩擦缓慢衰减，最终稳定在某一个平衡位置。
只有少数几种特殊的系统难以对它们的运动状态进行描述，而这些系统的运动状态可以用混沌来描述。
非线性电路混沌现象研究
混沌的产生
混沌的产生
奇异吸引子
英国的海岸线地图
自然界中的分形
山
星 云
星
云
天空中的云朵 植物的叶子
毛细血管分布
视乳头旁毛细血管瘤 视网膜中央动脉颞上支阻塞
河流分布图
自然界中的分形
• 股票价格曲线 • 岩石裂缝 • 金属损伤裂缝 • 道路分布 • 神经末梢的分布 …………
3、当代科学对混沌的研究（主要研究通向 混沌的途径）。
后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次 输入中间数据时将原来的0.506127省略为 0.506。洛伦兹意识到，因为他的方程是 非线性的，非线性方程不同于线性方程， 线性方程对初值的依赖不敏感，而非线性 方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条 件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。 由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预 报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象 的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会 在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这 就是蝴蝶效应。
• 逻辑斯蒂映射的形式为
xn1 axn (1 xn )
• 以参数a为横坐标、以x的稳定定态 (stable steady states)为纵坐标作图， 得到1、图2等。从图中可以看出开始是 周期加倍分岔(也称周期倍化分岔或周期 倍分岔)，然后是混沌，混沌区中又有周 期窗口。窗口放大后又可见到同样结构 的一套东西。此 所谓无穷自相似结构。
⑴倍周期分岔进入混沌 一个系统，在一定条件下，经过周期加倍，会逐步 丧失周期行为而进入混沌。例如，一个非线性电子电路 （混沌仪），当我们观察它的输出交变电压随输入电压 大小的改变而变化的规律时，可以发现：开始输入电压 较低时，输出电压的频率与输入电压的频率一样，而随 着输入电压的增加，输出电压的频率经过二分频（具有 输入频率及其1/2频率，共两个频率）、四分频、八分 频……，最后进入混沌（具有各种各样频率的输出电 压）。这就是倍周期分岔进入的混沌，是一种典型的非 平衡过程产生的混沌。
混沌原理实验报告总结(3篇)
第1篇一、实验背景混沌现象是自然界和人类社会中普遍存在的一种复杂现象，它具有对初始条件的敏感依赖性、长期行为的不可预测性和丰富多样的动力学行为等特点。
近年来，混沌理论在工程、物理、生物、经济等领域得到了广泛的应用。
为了深入理解混沌现象，我们进行了混沌原理实验，以下是实验总结。
二、实验目的1. 了解混沌现象的产生原因和特点；2. 掌握混沌系统的基本动力学行为；3. 研究混沌现象在工程领域的应用。
三、实验原理混沌现象的产生与非线性动力学系统密切相关。
在非线性系统中，系统状态的变化往往受到初始条件、参数选择等因素的影响，从而导致系统呈现出复杂的行为。
混沌现象具有以下特点：1. 对初始条件的敏感依赖性：系统状态的微小差异会导致长期行为的巨大差异；2. 长期行为的不可预测性：混沌系统在长期演化过程中表现出随机性；3. 动力学行为的丰富多样性：混沌系统具有多种动力学行为，如周期运动、倍周期运动、分岔、吸引子等。
四、实验内容1. 搭建混沌电路实验平台；2. 观察混沌现象的产生过程；3. 研究混沌系统的动力学行为；4. 分析混沌现象在工程领域的应用。
五、实验结果与分析1. 混沌现象的产生过程：通过实验观察到，在混沌电路中，当电路参数达到一定范围时，系统状态将呈现混沌行为。
此时，电路输出信号呈现出复杂、无规律的变化，表现出混沌现象。
2. 混沌系统的动力学行为：实验过程中，我们观察到混沌系统具有以下动力学行为：（1）周期运动：当电路参数在某一范围内变化时，系统状态呈现周期性变化；（2）倍周期运动：当电路参数进一步变化时，系统状态呈现倍周期性变化；（3）分岔：当电路参数继续变化时，系统状态发生分岔，产生新的混沌吸引子；（4）吸引子：混沌系统在长期演化过程中，最终趋于某一稳定状态，称为吸引子。
3. 混沌现象在工程领域的应用：混沌现象在工程领域具有广泛的应用，如：（1）混沌加密：利用混沌系统对信息进行加密，提高信息安全性；（2）混沌通信：利用混沌信号进行通信，提高通信质量；（3）混沌控制：利用混沌系统进行控制，实现精确控制目标。
物理实验报告混沌摆(3篇)
第1篇一、实验目的1. 了解混沌现象的产生及其特点。
2. 通过实验观察混沌摆的动力学行为，分析混沌摆的运动规律。
3. 掌握混沌摆实验的基本操作方法，提高实验技能。
二、实验原理混沌现象是指在确定性系统中，由于初始条件的微小差异，导致系统演化过程出现长期不可预测的行为。
混沌摆是一种典型的混沌系统，其运动状态受初始条件、摆长、摆锤质量等因素的影响。
本实验采用单摆模型，利用混沌摆的运动特性，观察其混沌现象。
实验原理如下：1. 摆的运动方程：根据牛顿第二定律，单摆的运动方程可表示为：$$ \ddot{\theta} + \frac{g}{l} \sin \theta = 0 $$其中，$\theta$ 为摆角，$g$ 为重力加速度，$l$ 为摆长。
2. 混沌现象的产生：当摆长和摆锤质量满足一定条件时，混沌现象会出现。
混沌摆的混沌现象表现为摆角和摆角速度的长期不可预测性。
三、实验器材1. 混沌摆装置：包括摆长可调的单摆、摆锤、支架等。
2. 数字示波器：用于测量摆角和摆角速度。
3. 摆长测量尺：用于测量摆长。
4. 计时器：用于测量摆的运动周期。
四、实验步骤1. 调整混沌摆装置，确保摆长、摆锤质量和支架稳固。
2. 使用数字示波器测量摆角和摆角速度，记录初始条件。
3. 改变摆长，观察摆的运动状态，记录摆角和摆角速度。
4. 改变摆锤质量，观察摆的运动状态，记录摆角和摆角速度。
5. 对比不同初始条件下的摆的运动状态，分析混沌现象。
五、实验数据记录与处理1. 记录不同摆长和摆锤质量下的摆角和摆角速度。
2. 计算摆的运动周期。
3. 分析摆的运动状态，观察混沌现象。
六、实验结果与分析1. 实验结果显示，当摆长和摆锤质量满足一定条件时，混沌现象会出现。
摆角和摆角速度的长期不可预测性表现为摆的运动轨迹复杂、运动周期无规律等。
2. 通过对比不同初始条件下的摆的运动状态，可以发现，混沌现象的产生与初始条件的微小差异密切相关。
当初始条件接近时，摆的运动状态也接近，而当初始条件相差较大时，摆的运动状态差异明显。
混沌原理实验报告
一、实验目的1. 了解混沌现象的基本概念和特点。
2. 掌握混沌现象的产生原理。
3. 通过实验观察和测量，验证混沌现象的存在。
4. 理解非线性系统在混沌现象中的作用。
二、实验原理混沌现象是指非线性系统在满足一定条件下，表现出对初始条件的极端敏感性和长期行为的不确定性。
混沌现象具有以下特点：1. 对初始条件的极端敏感性：混沌现象的长期行为对初始条件极为敏感，微小差异会导致长期行为的巨大差异。
2. 非周期性：混沌现象的轨道是不封闭的，不具有周期性。
3. 非线性：混沌现象的产生与非线性系统密切相关。
本实验通过构建一个非线性电路，观察混沌现象的产生过程，并分析混沌现象的动力学特性。
三、实验器材1. 函数信号发生器2. 示波器3. 非线性电路实验板4. 电压表5. 电流表6. 电感器7. 可变电阻8. 电容器四、实验步骤1. 搭建非线性电路实验板，连接好各个元件。
2. 打开函数信号发生器，输出一个正弦信号，频率为1kHz，幅度为1V。
3. 通过调节可变电阻，使电路中的电感器和电容器组成一个谐振回路。
4. 使用示波器观察电路输出端的波形，记录波形特征。
5. 逐步增加函数信号发生器的输出幅度，观察波形变化。
6. 当输出幅度达到一定程度时，观察混沌现象的产生，记录波形特征。
7. 使用电压表和电流表测量电路中电感器和电容器的电压、电流，分析电路参数对混沌现象的影响。
五、实验结果与分析1. 在实验过程中，当函数信号发生器的输出幅度逐渐增加时，电路输出端的波形逐渐从正弦波转变为非周期性波形，即混沌现象。
2. 当输出幅度达到一定程度时，混沌现象产生，波形呈现出复杂的振荡、分岔、振荡消失等现象。
3. 通过测量电路中电感器和电容器的电压、电流，发现电路参数对混沌现象的产生和演化具有重要影响。
4. 在实验过程中，观察到混沌现象的长期行为对初始条件极为敏感，微小差异会导致长期行为的巨大差异。
六、实验结论1. 本实验验证了混沌现象的存在，并观察到混沌现象的产生过程。
混沌效应测量实验报告
一、实验目的1. 了解混沌现象的基本特征和产生机理。
2. 掌握混沌效应测量的基本方法。
3. 通过实验验证混沌现象在非线性电路中的表现。
二、实验原理混沌现象是指在非线性系统中，由于初始条件的微小差异，导致系统长期行为表现出极端敏感性和不可预测性。
本实验采用非线性电路作为研究对象，通过测量电路中的电压、电流等物理量，观察混沌现象的产生和发展。
实验电路采用串联谐振电路，通过改变电路中的参数（如电感、电容、电阻等），使电路产生混沌现象。
混沌现象的测量主要依靠数字示波器、信号发生器等仪器。
三、实验仪器与设备1. 数字示波器2. 信号发生器3. 电阻箱4. 电感箱5. 电容箱6. 电路板7. 连接线四、实验步骤1. 搭建实验电路，包括串联谐振电路、非线性元件等。
2. 设置信号发生器，输出正弦波信号，频率为电路谐振频率。
3. 调整电阻箱、电感箱、电容箱等参数，使电路产生混沌现象。
4. 利用数字示波器观察混沌现象的波形，记录电压、电流等物理量。
5. 改变电路参数，观察混沌现象的变化，分析混沌现象的产生和发展规律。
五、实验结果与分析1. 混沌现象的产生通过调整电路参数，使电路产生混沌现象。
实验中观察到，当电路参数在一定范围内变化时，电路输出波形出现周期性、倍周期性、混沌等不同状态。
其中，混沌现象表现为波形无规律、周期性消失、信号幅值和频率不稳定等特点。
2. 混沌现象的测量利用数字示波器测量混沌现象的波形，记录电压、电流等物理量。
实验结果表明，混沌现象的波形具有以下特征：（1）波形无规律：混沌现象的波形呈现出复杂的非线性变化，难以用简单的数学模型描述。
（2）周期性消失：混沌现象的波形周期性消失，难以确定其周期。
（3）信号幅值和频率不稳定：混沌现象的信号幅值和频率随时间变化，表现出强烈的不稳定性。
3. 混沌现象的产生机理混沌现象的产生主要与非线性系统的初始条件和参数变化有关。
在实验中，通过调整电路参数，使电路产生混沌现象。
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实验二十九混沌现象研究长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。
但是自然界在相当多情况下，非线性现象却起着很大的作用。
1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。
于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首次出现在科学文献中。
从此，非线性动力学迅速发展，并成为有丰富内容的研究领域。
该学科涉及非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。
混沌通常相应于不规则或非周期性，这是由非线性系统本质产生的。
本实验将引导学生自己建立一个非线性电路，该电路包括有源非线性负阻、LC振荡器和RC移相器三部分；采用物理实验方法研究LC振荡器产生的正弦波与经过RC移相器移相的正弦波合成的相图（李萨如图），观测振动周期发生的分岔及混沌现象；测量非线性单元电路的电流—电压特性，从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解；学会自己制作和测量一个实用带铁磁材料介质的电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。
【实验原理】1、非线性电路与非线性动力学实验电路如图30-1所示，图30-1中只有一个非线性元件R，它是一个有源非线性负阻器件。
电感器L和电容器C2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R0和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
本实验所用的非线性元件R是一个五段分段线性元件。
图30-2所示的是该电阻的伏安特性曲线，可以看出加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。
由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
C2R0R C1L图29-2 非线性元件伏安特性图29-1 非线性电路原理图V（R）图30-1电路的非线性动力学方程为：C 1dtdU C 1=G(U C2-U C1)-gU C1 C 2dt dU C 2=G(U C1-U C2)+i L （30-1） L dtdiL =-U C2 式中，U C1、U C2是C 1、、C 2上的电压，ｉL 是电感L 上的电流，G=1/R 0是电导，在图5中，ｇ为U 的函数，如果R 是线性的，g 是常数，电路就是一般的振荡电路，得到的解是正弦函数，电阻R 0的作用是调节C 1和、C 2的位相差，把C 1和C 2两端的电压分别输入到示波器的x ，y 轴，则显示的图形是椭圆。
如果R 是非线性的，会看到什么现象呢？电路中的R 是非线性元件，它的伏安特性如图4所示，是一个分端线性的电阻，整体呈现出非线性。
gU C1是一个分段线性函数。
由于g 总体是非线性函数，三元非线性方程组（1）没有解析解。
若用计算机编程进行数据计算，当取适当电路参数时，可在显示屏上观察到模拟实验的混沌现象[见参考资料（6）]。
除了计算机数学模拟方法之外，更直接的方法是用示波器来观察混沌现象，实验电路如图5所示，图5中，非线性电阻是电路的关键，它是通过一个双运算放大器和六个电阻组合来实现的。
电路中，LC 并联构成振荡电路，R 0的作用是分相，使J1和J2两处输入示波器的信号产生位相差，可得到x,y 两个信号的合成图形，双运放LF353的前级和后级正、负反馈同时存在，正反馈的强弱与比值R 3/R 0，R 6/R 0有关，负反馈的强弱与比值R 2/R 1，R 5/R 5有关。
当正反馈大于负反馈时，振荡电路才能维持振荡。
若调节R 0，正反馈就发生变化，LF353处于振荡状态，表现出非线性，从C ，D 两点看，LF353与六个电阻等效一个非线性电阻，它的伏安特性大致如图30-4所示。
2、有源非线性负阻元件的实现图29-4 双运放非线性元件的伏安特性图29-3 有源非线性器件R5R6有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路采用两个运算放大器（一个双运放LF353）和六个配制电阻来实现，其电路如图3所示，它的伏安特性曲线如图4所示，实验所要研究的是该非线性元件对整个电路的影响，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。
实际非线性混沌实验电路如图30-5所示3、名词解释本名词解释引自参考资料2中的附录3 “简明词汇”。
这些定义是描述性的，并非是标准数学定义，但有助于初学者对这些词汇的理解。
这些词汇定义多数是按相空间作出的。
分岔：在一族系统中，当一个参数值达到某一临界值以上时，系统长期行为的一个突然变化。
混沌：①表征一个动力系统的特征，在该系统中大多数轨道显示敏感依赖性，即完全混沌。
②有限混沌；表征一个动力系统的特征，在该系统中某些特殊轨道是非周期的，但大多数轨道是周期或准周期的。
【实验仪器】实验用仪器如图6所示。
非线性电路混沌实验仪由四位半电压表（量程0～19.999V ，分辩率1ｍV ）、-15V~0~+15V 稳压电源和非线性电路混沌实验线路板三部分组成。
观察倍周期分岔和混沌现象用双踪示波器。
【实验内容】一、必做内容1、测量有源非线性电阻的伏安特性并画出伏安特性图（1）由于非线性电阻是含源的，测量时不用电源，用电阻箱调节，伏安表图29-5 非线性电路混沌实验电路R6R5J 2(CH 2)J 1(CH 1)L并联在非线性电阻两端，再和电阻箱串联在一起构成回路。
(2) 尽量多测数据点。
图29-6 实验装置2、倍周期现象、周期性窗口、单吸引子和双吸引子的观察、记录和描述 将电容C 1和C 2上的电压输入到示波器的X ，Y 轴，先把R 0调到最小，示波器上可以观察到一条直线，调节R 0，直线变成椭圆，到某一位置，图形缩成一点。
增大示波器的倍率，反向微调R 0，可见曲线作倍周期变化，曲线由一周期增为二周期，由二周期增为四周期……直至一系列难以计数的无首尾的环状曲线，这是一个单涡旋吸引子集，再细微调节R 0，单吸引子突然变成了双吸引子，只见环状曲线在两个向外涡旋的吸引子之间不断填充与跳跃，这就是混沌研究文献中所描述的 “蝴蝶”图象，也是一种奇怪吸引子，它的特点是整体上的稳定性和局域上的不稳定性同时存在。
利用这个电路，还可以观察到周期性窗口，仔细调节R 0，有时原先的混沌吸引子不是倍周期变化,却突然出现了一个三周期图象，再微调R 0，又出现混沌吸引子，这一现象称为出现了周期性窗口。
混沌现象的另一个特征是对于初值的敏感性。
观察并记录不同倍周期时UC 1--t 图和R 0的值。
二、选做内容测量一个铁氧体电感器的电感量，观测倍周期分岔和混沌现象。
1、按图5所示电路接线。
其中电感器L 由实验者用漆包铜线手工缠绕。
可在线框上绕75—85圈，然后装上铁氧体磁芯，并把引出漆包线端点上的绝缘漆用刀片刮去，使两端点导电性能良好。
也可以用仪器附带铁氧体电感器。
2、串联谐振法测电感器电感量。
把自制电感器、电阻箱（取30.00Ω）串联，并与低频信号发生器相接。
用示波器测量电阻两端的电压，调节低频信号发生器正弦波频率，使电阻两端电压达到最大值。
同时，测量通过电阻的电流值I 。
要求达到I=5mA（有效值）时，测量电感器的电感量实验步骤1、倍周期分岔和混沌现象的观测及相图描绘1.1、按图5接好实验面板图，将方程（1）中的1/G即RV1+RV2值放到较大某值，这时示波器出现李萨如图，如图7-a所示，用扫描档观测为二个具有一定相移（相位差）的正弦波。
1.2、逐步减小1/G值，开始出现二个“分列”的环图，出现了分岔现象，即由原来1倍周期变为2倍周期，示波器上显示李萨如图，如图7-b所示。
1.3、继续减小1/G值，出现4倍周期（如图7-c所示）、8倍周期、16倍周期与阵发混沌交替现象，阵发混沌见图7-d。
1.4、再减小1/G值，出现了3倍周期，如图7-e所示，图象十分清楚稳定。
根据Yorke的著名论断“周期3意味着混沌”，说明电路即将出现混沌。
1.5、继续减小1/G，则出现单个吸引子，如图7-f 所示。
1.6、再减小1/G，出现双吸引子，如图7-g所示。
2、电感量与工作电流的关系由于在本实验中制作线圈时使用了磁芯，因而线圈的电感对电流的变化非常明显，以下测量到的数据可以很清楚地说明这一点，但由于本实验对混沌现象只用于定性半定量的观察，因而对实验影响并不大。
3、测量电感L特性的方法CH2测量R两端电压。
保持信号发生器输出电压不变，调节频率，当CH2测得的电压最大时，RLC串联电路达到谐振。
CH2L C RCH1图30-8 测量电感的电路电感谐振时有ωL=1/ωC f0=1/2πLCL =1/4π2Cf 20 U R =U CH2/22，回路中电流的有效值I=UR/R其中f 0为谐振频率，UCH2表示CH2波形的峰-峰电压，UR 表示电阻R 两端输出的电压。
测量的实验数据记录表如表1所示表1 电感L 随电流I 变化的数据表4、有源非线性负阻元件的伏安特性双运算放大器中2个对称放大器各自的配置电阻相差100倍，这就使得2个放大器输出电流的总和，在不同的工作电压段，输出总电流随电压变化关系不相同（其中一个放大器达到电流饱和，另一个尚未饱和），因而出现了非线性的伏安特性。
测量结果如表2，实验电路如图11所示。
图29-9 有源非线性负阻元件伏安特性原理图5、有源非线性电路的伏安特性曲线测量有源非线性负阻元件一般满足“蔡氏电路”的特性曲线。
实验中，将电路的LC 振荡部分与非线性电阻直接断开，图8的伏特表用来测量非线性元件两端的电压。
由于非线性电阻是有源的，因此回路中始终有电流流过，R 使用的是电阻箱，其作用是改变非线性元件的对外输出。
使用电阻箱可以得到很精确的电阻，尤其可以对电阻值做微小的改变，因而微小地改变输出。
R ’R ’有源非线性负阻(接通电源的双运放)R 为外接电阻箱实验测得数据记录见表2（仅供参考）：表2 非线性电路伏安特性思考题1、实验中需自制铁氧体为介质的电感器，该电感器的电感量与哪些因素有关？此电感量可用哪些方法测量？2、非线性负阻电路（元件），在本实验中的作用是什么？3、为什么要采用RC移相器，并且用相图来观测倍周期分岔等现象？如果不用移相器，可用哪些仪器或方法？4、通过做本实验请阐述倍周期分岔、混沌、奇怪吸引子等概念的物理含义。