蔡氏电路与混沌现象研究

蔡氏电路及混沌现象研究

一、引言

在非线性电路中蔡氏电路是迄今为止产生复杂动力学行为的最为有效和较为简单的电路之一。混沌(chaos)现象的研究是非线性系统理论研究中的前沿课题之一,混沌现象普遍存在物理、化学、生物学，以及社会科学等等各个学科领域中,是在确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象,是非线性动力学系统特有的一种运动形式。蔡氏电路是一个能产生混沌现象的最简单三阶自治电路[1]。

1983年，美籍华裔科学家蔡少棠教授首次提出了著名的蔡氏电路(chua’s circuit)。它是历史上第一例用电子电路来证实混沌现象的电路，也是迄今为止在非线性电路中产生复杂动力学行为的最为有效和较为简单的电路之一。通过改变蔡氏电路的拓扑结构或电路参数，可以产生倍周期分叉、单涡卷、周期3、双涡卷吸引子、多涡卷吸引子等十分丰富的混沌现象。因此，蔡氏电路开启了混沌电子学的大门，人们已围绕它开展了混沌机理的探索、混沌在通信中的应用研究，并取得了一系列丰硕的成果。

图1(a)是蔡氏电路的电路拓扑图，它是一个三阶电路，有两个电容、一个电感、一个线性电阻，并含有一个非线性电阻元件N R，它的伏一安特性曲线如图1 (b)所示，是一个分段线性函数，中间一段呈现负电阻的特征，它可以用开关电源等电子电路来实现。

考虑图1(a)的电路，非线性电阻的伏安特性曲线由图1(b)给出。蔡氏电路的动力学特性由下列各式描述：

其中v c1，v c2和i L分别是C1，C2两端的电压以及流过￡的电流，g(vc1)是图(6)所示的分段线性化函数，G=1／R。

该电路描述可以写成无量纲的形式(即下面的正规化状态方程)：

其中，α1和α2是参数，K(·)是非线性函数，满足如下方程：

其中m0和m1是参数。给定适当的参数，该系统表现出混沌行为。

方程(2)是非线性的微分方程组，一般需要用四阶龙格一库塔算法这样的数值方法求解。其算法思想如下：基于Tavlor级数展开的方法，利用f在某些点处函数值的线性组合构造差分方程，从而避免高阶导数的计算。

用MATLAB可以对方程求解并进行仿真，各参数的取值为(α1=9，α2=-100／7，m o=一1／7，m1=2／7)。得出单变量x，v，z随时间t 变化的序列图分别如图3，图4，图5所示:

从仿真结果图可以，蔡氏电路的正规化状态方程描述了一个连续时间系统，这个系统在所给参数和初值的条件下可以产生双涡卷吸引子的混沌现象。x—y，x—z，y—z及x—y—z的相平面图分别

如图6，图7，图8，图9所示[2]：

二、国外相关研究

近几十年来，国外许多关于蔡氏电路和混沌现象的研究有许多的新进展。

2.1国外研究现状

Eleonora Bilotta对于N相同的混沌震荡器进行了数值仿真，它们都是在同一个几何环耦合了对称和耗散[3]。简单的混沌信号是一个基于忆阻的蔡氏电路，其中二极管被含有三次非线性的忆阻器代替[4]。两个回路的双向耦合通过电阻得到，并且对于每一对系统是相同的。他们采用了两种初始条件：仅一个初始条件不为0的回路，或者所有电路有均匀随机的初始条件。为了研究可能的同步机制和可能出现的现象，他们通过改变相互作用系统的耦合与数量，进行了几次计算机仿真。他们发现了同步机制和环新出现的波。特别的是，对于高度耦合（例如阻值较低的 Rc），他们发现了对于两种初始条件下的混沌完全同步机制。不管还是N变大，这种同步在混沌中演化成间歇性的相位同步。脉冲同步的振幅随着Rc的增大而增大，经过一个临界的 Rc*值，电路转化为非混沌的同步机制，同时带有伪正弦的震荡。在混沌体制（RcRc*引起的系统从混沌到非混沌体制所增加的不稳定性。对于Rc>Rc*的情况，取决于初始条件，两种宏观的波能够在环出现。在环仅有一个回路有非零

初始条件的情况下，宏观的伪周期稳态波能够出现，它以低振幅震荡回路出现的结果出现，并且这些回路是波的结点。相反地，对于Rc>Rc*均匀随机初始条件，他们发现了行进波顺时针或逆时针沿环旋转的现象。可能出现的波长取决于环的尺度：在波长λf=N 的基础上，通过增加N的值，他们也发现了波长(λ=λf/2, λ=λf/3, λ=λf/4 )可能逐渐减小的波。行进波的周期T在所有仿真的例子中是相同的，因此不同的波长意味着不同的波速 v=λ/T。最后，对于非常低的耦合情况，他们发现混沌和非混沌震荡回路的共存性，这也给了环稳态和行进波同时出现的曙光。这些结果证实了由于耦合混沌震荡引起的自治动力的丰富性[7]。

H. Moqadasi;M. B. Ghaznavi-Ghoushchi.推荐了一个TRNG，它基于混沌双涡卷吸引子，利用蔡氏电路建立模型，其中该电路含有一个S/H，一个ADC模块和一个用于置乱和增加产生位流随机性的LFSR 模块，其中6位的长度是选择LFSR的最佳长度[8]。另外推荐了一个新的蔡氏电路，它带有一个包含12个晶体管的单片NDR，由于集成电路的实现，它的NDR比离散化的安装形式更好，同时也优于电感器的实现，因为它们有大的框图，例如运算放大器，同时消耗更多的电能，占用更多区域。另一方面，这种NDR拥有现有的资源，例如它们对环境参数（如气温）的敏感性可以被用作混沌生成的控制参数。在他们推荐的TRNG中，他们利用这种推荐的蔡氏电路作为混沌生成的核心。产生的随机位流由国家标准技术机构的FIPS 140-1进行测试，并且成功通过。他们可以利用这种带或不带LFSR的TRNG，同样地他

们推荐最小的ADC分辨率，这样产生的位流是真随机的，试验证实利用LFSR让他们拥有更小的ADC，测试也通过得更好[10]。

E. R. Viana等人利用了一个基于LABVIEW的周期性检测程序计算了一系列直流电压源为源项的蔡氏电路，目标为建立一个周期性参数空间[13]。利用这种程序，他们能够使时间序列的周期性测量过程自动化，建立一个周期性的参数空间。得到的参数空间允许他们能够观察自组织的周期性窗口。有周期性的参数空间，与利用框图得到的相比，这样的周期性窗口能够提前显示信息，。利用这样的方法，他们也可以观察自相似的周期性结构，累积边界的新序列，和周期性增加的分岔。

有这种方法，使它们的行为介于混沌和周期之间的描述将会被完善。他们希望周期性检测能够对于实验混沌的研究人员有所帮助，能够成为数据分析的一种新工具[15]。

Buscarino, Arturo1推导了两种反射形式的蔡氏电路动力，推荐了相应的空间代表状态[18]。总体来说，给定一个非线性电路，等价的反射形式是不确定存在的；他们已经说明了蔡氏电路在x或z变量被利用时能够表达为反射形式，而不是变量y被利用。实施两个代表量中一个的电子线路已经在他们的实验室利用现成的离散元件实现。蔡氏动力的反射形式的实现紧接着最近的研究方向，它描绘与2011年，Sprott：在一个简单的混沌实现中，蔡氏混沌电路的丰富特性可以包含其中。值得一提的是，基于蔡氏二极管的应用形式实现的电