蔡氏混沌电路简介——Chua's Circut

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2非线性电路混沌实验

非线性电路混沌实验混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象，它也是非线性系统所特有的一种复杂状态。

混沌研究最先起源于 1963年洛伦兹（E.Lorenz ）研究天气预报时用到的三个动力学方程 ,后来又从数学和实验上得到证实。

无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨、但实际是非周期有序运动，即混沌现象。

由于电学量（如电压、电流）易于观察和显示，因此非线性电路逐渐成为混沌及混沌同步应用的重要途径，其中最典型的电路是美国加州大学伯克利分校的蔡少棠教授 1985年提出的著名的蔡氏电路（Chua ' s Circuit ）。

就实验而言，可用示波器观察到电路混沌产生的全过程,并能得到双涡卷混沌吸引子。

本实验所建立的非线性电路包括有源非线性负阻、 LC 振荡器和RC 移相器三部分；采用物理实验方法研究 LC 振荡器产生的正弦波与经过 RC 移相器移相的正弦波合成的相图（李萨如图），观测振动周期发生的分岔及混沌现象。

【实验目的】观测振动周期发生的分岔及混沌现象；测量非线性单元电路的电流一电压特性；了解非线性电路混沌现象的本质；学会自己制作和测量一个使用带铁磁材料介质的电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。

【实验原理】1. 非线性电路与非线性动力学实验电路如图1所示，图1中只有一个非线性元件 R ，它是一个有源非线性负阻器件。

电感器L 和电容C 2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R V 和电容器C 串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。

本实验中所用的非线性元件 R 是一个三段分段线性元件。

图2所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线显示中加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。

由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。

图1电路的非线性动力学方程为:C 2dU C L二 G (U C 1 -U C 21)I L(1)dt121C 1du e ’ dt=G (U C 2 -Uq) _g UqLd L实际非线性混沌实验电路如图式中，导纳G =1/R/ , U c.和U c2分别为表示加在电容器C和C2上的电压，i L表示流过电感器L的电流，G表示非线性电阻的导纳。

四阶蔡氏电路的建模与仿真

四阶蔡氏电路的建模与仿真摘要：混沌现象是一种确定性的非线性运动，在非线性控制领域，混沌控制的研究受到人们越来越多的关注。

典型蔡氏电路结构简单，但有复杂的混沌动力学特征，因而在混沌控制领域中成为研究的重要对象。

本次设计简单介绍了混沌学基本理论，从理论分析和仿真实验两个角度分别研究Chua's Circuit 的混沌行为，用Multisim 软件对电路进行仿真实验，通过改变参数，得到了系统各周期的相轨图，并对实验中遇到的现象进行简单的讨论。

在三阶蔡氏电路的基础上添加一个电感，可以建立四阶蔡氏电路，在此四阶蔡氏电路的基础上，进行了简单的数值分析与仿真分析。

由于普通蔡氏电路在产生混沌现象时, 其元件参数可调围很小,且对初始条件极为敏感，不易于搭建实验电路。

所以引入了电感等效电路，在本文中将蔡氏电路中的电感用等效电路替代，从而实现了无感蔡氏电路。

关键词：混沌；蔡氏电路；Multisim ；等效电感Experimental Study of Chua's circuit chaoticAbstract ：Chaos is a deterministic non-linear movement, in the field of nonlinear control, chaotic control get more and more attention by people. Typical Chua's circuit is simple, but complex and chaotic dynamics characteristics, so become an important research object in the field of chaos control . The design simple introduced the basic theory of chaos, study the chaotic behavior of Chua'sCircuit from two angles of the theoretical analysis and experimental with Multisim circuit simulation software, by changing the parameters, get each cycle tracks phase diagram of the system, simple discuss the experimental phenomena encountered, couple the second-order Chua's circuit with a linear circuit ("oscillation absorber"), get even more chaotic behavior of the rich. As the general chaos in Chua's circuit in the production, its range of component parameters adjustable is very small, and extremely sensitive to initial conditions, hard to set up experimental circuit. Therefore introduce the inductor equivalent circuit, in this final, change the inductor of Chua's circuit with the equivalent circuit, thus achieving non- inductor of Chua's circuit.Key words ：chaos; Chua's circuit; Multisim; vibration absorber; equivalent inductance目录第一章混沌学基本理论. (5)1.1 混沌的简单介绍 (5)1.1.1 混沌的定义. (5)1.1.2 混沌的主要特征. (6)1.1.3 混沌的现实意义和应用. (7)1.1.4 混沌的前景展望. (8)1.2 蔡氏电路简介 (9)1.3 蔡氏电路的研究 (10)1.4 软件介绍 (10)1.4.1 数值仿真软件. (10)1.4.2 电路仿真软件. (11)第二章三阶蔡氏电路分析. (12)2.1 电路原理与数学建模 (12)2.2 数值仿真分析 (13)2.3 蔡氏二极管等效电路设计 (15)2.4 三阶蔡氏电路制作和电路仿真 (17)2.5 蔡氏电路的平衡点及稳定性 (19)第三章四阶蔡氏电路分析. (22)3.1 四阶蔡氏电路数学建模 (22)3.2 四阶蔡氏电路数值仿真分析 (24)3.3 四阶蔡氏电路电路仿真分析. (25)3.4 三阶蔡氏电路等效电感分析 (27)第四章总结与分析. (30)参考文献. (31)致. (32)附录Matlab 程序 (33)第一章混沌学基本理论1.1 混沌的简单介绍1.1.1 混沌的定义混沌是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，是自然界及社会中的一种普遍现象，它是一种在确定性系统中所出现的类似随机而无规则运动的动力学行为。

蔡氏电路

2.6.3蔡氏电路中混沌现象的观察研究混沌是自然界客观存在的一种现象，而混沌电路是至今为止最方便有效的一种实验观察手段。

由于混沌现象对电路参数的极度敏感性，用一般电路实验手段来观察，其参数调节比较困难，相比之下在Multisim 环境下进行仿真观察是非常容易实现的。

用来实现混沌现象的混沌电路很多，其中以著名的美藉华裔学者蔡少棠1984 年提出的一种三阶非线性自治电路（称之蔡氏电路）最为典型。

该电路具有电路结构简单，混沌现象丰富等特点，因而得到了广泛的学术研究和工程应用。

蔡氏电路的理论模型如图2-70 所示。

R CLC2100nFC1 10nF17. H4mR图2-70蔡氏电路的理论模型图中，C1、C2 为两个线性电容，L 为线性电感，R C 为线性电阻，而R 则为一非线性电阻（R 习惯被称之为蔡氏二极管，Chua’s diode），具有图2-71 所示的压控特性，R 可由五段分段线性的线性电阻构成。

U R图2-71蔡氏电路非线性电阻的特性实现该非线性电阻R 的方案也很多，典型的电路之一如图2-72 所示，由双运放与 6 只线性电阻构成。

I R R3 22kΩR6 220ΩA1 LM224A1 LM224U RR1R2 22kΩR42.2kΩR5 220Ω3.3kΩ图2-72由双运放构成的蔡氏二极管将图2-70 所示电路中的R C 分成两电阻串联，R c = R1 + R2 ，即其中R2 = 1kΩ， 1 是1kΩR的可调电位器。

我们就可以在基于上述参数的蔡氏电路上，通过Multisim 的仿真，清楚的观察到倍周期分岔、阵发混沌以及奇怪吸引子等一系列混沌所特有的现象。

1．编辑原理图首先编辑非线性电阻R 构成电路，如图2-73 (a)所示。

在这个图中取用两个输入接线端，是为了把该电路设置成如图2-73 (b)所示的R 子电路。

(a)图2-73(b) Multisim 中编辑出的非线性电阻R 及其子电路子电路的创建方法是在选中图中所有的部分（按住鼠标，拖一个把该电路部分全部包围进去的方框，如电路窗口中仅有这部分电路，也可选择Edit/Select All 命令），启动Place/Replace by Subcricuit 命令，即可得。

蔡氏对偶电路

蔡氏对偶混沌电路分析与仿真硕0027班吴旋律 3110163015 一、引言混沌是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，它是一种在确定型系统中所出现的类似随机而无规则的动力学行为。

由于其对初始值的极端敏感性和类噪声性，在保密通信技术和扩频通信技术中具有广阔的应用前景。

1983年，美国贝克莱（Berkeley）大学的蔡少堂教授（Leon.o.Chua）发明了蔡氏电路（Chua’s Circuit），蔡氏电路因其简洁性和代表性而成为研究非线性电路中混沌的典范。

本文讨论一个新颖的蔡氏对偶混沌电路，对其进行理论分析并且给出计算机仿真方法以及仿真结果。

二、蔡氏对偶混沌电路分析本文讨论的电路与著名的蔡氏电路形成完全对偶的电路结构，是一个三阶自治电路，其中含有一个流控型非线性电阻元件。

电路图和非线性电阻伏安特性如下图所示。

u r=r(i1)根据上图可以得到电路的状态方程组：L1di1dt=R0(i2−i1)−r(i1) (1)L2di2dt=R0(i1−i2)+u c (2)C du cdt=−i2 (3) 从以上三个方程可以得出：di1 dt =R0L1(i2−i1)−1L1r(i1) (4)di2 dt =R0L2(i1−i2)+1L2u c (5)du c dt =−1Ci2 (6)为了分析方便，我们对方称进行归一化处理。

令t=L2R0τ ,dτ=R0L2dtx=i1,y=i2,z=u c R0则上述方程变为：dx dτ=L2L1,y−x−r(x)-dydτ=x−y+zdzdτ=−L2CR02yy将上述方程中的τ仍然记做t，则上述方程就变换为（7）-（9）标准的蔡氏方程。

dxdt=α,y−f(x)- (7)dydt=x−y+z (8)dzdt=−βy (9) 其中α=L2L1,β=L2CR02,r(x)=f(x)=m1x+0.5(m0−m1)(|x+1|−|x−1|)可以看出，（7）-（9）式与描述蔡氏电路的动态方程完全一致。

蔡氏混沌非线性电路的研究

蔡氏混沌非线性电路的研究摘要本文首先介绍非线性系统中的混沌现象，并从理论分析与仿真计算两个方面细致研究了非线性电路中典型混沌电路，即蔡氏电路反映出的非线性性质。

通过改变蔡氏电路中元件的参数，进而产生多种类型混沌现象。

最后利用软件对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，实现了双涡旋和单涡旋状态下的同步，并准确地观察到混沌吸引子的行为特征。

关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB仿真AbstractThis paper introduces the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’s circuit was a typical chaos circuit, thus theoretical analysis and simulation was made to research it. Many kinds of chaos phenomenon on would generate as long as one component parameter was altered in Chua’s circuit．On the platform of Matlab, mathematical model of Chua’s circuit was programmed and simulated to acquire the synchronization of dual and single cochlear volume. Meanwhile, behavioral characteristics of chaos attractor were observed.Key words：chaos phenomenon；Chua’s circuit；simulation一．引言：混沌是一种自然界普遍存在的非线性现象，随着计算机的快速发展，混沌现象及其应用已成为自然科学和社会科学领域的一个重点研究对象。

蔡氏混沌电路的分析和MATLAB仿真

参考文献
刘崇新. 非线性电路理论及应用. 西安:西安交通大学出版社, 2007
附 MATLAB 仿真程序
options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-4]); [t,x]=ode45(@mysolve,[0 100],[ 1 0 0],options); subplot(2,3,1);plot(x(:,1),x(:,2));title('x-y平面相图') subplot(2,3,2);plot(x(:,1),x(:,3));title('x-z平面相图') subplot(2,3,3);plot(x(:,2),x(:,3));title('y-z平面相图') subplot(2,3,4);plot(t,x(:,1));title('x时域波形') subplot(2,3,5);plot(t,x(:,2));title('y时域波形') subplot(2,3,6);plot(t,x(:,3));title('z时域波形')

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结论
蔡氏电路所代表的非线性动力学系统的确是混沌系统。该系统具有丰富的混沌动力学行为。仿真结果印证了震荡过程中出现的双涡卷混沌奇怪吸引子。
利用系统平衡点处的线性化矩阵，可以定性分析系统的动力学行为，以便寻找能使系统产生混沌的参数。
计算仿真
取

电磁学设计性实验之电路混沌效应(1)

非线性电路混沌效应——湖南工程学院理学院物理实验中心混沌理论（Chaos theory）是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔（bifurcation）、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。

在耗散系统和保守系统中，混沌运动有不同表现，前者有吸引子，后者无（也称含混吸引子）。

从20世纪80年代中期到20世纪末，混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有关注，引发了全球混沌热。

混沌，也写作浑沌（比如《庄子》）。

自然科学中讲的混沌运动指确定性系统中展示的一种类似随机的行为或性态。

确定性（deterministic）是指方程不含随机项的系统，也称动力系统（dynamical system）。

典型的模型有单峰映象（logistic map）迭代系统，洛伦兹微分方程系统，若斯叻吸引子，杜芬方程，蔡氏电路，陈氏吸引子等。

为浑沌理论做出重要贡献的学者有庞加莱、洛伦兹、上田睆亮（Y. Ueda）、费根堡姆、约克、李天岩、斯美尔、芒德勃罗和郝柏林等。

混沌理论向前可追溯到19世纪庞加莱等人对天体力学的研究，他提出了同宿轨道、异宿轨道的概念，他也被称为浑沌学之父。

近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可以化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预测。

如气象学家爱德华·诺顿·劳仑次（Edward Lorenz）发现简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的“蝴蝶效应”。

60年代，美国数学家史蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）发现某些物体的行径经过某种规则性变化之后，随后的发展并无一定的轨迹可循，呈现失序的混沌状态。

在电路系统中最著名的非线性电路是蔡氏电路。

【基本理论】一、线性与非线性理论。

线性（linear）：指量与量之间按比例、成直线的关系，两个变量之间存在一次方函数关系。

非线性（non-linear）：则指不按比例、不成直线的关系，即变量之间的数学关系，不是直线而是曲线、曲面、或不确定的属性。

混沌电路的详解

(a) 稳定焦点，v1波形 (b)周期1，v1波形 (c)周期3，v1波形 (d)单涡旋，v1波形 (e)双涡旋，v1波形
蔡氏电路v1与v2信号输出波形
R为1.918 kΩ～1.820kΩ，周期2；R为1.819 kΩ～ 1.818kΩ，周期4；R+1.787kΩ，周期8；R=1.786kΩ，周期16；R继续减少至1.750kΩ为单涡旋图形，这是电路第一次进入单涡旋混沌，为洛斯勒形混沌吸引子。如图(d)所示。
为了对混沌电路有一个初步的了解，下面介绍如下图所示的最简单的混沌电路，该电路称为林森混沌电路。电路由电阻R、电感L、变容二极管 D和一个外加输入信号u组成。如果元件值取 R=200，L=100µ H，变容二极管D选1N4001型，输入信号u是频率f=2MHz、振幅值Um可以变化的正弦波电压。
林森混沌电路
当改变输入信号的振幅值而观察电路中回路电流i 的变化情况时，就会发现如下现象：当输入电压的振幅值Um小于1V时，回路电流i是一个与输入信号同频率、同周期的非正弦电流。回路电流i的频率为f=2MHz，周期为T=1/f=0.5μs。回路电流i 的周期变化与输入信号的幅值Um的关系如下图中0～ Um1段所示。
R继续减小会出现周期3、周期6、周期12等，并第二次进入单涡旋混沌。这样继续周期—混沌—周期—混沌地演变，直至洛斯勒形混沌结束。
(a) 稳定焦点，v1波形 (b)周期1，v1波形 (c)周期3，v1波形 (d)单涡旋，v1波形 (e)双涡旋，v1波形
蔡氏电路v1与v2信号输出波形
R减少至R=1.7165kΩ时演变成双涡旋图形。基本范围是R为1.716kΩ～1.300kΩ。仔细调试R值(在 1/10000精度内)并仔细观察还会发现，双涡旋混沌相图的演变中也有各种“周期”出现，例如 R=1.349 kΩ时出现“周期5”，R=1.324kΩ时出现 “周期3”等。如图(c)和图(e)所示。

蔡氏混沌非线性电路及其频率特性研究

文章编号:1008-0686(2002)05-0005-03蔡氏混沌非线性电路及其频率特性研究蒋国平,程艳云(南京邮电学院电子工程系,江苏南京　210003)α摘　要:混沌电路是一种非线性电路,具有宽频谱特性,但在实际通信应用中,通信信道的带宽有一定限制,如何调节混沌电路的频谱范围成为混沌电路实际应用的一个问题。

本文以蔡氏混沌电路为例,利用M A TLAB软件分析蔡氏混沌电路产生的混沌信号及其频率特性。

通过对蔡氏混沌电路中元器件R、L和C参数的调整,可以获得具有期望频谱范围的混沌信号。

关键词:混沌;蔡氏电路;频率特性Study on Chuaπs Non l i near Chaotic C ircu it and Its Frequency Character isticJ i ang Guo-p i ng,CHENG Yan-yun(E lectronic E ng ineering D ep art m ent,nanj ing U niversity of P osts&T eleco mm unications,N anj ing210003,Ch ina)Abstract:Chao tic signal has the characteristic of large frequency band2w idth.How ever,in the real comm u2 n icati on app licati on,there is a li m itati on to the band2w idth fo r the channel.T hu s,how to adju st the fre2 quency bandw idth fo r real app licati on is a p rob lem in con siderati on.In th is p ap er,w e analyze the frequen2 cy sp ectrum in Chuaπs circu it w ith M atlab softw are.W e can ob tain the chao tic signal w ith the desired fre2 quency band2w idth by adju sting the p aram eters of Chuaπs circu it.Keywords:chao s;Chuaπs circu it;frequency characteristic0　引言混沌电路与系统理论经过30多年的发展,在科学和工程中得到了广泛的应用。

蔡氏混沌电路分析研究

蔡氏混沌电路分析研究蔡氏混沌电路分析研究摘要：众所周知，蔡氏电路是一种简单的非电子性电路设计，它可以表现出标准的混沌理论行为。

混沌是一种发生在确定系统中的不确定行为，表现为不同于平衡状态、周期状态和拟周期状态的这三种状态外的另一种状态，产生的混沌现象极为丰富。

随着社会的开展，混沌动力学以其内容丰富的特点，成为了一个被广泛研究应用的知识学科。

混沌现象是产生于确定性的状态方程中的一种相似随机的运动，在我们现实生活中较为广泛的存在。

在工程和电工电子学科上最近几年的开展前景也越来越开阔和活泼。

随着时代开展，在现实生活中，混沌应用取得了很大的成果，得到了广泛的成果研究。

尤其是混沌独电路这一局部，其中包括混沌压缩、混沌保密通信、混沌加密和混沌同步。

但是还有一些实际问题需要探讨和研究，作者通过文章来介绍蔡氏混沌电路的电路设计根底与存在的问题及其面临的挑战与机遇。

关键词：混沌电路；广泛；开展；问题文章着重介绍了蔡氏混沌电路的根本设计思路与混沌系统分析方法和混沌电路的根底设计，依据国内外对电路的研究，分析当前各种混沌系统，总结得出混沌电路的开展历史。

文章在理论根底的分析和参考文献研的前提下，对混沌电路的动力学行为的复杂性提出了一种具有多方向多漩涡吸引子的可扩展的蔡氏电路；对混沌振荡的频率那么提出了如MOS管的Colpitts振荡电路设计和同步的一种方法。

20年的时间，人们对蔡氏混沌电路的深入研究与探究，我们发现在蔡氏电路里呈现出来一种丰富的混沌力学行为。

且蔡氏混沌电路已经在保密通讯领域具备了一定的应用能力。

混沌学，是继量子论、相对论的20世纪第三次物理革命产物。

法国数学家在19世纪末期首次发现了动力学系统中的异归宿轨迹和同归宿轨迹，混沌现象作为存在在非线性动力学系统中的一种现象，虽没有复杂的运动形式，但具有普遍性的规律。

1 蔡氏混沌电路工作原理的介绍与研究意义蔡氏混沌电路由线性电感、线性电阻、非线性电阻各一个和线性电容两个组成的三阶段自治动态电路，非线性电阻的伏特安特性，是一个分段型函数，电路中电感L和电容LC振荡电路，有原型的电阻R和电容做成了一个源RC滤波电路。

混沌电路实验报告

一、实验目的1. 理解混沌现象的产生原理及其在电路中的应用。

2. 掌握混沌电路的基本搭建方法。

3. 通过实验观察混沌现象，并分析其特性。

4. 研究混沌电路在通信、加密等领域的应用潜力。

二、实验原理混沌现象是指在确定性系统中，由于初始条件的微小差异，导致系统行为表现出高度复杂、不可预测的特性。

混沌电路是一种模拟混沌现象的电路系统，通过非线性元件和反馈环路实现。

本实验采用蔡氏电路（Chua’s circuit）作为研究对象。

蔡氏电路是一种三阶互易非线性自治电路，由电阻、电容和电感元件组成，其中包含一个有源非线性元件。

通过改变电路参数，可以观察到混沌现象的产生。

三、实验仪器与设备1. 蔡氏电路实验板2. 双踪示波器3. 数字万用表4. 信号发生器5. 计算机及数据采集软件四、实验步骤1. 搭建蔡氏电路，确保电路连接正确。

2. 使用示波器观察电路的输出波形，记录初始状态下的波形特征。

3. 改变电路参数，如电阻、电容或电感，观察波形变化。

4. 逐步调整参数，观察混沌现象的产生、发展及消失过程。

5. 使用数字万用表测量电路关键参数，如电压、电流等。

6. 使用信号发生器输入不同频率的信号，观察电路对不同信号的响应。

五、实验结果与分析1. 混沌现象的产生：当电路参数调整至一定范围时，输出波形呈现出复杂、无规律的特性，即混沌现象。

2. 混沌现象的特性：敏感依赖初始条件：混沌现象对初始条件非常敏感，微小差异会导致截然不同的结果。

长期行为的不可预测性：混沌现象的长期行为具有不可预测性，即使初始条件相同，系统的状态也会随时间演化而发生变化。

分岔现象：混沌现象的产生与分岔现象密切相关。

当电路参数发生变化时，系统状态会出现分岔，从而产生混沌现象。

3. 混沌电路的应用：通信：混沌通信利用混沌信号的自相似性和非线性特性，实现信号的加密和解密。

加密：混沌密码学利用混沌现象的复杂性和不可预测性，设计出具有较高安全性的加密算法。

控制：混沌控制利用混沌现象的特性，实现对系统的精确控制。

蔡氏电路及混沌现象研究

蔡氏电路及混沌现象研究一、引言在非线性电路中蔡氏电路是迄今为止产生复杂动力学行为的最为有效和较为简单的电路之一。

混沌(chaos)现象的研究是非线性系统理论研究中的前沿课题之一,混沌现象普遍存在物理、化学、生物学，以及社会科学等等各个学科领域中,是在确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象,是非线性动力学系统特有的一种运动形式。

蔡氏电路是一个能产生混沌现象的最简单三阶自治电路[1]。

1983年，美籍华裔科学家蔡少棠教授首次提出了著名的蔡氏电路(chua’s circuit)。

它是历史上第一例用电子电路来证实混沌现象的电路，也是迄今为止在非线性电路中产生复杂动力学行为的最为有效和较为简单的电路之一。

通过改变蔡氏电路的拓扑结构或电路参数，可以产生倍周期分叉、单涡卷、周期3、双涡卷吸引子、多涡卷吸引子等十分丰富的混沌现象。

因此，蔡氏电路开启了混沌电子学的大门，人们已围绕它开展了混沌机理的探索、混沌在保密通信中的应用研究，并取得了一系列丰硕的成果。

图1(a)是蔡氏电路的电路拓扑图，它是一个三阶电路，有两个电容、一个电感、一个线性电阻，并含有一个非线性电阻元件N R，它的伏一安特性曲线如图1 (b)所示，是一个分段线性函数，中间一段呈现负电阻的特征，它可以用开关电源等电子电路来实现。

考虑图1(a)的电路，非线性电阻的伏安特性曲线由图1(b)给出。

蔡氏电路的动力学特性由下列各式描述：其中v c1，v c2和i L分别是C1，C2两端的电压以及流过￡的电流，g(vc1)是图(6)所示的分段线性化函数，G=1／R。

该电路描述可以写成无量纲的形式(即下面的正规化状态方程)：其中，α1和α2是参数，K(·)是非线性函数，满足如下方程：其中m0和m1是参数。

给定适当的参数，该系统表现出混沌行为。

方程(2)是非线性的微分方程组，一般需要用四阶龙格一库塔算法这样的数值方法求解。

其算法思想如下：基于Tavlor级数展开的方法，利用f在某些点处函数值的线性组合构造差分方程，从而避免高阶导数的计算。

蔡氏电路的混沌仿真研究

蔡氏电路的混沌仿真研究摘要：蔡氏电路是能产生混沌现象的典型且最简单三阶自治电路。

该文通过对该非线性电路建立数学模型，解释了产生混沌现象的原因，由李雅普诺夫指数分析了系统的动力学行为，从理论分析和Matlab仿真两个方面分别进行了研究。

结果表明，在一定条件下蔡氏电路能够产生双涡旋混沌吸引子，混沌行为复杂，从而理论分析在仿真实验中得到了证实。

关键词：蔡氏电路;李雅普诺夫指数;混沌1引言物理、化学、生物学，以及社会讲科学等等各个学科领域中都有混沌现象。

作为一种普遍存在的非线性现象，今年来许多专家和学者对非线性电路的混沌行为进行了广泛研究[1-6]，其中最典型的是由美国Berkeley大学的Leon.O.Chua提出的蔡氏电路（Chua’sCircuit），它是能产生混沌行为的最小、最简单的三阶自治电路[7]，其非线性动力学行为复杂丰富，这使得该混沌电路有可能在更广的领域得到应用，如混沌保密通信技术，传感器应用，混沌扩频通信技术等。

基于这些特点，对蔡氏电路的讨论和研究也有较高的实践意义。

2蔡氏电路模型一般自治动力系统产生混沌现象需要具备一定的条件：系统至少有三个状态变量，并且存在一定的非线性环节[8]。

蔡氏电路使用三个储能元件（电感L、两个电容C1和C2）和一个非线性电阻NR，电路如图1所示。

由Kirchhoff电流定律（KCL）和Kirchhoff电压定律（KVL），可推出图1电路的状态方程为：（1）其中，VC1为电容C1两端的电压，VC2为电容C2两端的电压，iL为通过电感L的电流，i（VC1）为非线性电阻NR的伏安特性函数：（2）非线性电阻NR是分段线性的蔡氏二极管，是核心元件，它由两个非线性电阻RN1与RN2并联构成，每个非线性电阻又分别由1个运算放大器和3个电阻组成，两个非线性电阻及其伏安特性如图2所示。

当适当选取电阻的参数值，使E2>>E1，同时也使E2远大于蔡氏电路正常工作时|VC1|的变化范围，则在电路工作范围内，RN2是一个线性负电阻，RN1与RN2并联后可实现非线性电阻NR的伏安特性，其中，，，。

蔡氏电路混沌现象仿真

引言混沌研究最先起源于 Lorenz研究天气预报时用到的三个动力学方程．后来的研究表明，无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨，但实际是非周期有序运动，即混沌现象．现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技术的众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响．随着计算机和计算科学的快速发展，混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。

而非线性电路是混沌及混沌同步应用研究的重要途径之一。

其中一个最典型的电路是三阶自治蔡氏电路，这个电路是由加州大学伯克利分校的蔡少棠首先发起研究的。

在这个电路中观察到了混沌吸引子。

蔡氏电路是能产生混沌行为最简单的自治电路，所有应该从三阶自治常微分方程描述的系统中得到的分岔和混沌现象都能够在蔡氏电路中通过计算机仿真和示波器观察到。

蔡氏电路虽然简单，但其中蕴含着丰富和复杂的非线性现象。

不须改变电路系统结构，只调整控制参数R，就能获得电路系统不同状态的响应输出信号[1]。

该文对产生混沌现象的蔡氏电路进行了研究,建立了数学模型,分析了产生混沌的原因,并根据建立的数学模型,利用MATLAB进行了仿真研究,仿真结果表明在一定的条件下该电路能够出现混沌双涡卷吸引子和稳定周期轨道。

+1 混沌学概述1.1混沌与非线性科学混沌学于上世纪六十年代初在美国兴起。

它是非线性系统中存在的一种普遍现象，也是非线性系统所特有的一种复杂状态。

所以我在论文中研究的蔡氏电路必然是一个非线性系统，确切地说是一个非线性动力系统。

从函数构造的角度来说，非线性系统要比“线性系统”更多、更普遍。

“线性系统”与“非线性系统”的不同之处至少有两个方面。

第一：线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统则不能。

第二：（也就是最本质的）非线性系统对初值极敏感，而线性系统则不然。

1.2混沌的含义混沌到目前为止，还没有一个统一的、有足够数学定理支持的、普遍适用和完美的混沌理论，所以只能通过混沌系统所表现出的一些普遍现象总结归纳出其所谓的本质。

蔡氏混沌实验报告

#### 实验背景混沌理论作为非线性动力学的一个分支，近年来在物理学、数学、生物学等多个领域都得到了广泛的研究和应用。

蔡氏电路（Chua's circuit）作为混沌现象的一个典型模型，因其简单性、可控性和易于实验验证的特点，成为了混沌研究的重要工具。

本实验旨在通过搭建蔡氏电路，观察并分析其混沌现象，加深对混沌理论的理解。

#### 实验目的1. 搭建蔡氏电路，观察其混沌现象。

2. 分析蔡氏电路混沌产生的条件及影响因素。

3. 研究蔡氏电路混沌同步现象。

#### 实验原理蔡氏电路是一种典型的三阶非线性自治电路，包含电阻、电容和电感三个基本元件，以及一个非线性电阻元件。

非线性电阻元件的电压-电流特性为三段线性函数，使得电路能够产生复杂的混沌行为。

蔡氏电路的数学模型由三个一阶常微分方程组成，分别描述电容C1和C2上的电压，以及电感L1上的电流强度。

方程如下：\[\begin{align}\frac{dV_1}{dt} &= \frac{1}{C_1}(I_L - I_R) \\\frac{dV_2}{dt} &= \frac{1}{C_2}(I_R - I_L) \\\frac{dI_L}{dt} &= \frac{1}{L_1}(V_1 - V_2) \\I_R &= f(V_1)\end{align}\]其中，\(I_L\)、\(V_1\)、\(V_2\) 分别表示电感L1上的电流、电容C1上的电压和电容C2上的电压，\(I_R\) 表示非线性电阻元件的电流，\(f(V_1)\) 表示非线性电阻元件的电压-电流特性。

#### 实验设备1. 蔡氏电路实验板2. 信号发生器3. 示波器4. 计算机及仿真软件（如MATLAB）#### 实验步骤1. 按照实验板说明书，搭建蔡氏电路。

2. 使用信号发生器为电路提供激励信号，调节信号参数。

3. 使用示波器观察电路输出信号，记录数据。

非线性电路混沌实验

非线性电路混动实验研究王艺涵西南大学物理科学与技术学院,重庆 400715摘要：混沌来自非线性。

非线性电路中有十分丰富的分岔和混沌现象。

本实验建立由有源非线性负阻、LC振荡器和RC移相器组成的非线性电路，通过调整电路的参数，用示波器观察一倍周期、两倍周期、三倍周期、四倍周期、阵法混沌、奇异吸引子和双吸引子及有源非线性负阻原件的伏安特性。

通过观察，加深对混沌现象的认识。

关键字：非线性混沌现象伏安特性电路1.引言混沌理论和量子力学，相对论一起被称之为20世纪物理学的三大科学改革沌研究最先起源于1963年洛伦兹(E．Lorenz)研究天气预报时用到的三个动力学方程，后来又从数学和实验上得到证实。

混沌来自非线性，是非线性系统中存在的一种普遍现象。

其中产生混沌现象最经典的非线性电路是美国加州大学伯克利分校的蔡少棠教授1985年提出的著名的蔡氏电路，蔡氏电路是能产生混沌行为的最简单的自治电路，是至今所知唯一的混沌实际物理系混沌现象。

2.混沌现象及蔡氏电路的介绍2.1.混沌现象混沌现象是指发生在确定性系统中中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。

混沌现象对初始条件具有极端敏感性，只要初始条件稍有偏差或微小的扰动，则会使得系统的最终状态出现巨大的差异。

这可以生动的用“蝴蝶效应”来比喻：在做气象预报时，只要一只蝴蝶扇一下翅膀，这一扰动，就会在很远的另一个地方造成非常大的差异。

因此混沌系统的长期演化行为是不可预测的。

虽然，混沌现象的出现使我们无法对系统的长期行为进行预测，但是我们完全可以利用混沌的规律对系统进行短期的行为预测，这样比传统的统计学方法更加有效。

2.2.非线性电路—蔡氏电路蔡氏电路（英语：Chua's circuit），一种简单的非线性电子电路设计，它可以表现出标准的混沌理论行为。

非线性混沌实验报告

一、实验目的1. 了解非线性混沌现象的产生机制和特点；2. 掌握非线性电路混沌现象的实验方法；3. 通过实验验证混沌现象在非线性电路中的存在和表现。

二、实验原理混沌现象是指非线性系统在初始条件和参数变化下，表现出对初始条件极为敏感、长期行为不可预测、复杂且非周期性的现象。

在非线性电路中，混沌现象通常由非线性元件（如非线性电阻、非线性电容等）引起。

本实验采用蔡氏振荡电路（Chua's circuit）作为研究对象，该电路具有以下特点：1. 简单易实现；2. 混沌现象明显；3. 可以通过调节电路参数来观察混沌现象的产生、发展和消失。

三、实验仪器与设备1. 数字示波器；2. 函数信号发生器；3. 万用表；4. 电路实验板；5. 连接线。

四、实验步骤1. 搭建蔡氏振荡电路，包括非线性电阻、线性电阻、电容和运算放大器等元件；2. 使用函数信号发生器为电路提供激励信号；3. 使用数字示波器观察电路输出信号的波形；4. 调节电路参数（如非线性电阻的值、电容的值等），观察混沌现象的产生、发展和消失；5. 记录不同参数下电路输出信号的波形，分析混沌现象的特点。

五、实验结果与分析1. 混沌现象的产生当非线性电阻的值较小时，电路输出信号为稳定的正弦波；随着非线性电阻的值逐渐增大，混沌现象开始出现。

在非线性电阻值达到一定范围时，电路输出信号呈现出复杂的非周期性波形，即混沌现象。

2. 混沌现象的特点（1）对初始条件的敏感依赖性：在混沌现象中，电路输出信号的长期行为对初始条件极为敏感，微小变化可能导致截然不同的结果。

（2）复杂性和非周期性：混沌现象的输出信号具有复杂性和非周期性，无法用简单的数学公式描述。

（3）奇怪吸引子：混沌现象的长期行为可以用奇怪吸引子来描述，奇怪吸引子是一种具有复杂结构的有序结构。

3. 参数调节对混沌现象的影响（1）非线性电阻的值：非线性电阻的值对混沌现象的产生和消失具有关键作用。

当非线性电阻的值较小时，电路输出信号为稳定的正弦波；随着非线性电阻的值逐渐增大，混沌现象开始出现。

电工电子综合实验_非线性电阻电路的应用—混沌电路

非线性电阻电路的应用—混沌电路摘要:本文以能产生混沌行为的最简的一种自治电路—蔡氏电路为基础，用一个非线性负电阻电路设计一个混沌电路关键词：混沌电路, 蔡氏电路，非线性电阻引言：蔡氏电路（英语：Chua's circuit），一种简单的非线性电子电路设计，它可以表现出标准的混沌理论行为。

在1983年，由蔡少棠教授发表，当时他正在日本早稻田大学担任访问学者[1]。

这个电路的制作容易程度使它成为了一个无处不在的现实世界的混沌系统的例子，导致一些人声明它是一个“混沌系统的典范正文:实验设备：Multisim 10.0电路仿真软件中的模拟元件1.万用表2.运算放大器OPA1013CN83.示波器4.直流电源5.电阻若干实验目的：1、通过实验感性地认识混沌现象，理解非线性科学中“混沌”一词的含义；2、学会借助Multisim10.0仿真软件对电路进行研究；3、掌握非线性电阻的非线性特征，以及其非线性电阻特征的测量方法；4、以非线性电阻电路为基础，设计混沌电路，观察混沌现象。

实验原理与方法：1.非线性电阻电路（1）列表法测量并作出伏安特性曲线利用OPA1013CN8运算放大器构成非线性负电阻电路如图1，并且具有如图2的伏安特性曲线图1图2改变V1的电压值，分别用万用表XMM1,XMM2分别测量电路的输入电压和输入电流，测得如表1所示数据，并绘制如图3所示伏安特性曲线。

U/V I/mA U/V I/mA U/V I/mA U/V I/mA-6.400 -2.619 -3.000 1.486 0.400 -0.274 3.800 -1.756-6.200 -1.940 -2.800 1.419 0.600 -0.411 4.000 -1.824-6.000 -1.261 -2.600 1.352 0.800 -0.548 4.200 -1.892-5.800 -0.582 -2.400 1.284 1.000 -0.686 4.400 -1.959-5.600 0.097 -2.200 1.217 1.200 -0.823 4.600 -2.026-5.400 0.777 -2.000 1.149 1.400 -0.946 4.800 -2.093-5.200 1.455 -1.800 1.082 1.600 -1.014 5.000 -2.040-5.000 2.041 -1.600 1.014 1.800 -1.082 5.200 -1.451-4.800 2.095 -1.400 0.946 2.000 -1.149 5.400 -0.771-4.600 2.026 -1.200 0.823 2.200 -1.217 5.600 -0.091-4.400 1.960 -1.000 0.686 2.400 -1.284 5.800 0.588-4.200 1.892 -0.800 0.548 2.600 -1.352 6.000 1.267-4.000 1.824 -0.600 0.411 2.800 -1.419 6.200 1.945-3.800 1.756 -0.400 0.274 3.000 -1.486 6.400 2.625-3.600 1.689 -0.200 0.137 3.200 -1.554-3.400 1.622 0.000 0.000 3.400 -1.622-3.200 1.554 0.200 -0.137 3.600 -1.689表1图3由以上分析测量可知，所搭建电路符合图1要求的伏安特性曲线。