蔡氏电路的建模_仿真及混沌稳定岛图的研究_刘孝贤

(2)实验的屏蔽条件也是影响实验结果的重要因素 .由于不能完全屏蔽的缘故 , 使得 实验系统与所建立数学模型之间有所差别 .
(3)实验元器件的影响 .由于所采用元器件参数的离散性 , 它们与其标称值并不完全 一致 , 从而它们所组成的实验系统与所建立数学模型之间有所差别 .
5 四阶混沌电路的电路模型
α(y -x -f (x))=0
x +f (x)=0
x -y +z =0
即 y =0
(3)
-β y =0
x +z =0
若 a ≠-1 , b ≠-1 , 且(b -a)/ (b +1)>1.可得方程(2)在状态空间的三个子空间 :
D1 = (x , y , z) x >1 , D 0 = (x , y , z) x ≤1 , D -1 = (x , y , z) x <-1 .
2001 年 8 月 第 31 卷 第 4
期
JOURNAL
山 东 工 业 大 学 学 报 OF SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Vol .31 No .4 Aug . 2001
蔡氏电路的建模 、仿真及混沌 稳定岛图的研究 ＊
刘孝贤 郭举修 刘 蓓① (山东大学信息科学与工程学院 济南 250061)
4 蔡氏电路的数值计算与软件仿真
采用龙格 -库塔算法[ 4] , 对(2)积分 , 初值 vC1(0)=0 .15264 , vC2(0)=-0 .02281 , iL(0)
=0 .38127 , 步长为 0 .001 , 选代 10000 次 , 得奇异吸引子的三个投影图(图 6).
(vC1 , v C2)平面上投影 (iL , vC1)平面上投影 (iL , vC2)平面上投影 图 5 实验中观察到的奇异吸引子
g1 =6 .3(v2 -v1), g2 =0 .7(v1 -v2)+v3 , g3 =-7v 2
2001 年
图 7 理想电路模型
由于理想电路模型中的 R 1 , R2 , R3 的值很大为 1000 MΨ, 主要起防止浮地的作用 , 对电 路的影响可忽略 .利用这个理想电路模型 , 可以得到初值条件为 vC1(0)=0 .15264 , vC2(0)= -0 .02281 , iL(0)=0 .38127 时奇异吸引子的三个二维投影图形(见图 8).
=(11010
,
100 7
,
-
8 7
), 平衡点 处特征值 为实数
2 .22
和一对共 轭复数
-0 .97 ±j2 .71.平衡点 P + , O , P -都是鞍点 .
3 蔡氏电路的电路实验
调节 R , 实验参数及结果见表 1.发现混沌经由两种途径产生 :倍周期分叉和周期递减 分叉 .图 5 是从双踪示波器上观测到的混沌吸引子在三个坐标平面内的波形 .
表 1 参数与电路状态(分叉与混沌)
参数 R/ kΨ 1 .52 0 1 .48 9 1 .45 2 1 .45 1 ……
1 .44 5 1 .43 7
电路 状态
稳定点
1 周期 2 周期 4 周期 …… 螺旋形混 沌吸引子 双涡旋混 沌吸引子
参数 R/ kΨ 1 .40 7 1 .39 4 1 .39 3 1 .37 4 1 .36 6 1 .34 7 1 .33 7
图 8 利用 Viewlogic 软件得到的奇异吸引子
以上仿真 、实验和分析表明 , 在系统周期性与混沌性判定上是一致的 .但对比图 5 、图 6 和图 8 发现 , 仿真与实验结果中波形和相图的形状并不完全相同 , 原因如下 :
(1)由于混沌电路系统自身对初值的敏感性 , 实验时周围环境的温度和湿度的微小扰 动都将对实验系统造成影响 , 使系统的波形和相图发生变化 .
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刘孝贤等 :蔡氏电路的建模 、仿真 及混沌稳定岛图的研究
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双踪示波器观察 vC1 -vC2间的相图变化 .
图 1 蔡氏电路结构 , 虚线内是蔡氏二极管的电路结构
蔡氏二极管的分段线性有如下特性 :
vR
<E
,
信号较小
,
二极管截止
,
如图
3
,
Ga
=iR vR
=-R 2 R1R3
=-0
.8ms
2 蔡氏电路的数学模型
取电容 C1 、C2 两端的电压 v C1 、vC2 , 及电感电流 i L 为状态变量 , 同时作代换 :x =vC1/ E , y =vC2/ E , z =i L/ (EG), τ=tG/ C2 , a =Ga/ G , b =Gb/ G , α=C2/ C1 , β =C2/(LG2).取 x , y , z 为状态变量 , 自变量 τ为时间 , 则
关键词 电路分析 ;浑沌 ;仿真/ 蔡氏电路 ;稳定岛图 中图分类号 TN701
三阶蔡氏电路是经典的混沌电路 , 文献多见研究其数学模型 、仿真 、电路实验 , 鲜见结 合多种方法研究并给出稳定岛图者 .本文将就三阶蔡氏电路的数学模型 、电路的仿真 、电路 实验进行综合研究 , 依据研究所积累的大量数据绘制蔡氏电路的稳定岛图 .
三个子空间内分别具有唯一平衡点如下(其中 k =(b -a)/(b +1)): P + =(k , 0 , -k)∈ D1 , O =(0 , 0 , 0)∈ D0 , P - =(-k , 0 , k)∈ D -1
在子空间中 , 方程(3)是线性 .令 X =(x , y , z)T , K =(k , 0 , -k)T , Jacobi 矩阵为
图 9 四阶非自治混沌电路
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为了构造四阶非自治混沌电路 , 可以将蔡氏电路的 L 臂改为两个电感 L1 、L2 的并联 , 在 L1 支路上加 入信号 vs (t )=Esin(2πft )(图 9).非线 性电阻 NR 采用 Kennedy 蔡氏 二极 管[ 8 ～ 10] , 调整各元件参数值 , 即可观察到各种复杂的周期分叉及混沌现象 .
;
vR 增至 vR >E 时 ,D1 导通 、D2 截止 , 如图 4 , Gb =R14 -RR1R2 3 =-0 .5ms ;
图 2 蔡氏二极管的特性曲线 图 3 vR <E 图 4 vR >E
同上 , 当 v R <-E 时 ,D2 导通 、D1 截止 , 则 Gb =-0 .5ms , 因此 : g(v R)= Gb vR +0 .5(Ga -Gb) v R +E +0 .5(Gb -Ga) v R -E =
(vC1 , v C2)平面上投影 (iL , vC1)平面上投影 (iL , vC2)平面上投影
图 6 直接积分方等程到的奇异吸引子
利用 Viewlogic 软件进行仿真 :将蔡氏电路的各项参数代入(1)中 , 并整理得 :
-0 .5vC1 +0 .3 , vC1 <-1
摘 要 从电路实验 、建模及数值计算仿真等方面对三阶蔡氏电路进行了较详细的研 究 , 研究结果的一致性说明建立的该电路的数学模型的有效性 .最后设计实现了一个四阶 非自治混沌电路 , 并经实验证明该电路能够产生复杂的非线性动力学行为 .以电路实验数 据为依据 , 首次绘制出三阶混沌电路的稳定岛图 .
v1
,v2,
v3
分别对应
v C1 ,
vC2
,
i
[ L
7]
.C1
=C 2 =C 3 =1F
.
而压控电流源 g0 , g1 , g2 , g3 的具体表示如下
g0 =C1 ×g(v1)=9 ×(0 .0381v17 -0 .2933v15 +0 .7167v13 -1 .2614v1)
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图中 , R 1 =R2 =300 Ψ, R3 =1 .25 kΨ, R4 =R 5 =3 .3 kΨ, R6 =R7 =46 .2 kΨ, R 的调节范围为 1.3 kΨ到 1.6 kΨ, C1 =0 .0055 μF , C2 =0 .05 μF , L =8 .2 mH .运放用 μA741 , 二级管用 IN4148 , 用
g(vC1)= -0 .8vC1 , -1 ≤vC1 ≤1
(6)
-0 .5vC1 -0 .3 , vC1 >-1 作 Lagrange 插值[ 3] , 得 g(vC1)=0 .0381vC17 -0 .2933vC15 +0 .7167vC13 -1 .2614vC1 , 而方
GbvR +E(Ga -Gb), vR > E
GavR , vR ≤ E
(1)
GbvR -E(Ga -Gb), vR <-E
分析表明 , 蔡氏二极管在不同 vR 值下呈分段线性 .R 较大时 , 电路呈正阻性 , 产生衰减 振荡 ;减小 R 值 , 电路因 呈负阻 性而 出现 增幅 振荡 , 导致 电路 不稳 定并 产生混 沌现 象 . μA741 和周围电阻电路形成线性负阻 , 仍属线性 , 本身不产生混沌现象 .
(5)
A(α, β , b)(X +K ) , X ∈ D-1
对应方程(2), α=11010 , β =1070 , a =-87 , b =-57 .
在
D1
和
D -1内
,
Ap
源自文库
=(11010
,
100 7
,
-57
), 平衡点处特征值为
-3
.94
和一对共轭复数
0
.19
±j3 .05 .在
D0
内,
A0
在一定范围内连续调节电路参数 , 记录产生周期分叉及混沌现象的参数值 , 并绘制成 二维平面图 , 即得到该混沌电路的稳定岛图 .由于实验和绘制图形工作量大 , 研究混沌电路 的文献很少涉及 .从本文给出的混沌电路的稳定岛图中 , 可以看出电路具有的各周期窗口 和混沌区的分布规律 , 以及电路稳定的参数范围 .这对进一步研究该电路的稳定机制和可 控性具有重要意义 .本文还设计并研究了四阶混沌电路 .
程组(2)又可整理为
v′C1 = G(vC2 -vC1)/ C1 -g(vC1)/ C1
v′C2 = G(vC1 -vC2)/ C2 +i L/ C2
(7)
i′L =-vC2/ L
将方程右边的多项式看作受控源[ 5 , 6] , 则方程代表压控电流源和电容的并联结构 , 其电
路模型如图 7.其中
研究三阶 、四阶混沌电路 , 有助于设计实用混沌电路和研究混沌保密通信系统 .
1 蔡氏电路的电路模型
蔡氏电路产生混沌现象的关键元件是称为蔡氏二极管的非线性电阻 , 实现方法很多 . 本文采用单运放加双二极管实现蔡氏电路[ 1] , 如图 1 所示 .其电压(v R)-电流(i R)特性如 图 2 所示 .图中 ±E 点为分段点 , 对照图 1 , E 为使二极管导通的临界电压值 .
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2001 年
x′=α(y -x -f(x))
bx +a -b , x >1
y′=x -y +z
, 其中 f (x)= ax , x ≤1
(2)
z′=-β y
bx -a +b , x <-1
式中微分(求导)都是对变量 τ进行 .方程(2)关于状态平面原点对称[ 2 , 3] .令
-α(c +1) α 0
A(α, β , c)= 1
-1 1
(4)
0
-β 0
其中 , 在子空间 D 0 中 , c =a , 在子空间 D1 和 D -1中 , c =b.则方程(3)可改写为 : A(α, β , b)(X -K ) , X ∈ D1
X﹒ = A(α, β , a)X , X ∈ D 0
电路状 态
4 -5 周期窗口 3 -4 周期窗口 3 -3 周期窗口 2 -3 周期窗口 2 -2 周期窗口 2 -1 周期窗口
外环
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Lyapunov 指数是判定系统是否混沌的标准之一 , 计算蔡氏电路的 Lyapunov 指数为 :λ1 = 0 .23 , λ2 =0 , λ3 =-1 .78 , 由于 λ1 >0 , 因而系统对于指定的参数是混沌的 .
收稿日 期 :2001-05-11 ＊ 本 文受山 东省自 然科学基 金(Y98G06102)资助 ① 刘 蓓 , 中国 科 学院声学研究所 .
作者简 介 刘孝贤 , 男 , 1946 年生 .主要研 究混 沌 、分形及 动力 系统 的理论 及应 用 , 发表学 术论 文 50 多篇.郭举修 , 男 , 34 岁 , 主要研究通信工程 .刘蓓 , 中国科学院声学研 究所博士研究生.