混沌现象
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基础研究主要的任务是认识世界 基础研究的成果导致技术革命 三类系统 1. 简单系统：混沌现象往往需要避免 简单系统： 2. 大量情况：混沌的作用不能简单的以“利”、 大量情况：混沌的作用不能简单的以“ “害”名之 3. 复杂系统，生命现象：混沌可能起着根本性 复杂系统，生命现象： 的积极作用
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近代物理 概 论
混 沌 现 象
一、什么是非线性
什么是线性？线性可以说是简单的比例关系。 什么是线性？线性可以说是简单的比例关系。 线性 非线性的特点： 非线性的特点： 第一，线性是简单的比例关系， 第一，线性是简单的比例关系，而非线性是对这种 关系的偏离。 关系的偏离。 线性关系： 水涨船高” 非线性关系： 线性关系：“水涨船高”；非线性关系：“达犹不 及” 第二，线性关系是互不相干的独立贡献， 第二，线性关系是互不相干的独立贡献，而非线性 则是相互作用。 则是相互作用。 线性关系：独立因素的叠加，整体等于部分之和。 线性关系：独立因素的叠加，整体等于部分之和。 非线性关系：反映相互作用，整体不等于部分之和. 非线性关系：反映相互作用，整体不等于部分之和
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近代物理 概 论
混 沌 现 象
第三，对于理解混沌现象有重要意义的一条差别： 第三，对于理解混沌现象有重要意义的一条差别： 线性关系保持讯号的频率成分不变， 线性关系保持讯号的频率成分不变，而非线性使频率结 构发生变化。 构发生变化。 线性：频率成分不变；非线性： 线性：频率成分不变；非线性：频率变换器 第四，非线性是引起行为突变的原因。 第四，非线性是引起行为突变的原因。 线性：引起行为渐变；非线性： 线性：引起行为渐变；非线性：可能导致突变
近代物理 概 论
混 沌 现 象
百度文库
主讲: 主讲: 刘玉波
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近代物理 概 论
混 沌 现 象 混沌现象是广泛存在于自然界的一种运动形式 ——混沌运动。 混沌运动。 混沌运动 随机运动：简单一点说就是运动没有规律， 随机运动：简单一点说就是运动没有规律，完全
不可预言，是随机的。 不可预言，是随机的。
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近代物理 概 论
混 沌 现 象
六．混沌的定义和刻划
埃侬模型 罗伦兹吸引子模型 具有分维的吸引子叫做奇怪吸引子 具有分数维数的对象叫做分形 刻划混沌运动的指标: 刻划混沌运动的指标 分数维数和李雅普诺夫指数
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近代物理 概 论
混 沌 现 象
七．混沌的应用
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近代物理 概 论
混 沌 现 象 混沌运动的三个特点： 混沌运动的三个特点： (1) 分频 倍周期 分频(倍周期 倍周期) (2) 突变 阈值 突变(阈值 阈值) (3) 阈值出现无穷多次
混沌道路
五．实验室和自然界里的混沌现象
1. 流体的运动 2. 化学混沌 3. 城市里面的流行病 4. 厄尔尼诺现象
混 沌 现 象
所谓“确定论系统” 所谓“确定论系统”，是指描述该系统的数学模 型是不包含任何随机因素的完全确定的方程。 型是不包含任何随机因素的完全确定的方程。 混沌现象是确定论系统所表现出来的随机行为的 混沌现象是确定论系统所表现出来的随机行为的 总称。它的根源在于非线性的相互作用。 总称。它的根源在于非线性的相互作用。
马尔萨斯人口论模型： 马尔萨斯人口论模型：
x n+1 = axn
2 x n +1 = ax n − bx n
线性模型 最简单的非线性模型
混沌道路
四、通向混沌的各种道路
1. 倍周期分岔道路 2. 阵发混沌道路 倍周期分岔和阵发混沌是两种最常见的通向混沌的 道路。实际上，可以说有无穷多种通向混沌的道路。 道路。实际上，可以说有无穷多种通向混沌的道路。
上田
二、强迫摆的混沌运动
对摆施加周期性外力，使它成为强迫摆， 对摆施加周期性外力，使它成为强迫摆，方程为
d2ϕ dϕ +k + ω2 (1 + Asin(Ωt )) sinϕ = 0 2 dt dt
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单摆 单摆到混沌
4
近代物理 概 论
混 沌 现 象
虫口模型
三、动力学行为丰富的简单虫口模型
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什么是线性？线性可以说是简单的比例关系。 什么是线性？线性可以说是简单的比例关系。 线性 非线性的特点： 非线性的特点： 第一，线性是简单的比例关系， 第一，线性是简单的比例关系，而非线性是对这种 关系的偏离。 关系的偏离。 线性关系： 水涨船高” 非线性关系： 线性关系：“水涨船高”；非线性关系：“达犹不 及” 第二，线性关系是互不相干的独立贡献， 第二，线性关系是互不相干的独立贡献，而非线性 则是相互作用。 则是相互作用。 线性关系：独立因素的叠加，整体等于部分之和。 线性关系：独立因素的叠加，整体等于部分之和。 非线性关系：反映相互作用，整体不等于部分之和. 非线性关系：反映相互作用，整体不等于部分之和
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第三，对于理解混沌现象有重要意义的一条差别： 第三，对于理解混沌现象有重要意义的一条差别： 线性关系保持讯号的频率成分不变， 线性关系保持讯号的频率成分不变，而非线性使频率结 构发生变化。 构发生变化。 线性：频率成分不变；非线性： 线性：频率成分不变；非线性：频率变换器 第四，非线性是引起行为突变的原因。 第四，非线性是引起行为突变的原因。 线性：引起行为渐变；非线性： 线性：引起行为渐变；非线性：可能导致突变
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混 沌 现 象 混沌现象是广泛存在于自然界的一种运动形式 ——混沌运动。 混沌运动。 混沌运动 随机运动：简单一点说就是运动没有规律， 随机运动：简单一点说就是运动没有规律，完全
不可预言，是随机的。 不可预言，是随机的。
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七．混沌的应用
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混 沌 现 象 混沌运动的三个特点： 混沌运动的三个特点： (1) 分频 倍周期 分频(倍周期 倍周期) (2) 突变 阈值 突变(阈值 阈值) (3) 阈值出现无穷多次
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五．实验室和自然界里的混沌现象
1. 流体的运动 2. 化学混沌 3. 城市里面的流行病 4. 厄尔尼诺现象
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所谓“确定论系统” 所谓“确定论系统”，是指描述该系统的数学模 型是不包含任何随机因素的完全确定的方程。 型是不包含任何随机因素的完全确定的方程。 混沌现象是确定论系统所表现出来的随机行为的 混沌现象是确定论系统所表现出来的随机行为的 总称。它的根源在于非线性的相互作用。 总称。它的根源在于非线性的相互作用。
马尔萨斯人口论模型： 马尔萨斯人口论模型：
x n+1 = axn
2 x n +1 = ax n − bx n
线性模型 最简单的非线性模型
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四、通向混沌的各种道路
1. 倍周期分岔道路 2. 阵发混沌道路 倍周期分岔和阵发混沌是两种最常见的通向混沌的 道路。实际上，可以说有无穷多种通向混沌的道路。 道路。实际上，可以说有无穷多种通向混沌的道路。
上田
二、强迫摆的混沌运动
对摆施加周期性外力，使它成为强迫摆， 对摆施加周期性外力，使它成为强迫摆，方程为
d2ϕ dϕ +k + ω2 (1 + Asin(Ωt )) sinϕ = 0 2 dt dt
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虫口模型
三、动力学行为丰富的简单虫口模型