2017安徽省中考数学试卷

2017年安徽省中考数学试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正确的．1.12的相反数是（ ） A.12 B ．-12 C ．2 D ．-2 2．计算(-a 3)2的结果是（ ）A ．a 6B ．-a 6C ．-a 5D ．a 53．如图，一个放置在水平实验台上的锥形瓶，它的俯视图为（ ）4．截至2016年底，国家开发银行对“一带一路”沿线国家累计发放贷款超过1600亿美元．其中1600亿用科学记数法表示为（ ）A ．16×1010B ．1.6×1010C ．1.6×1011D ．0.16×1012 5．不等式4－2x ＞0的解集在数轴上表示为（ ）6．直角三角板和直尺如图放置．若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°第6题图 第7题图7．为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了其中100名学生进行统计，并绘成如图所示的频数直方图．已知该校共有1000名学生，据此估计，该校五一期间参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数大约是（ ）A ．280B ．240C ．300D ．2608．一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x ，则x 满足（ ）A ．16(1＋2x )＝25B ．25(1－2x )＝16C ．16(1＋x )2＝25D ．25(1－x )2＝169．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与反比例函数y ＝bx 的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y ＝bx ＋ac 的图象可能是（ ）10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3.动点P 满足S △P AB ＝13S 矩形ABCD .则点P 到A ，B 两点距离之和P A ＋PB 的最小值为（ ）A.29B.34 C ．5 2 D.41第10题图二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．27的立方根是________．12．因式分解：a 2b －4ab ＋4b ＝________．13．如图，已知等边△ABC 的边长为6，以AB 为直径的⊙O 与边AC ，BC 分别交于D ，E 两点，则劣弧DE ︵的长为______．第13题图 第14题图14．在三角形纸片ABC 中，∠A ＝90°，∠C ＝30°，AC ＝30 cm.将该纸片沿过点B 的直线折叠，使点A 落在斜边BC 上的一点E 处，折痕记为BD (如图1)，剪去△CDE 后得到双层△BDE (如图2)，再沿着过△BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形．则所得平行四边形的周长为________ cm.三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．计算：|－2|×cos60°－(13)－1.16．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。

问人数，物价各几何？ 译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？请解答上述问题．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，游客在点A 处坐缆车出发，沿A －B －D 的路线可至山顶D 处．假设AB 和BD 都是直线段，且AB ＝BD ＝600 m ，α＝75°，β＝45°，求DE 的长．(参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，2≈1.41)第17题图18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC 和△DEF (顶点为网格线的交点)，以及过格点的直线l .(1)将△ABC 向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形； (2)画出△DEF 关于直线l 对称的三角形； (3)填空：∠C ＋∠E ＝________°.第18题图五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．【阅读理解】我们知道，1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，那么12＋22＋32＋…＋n 2结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2＋2，即22；……；第n 行n 个圆圈中数的和为，即n 2.这样，该三角形数阵中共有n （n ＋1）2个圆圈，所有圆圈中数的和为12＋22＋33＋…＋n 2.第19题图1【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n －1行的第一个圆圈中的数分别为n －1，2，n )，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________．由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3(12＋22＋32＋…＋n 2)＝________．因此，12＋22＋32＋…＋n 2＝________．第19题图2【解决问题】根据以上发现，计算12＋22＋32＋…＋201721＋2＋3＋…＋2017的结果为________．20．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，∠B ＝∠D ，AD 不平行．．于BC ，过点C 作CE ∥AD 交△ABC 的外接圆O 于点E ，连接AE .(1)求证：四边形AECD 为平行四边形； (2)连接CO ，求证：CO 平分∠BCE .第20题图六、(本题满分12分)21．甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如下： 甲：9，10，8，5，7，8，10，8， 8， 7； 乙：5， 7，8，7，8，9， 7，9，10，10；丙：7， 6，8，5，4，7， 6，3， 9， 5. (1)根据以上数据完成下表：平均数 中位数 方差 甲 8 8 ________ 乙 8 8 2.2 丙6________3(2)依据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由；(3)比赛时三人依次出场，顺序由抽签方式决定．求甲、乙相邻出场的概率．七、(本题满分12分)22．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x(元/千克) 50 60 70销售量y(千克) 100 80 60(1)求y与x之间的函数表达式；(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？八、(本题满分14分)23．已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．(1)如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F.①求证：BE＝CF；②求证：BE2＝BC·CE.(2)如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC·CE，连接AE交CM于点G，连接BG 并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值．图1 图2第23题图2017年安徽省中考数学试卷参考答案与试题解析1. B 【解析】由互为相反数的两个数的和为0可知，12的相反数为－12.2. A 【解析】(－a 3)2＝(－1)2·(a 3)2＝a 3×2＝a 6.3. B 【解析】由实物图可知该锥形瓶是由上方圆柱和下方圆台组成的一个几何体，∴该锥形瓶的俯视图是一个同心圆，故选B.4. C 【解析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数.1亿＝108，∴1600亿＝1600×108＝1.6×103×108＝1.6×1011.5. D 【解析】解4－2x >0，得x <2，在数轴上表示为.6. C 【解析】如解图①，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，则∠B ＝60°，过点B 作直尺两边的平行线可得∠1＝∠3＝20°，∠2＝∠4＝60°－∠3＝60°－20°＝40°，故选C.第6题解图① 【一题多解】如解图②，∠3＝∠1＋30°＝20°＋30°＝50°，∴∠4＝∠3＝50°，∠5＝∠4＝50°，∠2＝∠6＝90°－∠5＝90°－50°＝40°.第6题解图②7. A 【解析】由条形统计图可知，参加社团活动在8～10小时之间的学生数是：100-8-24-30-10＝28，∴在所抽查的100名学生中参加社团活动时间在8～10小时之间的学生所占的比例为28100＝0.28，由样本估计总体可得全校1000名学生参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数大约是1000×0.28＝280.8. D 【解析】原价为25元/盒，两次降价后的价格为16元/盒，两次降价的百分率都为x ，根据题意可得：25(1-x )2＝16.9. B 【解析】∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与反比例函数y ＝bx 的交点横坐标为1，且交点在第一象限，将x ＝1代入反比例函数表达式可得y ＝b1＝b ＞0，交点坐标为(1，b )，将(1，b )代入抛物线表达式可得b ＝a ＋b ＋c ，∴a ＋c ＝0，∴ac 互为相反数，故ac <0，∴对于直线y ＝bx ＋ac ，∵b >0，ac <0，∴图象过一、三、四象限．10. D 【解析】如解图所示，设△P AB 底边AB 上的高为h ，∵S △P AB ＝13S 矩形ABCD ，∴12·AB ·h＝13·AB ·AD ，∴h ＝2，为定值，在AD 上截取AE ＝2，作EF ∥AB ，交CD 于F ，故P 点在直线EF 上 ，作点A 关于直线EF 的对称点A ′，连接A ′B ，交直线EF 于点P ，此时P A ＋PB 最小，且P A ＋PB ＝A ′B ＝AA ′2＋AB 2＝42＋52＝41.第10题解图11. 3 【解析】∵33＝27，∴27的立方根为3.12. b (a －2)2 【解析】观察多项式有三项，且有公因式b ，故先提取公因式b ，再用完全平方公式因式分解．a 2b －4ab ＋4b ＝b (a 2－4a ＋4)＝b (a －2)2.13. π 【解析】在等边△ABC 中，∠A ＝∠B ＝60°，如解图，连接OE 、OD ，OB ＝OE ＝OD ＝OA ＝12AB ＝12×6＝3，∴∠BOE ＝∠AOD ＝60°，∴∠DOE ＝60°，∴DE ︵＝60·π·3180＝π.第13题解图14. 40或8033【解析】在Rt △ABC 中，AC ＝30，∠C ＝30°，可得AB ＝BE ＝103，由对称性可知∠ABD ＝∠EBD ＝30°，∴在Rt △ABD 中，AD ＝10，∴AD ＝DE ＝10，CD ＝20.a .如解图①所示，当沿过E 点的直线剪开，展开后所得平行四边形是以AD 和DE 为邻边的平行四边形ADEF 时，∵AD ＝DE ＝10，∴所得平行四边形ADEF 的周长为4AD ＝40；b ．如解图②所示，当沿过D 点的直线剪开，展开后所得平行四边形是以∠B 为顶角，BD 为对角线的平行四边形DFBG 时，由折叠性质可得DG ＝DF ，DF ∥AB ，∴DF ∶AB ＝CD ∶CA ＝2∶3，AB ＝103，∴DF ＝2033，∴所得平行四边形DFBG 的周长为4DF＝8033.第14题解图① 第14题解图②15. 解：原式＝2×12－3 ......................(6分)＝－2. .............(8分)16. 解：(方法一)设共有x 人，依题意得：8x －3＝7x ＋4， ..................(3分) 解得x ＝7，8x －3＝8×7－3＝53， ................(7分)答：共有7个人，物品价格为53元. ...................(8分) (方法二)设共有x 人，价格为y 元，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧8x －3＝y 7x ＋4＝y ， ....................(3分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝53. ....................(7分)答：共有7个人，物品价格为53元． ............................(8分) 17. 解：(方法一)在Rt △BDF 中，由sin β＝DFBD可得，DF ＝BD ·sin β＝600×sin45°＝600×22＝3002≈423(m)． ..........(3分) 在Rt △ABC 中，由cos α＝BCAB可得，BC ＝AB ·cos α＝600×cos75°≈600×0.26＝156(m)． ........(6分) ∴DE ＝DF ＋EF ＝DF ＋BC ≈423＋156＝579(m)． .................(8分) (方法二)如解图，连接AD ，过点B 作BG ⊥AD ，∵AB ＝BD ＝600 m ， ∴AG ＝GD ＝12AD ，∠ABG ＝∠DBG ＝12∠ABD ，又∵α＝75°，β＝45°，∠FBC ＝90°，∴∠ABD ＝360°－75°－45°－90°＝150°， ∴∠ABG ＝75°，∴∠DAB ＝∠BAC ＝15°，∠DAE ＝30°， 在Rt △ABG 中，sin ∠ABG ＝AGAB， ∴AG ＝AB ·sin ∠ABG ＝600×sin75°≈600×0.97＝582(m) 在Rt △DEA 中，∵∠DAE ＝30°， ∴DE ＝12AD ＝AG ＝582(m)． ........................(8分)第17题解图18. 解：(1)如解图所示； ................... (3分)(2)如解图所示； ...................(6分)第18题解图(3)45. ................... (8分)【解法提示】∵平移和轴对称变换不改变图形的形状和大小，∴∠C ＋∠E ＝∠A ′C ′F ′， 如解图，连接A ′F ′，△A ′C ′F ′在边长为1个长度单位的小正方形组成的网格中的格点三角形，∴A ′C ′＝5，A ′F ′＝5，F ′C ′＝10，A ′C ′＝A ′F ′，∴A ′C ′2＋A ′F ′2＝F ′C ′2，∴△A ′C ′F ′是等腰直角三角形，∴∠C ＋∠E ＝∠A ′C ′F ′＝45°. 19. 解：【规律探究】2n ＋1. ..............(3分)n （n ＋1）（2n ＋1）2； ................(6分)n （n ＋1）（2n ＋1）6； .........(8分)【解法提示】第n －1行的第一个圆圈中的数分别为n －1，2，n ，则n －1＋2＋n ＝2n ＋1；3(12＋22＋32＋…＋n 2)＝(1＋2＋3＋…＋n )(2n ＋1)＝n （n ＋1）（2n ＋1）2；12＋22＋32＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）2·13＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.【解决问题】1345. .............(10分)【解法提示】12＋22＋32＋…＋201721＋2＋3＋…＋2017＝2017×（2017＋1）（2×2017＋1）62017×（2017＋1）2＝2×2017＋13＝1345. 20. (1)证明：∵∠B ＝∠D ，∠B ＝∠E ，∴∠D ＝∠E . ...........................(10分) ∵CE ∥AD ，∴∠E ＋∠DAE ＝180°， ∴∠D ＋∠DAE ＝180°， ∴AE ∥DC .∴四边形AECD 为平行四边形； .................(5分)(2)证明：(方法一)如解图①，过点O 作OM ⊥EC ，ON ⊥BC ，垂足分别为M 、N . ∵四边形AECD 是平行四边形， ∴AD ＝EC ， 又AD ＝BC ， ∴EC ＝BC ， ∴OM ＝ON ，∴CO 平分∠BCE . .......................(10分)第20题解图①(方法二)如解图②，连接OB 、OE ，在△COE 和△COB 中，⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝CO CE ＝CB EO ＝BO ，∴△COE ≌△COB (SSS)，∴∠ECO ＝∠BCO ， ∴CO 平分∠BCE .第20题解图②21. 解：(1)2，6； ...................(4分)【解法提示】s 2甲＝110[(9－8)2＋(10－8)2＋(8－8)2＋(5－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2]＝2，丙的中位数，先将10个数据从小到大排列：3，4，5，5，6，6，7，7，8，9，排在第5、6位的数字均为6，∴中位数是6.(2)∵2<2.2<3，所以s 2甲<s 2乙<s 2丙，这说明甲运动员的成绩最稳定； ......................(6分) (3)画出树状图如解图：第21题解图出场顺序共有6种等可能的结果，其中甲乙相邻出场的有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙、丙乙甲，共4种情况， ∴甲乙相邻出场的概率P ＝46＝23. ..............................................(12分)22. 解：(1)设y ＝kx ＋b .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋b ＝10060k ＋b ＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝200，∴所求函数表达式为y ＝－2x ＋200； .......................(4分)(2)W ＝(x －40)(－2x ＋200)＝－2x 2＋280x －8000； ....................(7分) (3)W ＝－2x 2＋280x －8000＝－2(x －70)2＋1800， 其中40≤x ≤80，∵－2<0，∴当40≤x <70时，W 随x 的增大而增大；当70<x ≤80时，W 随x 的增大而减小；当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元． ...................(12分)23. (1)①证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCF ＝90°，又∠AGB ＝90°，∴∠BAE ＋∠ABG ＝90°，又∵∠ABG ＋∠CBF ＝90°，∴∠BAE ＝∠CBF .∴△ABE ≌△BCF (ASA)，∴BE ＝CF ； ...................(4分)②证明：(方法一)∵∠AGB ＝90°，点M 为AB 的中点，∴MG ＝MA ＝MB ，∴∠GAM ＝∠AGM .又∵∠CGE ＝∠AGM ，∴∠CGE ＝∠CBG ，又∵∠ECG ＝∠GCB ，∴△CGE ∽△CBG .∴CE CG ＝CG CB，即CG 2＝BC ·CE ， ∵∠CFG ＝∠GBM ＝∠BGM ＝∠CGF ，得CF ＝CG .由①知，BE ＝CF ，∴BE ＝CG ，∴BE 2＝BC ·CE . .........................................(9分)(方法二)∵∠AGB ＝90°，M 是AB 的中点，∴∠MG ＝BM ，∴∠MGB ＝∠MBG ＝∠CFG ＝∠CGF ，∴CF ＝CG ，又由①知，CF ＝BE ，∴CG ＝BE ，∵∠CGF ＋∠CGE ＝90°，∴∠MBG ＋∠GBE ＝90°，∴∠CGE ＝∠EBG ，∴△CEG ≌△CGB ，∴CG 2＝BC ·CE ，即BE 2＝BC ·CE . ....................(9分)(2)解：(方法一)延长AE ，DC 交于点N (如解图①)，∵正方形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD .∴∠N ＝∠EAB ，又∵∠CEN ＝∠BEA ，∴△CEN ∽△BEA .∴CE BE ＝CN BA，即BE ·CN ＝AB ·CE ， ∵AB ＝BC ，BE 2＝BC ·CE ，∴CN ＝BE ，∵AB ∥DN ，∴CN AM ＝CG GM ＝CF MB. 又∵AM ＝MB ，∴FC ＝CN ＝BE ，不妨假设正方形边长为1.设BE ＝x ，则由BE 2＝BC ·CE ，得x 2＝1·(1－x )．解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)， ∴BE BC ＝5－12. ∴tan ∠CBF ＝FC BC ＝BE BC ＝5－12. ...................(14分) (方法二)不妨假设正方形边长为1，设BE ＝x ，则由BE 2＝BC ·CE ，得x 2＝1·(1－x )． 解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)， 即BE ＝5－12. 作GN ∥BC 交AB 于点N (如解图②)，则△MNG ∽△MBC ，∴MN NG ＝MB BC ＝12. 设MN ＝y ，则GN ＝2y ，GM ＝5y ， ∵GN BE ＝AN AB ，即2y 5－12＝y ＋121， 解得y ＝125，∴GM ＝12， ∴GM ＝MA ＝MB ，此时点G 在AB 为径的圆上．∴△AGB 是直角三角形，且∠AGB ＝90°.由(1)知BE ＝CF∴tan ∠CBF ＝FC BC ＝BE BC ＝5－12. ..................................(14分) (方法三)过点M 作BC 的平行线交AE 于点N (如解图③)，设BM ＝x ，则AM ＝x ，AB ＝BC ＝2x ，由BE 2＝BC ·CE 得，AE 2＝2x ·(2x －BE )，解得BE ＝(5－1)x ，∴CE ＝2x ·(2x －BE )，解得BE ＝(5－1)x ，∴CE ＝2x －BE ＝(3－5)x ，MN ＝12BE ＝5－12x ， ∵MN ∥BC ，∴△MNG ∽△CEG ，∴MN CE ＝MG GC ，∵CM ＝BC 2＋BM 2＝5x ， ∴MG CG ＝5－16－25，MG CM ＝MG CG ＋MG ＝5－16－25＋5－1＝5－16－25＋5－1＝5－15－5＝55， ∴MG ＝55·5x ＝x ，CG ＝5x －x ＝(5－1)x ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，CF ＝CG ，∴tan ∠CBF ＝CF BC ＝5－12. .....................................(14分)图① 图② 图③第23题解图。