自动控制原理实验-系统的根轨迹分析
自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
CATALOGUE
根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
CATALOGUE
根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
CATALOGUE
根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
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第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
自动控制原理-线性系统的根轨迹实验报告
一、 实验结果及分析1.（1） )136)(22()(22++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制： MATLAB 语言程序： 运行结果：num=[1];den=[1 8 27 38 26 0];rlocus(num,den)[r,k]=rlocfind(num,den)gridxlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis')title('Root Locus')选定图中根轨迹与虚轴的交点，单击鼠标左键得：selected_point =0.0021 + 0.9627ik = 28.7425 r =-2.8199 + 2.1667i-2.8199 - 2.1667i-0.0145 + 0.9873i-0.0145 - 0.9873iG=tf([1,12],[1,23,242,1220,1000]);rlocus (G);[k,r]=rlocfind(G)G_c=feedback(G,1);step(G_c)结论：根轨迹与虚轴有交点，所以在K 从零到无穷变化时，系统的稳定性会发生变化。
由根轨迹图和运行结果知，当0<K<28.7425时，系统总是稳定的。
（2） )10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制： MATLAB 语言程序： 运行结果：num=[1 12]；den=[1 23 242 1220 1000];rlocus(num,den)[k,r]=rlocfind(num,den)gridxlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis')title('Root Locus')选定图中根轨迹与虚轴的交点，单击鼠标左键得：selected_point =0.0059 + 9.8758ik =1.0652e+003 r=-11.4165 + 2.9641i -11.4165 - 2.9641i -0.0835 + 9.9528i -0.0835 - 9.9528i 结论：根轨迹与虚轴有交点，所以在K 从零到无穷变化时，系统的稳定性会发生变化。
线性系统的根轨迹-自动控制原理实验报告
自动控制原理实验报告实验题目：线性系统的根轨迹班级：学号：姓名：指导老师：实验时间：一、实验目的1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
二、实验内容同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。
2．1绘制下面系统的根轨迹曲线)136)(22()(22++++=s s s s s Ks G程序：G=tf([1],[1 8 27 38 26 0]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统 step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-12-10-8-6-4-20246-10-8-6-4-20246810Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s0204060801001201400.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围：K>28.74252．2绘制下面系统的根轨迹曲线)10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G 程序：G=tf([1 12],[1 23 242 1220 1000]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统 step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-60-50-40-30-20-100102030-50-40-30-20-1001020304050Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s01234560.0020.0040.0060.0080.010.012Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围： K>1.1202e+032．3绘制下面系统的根轨迹曲线)11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++=s s s s s K s G 程序：G=tf([5 100],[0.08568 1.914 17.14 100 0]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-60-50-40-30-20-10010203040-60-40-200204060Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s012345670.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围：K> 7.8321根据实验结果分析根轨迹的绘制规则：⑴绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值的大小无关。
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
自动控制原理--控制系统的根轨迹分析及特殊根轨迹
j1
s0
j1
jk
s sk
j1
jk
单位阶跃响应为
n
y(t) A0 Akeskt k 1
m
m
Ks zi Kzi
A0
i1 n
s sj
i1 n
GB(0)
sj
j1
s0
j1
m
m
K s zi
Ak
i1 n
s sj
1 s
K sk zi
i1 n
sk sk sj
jk
1
s2
100 8s 100
4 3
os1
1.5
1.7
可求得 0.4, ，n 10
s3
所以 % e 1 2 100% 25%，ts (s3.)5 n 3.5 4 0.9
j
0
利用根轨迹分析控制系统的性能
例11 分析K的变化对系统稳定性的影响
K (s 3) G(s)H (s) s(s 5)(s 6)(s2 2s 2)
增加开环极点的影响 增加极点对根轨迹形状的影响
增加开环零点的影响 增加零点对根轨迹形状的影响
例9 已知某系统闭环传递函数
GB (s) 0.67s 1
1 0.01s2
0.08s 1
试计算在单位阶跃输入时的系统输出超调量 % 和调节时间t。s
解：该闭环系统有三个极点，s1 1.5, s2,3 零4 、j9.2极点 分布如右图。
系统稳定的K的范围为: 0<K<35
例12 分析K的变化对系统的影响。设负反馈系统的开环传递函数为
K s z G(s)H(s) ss p
z p
求系统闭环根轨迹，并分析 p 2, 时z系 统4 的动态性能。
自动控制原理根轨迹法总结
自动控制原理根轨迹法总结
【根轨迹法概述】
-根轨迹法是分析线性时不变系统稳定性和动态性能的一个重要工具。
它通过在复平面上绘制闭环极点随系统参数变化的轨迹来实现。
【根轨迹法的基本原理】
1. 定义与目的：
-根轨迹是系统开环增益变化时，闭环极点在s平面上的轨迹。
-主要用于分析系统稳定性和设计控制器参数。
2. 绘制原则：
-根据系统开环传递函数，确定轨迹的起点和终点，分支点，穿越虚轴的点等。
-利用角度判据和幅值判据确定根轨迹。
【根轨迹法的应用】
1. 系统稳定性分析：
-根据闭环极点的位置判断系统的稳定性。
-极点在左半平面表示系统稳定，右半平面表示不稳定。
2. 控制器设计：
-调整控制器参数（如比例增益、积分时间常数、微分时间常数等），使根轨迹满足性能指标要求。
-确定合适的开环增益，使闭环系统具有期望的动态性能和稳定裕度。
【根轨迹法的优势与局限性】
-优势：直观、便于分析系统特性，特别是在控制器设计中。
-局限性：仅适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统不适用。
【实践中的注意事项】
-在绘制根轨迹时，应仔细考虑系统所有极点和零点的影响。
-必须结合其他方法（如奈奎斯特法、波特法等）进行综合分析。
【结语】
-根轨迹法是自动控制领域中一种非常有效的工具，对于理解和设计复杂控制系统具有重要意义。
-掌握根轨迹法，能够有效地指导实际的控制系统设计和分析。
编制人：_____________________
日期：_____________________。
自动控制原理
[-4，-6] 右侧实零、极点数=7。
渐近线与实轴的倾角（k=0，1，2，…） ：
渐近线与实轴交点的坐标值：
沿着渐近线趋于无限远处， 当系统n>m时，有（n－m）条根轨迹分支终止于无限远零点。 渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。
五、根轨迹的渐近线
证明
根轨迹上，靠近起点p1处取一点s1 相角方程 s1p1 起始角p
四条分支
起始点p1＝0、 p2、3＝―0.5+j1.5 、 p4＝―2.5
终止点z1＝－1.5、z2，3 ＝－2±j、－∞
实轴上0～－1.5和－2.5～－∞两区段是根轨迹
取k＝0
p3和p2为共轭复数， 根轨迹起始角对称。
或
两式相除
或
即得
解出s1，即为分离点b
3
2
1
4
5
6
已知某一系统的开环零极点分布，试概略画出其根轨迹。
规则1、2、3
根轨迹有三条分支，分别起始于开环极点0、－2、－3，终止于一个开环有限零点－1和二个无限零点。 根轨迹对称于实轴。
规则4实轴上0到－1和－2到－3两个区域段为根轨迹
规则5根轨迹有两条渐近线（n－m＝2), 令k=0
K＝0时
两个负实根
K值增加
相对靠近移动
离开负实轴，分别s=-1/2 直线向上和向下移动。
一对共轭复根
根轨迹图系统的相关动静态性能信息
过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；
临界阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；
欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。
1）当K值确定之后，根据闭环极点的位 置，该系统的阶跃响应指标便可求出。
根轨迹的分离点 证明 例 证明 例
控制系统的根轨迹分析实验报告
一、实验目的1. 熟悉控制系统根轨迹的基本概念和绘制方法。
2. 掌握利用MATLAB软件绘制和分析控制系统根轨迹的方法。
3. 通过根轨迹分析，了解系统参数变化对系统性能的影响。
4. 培养实验操作能力和数据处理能力。
二、实验原理根轨迹是指当系统的某一参数（如开环增益K）从0变化到无穷大时，闭环系统的特征根在s平面上的变化轨迹。
通过分析根轨迹，可以了解系统在参数变化时的稳定性、瞬态响应和稳态误差等性能。
三、实验设备1. 计算机2. MATLAB软件3. 控制系统实验箱四、实验内容1. 绘制控制系统根轨迹（1）首先，根据实验要求，搭建控制系统的数学模型。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
五、实验结果与分析1. 绘制控制系统根轨迹（1）根据实验要求，搭建控制系统的数学模型，得到开环传递函数。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
孙炳达版 《自动控制原理》第4章 控制系统的根轨迹分析法-5
R(s)
s 1
k s 2 (s 2)
Y(s)
j
j
σ
-1/τ
σ
4.5 系统性能的根轨迹分析
系统开环传递函数：
Gk ( s) Kg s( s 2)(s 3)
Þ ¿ Î ª » ·Á ã µ ã
j¦ Ø 2 -3 -2 -1 0 ¦ Ò -2
增加零点-z
Gk ( s) K g (s z) s( s 2)(s 3)
4.5 系统性能的根轨迹分析
例 系统的结构图如下，
R(s)
K
s 2 2 s 5 ( s 2 )( s 0.5 )
Y(s)
要求： １）用根轨迹法确定使系统稳定的Ｋ的取值范围； ２）用根轨迹法确定系统的阶跃响应不出现超调 量的Ｋ的最大值。
4.5 系统性能的根轨迹分析
解 由已知条件画出根轨迹如图， 其中根轨迹与虚轴的交点 分别为0和1.254j，对应的开环 增益Ｋ分别为0.2和0.75。 分离点为d=-0.409。 所以，系统稳定Ｋ的取值范围为：0.2<K<0.75 不出现超调量的Ｋ最大值出现在分离点处d=-0.409 处。将d代入 D( s ) ( s 2)(s 0.5)
由根轨迹图可测得该对主导极点为：
s1, 2 b jn n j 1 2 n 0.35 j 0.61
由根轨迹方程的幅值条件，可求得A、B两点：
Kg OA CA DA 2.3
根据闭环极点和的关系可求得另一闭环系统极 点s3=-4.3，它将不会使系统超调量增大，故取 Kg=2.3可满足要求。
4.5 系统性能的根轨迹分析
将零点z1<-10，系统根轨迹为 系统根轨迹仍有两条始 终位于S平面右半部， 系统仍无法稳定。
自动控制原理根轨迹法知识点总结
自动控制原理根轨迹法知识点总结自动控制原理中的根轨迹法是一种常用的分析和设计控制系统的方法。
它通过在复平面上绘制系统的根轨迹，并结合数学分析的方法，可以帮助我们了解系统的稳定性及动态特性，并设计出合适的控制器来实现所需的性能要求。
本文将对根轨迹法的原理和关键知识点进行总结。
一、根轨迹法的基本原理根轨迹法是通过分析系统的开环传递函数来确定系统的极点和零点在复平面上的分布情况。
根轨迹是由系统的特征方程的解所决定的，即特征方程的根随参数的变化而移动，形成了一条曲线，这条曲线即为根轨迹。
根轨迹的形状和分布反映了系统的稳定性、动态响应及频率特性。
根轨迹法的基本步骤如下：1. 给定系统的开环传递函数：G(s)H(s)，其中G(s)为系统的传递函数，H(s)为控制器的传递函数。
2. 将开环传递函数表示为极点-零点的形式：G(s)H(s) = K·(s-z1)(s-z2)...(s-zn) / (s-p1)(s-p2)...(s-pm)，其中K为传递函数的增益，zi和pi为传递函数的零点和极点。
3. 根据传递函数的特征方程：1+G(s)H(s)=0，得到特征方程：1+K·(s-z1)(s-z2)...(s-zn) / (s-p1)(s-p2)...(s-pm) = 0。
4. 以复平面为基准，根据特征方程的根（极点和零点），画出根轨迹。
5. 根据根轨迹的形状和分布，分析系统的稳定性和动态响应，设计合适的控制器参数。
二、根轨迹法的关键知识点1. 极点和零点：极点和零点是传递函数的根，它们对系统的稳定性和动态响应有着重要影响。
极点是使得特征方程为零的点，零点是使得传递函数的分子为零的点。
2. 稳定性判据：系统的稳定性和根轨迹的位置有直接关系。
当系统的极点全部位于左半平面时，系统是稳定的；若存在极点位于右半平面，则系统是不稳定的。
3. 根轨迹与动态响应：根轨迹的形状和分布反映了系统的动态响应。
根轨迹与阻尼比、自然频率等参数有关，可以通过观察根轨迹的形状来判断系统的超调量、振荡频率等动态性能指标。
(自动控制原理)4.4利用根轨迹分析系统性能
根轨迹的特点和规律
根轨迹具有以下特点和规律： • 根轨迹是一条连续的曲线，代表了特征方程根的轨迹 • 根轨迹始终位于系统开环增益与相位的交点上 • 根轨迹趋近于无限远点的方向，表示系统的稳定性 • 根轨迹与该点的对称位置具有相同的特性
利用根轨迹评价系统性能
根轨迹可以评估系统的稳定性和动态响应性能，通过观察根轨迹的形状和位置，可以得出以下结论：
根轨迹的概念
根轨迹是反映闭环控制系统特征方程根随参数变化而变化的图形。通过观察 根轨迹可以分析系统的稳定性、动态响应和频率响应特性。
如何绘制根轨迹
绘制根轨迹的步骤如下： 1. 得到系统的特征方程 2. 使用根轨迹的绘制规则和技巧，画出根轨迹的大致形状 3. 通过调整系统参数，绘制出完整的根轨迹图形
自动控制原理 4.4 利用根 轨迹分析系统性能
自动控制系统的性能对于系统的稳定性和响应速度至关重要。本章将介绍根 轨迹方法，用于绘制系统的根轨迹图，并利用根轨迹图评估系统的稳定性和 动态响应性能。
系统性能的定义
系统性能是指系统对于输入信号的响应质量和稳定性。主要包括以下几个方 面：时间响应特性、频率响应特性、稳定性和误差特性。
结论和要点
1 根轨迹是分析系统
性能的重要工具
根轨迹反映了系统的稳 定性和动态响应性能。
2 根轨迹的绘制方法
可以通过特征方程和绘 制规则来绘制根轨迹。
3 根轨迹的应用
根轨迹分析在实际控制 系统中具源自广泛的应用。稳定性如果根轨迹位于左半平面，则系统是稳定的。
动态响应
根轨迹的形状和位置可以反映系统的响应速 度和超调量。
频率响应
根轨迹的形状和位置可以反映系统的频率响 应特性。
稳定裕度
根轨迹与虚轴的交点距离表示系统的稳定裕 度。
控制系统的根轨迹分析——自动控制原理
欠阻尼时共轭特征根为 s1,2 n j 1 2n
j 1 2n
闭环极点的张角 为：
n
cos
n
, cos1
( 1 2n )2 ( n )2
称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。而根据二阶系统性
能，在等阻尼线上，系统的超调量、衰减率也是相等的。
根轨迹图分析
根据根轨迹图定量估算系统动态性能
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Real Axis
开环零极点对根轨迹的影响
❖ 增加开环极点：
增加的极点将对原根轨迹产生排斥作用，使原根 轨迹向背离所增极点的方向变形。
Root Locus 5
4
3
2
Imaginary Axis
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
Real Axis
1
s(s 4)(s 6) s1.2 j2.1
解得：kg 44
由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点 为： p3 7.6
闭环单位阶跃响应
Amplitude
Step Response 1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time (sec)
根轨迹图分析
根据根轨迹图分析系统的稳定性 ✓ 闭环特征根在左半平面则稳定； ✓ 闭环特征根在右半平面则不稳定； ✓ 闭环特征根在虚轴上则临界振荡（无阻尼）； ✓ 一组闭环特征根如果有在右半平面的不稳定值，
《自动控制原理》第4章_根轨迹分析法
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母
自动控制原理第四章根轨迹法
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
实验3 控制系统的根轨迹作图
自动控制原理实验报告课程名称 自动控制原理 成 绩 实验项目 控制系统的根轨迹作图 指导教师 齐立省 学生姓名 赵儒桐 学号 201100805035 班级专业 11电子信息工程 实验地点 综合楼226 实验日期 年 月 日一、实验目的1.利用计算机完成控制系统的根轨迹作图2.了解控制系统根轨迹图的一般规律3.利用根轨迹进行系统分析及校正二、实验步骤1.在Windows 界面上用鼠标双击matlab 图标，即可打开MATLAB 命令平台。
2.练习相关M 函数根轨迹作图函数：rlocus(sys)rlocus(sys,k)r=rlocus(sys)[r,k]=rlocus(sys)函数功能：绘制系统根轨迹图或者计算绘图变量。
图1-1 格式1：控制系统的结构图如图1-1所示。
输入变量sys 为LTI 模型对象，k 为机器自适应产生的从0→∞的增益向量， 绘制闭环系统的根轨迹图。
格式2：k 为人工给定的增益向量。
格式3：返回变量格式，不作图。
R 为返回的闭环根向量。
格式4：返回变量r 为根向量，k 为增益向量，不作图。
更详细的命令说明，可键入“help rlocus”在线帮助查阅。
例如：系统开环传递函数为)3)(1()(++=s s s k s G g方法一：根轨迹作图程序为k=1; %零极点模型的增益值z=[]; %零点p=[0,-1,-3]; %极点sys=zpk(z,p,k); %零点/极点/增益模型rlocus(sys)作出的根轨迹图如图1-2所示。
方法二：s=tf('s'); G1=1/(s*(s+1)*(s+3));rlocus(G1); 图1-2 gridK1=12;figure;step(feedback(G1*K1,1)) % 绘制K1＝12的闭环单位反馈阶跃响应曲线闭合时域仿真simulink 模型：三、实验内容给定如下各系统的开环传递函数，作出它们的根轨迹图，并完成给定要求。
自动控制原理实验根轨迹的绘制
自动控制原理实验根轨迹的绘制一、根轨迹绘制的基础知识哎呀，自动控制原理实验里的根轨迹绘制可真是个有趣又有点小麻烦的事儿呢。
根轨迹啊，简单来说就是当系统的某个参数从0变到无穷大的时候，闭环系统特征方程的根在复平面上的变化轨迹。
这就像是我们看着一个小种子慢慢长大，它的根在地下不断延伸的过程一样。
我们得先知道一些基本概念。
比如开环传递函数，这可是根轨迹绘制的基础哦。
它就像是一个神秘的魔法公式，通过它我们才能找到根轨迹的起点和终点。
开环极点和零点也很重要，极点就像是根轨迹的起始点，零点呢就像是根轨迹会被吸引过去的地方。
就像我们玩游戏的时候，角色的出生点和目标点一样。
二、绘制根轨迹的步骤1. 求开环极点和零点这个步骤就像是找宝藏的地图起点一样重要。
我们要把开环传递函数分解因式，找到那些使分母为零的点就是极点，分子为零的点就是零点。
这一步可得细心，要是找错了一个点，后面的轨迹可就全乱套啦。
2. 确定根轨迹的分支数根轨迹的分支数就等于开环极点的个数哦。
这就像数树上有多少个大树枝一样，有几个极点就有几条根轨迹分支。
3. 确定根轨迹的渐近线渐近线就像是根轨迹在无穷远处的走向。
我们要根据开环极点和零点的个数来计算渐近线的角度和交点。
这就好比我们在看远方的路，虽然还没走到那里，但是能大概知道路是朝着哪个方向去的。
4. 确定根轨迹在实轴上的分布实轴上的根轨迹分布是有规律的。
如果在实轴上某一段的右边，开环极点和零点的总数是奇数，那么这一段就是根轨迹的一部分。
这就像我们在拼图的时候，要找到那些能拼在一起的小碎片一样。
5. 求根轨迹的分离点和会合点这些点是根轨迹上比较特殊的点，就像道路上的岔路口一样。
我们可以通过解方程的方法来找到它们。
三、绘制根轨迹时的小技巧1. 利用对称性很多时候根轨迹是关于实轴对称的，我们可以利用这个特点，只画出一半，然后再对称过去，这样就能节省不少时间呢。
就像我们画一个对称的图案，只需要画一半再复制就好啦。
孙炳达版《自动控制原理》第4章控制系统的根轨迹分析法-2
1 1 2 3 180 (2k 1)
L1 L2 L3 再按幅值条件求得该 Kg0 点的根轨迹传递系数： l1
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
例 已知系统的开环传递函数
2K GK ( s) ( s 2) 2
试证明复平面上点 s1 2 j 4, s2 2 j 4 是该系统的闭环极点。 证明 该系统的开环极点 p1 2, p2 2 若系统闭环极点为s1，s2，则它们应满足 相角条件。
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
以s1为试验点，由图可得
(s1 p1 ) (s1 p2 ) 90 90 180(2k 1) (k 1)
以s2为试验点，由图可得
(s2 p1 ) (s2 p2 ) 90 90 180(2k 1) (k 0)
可见， s1和s2均满足相角条件， 均为闭环极点。 证毕。
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
4 G ( s ) K /( s 1 ) 例 已知系统的开环传递函数 K
当 K 0 变化时其根轨迹如图所示， 求根轨迹上点 s1 0.5 j 0.5 所对应的K值。 解 根据幅值条件
自动控制原理
第四章 控制系统的根轨迹分析法
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
一、根轨迹的幅值条件和相角条件 一般的闭环系统结构框 图如图所示，其特征方程为：
1 G( s ) H ( s ) 0
其开环传递函数： Gk (s) G(s) H (s) 1 由等式两边幅角和相角分别相等的条件可得：
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
5 实轴上的根轨迹
自动控制原理根轨迹分析知识点总结
自动控制原理根轨迹分析知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统的基本理论和方法的学科，而根轨迹分析是自动控制原理中的一项重要内容。
本文将对根轨迹分析的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和运用这一分析方法。
一、根轨迹分析的基本概念根轨迹是描述控制系统传递函数的极点随参数变化而在复平面上运动的轨迹。
通过绘制根轨迹图，可以直观地了解系统的稳定性、动态响应和频率特性等重要信息。
二、根轨迹的性质1. 根轨迹图是在复平面上绘制的闭合曲线，其中包含了系统的所有极点。
2. 根轨迹出发点（即开环传递函数极点）的数量等于根轨迹终止点（即闭环传递函数极点）的数量。
3. 根轨迹关于实轴对称，即系统的实部极点只存在于实轴的左半平面或右半平面上。
4. 根轨迹通过传递函数零点的个数和位置来确定。
三、根轨迹的画法1. 确定系统的开环传递函数。
2. 根据传递函数的表达式，求得系统的特征方程。
3. 计算特征方程的根，即极点的位置。
4. 绘制根轨迹图，显示系统极点随参数变化的轨迹。
四、根轨迹的稳定性分析1. 若根轨迹通过左半平面（实部为负）的点的个数为奇数，则系统是不稳定的。
2. 若根轨迹通过左半平面的点的个数为偶数，则系统是稳定的。
五、根轨迹的频率特性分析1. 根轨迹的形状和分布可以判断系统的阻尼比、振荡频率和衰减时间等性能指标。
2. 根轨迹与系统的频率响应曲线之间存在一一对应的关系。
六、根轨迹的应用1. 根据根轨迹可以设计和优化控制系统的参数，使系统具有所需的动态性能。
2. 利用根轨迹可以直观地观察到系统的稳定性和动态响应，便于故障诊断和故障排除。
七、根轨迹分析的注意事项1. 在绘制根轨迹图时，应注意传递函数的极点和零点的位置，以及参数的范围。
2. 在分析根轨迹时，应考虑系统的稳定性、动态响应和频率特性等综合因素。
以上就是自动控制原理根轨迹分析的知识点总结。
根轨迹分析作为自动控制原理中的一项重要内容，对于理解和设计控制系统具有重要意义。
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开课学院及实验室：实验中心
学 院 机电 年级、专 业、班 自控原理实验 系统的根轨迹分析
20课程名称 实验项目名称
一、实验目的 二、实验内容
三、使用仪器、材料
四、实验过程原始记录（程序、数据、图表、计算等） 五、实验结果及分析
利用下列命令可自动打开一个图形窗口，显示该系统的零、极点分布图。用鼠标点击图 中零、极点可自动显示其坐标值。 >> num=[3,2,5,4,6];den=[1,3,4,2,7,2]; pzmap(num,den) >> title('Pole-Zero Map') % 图形标题
2. rlocus 求系统根轨迹
四、使用仪器、材料
计算机、MATLAB 软件
五、实验过程原始记录（程序、数据、图表、计算等） 实验 1. （1）代码：a=4; Gs=tf([1],[1,a,0,0]); figure(1) pzmap(Gs); figure(2) rlocus(Gs); 实验结果截图：
（2）代码
a=4; b=2; Gs1=tf([b],[1,a,0,b]); figure(1) pzmap(Gs1); figure(2) rlocus(Gs1); 截图：
一、实验目的
1．掌握使用MATLAB 系统绘制根轨迹的方法； 2．掌握由根轨迹分析系统性能的方法； 3. 通过仿真结果和理论计算的对照，加深对相应知识点的理解。
二、实验内容
实验1. 已知单位反馈系统的开环传递函数为
现取a=4. （1）用根轨迹法分析系统的稳定性。 （2）如果给该系统增加一个开环零点(s+b),b>0，试分析附加开环零点对根轨 迹的影响。就b=2 和6 两种情况，分别加以讨论. 实验２．已知非最小相位系统的开环传递函数为
五、实验结果及分析 实验 1 （1）由图可知，当 k>0 时，总有闭环特征根在 s 右半平面，故系统不稳定。 （2）在该系统增加一个开环零点（s+2）后，系统稳定；
在该系统增加一个开环零点（s+6）后，系统不稳定由以上对比可以看出，
引入开环零点后可使根轨迹向左移动或弯曲，开环零点越接近近原点，系统性能变得越好。 实验 2. 由于根轨迹在 S 左半平面时，系统稳定，所以 24.642 < K < 36.5606 时 ，能使该闭 环系统稳定。
格式1：rlocus(num,den)， rlocus(num,den,k) [R,K]=rlocus(num,den)， [R,K]=rlocus(num,den，k) 格式2：rlocus(A,B,C,D)， rlocus(A,B,C,D,k) [R,K]=rlocus(A,B,C,D) [R,K]=rlocus(A,B,C,D,k) 说明：k 为用户设定的值绘制根轨迹，若省略机器自动生成。 对于不带返回参数的将绘制根轨迹。对于带有返回参数的将不作图,其中返回参数 R 对应K 增益的闭极点的位置。开环增益K 对应的闭环特征方程为： 1+kG(S)H(S)=1+k num/den=0
G( s) k ( s 1) s( s 1)( s 2 4 s 16)
试绘制该系统的根轨迹,并确定使闭环系统稳定的参数k 的范围。
三、实验原理
1. pzmap 绘制系统的零极点图
格式1：pzmap(A,B,C,D) [p,z]=pzmap(A,B,C,D) 格式2：pzmap(num,den) [p,z]=pzmap(num,den) 格式3：pzmap(p,z) 说明：极点用“×”表示，零点用“o”表示。对于不带返回参数的将绘制零极点图。 对于带有返回参数的将不作图,其中返回参数P 为极点的列向量， z 为零点的列 向量。格式3 是将已知的零点z 极点p 绘制在复平面上。
b=6; Gs2=tf([1,b],[1,a,0,b]); figure(3) pzmap(Gs2); figure(4) rlocus(Gs2);
实验 2.
代码：Gs=tf([1,1],[1,4,15,-4,-16]); figure(1) pzmap(Gs); figure(2) rlocus(Gs); rlocfind(Gs) 实验结果截图：
3. rlocfind 计算根轨迹上给定一组极点所对应的增益
格式1：[K,poles]=rlocfind(A,B,C,D) [K,poles]=rlocfind(A,B,C,D,P) 格式2：[K,poles]=rlocfind(num,den) [K,poles]=rlocfind(num,den,P) 说明： 由rlocfind()绘制的根轨迹图形窗口中将显示十字光标，当用户选择其中一点时，该 极点所对应的增益由K 记录，与增益有关的所有极点记录在poles 中。也可通过指定极点 p 得到增益的向量。向量K 的第m 项是根据极点位置P（m）计算的增益，矩阵poles 的 第m 列是相应的闭环极点。