中考数学二次函数与面积最值

二次函数与面积最值

一、知识要点

二次函数中图形面积最大值求法

法1：割补法

1．三角形面积最值：作出铅垂高，找出水平宽，利用面积公式（S=1

2

×铅垂高×水平

宽）表示面积.（如图1）

2．四边形面积最值：连四边形对角线，将四边形面积最值转化为三角形面积最值.（如图1）

方法：设出动点坐标，利用面积公式表示出面积，将面积最值转化为二次函数最值.

PE为铅垂高OB为水平宽

法2：面积相等—双轨平行线

1．根据顶点找出公共边，作为底（如图）；

2．根据“双轨平行线”作公共边的平行线（过顶点作公共底的平行线，再向顶点的另一侧作等距的平行线），求出平行线的解析式；若为倍数关系向两侧做等倍数距离的平行线即可；

3．平行线与抛物线的交点即为动点坐标，即一次函数与二次函数联立解方程.

二、经典例题与解析 如图，抛物线213222

y x x =−−与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称．

（1）求点A 、B 、C 的坐标．

（2）在直线BD 下方的抛物线上是否存在一点P ，使△PBD 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）分别令y =0，x =0，求函数与x 轴、y 轴的交点；

（2）求直线解析式，因为P 点不定，所以先设P 点坐标（设横求纵），然后利用面积公式（ S =12×铅垂高×水平宽）表示面积，再通过配方求最值。

【解答】

（1）解方程2132022

x x −−=,得x 1=-1，x 2=4， ∴A 点坐标为（-1，0），B 点坐标为（4，0）．

当x =0时，y =-2，

∴C 点坐标为（0，-2）．

（2）∵C 点坐标为（0，-2）． 点D 与点C 关于x 轴对称．∴D 点坐标为（0，2） 设直线BD 的解析式为y =kx +b ，则

0420k b k b =+⎧⎨=+⎩

解得 122

k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BD 的解析式为y ＝−

122x + 如图：

作PE ∥y 轴交BD 于E ，设P （m ，

2132)22m m −−，则E （m ，122m −+） ∴PE =211322222m m m −+−−−=-2142

m m ++ ∴S △PBD =

12•PE •（x B -x D ）=1(2⨯-2142m m ++)⨯4=228m m −++=()219m −−+ ∵-1＜0，

∴m =1时，△PBD 的面积最大，面积的最大值为9．

∴P （1，-3）