群论及应用

A X 1 BX
B XAX
1
Y 1 AX
（3）A与B共轭，A与C共轭，则B与C共轭。（传递性）
A X 1 BX
A Y 1CY ZCZ 1
B XAX 1 XZCZ 1 X 1 ( XZ)C( XZ) 1
（4）群中二个不同类没有共同元素 （从传递性可以证明） （5）单位元素自成一类 因为
直积群有如下性质: 1、各个直因子的共同元素只有单位元素。 2、各个直因子都是G的不变子群
七 特征标（实为矩阵内容，群通过矩阵表示） 1、定义：（矩阵的迹）
x aii
2、AB与BA有相同的特征标
( AB BA)
证明：
x AB cii
i i
a b
ij j
ji
ji
xBA d jj
j k j
$5-2 分子点群
Cn C nv C nh Cs Ci Dn
Dnh Dnd Sn Td Oh
$5-3 群表示理论
一、什么是群表示？ 群G（对称群）用同构或同态的矩阵群来表示。 1、基矢变换和坐标变换 进行对称操作，就是把物体各点的位置按一定规律变动。
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这样有两种表示方法： 给定坐标系，物体的各点的坐标按一定规律变换。 坐标系变化，物体中各点坐标变化情况。
它们的元素之间一一对应并满足下列性质 Ak Bk Ai Bi 则：
Ai Ak Bi Bk
称G与G’同构。 如:D3与C3V, {立正,右,左,后}与{1,-1,i,-i}
2、同态：设有两个不同阶的群：
G {E, A1 , A2 ,, Am )
G' {E' , B1 , B2 ,, Bn )
1 I 2 3
六 直积
如果有两个群:
G1 {E, A1, A2 ,
Ai ,
Am}
G2 {E, B1, B2 , Ai B j B j Ai
Bj ,
Bk }
如果它们的元素彼此相乘的意义明确,并且相互对易:
则可以定义一个更大的群G,G为G1和G2的直接乘积G1G2
B X 1 AX
则称A，B相互共轭。（相似变换）
1 2 1 1 2 1 3 2 以C3v)例: C V C3 C3 V C3 C3 V V 2 1 3
2 V
1 V
3 V
2）类的定义： 相互共轭的元素的集合称为一个共轭类。 一个类中包含的元素数目称作它的阶。 3）共轭元素的性质 （1）每个元素自身共轭。A X 1 AX （2）A与B共轭，则B与A共轭（相互） (为什么？）（X=E）
G G1 G2 {E , A1 , A2 , Ai , Am } {E , B1 , B2 , Bj , Bk }
G中包含的每一个元素都可以唯一地写成ＡiBj
例如:
2 G1 {E, C3 , C3 } C3
G2 {E, h } Cs
定义直积
G G1 G2 {E , C3 , C32 } {E , h } {E , C3 , C32 , h , C3 h , C32 h } C3h
E AEA
1
EAA
1
EE E
（6）对易群每个元素自成一类 对易群： AB=BA
A 1 BA BA 1 A BE B
（7）一个类中所有元素都有相同的周期
a 什么是周期？
A E
n
（则n 称为A的周期）
b 证明： B
n
( X 1 AX ) n X 1 AXX 1 AX X 1 AX X 1 An X X 1 EX E
OP xi yj zk

x i , j , k y er z

e i , j, k


x r y z
j j
b
i
aij
i
b
j
ji
aij
i
a b
ij j
ji
x AB
3、共轭矩阵特征标相同
B X AX
xB bii X a jk X ki
1 ij i i j k 1 X ki X ij a jk j k i
1
kj a jk a jj xA
（逆定理不成立）
（8）若两元素（对称操作）同类，则两对称元素可经某一操作 使之重合。（化学中用于判断方法） 如NH3中的3个对称面是同类。 而水分子中二个对称面则不同类。 又如苯分子中的二次轴,分为二类
五 同构与同态
1、同构：设有两个同阶的群：
G {E, A1 , A2 ,, Am )
G' {E' , B1 , B2 ,, Bm )
$5-1群的定义和基本概念
一 为什么要学群论
1、 物理与化学的许多研究对象与对称性联系。 2、 表象 本质 3、光谱 4、简化计算（如判断积分是否为零）
二 群的定义
一个集合G（A，B，C，…）,对于一个乘法,如果满足条件,构成群 1）封闭性
2）缔合性：
3）单位元素 4）逆元素
三 子群 如果群G中的一部分元素对于群G的乘法也构成群H， 则群H称作群G的子群。 有二个平凡子群（非真子群） E（单位元素）和 G（G群本身） 其它为真子群 四 共轭元素与类 1）共轭元素：设A，B，X是一个群的任何三个元素，若满足
若G中任何一个元素都可以在G’中找到一个元素和他对应， 并满足下列性质
Ai1 A Bi i 2 Ai 3 Ak1 A Bk k 2 Ak 3
则：
Ail Akm Bi Bk
称G与G’同态。
如:C3V和Ｃi 群
E C 1 E 3 2 C 3
（1）基矢变换（坐标系旋转）
坐标系取向改变时，空间固定点的P的坐标如何变化。
设有两个原来相重合的坐标系 和OX ’Y’Z’（右手直角坐 OXYZ ，它们的基矢分别用 (i , j , k ) 和 (i ' , j ' , k ' ) 来表示。 P点，在OXYZ坐标系中的坐标为（x,y,z），则矢径 OP 为：