信号分析基础

值得注意的是，互相关函数既不是偶函数，也不是奇函数，但 满足下式：
(2).当τ =0时，自相关函数具有最大值，此时对于能量信号 对于功率信号
(3).周期信号的自相关函数仍然时同频率的周期信号，但 不具有原信号的相位信息。如：正弦信号Asin(ωt+φ)的自相关 函数为：Rx( τ)=(A2cosωτ )/2 (4).两周期信号的互相关函数的仍然是同频率的周期信号， 但保留了原信号的相位信息。如正弦信号Asin( ωt) 与Bsin(ωt -φ)的互相关函数 Rxy( τ) = ABcos(ωτ - φ ) (5).两个非同频率的周期信号互不相关。
频域有限信号
2.2.4.连续时间信号与离散时间信号
连续时间信号：在所讨论的时间间隔内，对于任意时间值(除若干个 第一类间断点外)都可给出确定的函数值，此类信号称为连续时间信号或 模拟信号。连续信号的幅值可以是连续的也可以是不连续的。
离散时间信号：离散时间信号在时间上是离散的．只是在某些不连 续的规定瞬时给出函数值，而在其他时间没有定义的信号。
离散时间信号
2.2.5 物理可实现信号
物理可实现信号又称为单边信号，满足条件：t＜0时，x(t) = 0，即在时刻小于 零的一侧全为零，信号完全由时刻大于零的一侧确定。 在实际中出现的信号，大量的是物理可实现信号，因为这种信号反映了物理上 的因果律．实际中所能测得的信号，许多都是由一个激发脉冲作用于一个物理系统 之后所输出的信号．例如，切削过程，可以把机床、刀具、工件构成的工艺系统作 为一个物理系统，把工件上的硬质点或切削刀具上积屑瘤的突变等，作为振源脉冲， 仅仅在该脉冲作用于系统之后，振动传感器才有描述刀具振动的输出。
所谓物理系统，具有这样一种性质，当激发脉冲作用于系统之前，系统是不会有响 物理可实现信号 应的，换句话说，在零时刻之前，没有输入脉冲，则输出为零，这种性质反映了物 理上的因果关系．因此，一个信号要通过一个物理系统来实现，就必须满足x（t）= 0（t＜O），这就是把满足这一条件的信号称之为物理可实现信号的原因．同理，对 于离散信号而言，满足x（n）= 0（n＜0）条件的序列，即称为因果序列。
2.2.1 确定性信号与非确定性信号
a)确定性信号 可以用明确的数学关系式描述的信号称为确定性信号。它可以进一步分为周期 信号、非周期信号与准周期信号等，如下图所示。
信号的分类描述
周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件： x(t) = x ( t + nT )
式中，T——周期，T=2π/ω0；ω0——基频；n=0,±1, …。
信号的幅域、时域和频域
有量纲幅域诊断函数
量纲为一的幅域诊断函数
幅域参数对故障的敏感性和稳定 性比较
2.3 信号的时域分析
信号时域分析又称之为波形分析或时域统计分析，它是通过 信号的时域波形计算信号的均值、均方值、方差等统计参数。 信号的时域分析很简单，用示波器、万用表等普通仪器就可以 进行分析。 1.信号类型确定 信号时域分析(波形分析)的一个重要功能是根据信号的分类 和各类信号的特点 确定信号的类型。然后再根据信号类型选用 合适的信号分析方法。
这种信号往往出现于通信、振动系统，应用于机械转子振动分析，齿轮噪 声分析，语音分析等场合。
准周期信号sin(t)+sin(1.41t)波形
b)非确定性信号 非确定性信号不能用数学关系式描述，其幅值、相位变化是不可预知的，所描述的物 理现象是一种随机过程。例如，汽车奔驰时所产生的振动；飞机在大气流中的浮动；树叶 随风飘荡；环境噪声等。 然而，须要指出的是，实际物理过程往往是很复杂的，既无理想的确定性，也无理 想的非确定性，而是相互参杂的
2.1信号分析概述
图象信号的表达
信号与信息的差别
• 信号（Signal）是自 然现象的客观反映 • 信息（Information） 是带有情报的信号， 它反映出运动的特征、 规律、原因、程度和 大小等。 • 信号可以提供有限信 息。如图为应变信号：
信号处理过程
信号采集 Signal Acquisition 前端设备 磁带记录仪 传感器 电荷放大器 各种敏感元件 微积分电路 A/D 转换 滤波电路 采样保持 示波器、记录 仪、显示屏、数 码管、打印机
(6).随机信号的自相关函数将随|τ|值增大而很快趋于零。
2.4.4 相关分析的工程应用
相关函数描述了信号波形的相关性（或相似程度），揭示了信号波形的 结构特性．相关分析作为信号的时域分析方法之一，为工程应用提供了重要 信息，特别是对于在噪声背景下提取有用信息，更显示了它的实际应用价 值．下面列举一些工程应用实例． 1．机械加工表面粗糙度的自相关分析 下图表示用电感式轮廓仪测量工件表面粗糙度的示意图．金刚石触外将 工件表面的凸凹不平度，通过电感式传感器转换为时域（或空域）信号（图 中（a）），再经过相关分析得到自相关图形（图中（b））．可以看出，这 是一种随机信号中混杂着周期信号的波形，随机信号在原点处有较大相关性， 随τ 值增大而减小，此后呈现出周期性，这显示出造成表面粗糙度的原因中 包含了某种周期因素．例如沿工件轴向，可能是走刀运动的周期性；沿工件 切向，则可能是由于主轴回转振动的周期性等．
测点３振动信号波形
非周期信号是不会重复出现的信号。例如，锤子的敲击力；承载缆绳断裂时应力变化； 热电偶插入加热炉中温度的变化过程等，这些信号都属于瞬变非周期信号，并且可用 数学关系式描述。例如，下图是单自由度振动模型在脉冲力作用下的响应。
单自由度振动模型脉冲响应信号波形
准周期信号是周期与非周期的边缘情况，是由有限个周期信号合成的，但各周 期信号的频率相互间不是公倍关系，其合成信号不满足周期条件，例如 sin(t)+sin(1.41t) 是两个正弦信号的合成，其频率比不是有理数，不成谐 波关系。下面是其信号波形：
2.4 信号的相关分析
2.4.1 相关的概念 相关是指客观事物变化量之间的相依关系，在统计学中是用相关系数来描 述两个变量x，y之间的相关性的，即：
式中 是两个随机变量波动量之积的数学期望，称之为协方差或相关性，表 征了x、y之间的关联程度； 、 分别为随机变量x、y的均方差，是随机变 量波动量平方的数学期望。 是一个无量纲的系数， 。 当| |＝１时，说明x、y两变 量是理想的线形相关； ＝０时，表示x、y两变量完全无关；0<| |<1时， 表示两变量之间有部分相关。下图分别表示了x、y两变量间的各种关系情况。
三种不同特征的信号
2.周期T 对周期信号来说，可以用时域分析来确定信号的周期，也就是计算相邻的 两个信号波峰的时间差。
信号周期测量
3.均值 均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值．基于随机过程的各忘历经性，可 用时间间隔T内的幅值平均值表示，即 均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。
2．地下输油管道漏损位置的探测 下图表示利用互相关分析方法，确定深埋在地下的输油管漏报位置的 示意图．在输油管表面沿轴向放置传感器（例如拾音器、加速度计或 AE 传感器等） 1和 2，油管漏损处 K可视为向两侧传播声波的声源，因放置 两传感器的位置距离漏损处不等，则油管漏油处的声波传至两传感器就有 时差，将两拾音器测得的音响信号X l（t）和X2（t）进行互相关分析，找 出互相关值最大处的延时cc，即可由τ m确定油管漏报位置． S=vτ m/2 式中，S——两传感器的中心至漏报处的距离； V——声波通过管道的传 播速度．
b)功率信号 有许多信号，如周期信号、随机信号等，它们在区间（-∞，∞）内能量不是 有限值．在这种情况下，研究信号的平均功率更为合适． 在区间（t1，t2）内，信号的平均功率 若区间变为无穷大时，上式仍然大于零，那么信号具有有限的平均功率，称 之为功率信号．具体讲，功率信号满足条件：
对比上式，显而易见，一个能量信号具有零平均功率，而一个功率信号具有 无限大能量
变量x、y间的不同相关情况
例如，玻璃管温度计液面高度(Y)与环境温度(x)的关系就是 近似理想的线形相关，在两个变量相关的情况下，我们可 以用其中一个可以测量的量的变化来表示另一个量的变化。 在后续章节中将要介绍的传感器部分中就应用了变量中的 这种相关性。 自然界中的事物变化规律的表现，总有互相关联的现 象，不一定是线形相关，也不一定是完全无关，如：人的 身高与体重，吸烟与寿命的关系。
4. 均方值 信号x(t)的均方值E[x2(t)]，或称为平均功率，其表达式为：
值表达了信号的强度，其正平方根值，又称为有效值，也是信号的平均能量 的一种表达。在工程信号测量中一般仪器的表头示值显示的就是信号的均方值。
5. 方差 信号x(t)的方差定义为： 称为均方差或标准差。 可以证明， 描述了信号的波动量； 描述了信号的静态量。 方差反映了信号绕均值的波动程度。
加工过程中螺纹车床主轴受环境影响的振动信号波形
2.2.2 能量信号与功率信号
a)能量信号 在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件： 关于信号的能量，可作如下解释：对于电信号，通常是电压或电流，电压在 已知区间（t1；，t2 ） 内消耗在电阻上的能量
对于电流，能量
在上面每一种情况下，能量都是正比于信号平方的积分．讨论消耗在IQ电阻 上的能量往往是很方便的，因为当R—IQ时，上述两式具有相同形式，采用这种 规定时，就称方程
2.2.3.时限与频限信号
时域有限信号是在有限区间（t1，t2 ）内定义，而其外恒等于 零．例如，矩形脉冲、三角脉冲、余弦脉冲等。而周期信号、指数 衰减信号、随机过程等，则称为时城无限信号．
时域有限信号
频域有限信号是指信号经过傅里叶变换，在频域内占据一定带宽（f1 ， f2），其外恒等于零．例如，正弦信号、sinc（t）函数、限带白噪声 等，为时城无限频域有限信号。白噪声、理想采样信号等，则为频域 无限信号． 时间有限信号的频谱，在频率轴上可以延伸至无限远。由时、频域对 称性可推论，一个具有有限带宽的信号，必然在时间轴上延伸至无限 远处。显然，一个信号不能够在时域和频域都是有限的