圆知识点总结

圆知识点总结

一、圆的概念

集合形式的概念：

圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

轨迹形式的概念：

圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

二、圆的对称性

1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

三、垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。

推论1：

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

垂径定理及其推论可概括为：

过圆心

垂直于弦

直径平分弦知二推三

平分弦所对的优弧

平分弦所对的劣弧

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O中，∵AB∥CD

∴弧AC=弧BD

三、圆心角定理

①圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①AOB DOE

∠=∠；②AB DE

=；

③OC OF

=；④弧BA=弧BD

②圆心角的度数与它所对弧的度数相等。

三、圆周角定理及其推论

1、圆周角顶点在圆上，并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦，像这样的角叫做圆周角。

2、圆周角定理：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。

3、圆周角定理的推论

推论1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。

推论2：同弧或等弧上所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

推论3：直径（或半圆）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论4：圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形

∴180

∠+∠=︒

B D

∠+∠=︒180

C BAD

∠=∠

DAE C

推论5：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形

是直角三角形。

注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边

上的中线等于斜边的一半的逆定理。

四、三角形外接圆和内切圆

（1）三角形的外接圆

①过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

②经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做

三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

③三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，任何一个三角形都有且只有一个外心。 ④锐角三角形的外心在三角形的内部； 直角三角形的外心是斜边的中点； 钝角三角形的外心在三角形的外部。 （2）三角形的内切圆及有关计算

①与三角形各边都想切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

②三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三角形各边的距离相等。任何一个三角形都有且只有一个内心，三角形的内心在三角形的内部。

③△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c ，则内切圆的半径r=

2

c

b a -+ 。 ④S △ABC =)(2

1

c b a r ++，其中a ，b ，c 是边长，r 是内切圆的半径。 五、点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系

1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；

2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；

3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； （2）直线与圆的位置关系

A

1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；

2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；

3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；

（3）圆与圆的位置关系

外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；

六、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

图4

图5

即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端

∴MN 是⊙O 的切线 证明切线的方法：

① 已知直线过圆上点，作连接证明垂直； ②未知直线过圆上点，作垂直证明等于半径 补充：点到直线的距离公式

（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

（3）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴

PA PB =

PO 平分BPA ∠

七、弧长和扇形面积

1、弧长公式：n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180

r

n l π= 2、扇形面积公式：lR R n S 2

1

3602==

π扇（其中n 是扇形的圆心角度