勾股定理知识点易错点

勾股定理知识点易错点

一、知识体系：

二、知识点：

1、直角三角形两边的平方和等于斜边的平方。即：a2＋b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）.如图所示，我国古代把直角三角形的较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”。

注意：（1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，三边就没有这种关系。

（2）勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的数量关系：两直角边的

平方和等于斜边的平方，不是任意两边的平方和都等于第三边的平方。

2、勾股定理的验证

验证勾股定理的有效方法，一般遵循以下几个步

3、勾股定理的逆定理：（重点）

如果三角形的三边长a 、b 、c 且a 2

＋b 2

=c 2

，那么这个三角形是直角三角形。

注意：（1）证明时不能说成“在直角三角形中”，因为还没有确定是直角三角形，当然也不能说成“斜边、直角边”

（2）a 2

＋b 2

=c 2

它只是一种表现形式，不能因为a 2

＋b 2

≠c 2

就说这个三角形不是直角三角形。如a=5，b=3,c=4. a 2

＋b 2

≠c 2

但此三角形是直角三角形。a 为斜边。

利用勾股定理判别一个三角形是不是直角三角形的方法：求出三角形中较小两边的平方和与较大边的平方进行比较，如果相等，可判断这个三角形是直角三角形，否则不是。 勾股数：满足a 2

＋b 2

=c 2

的3个正整数，且满足a 2

＋b 2

=c 2

。

1、勾股定理：直角三角形两直角边

a 、

b 的平方和等于斜边

c 的平方。 如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么 222a b c += 。

强调说明：勾——最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边

2、勾股定理的逆定理：如果三角形三边a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形就为直角三角形。

3、3、定理的证明方法

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

a

c

b

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2

ab b a c ⨯+-=，化简可证．

c

b

a

H

G F E

D

C

B

A

方法二：

b

a

c

b

a

c c

a

b

c

a

b

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422

S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=

方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222

ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证

a b

c

c b

a

E D C

B

A

易错点

1,,,勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，值得注意的是，只有在直角三角形中才有两边（较小的两边）的平方和等于第三边（最长的边）的平方，非直角三角形不具备这种关系。因此，在非直角三角形中或者是在不知道三角形是不是直角三角形的情况下，不能盲目地使用勾股定理。另一方面，若已知三角形中有直角，使用勾股定理时也需谨慎，不能机械地把它记为222c b a =+，这只是

o C 90=∠时的情形。当o A 90=∠时，有222a c b =+；当o B 90=∠时，有222b c a =+

2,,注意隐含条件

已知直角三角形的两边长分别为3cm ，4cm ，求第三边的长

由于思考不周全，忽略隐含条件，误认为一边是3cm ，一边是4cm ，所以第三边就应该是5cm ，实际上，题目隐含着两种情况 3,注意应用的区别

在直角的三角形中需要用到三边关系时用勾股定理，而已知三边长想用勾股定理进行有关计算或推理时，则需先用勾股定理的逆定理判定它是不是直角三角形。 4,注意遇到求高问题常考虑用勾股定理解决

一：勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）

要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

二：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：

用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

四：互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导

1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关